【同步课件】高中数学(人教A版)选修2-2课件：1-4 生活中的优化问题举例
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人教版选修2-2课件：1.4生活中的优化问题举例
因此,当x 15时, f x取最小值f 15 2000.
答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.
作业：课本P37习题1.4 A组 6 B组 1
生活中的优化问题举例（3）
第三课时
问题3、磁盘的最大存储量问题
(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？
结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。
变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形
场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围
成的场地面积最大?
解 : 设靠墙的一面长x m,围成的场地面积为y m2,
此时矩形的宽为 40 x 0. 2
y x 40 x 1 x2 20x.(0 x 40)
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各 空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽， 从而列出海报四周的面 积来？
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 形，则这个矩形面积的最大值为多少？
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
S（x） x（ 6 x） 6x x（2 0 x 6) S(x) 6 2x（0 x 6) 令S(x) 0，解得x 3 当S(x) 0时,得0 x 3 S(x)在(0,3)上是单调递增的, S(x)在(3,6)是单调递减的 S(x)在x 3cm处取到最大值S(3) 9cm2 答 :当矩形是正方形时,它的面积最大为9cm2
高中数学人教A版选修2-2课件：1-4 生活中的优化问题举例
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设矩形广告的高和宽分别为 x cm,y cm,面积为 S cm2. 则每栏的高和宽分别为(x-20) cm, 由两栏面积之和为 2(x-20)· 得 y=
18 000 + 25. x-20 y-25 2 y-25 2
cm,其中 x>20,y>25.
= 18 000,
广告的面积 S=xy=x 所以 S'=
(x-20)
2
18 000 18 000x + 25 = + 25x. x-20 x-20 18 000[(x-20)-x] -360 000
+ 25 =
(x-20)
2
+ 25.
令 S'>0,得 x>140, 令 S'<0,得 20<x<140. 所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当 x=140时,S取得最小值. 当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 栏目 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小导引 .
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设容器底面一条边长为 x m,则另一条边长为(x+0.5) m,高为
14.8-4������-4(������+0.5) 4
= (3.2 − 2������) m.
3.2-2������ > 0, 解得0<x<1.6. ������ > 0, 设容器的容积为 y m3, 则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, 所以 y'=-6x2+4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx+1.6. 令 y'=0,则 15x2-11x-4=0, 由 解得 x1=1,x2=−
高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例
+x)
=51
840 ������
+120x2-312.
因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤120.
故
y
与
x
之间的函数关系式为
y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120).
(2)y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120),
则 y'=-51������8240+240x=2���4���20(x3-216).
案例探究
思悟升华
导数在解决实际问题中的应用
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预 计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式. (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
Lmax=L
6
+
2 3
������
=4
3-
1 3
������
3
,
Q(a)=
9(6-������),3
≤
������
<
9 2
,
4
3-
1 3
������
3
,
9 2
≤
������
≤
5.
综上,若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,
最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5,则当每件售价为
高中数学人教A版选修2-2第一章 1.4 生活中的优化问题举例课件
V′(r)＝S－26πr2， 令 V′(r)＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，因为 V′(r)只有一个极值 点，故当 h＝2r 时圆柱的容积量大．
又 r＝ 6Sπ，∴h＝2 6Sπ＝ 36ππS.
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为 36ππS.
答案：
6πS 3π
2．将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一 段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ 解：设弯成圆的一段长为 x(0＜x＜100)，另一段长为 100－x， 记正方形与圆的面积之和为 S，则 S＝π2xπ2＋1004－x2(0＜x ＜100)，则 S′＝2xπ－18(100－x)． 令 S′＝0，则 x＝1π0＋0π4.
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2
5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧 转化与化归思想在生活中优化
问题的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真 阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元． 若每件产 品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占 广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果 年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝ ＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时， 取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
人教A版高中数学选修2-2课件：第一章 1.4生活中的优化问题举例(共81张PPT)
人若软弱就是自己最大的敌人。 健康的身体是实目标的基石。 知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。——《论语》 成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神来自他们的博学。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 绝大多数人，在绝大多数时候，都只能靠自己。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 没有不会做的事，只有不想做的事。 炫耀是需要观众的，而炫耀恰恰让我们失去观众。 目标再远大，终离不开信念去支撑为，不利人乎即止。——《 墨子》 痛不痛只有自己知道，变没变只有自己才懂。不要问我过得好不好，死不了就还好。 贪婪是最真实的贫穷，满足是最真实的财富。
选修2-2课件1.4生活中应用问题举例
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .
当r 2时, f ' r 0.
解 由于瓶子的半径为r, 所以每瓶饮料的利润是 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 ' 2 0 r 6. 令f r 0.8π r 2r 0.
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题,然后利用 图象中的数据信息, 解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1函数 g f v 最小值的意义是什么 它是 , ? 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
W W/t 解 因为G . 15 S S/t g g 10 斜率 v L / km 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值.从图象上看, 表示 vkm / h v 30 50 60 90 120 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出, 表示经过原点与曲线上点 v v, g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
gL / h
那么 我们如何根据这个图象 , 中的数据信息解决汽 , 油使用效率最高的问题 ? 呢
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与
o
15
gL / h
问题.因此, 我们首先需要 10
5
vk, R R 它的存储区是半径介于 与R 的 r 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大? 图1.4 3 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .
当r 2时, f ' r 0.
解 由于瓶子的半径为r, 所以每瓶饮料的利润是 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 ' 2 0 r 6. 令f r 0.8π r 2r 0.
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题,然后利用 图象中的数据信息, 解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1函数 g f v 最小值的意义是什么 它是 , ? 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
W W/t 解 因为G . 15 S S/t g g 10 斜率 v L / km 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值.从图象上看, 表示 vkm / h v 30 50 60 90 120 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出, 表示经过原点与曲线上点 v v, g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
gL / h
那么 我们如何根据这个图象 , 中的数据信息解决汽 , 油使用效率最高的问题 ? 呢
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与
o
15
gL / h
问题.因此, 我们首先需要 10
5
vk, R R 它的存储区是半径介于 与R 的 r 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大? 图1.4 3 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
【精品课件】高中数学(人教A版)选修2-2第一章 1.4 生活中的优化问题举例
答案：5
人教A版数学 · 选修2－2
探究一 [典例 1]
长度、面积、容积的最值问题
请你设计一个包装盒， 如图所示， 四边形 ABCD
是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形， 再沿虚线折起， 使得 A， B， C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x cm.
人教A版数学 · 选修2－2
1.4
生活中的优化问题举例
人教A版数学 · 选修2－2
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化 问题. 3.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化 归转化的思想意识.
重点：利用导数 解决实际问题. 难点：函数模型 的构建.
人教A版数学 · 选修2－2
当 x∈(0,20)时，V′>0； 当 x∈(20,30)时，V′<0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． h 1 1 此时a ＝ ，即包装盒的高与底面边长的比值为 . 2 2
人教A版数学 · 选修2－2
解决面积、容积的最值问题的思路： 1．解决长度、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示 为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方 程，以利于解决问题．
答案：C
人教A版数学 · 选修2－2
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为( 3 A. cm 3 16 C. 3 3 cm 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3
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思考题 2
(2010· 山东卷)已知某生产厂家的年利润 y(单位：
1 3 万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－3x ＋81x－ 234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 B．11 万件 D．7 万件 )
【解析】 因为 y′＝－x2＋81，所以当 x>9 时，y′<0；当 1 3 x∈(0,9)时，y′>0，所以函数 y＝－3x ＋81x－234 在(9，＋∞) 上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以 x＝9 是函数的极大值点， 又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在 x＝9 处取得最大值．
【解析】
(1)设平均成本为 y 元，则
1 25 000＋200x＋40x2 25 000 x y＝ ＝ x ＋200＋40. x －25 000 1 25 000 x y′＝( ＋200＋ )′＝ ＋ . x 40 x2 40 令 y′＝0，得 x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)． 当在 x＝1 000 附近左侧时，y′＜0；
【思路分析】
适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其 他方法求出函数的最小值．可确定点 C 的位置．
【解析】
方法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某
一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km，则 ∵BD＝40，AC＝50－x， ∴BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402. 又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0＜x＜50)． 5ax ∴y′＝－3a＋ .令 y′＝0，解得 x＝30. x2＋402
该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为 零的点，问题中总造价的最小值显然存在． V 1 当 r＝(4π)3时，y 有最小值，即总造价最小．
(2)某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场，一边可 以用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽 各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？ 【思路分析】 解题时可利用几何特征，合理设元，同时要 注意变量的范围．
思考题 1 (1)设有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁 桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使总造 价最小 ?
【解析】 设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁 的造价为 m，桶总造价为 y，则 y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)． V 由于 V＝πr2h，得 h＝πr2. 2mV 所以 y＝4mπr2＋ r (r＞0)． 2mV 所以 y′＝8mπr－ r2 . V 1 V V 1 令 y′＝0，得 r＝(4π)3，此时 h＝πr2＝4(4π)3.
在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数 在 x＝30(km)处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20(km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最 省． 40 方法二：设∠BCD＝θ，则 BC＝sinθ， π CD＝40cotθ(0＜θ＜2)．∴AC＝50－40cotθ.
令 L′＝0，解得 x＝6 000. 当在 x＝6 000 附近左侧时， L′＞0； 在 x＝6 000 附近右侧时， L′＜0. 故当 x＝6 000 时，L 取得极大值．由于函数只有一个使 L′ ＝ 0 的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大 值．因此，要使利润最大，应生产 6 000 件产品．
设总的水管费用为 f(θ)，依题意，有 40 f(θ)＝3a(50－40cotθ)＋5a· sinθ 5－3cosθ ＝150a＋40a· . sinθ 5－3cosθ′sinθ－5－3cosθsinθ′ ∴f′(θ)＝40a· sin2θ 3－5cosθ ＝40a· sin2θ . 3 令 f′(θ)＝0，得 cosθ＝5.
在 x＝1 000 附近右侧时，y′＞0，故当 x＝1 000 时，y 取得 极小值， 由于函数只有一个点使 y′＝0， 且函数在该点有极小值， 那么函数在该点取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产 1 000 件产品． x2 (2)利润函数为 L＝500x－(25 000＋200x＋40) x2 ＝300x－25 000－40， x2 x L′＝(300x－25 000－ )′＝300－ . 40 20
第一章
导数及其应用
1．4 生活中的优化问题举例
题型一
成本最低用料最省
例 1 有甲、 乙两个工厂， 甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处， 乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到 河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km， 两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元与 5a 元．问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
3 根据问题的实际意义，当 cosθ＝ 时，函数取最小值，此时 5 4 3 sinθ＝ .∴cotθ＝ .∴AC＝50－40cotθ＝20(km)． 5 4 即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最 省．
探究 1
用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：
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①建立函数关系式 y＝f(x)；②求导 y′；③令 y′＝0，求出 相应的 x0；④指出 x＝x0 处是最值点的理由；⑤对题目所问作出 回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得 最值时变量的取值．
∴当 x＝16 时，Lmin＝L|x＝16＝64 m. 512 即当堆料场的宽为 16 m，长为 16 ＝32 m 时，可使砌墙所用 的材料最省．
题型二
例2
利润最大
1 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C＝25 000＋200x＋ 40
x2(元)，问： (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件 产品？
【解析】 要求材料最省就是要求新砌的墙壁的总长度最小， 512 设场地宽为 x m，则长为 x m，因此新墙总长度为 512 512 L＝2x＋ (x>0)，∴L′＝2－ 2 . x x 令 L′＝0，得 x＝－16，或 x＝16. ∵x＞0，∴x＝16. 在定义域内使 L′＝0 的 x 值只有 x＝16.