矩阵性质
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
矩阵的基本性质和运算法则
矩阵的基本性质和运算法则矩阵是线性代数中的一个重要概念，是一个由数数组成的矩形阵列。
矩阵不仅有丰富的应用，比如在物理、经济、统计等领域中，还有着自身的基本性质和运算法则。
下面我们来谈谈矩阵的基本性质和运算法则。
一、矩阵的基本性质1.维数和元素矩阵的维数是指矩阵有多少行和多少列。
用矩阵的行数和列数来表示，如m×n的矩阵表示有m行，n列。
矩阵中的元素就是矩阵中的每一个数。
2.矩阵的转置矩阵的转置就是将矩阵的行和列交换，所得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如下所示：3 2 1 3 5A = 5 4 6 A^T = 2 47 8 9 1 6矩阵的转置可以表示为Aij = Aji, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n。
3.矩阵的行列式矩阵的行列式是矩阵的一个标量值，它是由矩阵的元素按照某一特定的规律计算得到的。
矩阵的行列式常用来描述矩阵线性方程组的解的情况。
如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵是一个奇异矩阵。
二、矩阵的运算法则1.矩阵的加法矩阵的加法必须满足两个矩阵的维数相同，即都是m×n的矩阵才能进行加法运算。
对于矩阵A和矩阵B，它们的和可以表示为C=A+B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相加得到矩阵C。
如下所示：1 2 4 5 5 7C = 3 4 +D = 1 3 =E = 4 76 7 5 4 11 112.矩阵的减法矩阵的减法也必须满足两个矩阵的维数相同。
对于矩阵A和矩阵B，它们的差可以表示为C=A-B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相减得到矩阵C。
如下所示：1 2 4 5 -3 -3C = 3 4 -D = 1 3 =E = 2 16 7 5 4 1 33.矩阵的数乘矩阵的数乘指的是一个矩阵的每一个元素与一个数相乘所得到的新矩阵。
如下所示：1 2 2 42A = 3 4 -3B= -6 -126 7 -9 -154.矩阵的乘法矩阵的乘法是指由两个矩阵相乘所得到的新矩阵。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从矩阵的基本性质入手，探讨矩阵的运算规则及其应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数个数按照一定规则排列成的二维数组。
我们一般用大写字母表示矩阵，比如A、B等，矩阵的元素用小写字母表示，如a11、a12等。
1. 矩阵的阶：一个矩阵A有m行n列，我们称其为m×n阶矩阵，记作A(m,n)。
2. 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A(i,j) = B(i,j)。
3. 矩阵的转置：将矩阵A的行与列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
其中转置矩阵的元素满足(A^T)(i,j) = A(j,i)。
二、矩阵的运算规则矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。
下面我们将详细介绍这些运算。
1. 矩阵的加法：若矩阵A和B的阶数相同，即A(m,n)和B(m,n)，则定义矩阵的加法为A+B = (a(i,j) + b(i,j))。
其中加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的减法：与矩阵的加法相对应，矩阵的减法定义为A-B = (a(i,j) - b(i,j))。
同样地，减法也满足交换律和结合律。
3. 矩阵的数乘：若矩阵A有m行n列，k是一个实数，我们可以定义矩阵A的数乘kA为kA = (k * a(i,j))。
数乘也满足结合律和分配律。
4. 矩阵的乘法：若矩阵A是一个m×n阶矩阵，矩阵B是一个n×p 阶矩阵，则定义矩阵的乘法为C = AB，其中C是一个m×p阶矩阵，C 的元素满足C(i,j) = Σa(i,k)b(k,j)。
三、矩阵运算的应用矩阵的运算在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明矩阵运算的应用。
1. 线性方程组的求解：对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组，可以用矩阵的表示形式AX = B来求解，其中A是一个m×n阶系数矩阵，X是一个n×1阶未知数矩阵，B是一个m×1阶列向量。
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中重要的数学结构，它广泛应用于统计学、物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算和性质，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等运算。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个矩阵进行逐元素地相加或相减的运算。
假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即有相同的行数和列数。
矩阵的加法运算可以表示为C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
同理，矩阵的减法运算可以表示为D = A - B，其中D的每个元素等于A和B对应元素的差。
二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算是指将一个实数或复数与矩阵的每个元素相乘的运算。
假设我们有一个矩阵A和一个实数k，矩阵A的数乘运算可以表示为B = kA，其中B的每个元素等于k乘以A对应元素的值。
三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
矩阵乘法的定义要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
假设我们有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么矩阵的乘法运算可以表示为C = AB，其中C的维度为m×p。
矩阵乘法的元素计算方式为C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。
四、矩阵的转置运算矩阵的转置运算是指将矩阵的行转换为列，将列转换为行的操作。
假设我们有一个矩阵A，A的转置可以表示为A^T。
A^T的第i行第j 列元素等于A的第j行第i列元素，即A^T的维度为n×m，其中A的维度为m×n。
矩阵的基本性质：1. 矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A +B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。
3. 矩阵的加法和数乘运算满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。
矩阵的运算与性质
矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于各个学科领域。
本文将介绍矩阵的运算及其性质，探讨在不同情况下矩阵的特点和应用。
一、矩阵的定义与分类1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的数构成，通常用大写字母表示，如A、B等。
2. 矩阵的分类：根据行数和列数的不同，矩阵可以分为行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的所有元素乘以一个常数。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
三、矩阵的性质和特点1. 矩阵的单位矩阵：对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。
2. 矩阵的逆矩阵：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
3. 矩阵的行列式：方阵A经过运算得到的一个标量值，记作det(A)或|A|，用于判断矩阵是否可逆及求解线性方程组等。
4. 矩阵的秩：矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
5. 矩阵的特征值与特征向量：对于方阵A，存在数值λ和非零向量x，使得A·x = λ·x，λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：通过矩阵的运算和性质，可以将线性方程组表示为矩阵的形式，从而求解出方程组的解。
2. 矩阵在图像处理中的应用：利用矩阵的运算，可以对图像进行变换、旋转、缩放等操作。
3. 矩阵在经济学中的应用：使用矩阵可以模拟经济系统，进行量化分析、预测等。
总结：矩阵作为线性代数中的基本概念，具有丰富的运算规则和性质。
通过矩阵的加法、数乘、乘法、转置等基本运算，可以推导出矩阵的逆矩阵、行列式、秩、特征值等重要概念。
矩阵在不同学科领域有着广泛的应用，如线性方程组求解、图像处理、经济学分析等。
矩阵的运算与性质
矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
矩阵的运算与性质是理解和应用矩阵的基础，下面我们将介绍矩阵的基本运算及其性质。
一. 矩阵的定义与表示在开始讨论矩阵的运算与性质之前，首先需要了解矩阵的定义与表示。
矩阵可以理解为由数个数排列成的矩形阵列。
一个矩阵通常用大写字母表示，比如A，其中的元素用小写字母表示，如a11，a12等。
矩阵可以用方括号或括号表示，比如：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]这样，矩阵A就表示了一个3行3列的矩阵。
二. 矩阵的基本运算矩阵具有多种基本运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
1. 矩阵的加法对于两个具有相同行数和列数的矩阵A和B，它们的加法定义为将对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。
具体而言，如果A = [aij]，B = [bij]，则A + B = [aij + bij]。
需要注意的是，两个矩阵相加的前提是它们具有相同的维度。
2. 矩阵的减法与矩阵的加法类似，矩阵的减法也是将对应位置的元素相减得到一个新的矩阵。
假设A = [aij]，B = [bij]，则A - B = [aij - bij]。
同样，两个矩阵相减的前提是它们具有相同的维度。
3. 数乘数乘指的是将一个矩阵的每个元素乘以一个常数得到一个新的矩阵。
如果A = [aij]，k为常数，则kA = [kaij]。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积C = AB是一个m行p列的矩阵。
具体计算时，C的每个元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和，即cij = a1j * b1j + a2j * b2j + ... + anj * bnj。
三. 矩阵的性质除了基本运算，矩阵还具有一些重要的性质。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
矩阵的基本性质与变换
矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。
矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。
矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。
以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。
加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。
减法运算的定义与加法类似。
2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。
C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。
即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有方阵才存在逆矩阵。
二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。
1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。
矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。
2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。
仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。
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关于实正交矩阵的某些性质华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业10041510134裘鹏翔正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下：定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。
n阶正交矩阵的集合记为。
本文摘要：1正交矩阵与运算的关系1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵；1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵；1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵；1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵；1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵；1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵；1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵；1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵；1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征2.1迹：迹小于阶数；2.2特征值：实数域上,复数域上模为1；2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵；2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用；3正交矩阵与特殊矩阵的关系3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵；3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！种；3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵；与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等；3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等；3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等；3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型；4正交矩阵的特殊构造4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵；5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法）5.1定理１；上三角标准定理；5.2定义正规矩阵，命题１，２5.3定理２；正规相似对角化；5.4命题３，４，５6参考文献正交矩阵的几个判定条件：a)的充分必要条件是。
b)的每个列的元素的平方和等于1，不同列的元素乘积之和等于0；即;.相应地行也有相似的性质：若,，则，于是。
使的一类矩阵称为第一类正交矩阵，使的一类称为第二类正交矩阵.我们从以下四方面来讨论。
1.正交矩阵与运算的关系1.1.和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵。
如：取,则，但，所以。
但若又取,；则=。
1.2.差：相应地正交矩阵的差也不一定是正交矩阵。
1.3.乘积：正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。
设，则，所以是正交矩阵。
1.4.数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵。
设，,则，所以只有时，才有。
1.5.直积：正交矩阵的直积一定是正交矩阵。
首先定义直积：设与数域上的矩阵,称数域上矩阵为与的直积,记为。
证明：先证在复数域上，，，，设,,则有块形式,，于是的块为这是的元素与的数乘，亦即的块，证毕现设，即，。
由已证的性质。
1.6.圈积：正交矩阵的圈积不一定是正交矩阵。
首先定义圈积：设与是数域上的方阵，则称为与在数域上的圈积。
如：设，则。
但若又设，；；很明显，所以正交矩阵的圈积不一定是正交矩阵。
1.7.转置: 正交矩阵的转置还是正交矩阵。
1.8.逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵。
若，。
1.9.伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵。
(充分性) 若是正交矩阵，则可逆，且也是正交矩阵，而，又因为，所以是正交矩阵。
(必要性) 反之若是实矩阵且是正交矩阵，则可逆，于是可逆。
由于, 故，又由于，故，由得，所以也是正交矩阵。
2.正交矩阵的特征2.1.迹：因为正交矩阵每行每列的元素都比1小，所以它的迹小于它的阶数。
特别的，二维欧氏空间的的第二类正交变换（镜射）所对应的正交矩阵迹（trace）等于2。
因为二维欧氏空间的的第二类正交变换所对应的正交矩阵可写成下式：，很明显；结合正交矩阵转置与逆的关系（），我们还可以发现若，使得，则既相似又相合而且因为。
2.2.特征值：若正交矩阵有特征值，则特征值为。
设是欧氏空间的正交变换（对应正交矩阵）的特征值，a是相应的特征向量，则（从中我们还可以看出复数域上酉矩阵的特征值的模是1）由于，所以，即。
特别地，奇数维欧氏空间的第一类正交变换必以1作为其特征值；相应地，偶数维欧氏空间的第一类正交变换必以作为其特征值。
证明：设是奇数维欧氏空间的第一类正交变换，其特征多项式为：，则。
由于是的奇数次实多项式，故其非实根必共轭出现，所以可以记其为则而实根等于1或。
但故不可能全为（因为是奇数），所以必有一根是1 ，同理偶数维欧氏空间的第一类正交变换必以作为其特征值。
2.3.不定性：正交矩阵是不定矩阵。
如：取，，对，，。
但若又取，，结果刚好相反。
3.正交矩阵与特殊矩阵的关系3.1.与数量矩阵：只有的数量矩阵，它与正交矩阵的乘积还是正交矩阵。
3.2.与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！种。
因为正交矩阵每行（列）的元素平方和为1，而且它又为整系数矩阵，所以每一个元素只能为或0，而且每行每列只能出现一个或。
则第一行i列是或的可能种类为，再看第二行不是i列出现或的可能种类为再乘等于，依次类推可知到n行时有可能种类为！。
3.3.与上（下）三角矩阵：若n实矩阵可逆，则可分解为：，其中为正交矩阵，为上（下）三角矩阵。
证明（1）设，是线性无关的列向量，对其施行规范正交化，得：;; ;令，为上三角矩阵，可得也是上三角矩阵，两边同右乘，得，再令即得。
当然也可把分解为，其中为正交矩阵，为上（下）三角矩阵。
设可写成，所以，其中为正交矩阵，为上（下）三角矩阵。
推论：的特征值全是实数的充分必要条件是正交相似于三角矩阵。
（必要性）因为任意的矩阵相似于三角矩阵，，是上三角的，所以应用上面的结论，代入得，仍然为上三角的。
（充分性）因为相似中特征值不变，所以的特征值全是实数。
3.4.对角化：若为正交矩阵且有n 个特征值，则正交相似于对角矩阵因为由3（３）的推论，对任意的正交矩阵，有正交矩阵为上三角矩阵，由于都是正交矩阵，所以也是正交矩阵，而，所以，是上三角的，而是下三角的，所以为对角矩阵；又因为这个根据3（２）的证明，这个正交矩阵一定是对称的，所以再根据3（５）1的证明且正交矩阵的特征值为，可得正交相似于不过在附录中正交矩阵与（反）对称矩阵关系的讨论中我们可以发现一个正交矩阵可找到另一个正交矩阵，使这个正交矩阵化为准对角形式，而且这个命题的逆方向也是正确的，即若能找到另一个正交矩阵，使某个矩阵化为准对角形式，则这个矩阵是正交矩阵！3.5.与对称矩阵：设，1．则的充分必要条件是,是一个对角矩阵。
（充分性）。
（必要性）由3（３）的推论，是上三角矩阵，在两边加转置，可得，是下三角矩阵，所以是对角的，不仅对角化，还可以化到以特征值为对角元的对角矩阵，因为对称变换中不同特征值对应的特征向量必正交。
详细的证明可参考高等代数课本中的有关章节。
2．特征值全是实数的正交矩阵是对称的由３（４）若为正交矩阵且有n 个特征值，则正交相似于对角矩阵，又由３（５）可得。
3.6.与反称矩阵：（类似对称矩阵）1.设，，则正交相似于，r为它的秩。
2.若,则是正交矩阵。
证明: 首先由于,而它的特征值只能(0和纯虚数),所以不是它的特征值,于是即,所以可逆。
4.正交矩阵的特殊形式构造4.1.实对称正交矩阵（与实反对称正交矩阵类似，在这里只讨论实反对称正交矩阵）4.2.实反对称正交矩阵设，且，所以。
当是一阶时，只有，所以一阶实反对称正交矩阵不存在。
当是二阶时，设，因为，所以，所以，一阶实反称正交矩阵只有两种：，；当是三阶时，同样地，我们设，所以又因为，得；；；；；；当为整系数矩阵时，不妨令，则可得，与矛盾。
所以三阶整系数反称正交矩阵不存在。
当不为整系数矩阵时，若，则，与矛盾；若，则，，与矛盾。
三阶实反称正交矩阵不存在。
当是四阶时，同样地应用上面的方法，可得四阶整系数反称正交矩阵只有12种：，，，，，，通过观察二阶与四阶的矩阵，我们可以发现它们都是有形如的矩阵块构成，所以，我们猜测阶整系数反称正交矩阵存在，而且如果把看做一个元素它们有这样的形式：里面含个形如的元，而且每个这样的元每行每列只出现一次，并且这些元保持反对称性质。
当不为整系数矩阵，我们类似地设，再应用可得，，，；，，，，，；考虑，因为是退化的情况因为，通过上面两行关系可得，，，所以我们构造四阶实反称正交矩阵时，先取定，便很容易的通过解方程得到。
例我们取，特殊地，令，便有；可验证它便是一个实反称正交矩阵。
同理我们可构造阶反称正交矩阵，它的每个小方块是反称的，相比整系数矩阵，非整系数矩阵只要上三角区（下三角区）和对角线上每个方块的右上角或左上角元的平方和等于一即可。
附录：特殊矩阵正交准对角化（纯矩阵的证明方法）定理１（上三角标准定理）：设，则存在酉矩阵，使得其中是上三角矩阵，其对角元素（即的特征值）可按指定顺序排列。
特别，且的特征值是实的，则可选取实的和正交的。
称为的上三角标准形。
证明：应用数学归纳法。
当是明显成立；现在考虑。
假设结论对所以阶成立，而且欲将的一个特征值排列在的左上角。
用表示相应于的特征向量，。
,为正交矩阵,使为上三角的,则令，就有：．定义：数域上的矩阵若满足，则称为数域上的正规矩阵．正规矩阵所对应的变换为正规变换。
命题１：正规的充分必要条件是是正规矩阵，其中为正交矩阵．（必要性）（充分性），则，有，从而．命题２：设是半正定矩阵，则的充分必要条件是．必要性很明显，证明充分性：因为是半正定矩阵，所以存在酉矩阵，s.t.，，是的特征值，，所以（因为根据代数基本定理，的特征多项式可做因式分解，；另一方面所以）又因为，所以,所以，得。
引理1：设是实数域上的二阶正规矩阵且其特征多项式无实根,则有,。
证明：设，由，可得，；又因为无实根，所以，易得，所以，代入，就有，。
令，就可以写成的形式。
引理2：是正规矩阵的充分必要条件是每个是正规矩阵。
这根据矩阵乘法的定义很容易验证。
定理2：设，是正规矩阵（）的充要条件是,使得————（★）其中每个是实矩阵或形如————（★★）（充分性）对于形如（★★）的矩阵有由引理2表明（★）是正规的，由命题１可知也是正规的。
（必要性）应用上三角标准定理，不妨直接就设形如；其中是上三角矩阵，并且，由于是正规和实的，从而，此等式两端的前主对角块相等，得由此注意到，所以又因为每个是半正定矩阵，必有，于是就有，由命题２可得，因为的第个主对角元素是的第行中各实元素的平方和，所以这些主对角元素都必须为0，推出——（★★★）。
并且因为，因为是上三角矩阵，可得必为对角矩阵因此。
现在考虑那些的主对角块，对于利用（★★★），可得跟上面的推导类似可得，这样我们就得到了，即是正规形。
以此类推，我们便可得所有对角块是正规形。
接下去证每个形如（★★），因为矩阵在实数上可能无足够多的特征值，所以可以写成引理1的形式。