原函数与不定积分
不定积分的概念和公式表
例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx
不定积分的概念与存在定理
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
xC
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13) a xdx a x C ln a
(14) sh x dx ch x C
sh x ex ex 2
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
( C 为任意常数 )
例如, exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数 , 不可丢 !
不定积分的概念与存在定理
一、 原函数与不定积分的概念 二、 原函数存在定理 三、 基本积分表
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
ch x ex ex 2
(15) ch x dx sh x C
复变函数(3.3.4)--原函数与不定积分
= ie1+i
= ie(cos1+ i sin1).
例 5、 试沿区域 Im(z) 0, Re(z) 0 内的圆弧 z = 1，求 i ln(z +1) dz 的值.
1 z +1
解
函数
ln(z +1) z +1
在所涉区域内解析，
它的一个原函数为
ln 2
(z 2
+
1)
,
i ln(z +1) dz
i 0
z cos
zdz
= [z sin
z
+ cos z]i0
= i sin i + cos i -1
=
i
e-1 2i
e
+
e-1 + 2
e
-1
=
e-1
-1.
例 3、 求 i z cos zdz 的值. 0
另解 i z cos zdz = i zd(sin z)
0
0
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分
第二节 原函数与不定积分
例题
例 1、 求 z1 zdz 的值. z0
解
因为
z
是解析函数，它的原函数是
1 2
z
2
.
由牛顿-莱布尼兹公式知，
z1 zdz z0
=
1 2
z2
z1 z0
=
1 2
( z12
-
z02 ).
例 2、 求 pi z cos z2dz 的值. 0
解
pi 0ห้องสมุดไป่ตู้
z cos
高三数学原函数与不定积分的概念
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C
5[1].1原函数与不定积分的概念
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2. 不定积分的性质: 不定积分的性质: 1) 2)
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ α f ( x ) dx = α ∫ f ( x )dx , α 为常数
∫ [k
f ( x ) + k2 f 2 ( x )]dx = k1 ∫ f1 ( x)dx + k2 ∫ f 2 ( x)dx
∫
积分号
f ( x )d x
被积函数
(3) 积分变量
注1. (3)式中积分号下的f (x)dx, 可看作是原函数 的微分. f ( x) d x 注2. 符号∫a f ( x)dx 与∫ f ( x)dx 差别: 数 一族函数
b
称为被积表达式.
定理1. 定理 设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数,则
第5章 不定积分
§5.1原函数与不定积分的概念 原函数与不定积分的概念
运算与逆运算
初等数学中加法与减法,乘法与除法, 初等数学中加法与减法,乘法与除法, 乘方与开方等,都是互逆的运算. 乘方与开方等,都是互逆的运算.
微分运算是对一个可导函数求导数. 微分运算是对一个可导函数求导数.
已知 f,求 f 的导数 f′ 的表达式,有一些计算 法则,例如: (f + g)′ = f′ + g′ , (f g)′ = f′ g + f g′ , (f [])′ = f ′ [] ′ 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式, 我们可以解决初等函数的求导问题,即是,若 f 为初等函数, f ′ 的表达式能求出.
C2 C3
例4.求过点(1, 3),且其切线斜率为2x的曲线方程. . 解:设所求的曲线方程为 y=f(x),则 y′ =f ′(x) =2x, 即f(x)是2x 的一个原函数.
复变函数与积分变换 第三章第四节原函数与不定积分_复变函数论
z1 z0
1 2
(
z12
z02 ).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
2
02
2
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
例3 求 i z cos zdz 的值. 0
第四节 原函数与不定积分
一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 定理一
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点
和终点有关, (如下页图)
f (z)z,
z
z
所以 F (z z) F (z) f (z) z
1 zz f ( )d f (z)
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
B
z0 •
z z z
K
因为 f (z) 在 B内解析, 所以 f (z) 在 B内连续,
故 0, 0, 使得满足 z 的一切 都在 K 内, 即 z 时, 总有 f ( ) f (z) ,
或
z1 z0
f
( z)dz
G( z1
)
G(
z0
).
[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
二、典型例题
例1 求 z1zdz 的值. z0
解 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z2 , 2
41原函数与不定积分
第一节 不定积分的概念及其性质教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质;基本积分公式.教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程：一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上 可导函数F (x )的导函数为f (x ) 即对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数例如 因为(sin x )'=cos x 所以sin x 是cos x 的原函数又如当x ∈(1 +∞)时因为xx 21)(=' 所以x 是x21的原函数提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续 那么在区间I 上存在可导函数F (x ) 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x )简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明 第一 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ) 那么f (x )就有无限多个原函数F (x )+C 都是f (x )的原函数 其中C 是任意常数第二 f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数 则Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数) 定义2 在区间I 上 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分 记作⎰dx x f )(其中记号⎰称为积分号 f (x )称为被积函数 f (x )dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分 即⎰+=C x F dx x f )()(因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数例1因为sin x 是cos x 的原函数所以C x x d x +=⎰s i n c o s因为x 是x21的原函数所以C x dx x +=⎰21例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分 解：当x >0时(ln x )'x1=C x dx x+=⎰ln 1(x >0)当x <0时[ln(x )]'xx1)1(1=-⋅-=C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0)合并上面两式得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0)例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为y =f (x ) 按题设 曲线上任一点(x y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数 因为 ⎰+=C x x d x22故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C 即曲线方程为y =x 2+C因所求曲线通过点(1 2) 故2=1+C C =1于是所求曲线方程为y =x 2+1积分曲线 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线从不定积分的定义 即可知下述关系 ⎰=)(])([x f dx x f dxd或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([ 又由于F (x )是F '(x )的原函数 所以⎰+='C x F dx x F )()(或记作 ⎰+=C x F x dF )()(由此可见 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号⎰表示）是互逆的 当记号⎰与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数) (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ(3)C x dx x+=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰(5)C aa dx a xx+=⎰ln (6)C x xdx +=⎰sin cos(7)C x xdx +-=⎰cos sin (8)C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122(9)C x xdx dx x +-==⎰⎰cot csc sin 122 (10)C x dx x+=+⎰arctan 112 (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112(12)C x xdx x +=⎰sec tan sec(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc例4 ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131例5 ⎰⎰=dxx dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372例6 ⎰⎰-=dxx xx dx 343Cx ++-=+-134134Cx +-=-313C x+-=33三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数 k ≠0)例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dxx dx x 21255⎰⎰-=dxx dx x 21255C x x +⋅-=232732572例8 dx xx x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3例10 C e C e e dx e dx e x x xxxx ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx x dx dx x dx x x 222211)111(C x x x ++-=a r c t a n 313例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan = tan x - x + C例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)s i n (21例15 C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.。
不定积分的概念与性质
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx
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s s(t )
设曲线过点 (1,2) ，且其任一点的切线斜率等于横 坐标的两倍，求该曲线方程。
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的基本性质 四、基本积分公式表
原函数与不定积分的概念
一、原函数的概念 定义1：设函数 f ( x)在区间I 上有定义，若区间 I 上存 在函数 F ( x) ，使得 F ( x) f ( x), x I 或者dF( x) f ( x)dx, x I , 则称 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数.
f ( x)dx—被积表达式
C
x
—积分变量
—积分常数
四、例题 例1 计算
5 x dx
例2设曲线过点 (1,2) ，且其上任。
五、小结 1.如果一个函数存在原函数，那么个数是无穷多个； 任意两个原函数之间相差一个常数. 2.不定积分表示被积函数的全体原函数，注意积分常 数不能省略。
二、不定积分的概念 定义2：设函数F ( x) 是f ( x) 在区间 I上的一个原函数， 则称 f ( x)的全体原函数为 f ( x)在区间 I 上的不定积分， 记作： f ( x)dx 即： f ( x)dx F ( x) C
其中C 为任意常数
f ( x) —被积函数
—积分符号
六、课后练习
第四章 不定积分
F ( x) (?) 微分学：
(?) f ( x) 积分学：
问互 题逆
微分学问题：已知变速直线运动方程 s s(t ) ， 求瞬时速度v(t ) .
2 (1,2) 的切线方程 y x 1，求过点 已知曲线方程
v(t ) 已知瞬时速度 ， 积分学问题： 求变速直线运动方程
问：函数是否都有原函数？
一、原函数的概念 原函数存在定理：设函数 f ( x)在区间 I 上连续，则 区间 I 上存在可导函数 F ( x) ，使得 F ( x) f ( x), x I
连续函数一定存在原函数。 问题： 1.原函数存在是否唯一？ 2.若不唯一，任意两个原函数之间是什么关系？
一、原函数的概念
有关原函数的说明： 1.如果F ( x)是 f ( x) 的原函数， 那么F ( x) C 也是 f ( x)的原函数.
若存在，则无穷多个 2. 3.
f ( x) 任意两个原函数之差为常数. F ( x)
是 f ( x) 的一个原函数，则 f ( x)全体原函数为F ( x) C