解析弹性力学问题的解题思路
掌握弹性系数与刚度问题的解题技巧
掌握弹性系数与刚度问题的解题技巧在物理学与工程学中，弹性系数与刚度是两个十分重要的概念。
弹性系数是衡量材料对形变的抵抗能力，也可称为材料的刚度。
掌握解题技巧可以帮助我们更好地理解和应用这些概念。
本文将介绍一些有关弹性系数与刚度问题的解题技巧，并结合具体的实例进行说明。
首先，对于材料的弹性系数，我们要理解其基本概念和单位。
常见的弹性系数有弹性模量、切变模量和体积弹性模量。
它们分别代表材料在受力后的形变与应力之间的关系。
弹性模量通常用大写字母E表示，切变模量用字母G表示，而体积弹性模量则用字母K表示。
它们的单位分别为帕斯卡（Pa）或牛顿/平方米（N/m²）。
在解题过程中，我们要注意单位的转换，并确保在计算中使用正确的单位。
其次，对于刚度的计算，我们需要掌握正确的公式和求解方法。
通常情况下，刚度可以用杨氏模量或切变模量来表示。
以杨氏模量为例，它是材料的弹性模量与线弹性区应力-应变曲线的斜率之比。
对于杆材料而言，杨氏模量可以通过杆的长度、横截面积和轴向应力来计算。
如果我们已知这些参数，我们可以通过简单的计算得到刚度的值。
在解题过程中，我们要注意杨氏模量的定义，并根据具体问题选择合适的公式进行计算。
例子一：假设有一根长为L、横截面积为A的钢杆，其弹性模量为E。
如果钢杆受到轴向拉伸力F，我们可以通过以下步骤计算钢杆的刚度：1. 根据受力情况，我们可以得知钢杆的轴向应力为σ = F/A。
2. 根据材料的弹性模量定义，我们可以得到弹性模量E = σ/ε，其中ε为钢杆的轴向应变。
3. 根据刚度的定义，我们可以得到刚度K = F/ε。
4. 由于力与位移之间的关系可以表示为 F = Kx，其中x为应变，我们可以得知位移 x = L，将其代入公式计算，即得到刚度的值。
通过这个例子，我们可以看到如何利用弹性系数与刚度的基本概念和公式，将问题转化为基本的物理计算，并求解出刚度的具体数值。
除了上述的计算方法，我们还可以通过实验来确定弹性系数与刚度。
弹性力学简单问题的求解
A
xx
dA 0
ydA M
A
xx
xx
M y Jz
A xy
dA 0
A
xx dA
A
M M ydA JZ JZ
M A ydA J Z S Z 0
s s s s
1、侧面（主边界须严格满足）边界：
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
P l zx m zy 0 ( ) 0 A
由于P的分布关系不知， 用等效力系代替： 柱体侧边满足力的边界条件
2、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 x s m yx n zx s f x s
xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
2 2 1 yz 0 zy 2 2 1 zx 0 xz 2 2 1 xy 0 yx
2 2 1 x 2 0, x 2 2 1 y 2 0, y 2 2 1 z 2 0, z
xy yz zx 0
1 p(1 2 ) x ( p 2 p ) y z E E
6）求位移分量： 代入几何方程并积分可求位移
p(1 2 ) p(1 2 ) u x f1 ( y , z ) x c3 y c 2 z 1 E E
弹性力学空间问题解答
将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式:
（7-14）
对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数 ，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。 拉甫位移函数的量纲比应力分量高三次
球坐标表示的基本方程（自学）
见教材P144~145
7-3 半空间体在边界上受法向集中力 设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。 x y z M(r，z) r z 选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。
在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件
03
在柱坐标系下的应力分量为
应变分量为
位移分量为
7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
01
平衡方程
02
（7-1）
柱坐标表示的基本方程
几何方程
（7-2）
（7-3）
或
（7-4）
物理方程
（7-5）
当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则称为空间轴对称问题。
在空间轴对称问题中，有： 应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与q无关。
空间问题求解的基本思路与平面问题相同，只是问题的维数从二维扩展到三维，求解更复杂。
（参考教材第6、7章）
202X年12月20日
7-1 空间问题的基本方程
平衡微分方程方程
几何方程
物理方程
各种弹性常数之间的关系
相容方程
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为 ，则
（7-7）
（7-6）
几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
高中物理弹性力问题详解
高中物理弹性力问题详解弹性力是高中物理中一个重要的概念，涉及到弹簧、弹力系数等内容。
在解决弹性力问题时，我们需要理解弹性力的定义、计算方法以及应用，以便能够熟练地解决各种相关题目。
一、弹性力的定义和计算方法弹性力是指物体在受到形变时产生的恢复力。
根据胡克定律，弹性力与形变之间成正比。
胡克定律的数学表达式为F = -kx，其中F表示弹性力，k表示弹簧的弹力系数，x表示形变量。
举个例子来说明弹性力的计算方法。
假设有一根弹簧，其弹力系数为k = 10N/m，当受到一个形变量为x = 0.2 m的力时，求弹簧的弹性力。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -10 × 0.2 = -2 N。
由于弹性力是恢复力，所以其方向与形变方向相反，即弹性力的方向为向上。
二、应用举例：弹簧振子弹簧振子是弹性力的一个常见应用。
假设有一个质量为m的物体，通过一根弹簧与一个支架相连。
当物体受到外力作用而发生形变时，弹簧会产生弹性力，使物体回复到平衡位置。
我们可以通过弹性力的计算来解决弹簧振子的问题。
例如，给定一个弹簧振子，弹簧的弹力系数为k = 20 N/m，物体的质量为m = 0.5 kg。
当物体受到外力作用形变量为x = 0.1 m时，求物体在振动过程中的频率。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -20 × 0.1 = -2 N。
根据牛顿第二定律F = ma，可得-2 = 0.5a，解得a = -4 m/s²。
由于振动是一个周期性的过程，所以可以利用振动的基本公式f = 1/T来计算频率。
而周期T可以通过T = 2π√(m/k)计算得出，代入m和k的值，可得T = 2π√(0.5/20) ≈ 0.628 s。
将周期代入振动的基本公式，可得f = 1/0.628 ≈ 1.59 Hz。
因此，物体在振动过程中的频率为1.59 Hz。
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
高中物理力学中弹簧和弹性体题的解题技巧
高中物理力学中弹簧和弹性体题的解题技巧高中物理力学中，弹簧和弹性体是一个重要的考点，涉及到弹性力、胡克定律等概念。
在解题过程中，我们需要掌握一些解题技巧，以便更好地应对这类题目。
首先，我们来看一个例题：一个质量为m的物体用一根劲度系数为k的弹簧悬挂在天花板上，求在物体静止时，弹簧的伸长量。
解题思路：1. 弹簧的伸长量可以通过胡克定律来求解。
根据胡克定律，弹簧的伸长量与外力成正比，与劲度系数成反比。
所以我们可以得到公式：F = kx，其中F为外力，x为伸长量。
2. 在物体静止时，弹簧受到的重力和拉力之和为零。
所以我们可以得到方程：mg = kx。
3. 根据方程求解x，即可得到弹簧的伸长量。
这个例题展示了解决弹簧和弹性体题目的一般思路。
接下来，我们再来看一个例题，进一步探讨解题技巧。
例题：一个质量为m的物体用一根劲度系数为k的弹簧悬挂在天花板上，现在将物体向下拉出一个距离x，然后释放，求物体在通过平衡位置时的速度。
解题思路：1. 在通过平衡位置时，物体受到的合力为零。
根据牛顿第二定律，合力等于质量乘以加速度。
所以我们可以得到方程：mg - kx = ma，其中a为物体的加速度。
2. 根据胡克定律，弹簧的伸长量与物体的加速度成正比。
所以我们可以得到公式：x = a/k。
3. 将公式x = a/k代入方程mg - kx = ma，整理得到：a = gk/(m + k)。
4. 根据加速度求解速度v，即可得到物体在通过平衡位置时的速度。
通过这个例题，我们可以看到解题过程中的一些关键点。
首先，要注意建立合适的方程，根据物体所受的力和加速度之间的关系进行推导。
其次，要灵活运用胡克定律，将弹簧的伸长量与物体的加速度联系起来。
最后，要善于整理方程，将未知量整理到一边，已知量整理到另一边，以便求解。
除了以上的解题思路和技巧，我们还可以通过一些类似的题目进行练习，以便更好地掌握解题方法。
例如，可以考虑以下问题：一个质量为m的物体用一根劲度系数为k的弹簧悬挂在天花板上，现在将物体向上推出一个距离x，然后释放，求物体在通过平衡位置时的速度。
高中物理弹性力学题如何解答
高中物理弹性力学题如何解答弹性力学是高中物理中的一个重要知识点，涉及到弹簧、弹性体等物体的力学性质。
在解答弹性力学题目时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，详细说明高中物理弹性力学题如何解答，并给出一些解题的指导。
题目一：一根弹簧的弹性系数为k，将其悬挂在天花板上，并挂上一个质量为m的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动频率。
解答思路：根据弹簧的弹性力学特性，物体在弹簧上的振动属于简谐振动。
简谐振动的振动频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关。
根据公式f=1/2π√(k/m)，我们可以计算出振动频率。
题目二：一根长为L的均质弹性绳，两端固定在墙上，中间悬挂一个质量为m 的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动周期。
解答思路：同样地，根据弹性绳的弹性力学特性，物体在弹性绳上的振动也属于简谐振动。
简谐振动的周期与弹性绳的长度和物体的质量有关。
根据公式T=2π√(m/L)，我们可以计算出振动周期。
通过以上两个例题，我们可以看出解答弹性力学题的关键在于掌握弹性力学的基本公式和原理。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 确定题目中给出的已知量和未知量，理清思路，明确要求。
2. 根据题目中给出的物体和弹性体的性质，选择合适的公式进行计算。
3. 在计算过程中，注意单位的转换和计算的精度，保证结果的准确性。
4. 对于复杂的题目，可以将问题分解为多个简单的小问题，逐步解决，最后综合得出答案。
除了以上的解题技巧，我们还可以通过一些实际例子来加深对弹性力学的理解，并举一反三。
例如，我们可以通过观察弹簧的伸缩现象来理解弹性力学的基本原理，或者通过观察各种弹性体的应用，如弹簧秤、弹簧减震器等，来了解弹性力学在实际生活中的应用。
总之，解答高中物理弹性力学题需要掌握基本的解题技巧和方法，并通过具体的例题加深对弹性力学的理解。
第10次课第4章弹性力学解题方法问题-2
u v w 0
x y z
( G) ,i G2ui 0 (i 1, 2, 3)
2u
2u x2
2u y2
2u z 2
0
2v
2v x2
2v y2
2v z 2
0
y
v
u
o
x
s
2w
2w x2
2w y2
2w z 2
2
0
2 0 在 内
边界条件:
Ti
G ui N
Gu j,i Lj
Li
Tx G(u,xl1 u,yl2 u,zl3 ) G(u,xl1 v,xl2 w,xl3 )
适用于线性弹性体； 边界条件的确定要合理； 只要满足基本方程与边界条件，解是唯一的； 弹性力学试凑法的基础。
4.7 圣维南原理
在弹性体内，距外载荷作用较远处的各 点应力分布，当外载荷的合力与合力矩相同 时，与外载荷的具体作用方式关系很小。
这一原理也称为局部影响原理。
4.7 圣维南原理 更具体的描述：
所以有 x c1 y c2 z c3
式中 c1 c2 c3 由边界条件确定。
o
xNz o
h
M
h
bb
y
l
y
边界条件：x=l 时Tx xl yxm zxn xl x
放松边界条件：x=l 时 Fx xdA 0
A
x c1 y c2 z c3 代入上式
bh
Fx (c1y c2z c3)dydz 0
代入应力表示的协调方程中
(1 )2 x ,xx 0 (1 )2 y ,yy 0 (1 )2 z ,zz 0
(1 )2 xy ,xy 0 (1 )2 yz ,yz 0 (1 )2 zx ,zx 0
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
弹性力学第五章：弹性力学解法
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
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解析弹性力学问题的解题思路
弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力
分布规律。
解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立
解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和
物理性质都合适的理想模型。
常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。
建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算
在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。
应力是指单位面积上的力，常
用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。
计算应
力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加
解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。
边界条件是指在模型的
边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。
根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析
在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到
物体内部的应力分布和形变情况。
应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。
通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证
解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。
解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。
通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。
解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。
只有在掌握了相关的知识和方法之后，才能够解析地分析和解决弹性力学问题。
总而言之，解析弹性力学问题要有系统的解题思路，包括力学模型的建立、应力和应变的计算、边界条件和力的施加、应力分布和形变分析，以及解析解的求解和验证。
通过不断地练习和实践，我们可以更加熟练地解决弹性力学问题，提高自己的解题能力。