数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式的求法详解

n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2） ,17

164,1093,542,

2

11（3） ,5

2,21,32

,

1（4） ,5

4,43,32,

21-- 答案：（1）

1

10-=n

n

a （2）

;

1

22

++=n n n a n （3）

;1

2

+=

n a n

（4）

1

)1(1+⋅

-=+n n

a n n .

公式法1：特殊数列

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，

b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1

例3. 等差数列{}n

a 是递减数列，且4

32

a a a

⋅⋅=48，4

32

a a a

++=12，

则数列的通项公式是（ ）

(A) 12

2-=n a

n

(B) 4

2+=n a

n

(C) 12

2+-=n a

n

(D)

10

2+-=n a n 答案：(D)

例4. 已知等比数列{}n

a 的首项1

1

=a ，公比10<

b 的

通项为2

1+++=n n n

a a b

，求数列{}n

b 的通项公式.

简析：由题意，3

21

++++=n n n a a b

，又{}n

a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n

b 是等比数列，易得)

1()1(1+=⋅+=-q q q q q b

n n n

.

点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知n

s 利用公式 ⎩⎨

⎧≥-==-2

,1,11n S S n s a

n n n

.

例5：已知下列两数列}{n

a 的前n 项和s n 的公式，求}{n

a 的通

项公式.（1）1

3-+=n n S

n

. （2）1

2-=n s

n

答案：（1）n

a =32

32

+-n n

，（2）⎩⎨

⎧≥-==)

2(12)1(0

n n n a

n

点评：先分n=1和

2

≥n 两种情况，然后验证能否统一.

【型如)(1

n f a a n

n +=+的地退关系递推关系】 简析：已知a a =1,)(1n f a a n

n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、

二次函数、指数函数、分式函数，求通项n

a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)

(52N n n a n

∈+=

例 6. 若在数列{}n

a 中，3

1

=a

，n

n n a a

21

+=+，求通项n

a .

答案：n

a =1

2

+n

例7.已知数列}{n

a 满足3

1

=a

，)

2()

1(1

1≥-+

=-n n n a a

n n

，求此数列的通

项公式. 答案：n

a

n

12-

=

【 形如1

+n a =f (n)·n a 型】

（1）当f(n)为常数，即：q

a

a n

n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n

a =1

1

-⋅n q a

.

（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

例8：在数列｛n a ｝中，1

a =1, (n+1)·1

+n a =n ·n a ，求n a 的

表达式. 例9： 已知数列{}n

a 中，3

11=a ，前n 项和n S 与n

a 的关系是 n

n a n n S )12(-= ，试求通项公式n

a . .

答案：.)

12(12(1

-+=n n a n 思考题1：已知1

,111

->-+=+a n na a

n n ,

求数列{a n }的通项公式.

分析：原式化为 ),1(11

+=++n

n a n a 若令1

+=n n

a b

,则问题进一

步转化为n

n nb b =+1

形式，累积得解.

构造1：【形如0

(,1

≠+=+c d ca a

n n ,其中a

a

=1

)型】 （1）若c=1时，

数列{n

a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n

a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n

a }为线性递推

数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.