2024年九年级中考数学复习讲义++解直角三角形的应用(锐角三角函数应用)
2024年九年级中考数学一轮复习课件 第4章 第5节 解直角三角形
∴DE＝EC－DC＝22.22－10 3≈4.9(米)，∴广告牌 ED 的高度约为 4.9
米．
角的度数 三角函数值
sin α
cos α
tan α
30°
1 ④__2___
3 ⑦__2___
3 ⑩__3___
45°
60°
2 ⑤___2__
2 ⑧___2__
3 ⑥___2__
1 ⑨__2___
⑪___1_ ⑫___3__
三条边关系：⑬___c_2＝__a_2_＋__b_2__（勾股定理）
三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°
解：在 Rt△ADC 中，∵∠DAC＝30°，AC＝30 米，∴CD＝AC·tan 30°
＝ 30×
3 3
＝
10
3 ( 米 ).∵AB ＝ 10
米 ， ∴BC ＝ AC － AB ＝ 20( 米 ). 在
Rt△BCE 中，∵∠EBC＝48°，∴EC＝BC·tan 48°≈20×1.111＝22.22(米)，
A．
5 5
(C )
B．
10 5
C．2 5 5
D．45
3．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与
AC的夹角为α，则高BC是
( A)
A．12sin α米
B．12cos α米
C．si1n2α米 D．co1s2α米
4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值 12 为__1_3__． 5．计算：|－3|－2tan 45°＋(－1)2 022－( 3－π)0. 解：原式＝3－2×1＋1－1＝3－2＋1－1＝1.
(2)过点 B 作 BF⊥l，垂足为 F，则 CE＝AE＝BF＝(30 3＋30)米，
2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第四章三角形第5节锐角三角函数与解直角三角形
第5节 锐角三角函数与解直角三角形考情分析导航命题点 年份 题型、题序 考查内容分值 考查热度锐角三角函数与解直角三角形 2023 解答题 第22题 解直角三角形的应用 12分★★★★★ 2022解答题 第22题 解直角三角形的应用 10分 2021解答题 第21题解直角三角形的应用 10分知识清单必备 知识点知识点解读锐角三角函 数的定义如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,斜边为c ,直角边分别是a ,b ,分别是∠A 的对边和邻边,则:sin A= ac ,cos A = bc ,tan A = ab .特殊角的三 角函数值α30° 45° 60° sin α 12√22 √32 cos α√32 √2212tan α √331 √3 锐角三角函 数值的变化(1)当α为锐角时,各三角函数值均为正数,且0<sin α<1,0<cos α<1. (2)当0°<α<90°时,sin α,tan α随角度的增大而 增大 ;cos α随角度的增大而 减小 .直角三角形 的边角关系在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别是Rt △ABC 中∠A ,∠B ,∠C 的对边.(1)三边之间的关系: a 2+b 2=c 2 ;(2)两锐角之间的关系:∠A +∠B = 90° ;(3)边、角关系:sin A =cos B =ac , cos A =sin B =bc ,tan A =ab .坡度坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡度(也叫坡比),用i 表示,坡度越大,坡面越陡;坡面与水平面的夹角用α表示,i = tan α=hl .仰角与俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角.知识点知识点解读方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.注:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.高频考点研析 考点一锐角三角函数 【例1】(2022·荆州)如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上,点C 在OB 上,OC ∶BC =1∶2,连接AC ,过点O 作OP ∥AB 交AC 的延长线于点P.若P (1,1),则tan ∠OAP 的值是 (C) A.√33B.√22C.13D.3【考法揭秘】本题主要考查坐标与图形的性质,相似三角形的判定与性质,平行线的性质,两点间的距离等知识的综合运用,作适当的辅助线是解题的关键. 【变式】1.(2021·宜昌)如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则cos ∠ABC 的值为(B)A.√23B.√22C.43D.2√232.(2022·扬州)在△ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,若b 2=ac ,则sin A 的值为√5-12.【例2】(2023·北京)计算:4sin 60°+(13)-1+|-2|-√12. 【解析】原式=4×√32+3+2-2√3 =2√3+3+2-2√3=5.【考法揭秘】本题考查的是实数的运算,熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键. 【变式】在△ABC 中,若|sinA -√22|+(√32-cosB)2=0,∠A ,∠B 都是锐角,则∠C = 105° .考点二解直角三角形【例3】(2023·北京)如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,AD 上,BE =DF ,AC =EF. (1)求证:四边形AECF 是矩形;(2)若AE =BE ,AB =2,tan ∠ACB =12,求BC 的长.【分析】(1)先证四边形AECF 是平行四边形,再由矩形的判定即可得出结论;(2)由矩形的性质得∠AEC =∠AEB =90°,再证△ABE 是等腰直角三角形,得AE =BE =√2,然后由锐角三角函数定义得EC =2AE =2√2,即可解决问题. 【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC ,AD ∥BC ,∵BE =DF , ∴AD -DF =BC -BE ,即AF =EC , ∴四边形AECF 是平行四边形, ∵AC =EF ,∴平行四边形AECF 是矩形; (2)∵四边形AECF 是矩形, ∴∠AEC =∠AEB =90°, ∵AE =BE ,AB =2,∴△ABE 是等腰直角三角形, ∴AE =BE =√22AB =√2,∵tan ∠ACB =AE EC =12,∴EC =2AE =2√2, ∴BC =BE +EC =√2+2√2=3√2, 即BC 的长为3√2.【考法揭秘】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键. 【变式】 1.(2022·宜宾)如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =5,BC =3,将△BCD 沿BD 折叠到△BED 位置,DE 交AB 于点F ,则cos ∠ADF 的值为 (C) A.817B.715C.1517D.8152.(2022·长春)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB <BC.点D 是AC 的中点,过点D 作DE ⊥AC 交BC 于点E.延长ED 至点F ,使得DF =DE ,连接AE ,AF ,CF.(1)求证:四边形AECF 是菱形;(2)若BE EC =14,则tan ∠BCF 的值为 .【解析】(1)∵点D 是AC 的中点, ∴AD =CD , ∵DF =DE ,∴四边形AECF 是平行四边形, 又∵DE ⊥AC ,∴平行四边形AECF 是菱形; (2)∵BE EC =14, ∴CE =4BE , 设BE =a ,则CE =4a ,由(1)可知,四边形AECF 是菱形, ∴AE =CE =4a ,AE ∥CF , ∴∠BEA =∠BCF , ∵∠ABC =90°,∴AB =√AE 2-BE 2=√(4a )2-a 2=√15a , ∴tan ∠BCF =tan ∠BEA =AB BE =√15aa=√15.答案:√15考点三解直角三角形的应用 【例4】(2021·贵阳)随着科学技术的不断进步,无人机被广泛应用到实际生活中,小星利用无人机来测量广场B,C两点之间的距离.如图所示,小星站在广场的B处遥控无人机,无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6 m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63°,他抬头仰视无人机时,仰角为α,若小星的身高BE=1.6 m,EA=50 m(点A,E,B,C在同一平面内).(1)求仰角α的正弦值;(2)求B,C两点之间的距离(结果精确到1 m).(sin 63°≈0.89,cos 63°≈0.45,tan 63°≈1.96,sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)【分析】(1)过A点作AD⊥BC于点D,过E点作EF⊥AD于点F,利用四边形BDFE为矩形得到EF=BD,DF=BE=1.6 m,则AF=40 m,然后根据正弦的定义求解;(2)先利用勾股定理计算出EF=30 m,再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD,然后计算BD+CD即可.【解析】见全解全析【考法揭秘】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题:根据题意画出几何图形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.【例5】(2023·威海)如图,某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照,计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷.已知苗圃的(南北)宽AB=6.5米,该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE=76.5°,最小夹角是∠DBE=29.5°.求遮阳篷的宽CD和到地面的距离CB.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin 29.5°≈0.49,cos 29.5°≈0.87,tan 29.5°≈0.57,sin 76.5°≈0.97,cos 76.5°≈0.23,tan 76.5°≈4.17)【解析】如图,过点D作DM⊥BE于点M,设DM=x米,则BC=x米,在Rt△ADM中,∵tan 76.5°=DMAM ,∴AM=DMtan76.5°,同理BM =DMtan29.5°,∵BM -AM =AB =6.5米, ∴DMtan29.5°-DMtan76.5°=6.5,解得DM ≈4.3(米),即遮阳篷的高度约为4.3米, ∵tan 76.5°=DMAM ,DM =4.3米, ∴AM =DM tan76.5°≈1(米),∴CD =BM =AB +AM ≈6.5+1=7.5(米), 即遮阳篷的宽CD 约为7.5米.【考法揭秘】本题考查解直角三角形的应用,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.。
2024年中考数学总复习课件：第四章三角形21+锐角三角函数及其应用
（1） 求索道的长结果精确到；
（2） 求水平距离的长结果精确到．参考数据：，，，
（1） 求索道的长结果精确到；
1.直角三角形中边、角、面积间的关系
图示
三边关系
勾股定理：
三角关系
边角关系
;;;
面积关系
为斜边上的高
温馨提示：解直角三角形要巧选三角函数，即有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中.（已知条件中有斜边选择正弦或余弦，没有斜边用正切，尽量用乘法和原始数据计算，尽量避免选用中间数据） 2.解直角三角形的应用的有关概念
（1） 求的长；
解：，，.，，. ，.．
（2） 求的正切值．
[答案] 如图，过点作于点，
. 点是的中点，是的中位线.，.由（1）知，，..．
8.[2023·江西样卷] 图1所示是某种落地式台灯，图2是其示意图.已知垂直于地面，可绕着点旋转，可绕着点旋转，且，，始终在同一平面内，，分别为光源的最大光线图，测得 ， ，，，．
利用无刻度的直尺画图：在下面的三个图中，以为边，在正方形网格内作 ，点为格点（每个小正方形的顶点），使 的值分别为： ，和．
解：如图所示.
类型二 锐角三角函数的应用
例2 [2023·南昌模拟] 图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是该挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，是主臂，是伸展臂）．已知基座的高度为，
温馨提示：在解直角三角形的实际应用中，计算结果要求精确到哪一位，就将结果四舍五入到哪一位，如5.54保留整数是6，精确到0.1是5.5． 4.测量物体高度的方法 （1）利用直角三角形的边角关系； （2）利用影长与物高成比例； （3）利用测倾器解斜三角形.
2024年九年级中考数学复习讲义+第八单元锐角三角函数、圆与作图
第八单元锐角三角函数、圆与作图第 35 课时锐角三角函数【考点 1】锐角三角函数如图, 在Rt△ABC 中, ∠C =90°,∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c.正弦sinA=(____________)=(_)余弦cosA=⁽⁾/₍₎=⁽⁾/₍₎正切tan A=(___________-{(______)它们统称为∠A 的锐角三角函数.在一个直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，∠A 的锐角三角函数值也是固定的.1. 在Rt△ABC 中, ∠C=90°, BC : AC=1 : 2,求∠A 的三个三角函数值.2. [变式][2021 巴中中考]如图,点A, B, C 在边长为 1的正方形网格格点上，下列结论错误的是( )A.sinB=13B.sinC=2√55C.tanB=12D.sin²B+sin²C=13. [变式]如图, 在△ABC中, ∠C=90 , 设∠A,∠B, ∠C 所对的边分别为a, b, c, 则下列说法正确的是( )A. c=bsin BB. v=csin BC a=btan BD. b=ctan B4. [变式]如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB =90°,CD⊥AB 于点D, 下列用线段比表示 tanA 的值, 错误的是( )A.BϵAC B.CDBDC.BDCD D.CDAD5. [变式]在Rt△ABC 中, ∠c= 30°, 右BCAB =35,则下列式子一定成立的是( )A.cosA=35B.sinB=35C.tanA=43D.tanB=43点悟求一个角的锐角三角函数时，要在直角三角形中，确定对边、邻边、斜边的位置.30°45°60°sinαcosαtanα16. 求下列各式的值：(1)6tan230∘−√3sin60∘−2cos45∘(2)(cos²30°+sin²30°)×tan60°697. [变式]已知锐角 A 满足2sin(A−15∘)=√2,则∠A= .,则 cos B= .8. [变式]在Rt△ABC 中, ∠C=90∘,tanA=√33点悟可结合锐角三角函数的变化规律. 记住特殊角的三角函数值.【考点3】解直角三角形9. Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=15, ∠A=30°,解这个直角三角形.10. [变式][2021 上海中考]如图, △ABD 中,AC⊥BD, BC=8, CD=4, cos∠ABC= 4,BF 为边A5D 上的中线.(1)求 AC 的长;(2)求tan∠FBD 的值.,∠ABC的平分线 BD 交 AC 于点 D, CD=√3,求A B的11. [变式]如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, tan A=√33长.。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—锐角三角形及其应用
【详解】解：∵ tan − 3 + 2cos − 3 ＝0，
∴ tan − 3 = 0， 2cos − 3
2
= 0，
∴ tan = 3，2cos − 3 = 0，
∴ ∠ = 60°，cos =
3
，∠
2
= 30°，
在△ 中，∠ = 180° − 60° − 30° = 90°，且∠ ≠ ∠，
−2
．
考点一 锐角三角函数
题型09 求特殊角的三角函数值
3
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数 2，x0（x≠0），cos30°， 8中，有理数的个数是（
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1 − tan60°|的值为（
A．1 − 3
B．0
C． 3 − 1
3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ 3 ，
3
故答案为： 3 ．
．
考点一 锐角三角函数
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ 中，∠ = 90°，若 = 100, sin = 5，则的长是
（
）
500
3
A．
503
5
B．
C．60
D．80
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
∠A的邻边
斜边
cos A =
b
c
正切
tanA =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
a
b
3. 锐角三角函数的关系：
2025年中考数学总复习第一部分考点梳理第24课时锐角三角函数与解直角三角形的应用
斜边
∠A的对边 a
∠A的正切：tan A＝
＝ .
∠A的邻边 b
（一）
（二）
2. 特殊角的三角函数值：
α
sin α
cos α
tan α
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
（一）
（二）
1. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin
4
3
4
A＝____，cos
A＝____，tan
3 [2024泉州一模4分]
4
考点1
考点2
考点3
考点3 解直角三角形的应用[8年4考]
例6：如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB
＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为__________(参考数
11.22 cm
据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)
C.
D.
AC
BC
考点1
考点2
考点3
例2：如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格
5
点. 若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是____.
5
考点1
考点2
考点3
例3：已知α是锐角，tan(15°＋α)＝1，则α＝____°.
[2024厦
30
门思明区槟榔中学模拟改编]
例4：
解：原式＝
考点2
解直角三角形[8年6考]
例5：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，点D在AC上，∠DBC＝
2024年九年级中考数学二轮复习专题课件：专题8+解直角三角形
2 2
＝20
2 (米)，
CD＝BC·sin 45°＝40×
2 2
＝20
2 (米)，
在 Rt△ADC 中，∠A＝30°，
∴AD＝ 3 CD＝20 6 (米)，
∴AB＝AD＋BD＝20 6 ＋20 2 ≈77(米)，
∴线段 AB 的长约为 77 米；
若选择的条件是：AC＝56.4 米，
如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D， 在 Rt△ADC 中，∠A＝30°， AC＝56.4 米， ∴CD＝12 AC＝28.2(米)， ∴AD＝ 3 CD＝28.2 3 (米)， 在 Rt△BCD 中，∠B＝45°， ∴BD＝tanC4D5° ＝28.2(米)， ∴AB＝AD＋BD＝28.2 3 ＋28.2≈77(米)， ∴线段 AB 的长约为 77 米．
测量 数据
角的度数 边的长度
∠A＝30° ∠B＝45° ∠C＝105° BC＝40.0 米 AC＝56.4 米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部 数据就可以计算出 A、B 之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内 容．
已知：如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，____________.(从记录 表中再选一个条件填入横线)
解：连接 AB，取 AB 的中点 D，连接 CD，如图，
∵AC＝BC，点 D 为 AB 的中点， ∴中线 CD 为等腰三角形的角平分线(三线合一)，AD＝BD＝12 AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝12 ∠ACB＝50°，
在 Rt△ACD 中，sin ∠ACD＝AADC ， ∴sin 50°＝A1D0 ， ∴AD＝10×sin 50°≈7.66(m)， ∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3(m)， 答：A、B 两点间的距离大约是 15.3 m．
28.2.1 解直角三角形 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝
第七节锐角三角函数与解直角三角形的实际应用 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习(广西)
AB的长为12 m，AB与 AC的夹角为α，则高BC是( A )
A．12sin α m
12
C.
m
sin α
B．12cos α m
12
D.
m
cos α
2025版
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学
广西专版
5．(2024•贵港第10题3分)如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，
值；②已知某个角的三角函数值求线段长.2.解直角三角形的实际应用以
解答题为主，设题背景有：仰角、俯角、方向角、坡比(坡角)及夹角．设
问角度有：①求某物的高度；②求两点之间的距离．
2025版
数学
广西专版
命题点1：锐角三角函数与解直角三角形(近 6年考查4次)
1．(2024•贵港第11题3分)如图，在4×4的网格正方形中，每个小正方形的
宽CD为 (30－10 )
m.(结果保留根号)
2025版
数学
广西专版
8．(2023•北部湾经济区Ⅰ卷第23题8分)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏
东30°方向，距离小岛40 n mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向
航行．
2025版
数学
广西专版
(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?
2025版
第七节
数学
广西专版
锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
2024年中考数学总复习考点梳理第四章第六节锐角三角函数及其实际应用
/
/
)
间接
sin45°，cos30°
解答题(三
求值 2020 25(3)
4 30°，45° ，cos45°，
/
/
)
tan30°
解答题(三
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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命题点2 锐角三角函数的实际应用(6年2考) 课标要求 1.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题； 2.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2022年版课 标将“能用”改为“运用”)
题情境 海等，该考法试题详见练习册.
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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教材改编题课前测
1. [北师九下P25习题改编]如图为东西
流向且河岸平行的一段河道，A，B分别
为两岸上一点，且点B在点A的正北方向，
由点A向正东方向走a米到达点C，此时测
第1题图
得点B在点C的北偏西55°方向上，则河道AB的宽为( D )
背靠背 、俯
实验楼
角
30°， 45°
结果保 留根号
教学楼 的高度
人教九下 P75例4( 改变角度
背景)
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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命题趋势·新考法分析 新考法— 《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和《课程标准(2022年版)》中均指出： —真实问 情境创设的真实性．近两年真实问题情境全国新增考查较多，如河南、陕西、武汉、威
第六节 锐角三角函数及其实际应用
考点 4 锐角三角函数的实际应用(6年2考)
在视线与水平线所成的锐角中，视线 仰角、
在水平线上方的角叫仰角，视线在水 俯角
平线下方的角叫俯角，如图
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解直角三角形的应用（锐角三角函数应用）
经典例题
例1.（2021吉林长春东北师大附中月考）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，α=26°，求AB的长.(参考数据:sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)
例2.（2020江苏盐城中考）如图在△ABC中，∠C=90°，tanA=√3
，∠ABC的平分线BD交
3
AC于点D，CD=√3，求AB 的长.
例3.（2020辽宁鞍山中考）如图○1所示是某种路灯的实物图片，图○2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AC=40cm，求支架BC的长.（结果精确到1cm，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449，）
例4.（2020广西北部湾经济区）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40 n mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20√6n mile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短行程是多少（结果保留根号）？
例5.某中学在教学楼前新建了一座雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB
3＝1.73)．
的高度．(结果精确到0.1
【例5练习】
1．观光塔是某市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是＿＿＿＿m．
2．为了缓解某市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．
例6. 某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为
1:3
i=（i＝1:
3是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．
(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；
(2)求DE的长；
(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到.0.01 m)．
【例6练习】
1．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )．
A．5cosα米B．米C．米D．米
2.如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC的坡度为1：1，为了方便行
人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m的人行道，问离原坡脚A处7m的建筑物M是否需要拆除，请说明理由．（≈1.73）
中考真题
1.（2022吉林长春）下图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD 垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是
A.sinα=AB
BC B. sinα=BC
AB
C. sinα=AB
AC
D. sinα=AC
AB
5
cosα5sinα
5
sinα
2．（2021吉林长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）
A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米3．（2020吉林长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）
A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝。