圆周运动的教学案例

圆周运动的教学案例

[学习目标定位]

1.知道向心力由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源。

2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例。

3.知道向心力、向心加速度公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度。

一、过山车问题

1.向心力：过山车到轨道顶部A时，如图1所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力mg跟轨道对车的弹力N的合力，即F向＝N＋mg。如图所示，过山车在最低点B，向心力F向＝N1－mg。

图1

2．临界速度：

当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小，v临界＝gR。

(1)v＝v临界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道。

(2)v

(3)v>v临界时，弹力和重力的合力提供向心力，车子不会掉下来。

二、转弯问题

1.自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力。

2.汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力。

3.火车转弯时外轨高于内轨，如图2所示，向心力由支持力和重力的合力提供。

图2

一、分析游乐场中的圆周运动

[问题设计]

游乐场中的过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车与人却掉不下来，这主要是因为过

山车的车轮镶嵌在轨道的槽内，人被安全带固定的原因吗？ 答案 不是． [要点提炼]

竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题 1．轻绳模型(如图3所示)

图3

(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)。

(2)在最高点的动力学方程T ＋mg ＝m v 2

R

。

(3)在最高点的临界条件T ＝0，此时mg ＝m v 2

R

，则v ＝gR 。

①v ＝gR 时，拉力或压力为零。 ②v >gR 时，小球受向下的拉力或压力。

③v

图4

(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力。 (2)在最高点的动力学方程

当v ＞gR 时，N ＋mg ＝m v 2

R ，杆对球有向下的拉力，且随v 增大而增大。

当v ＝gR 时，mg ＝m v

2R

，杆对球无作用力。

当v ＜gR 时，mg －N ＝m v 2

R ，杆对球有向上的支持力。

当v ＝0时，mg ＝N ，球恰好能到达最高点。 (3)杆类的临界速度为v 临＝0。 二、研究运动物体转弯时的向心力 [问题设计]

骑自行车转弯时，车与人会向弯道的内侧倾斜，你知道其中的原因吗？

答案 骑自行车转弯时，车和人需要向心力，车与人向弯道的内侧倾斜，就是为了使地面对人的作用力倾斜，这样它与重力的合力提供车与人做圆周运动的向心力。 [要点提炼]

1．自行车在转弯处，地面对自行车的作用力与重力的合力提供向心力．其表达式为mg tan_θ

＝m v 2R ，即tan θ＝v 2

gR

。自行车倾斜的角度与自行车的速度和转弯半径有关。

2．汽车在水平路面上转弯时，地面的静摩擦力提供向心力，其表达式为f ＝m v 2

R

。由于地面

的静摩擦力不能大于最大静摩擦力，因此汽车在转弯处的速度不能大于μgR 。 3．火车转弯

(1)向心力来源：在铁路的弯道处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G 和支持力N 的合力提供，即F ＝mg tan_α。

(2)规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道侧压力，则mg tan α＝mv

20R

，故v 0＝

gR tan α，其中R 为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v 0为弯道规定的速度。

①当v ＝v 0时，F 向＝F ，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态。

②当v >v 0时，F 向>F ，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分。

③当v

说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似。

一、竖直面内的“绳杆模型”的临界问题

例1 如图5所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g 的小球，试管的开口端与水平轴O 连接．试管底与O 相距5 cm ，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动．求：

图5

(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？

(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？(g 取10 m/s 2

) 解析 (1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大．

在最高点：F 1＋mg ＝mω2R 在最低点：F 2－mg ＝mω2R F 2＝3F 1

联立以上方程解得ω＝

2g

R

＝20 rad/s 。 (2)小球随试管转到最高点时，当mg ＞mω2R 时，小球会与试管底脱离，

即ω＜

g R

。 答案 见解析

例2 如图6所示，质量为m 的小球固定在长为l 的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O 在竖

直平面内做圆周运动．球转到最高点时，线速度的大小为 gl

2

，此时( )

图6

A ．杆受到1

2mg 的拉力

B ．杆受到1

2mg 的压力

C ．杆受到3

2mg 的拉力

D ．杆受到3

2

mg 的压力

解析 以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，

则N ＋mg ＝m v 2l ，将v ＝ gl 2代入上式得N ＝－1

2mg ，即小球在A 点受杆的弹力方向向上，

大小为12mg ，由牛顿第三定律知杆受到1

2mg 的压力．

答案 B

二、交通工具的转弯问题

例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )

图7

A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ

D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg

cos θ

解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2

R

，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力

作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg

cos θ，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C 正确，

A 、

B 、D 错误．

答案 C

1．(轻杆模型)如图8所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆长0。5 m ，小球质量为3 kg ，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a 的速度为v a ＝4 m/s ，通过轨道最高点b 的速度为v b ＝2 m/s ，取g ＝10 m/s 2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( )

图8

A ．在a 处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N

B ．在a 处为压力，方向竖直向上，大小为126 N

C ．在b 处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N

D ．在b 处为压力，方向竖直向下，大小为6 N 答案 AD

解析 小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力．在a 点设细杆对球的作用力为

F a ，则有F a －mg ＝m v 2a R ，所以F a ＝mg ＋m v 2a

R ＝(30＋3×420.5) N ＝126 N ，故小球对细杆的拉

力为126 N ，方向竖直向下，A 正确，B 错误．在b 点设细杆对球的作用力向上，大小为F b ，则有mg －F b ＝m v 2b R ，所以F b ＝mg －m v 2b R ＝30 N －3×22

0.5 N ＝6 N ，故小球对细杆为压力，方

向竖直向下，大小为6 N ，C 错误，D 正确．

2．(轻绳模型)如图9所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆轨道内侧做圆周运动．圆半径为R ，小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道．则其通过最高点时( )

图9

A ．小球对圆轨道的压力大小等于mg

B ．小球所需的向心力等于重力

C ．小球的线速度大小等于Rg

D ．小球的向心加速度大小等于g

答案 BCD

解析 由题意可知，小球在竖直平面内的光滑圆轨道的内侧做圆周运动．经过圆轨道最高点

时，刚好不脱离圆轨道的临界条件是，只由重力提供做圆周运动的向心力，即mg ＝m v 2

R ＝

ma 向，所以v ＝gR ，a 向＝g ，B 、C 、D 正确．

3．(交通工具的转弯问题)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )

A ．减为原来的12

B ．减为原来的1

4

C ．增为原来的2倍

D ．增为原来的4倍 答案 D

解析 汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m ，汽车与地面的最大静摩擦力为f ，汽车

的转弯半径为R ，则f ＝m v 2

R ，故R ∝v 2，故速率增大到原来的2倍时，转弯半径需增大到原

来的4倍，D 正确。

题组一 交通工具的转弯问题

1．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是( )

A ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

B ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

C ．当速度大于v 时，轮缘挤压外轨

D ．当速度小于v 时，轮缘挤压外轨 答案 AC

解析 火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A 正确，B 错误；当速度大于v 时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C 正确，D 错误．

2。如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙．

以下说法正确

的是( )

图1

A ．f 甲小于f 乙

B ．f 甲等于f 乙

C ．f 甲大于f 乙

D ．f 甲和f 乙的大小均与汽车速率无关

答案 A

解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f ＝F

向

＝m v 2

R

，由于R 甲＞R 乙，则f 甲＜f 乙，A 正确．

3。赛车在倾斜的轨道上转弯如图2所示，弯道的倾角为θ，半径为r ，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( )

图2

A 。gr sin θ

B 。gr cos θ

C 。gr tan θ

D 。gr cot θ 答案 C

解析 设赛车的质量为m ，赛车受力分析如图所示，可见：F 合＝mg tan θ，而F 合＝m v 2

r ，故

v ＝gr tan θ。

题组二 竖直面内的圆周运动问题

4．如图3所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )

图3

A ．0

B 。gR

C 。2gR

D 。3gR 答案 C

解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2

R

，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．

5。半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图4所示)，顶部有一小物体A ，今给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( )

图4

A ．沿球面下滑至M 点

B ．沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动

C ．沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动

D ．立即离开半圆球做平抛运动 答案 D

解析 当v 0＝gR 时，所需向心力F 向＝m v 20

R

＝mg ，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力

作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．

6。如图5所示，一个固定在竖直平面内的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( )

图5

A ．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下

B ．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上

C ．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上

D ．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力 答案 ACD

7。杂技演员表演“水流星”，在长为1。6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0。5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )

图6

A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B

解析 水流星在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流

出．故选B 。

8。如图7所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v ，下列说法正确的是( )

图7

A ．v 的极小值为gl

B ．v 由零逐渐增大，向心力也增大

C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大

D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 答案 BCD

解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v 的极小值是零，

A 错误；v 由零逐渐增大，由F ＝m v 2l 可知，F 向也增大，

B 正确；当v ＝gl 时，F 向＝m v 2

l

＝

mg ，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v 由gl 增大时，则m v 2

l

＝

mg ＋F ，故F ＝m v 2

l

－mg ，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v 由gl 减小时，杆对球的力

为支持力．此时，mg －F ′＝m v 2l ，F ′＝mg －m v 2

l ，支持力F ′逐渐增大，杆对球的拉力、

支持力都为弹力，所以C 、D 也正确，故选B 、C 、D 。

9．质量为0。2 kg 的小球固定在长为0。9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端O 点的水平轴在竖直平面内转动．(g ＝10 m/s 2)求：

(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？

(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s 和1。5 m/s 时，球对杆的作用力． 答案 (1)3 m/s (2)6 N ，方向竖直向上 1。5 N ，方向竖直向下

解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg ＝m v 2

R

，解得：v 0

＝3 m/s 。

(2)v 1＞v 0，由牛顿第二定律得：mg ＋F 1＝m v 2

1R ，由牛顿第三定律得：F 1′＝F 1，解得F 1′

＝6 N ，方向竖直向上．

v 2＜v 0，由牛顿第二定律得：mg －F 2＝m v 2

2R ，由牛顿第三定律得：F 2′＝F 2，解得：F 2′＝

1。5 N ，方向竖直向下． 题组三 综合应用

10．质量为25 kg 的小孩坐在质量为5 kg 的秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2。5 m ．如果秋千板摆动经过最低点的速度为3 m/s ，这时秋千板所受的压力是多大？每根绳子对秋千

板的拉力是多大？(g 取10 m/s 2) 答案 340 N 204 N

解析 把小孩作为研究对象对其进行受力分析知，小孩受重力G 和秋千板对他的的支持力N

两个力，故在最低点有：N －G ＝m v

2L

所以N ＝mg ＋m v

2L ＝250 N ＋90 N ＝340 N

由牛顿第三定律可知，秋千板所受压力大小为340 N 。

设每根绳子对秋千板的拉力为T ，将秋千板和小孩看作一个整体，则在最低点有：2T －(M

＋m )g ＝(M ＋m )v 2

L

解得T ＝204 N 。

11。如图8为电动打夯机的示意图，在电动机的转动轴O 上装一个偏心轮，偏心轮的质量为m ，其重心离轴心的距离为r 。除偏心轮外，整个装置其余部分的质量为M 。当电动机匀速转动时，打夯机的底座在地面上跳动而将地面打实夯紧，试分析并回答：

图8

(1)为了使底座能跳离地面，偏心轮的最小角速度ω是多少？

(2)如果偏心轮始终以这个角速度转动，底坐对地面压力的最大值为多少？

答案 (1) (M ＋m )g

mr (2)2Mg ＋2mg

解析 (1)M 刚好跳离地面时受力分析 如图甲所示：对m 有T 1＋mg ＝mω2r 对M 有：T 1－Mg ＝0

解得：ω＝(M ＋m )g

mr

(2)M 对地面的最大压力为N m 时的受力分析如图乙所示： 对m 有：T 2－mg ＝mω2r 对M 有：N m －Mg －T 2＝0 解得：N m ＝2Mg ＋2mg