2008高考湖南数学文科试题及详细解答

y

x

2008高考湖南文科数学试题及全解全析

一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( )

A ．{}4,6M

N = .B M

N U =

C ．U M N C u = )( D. N N M C u = )( 【答案】B

【解析】由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，易知B 正确. 2．“21<-x ”是“3

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由21<-x 得13x -<<，所以易知选A.

3．已条变量y x ,满足??

?

??≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )

A ．4 B.3 C.2 D.1 【答案】C

【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点

分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点

(1,1)时,x y +最小值是11 2.+=故选C.

4.函数)0()(2

≤=x x x f 的反函数是( )

)0()(.1

≥=-x x x f

A )0()(.1

≥-=-x x x f

B

)0()(.1

≤--=-x x x f

C )0()(.21

≤-=-x x x f

D

【答案】B

【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.

也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。

1

5.已知直线m 、n 和平面α、β满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥,则( )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . ,//.αn D 或α?n

【答案】D

【解析】易知D 正确.

6．下面不等式成立的是( )

A ．322log 2log 3log 5<<

B ．3log 5log 2log 223<<

C ．5log 2log 3log 232<<

D ．2log 5log 3log 322<< 【答案】A

【解析】由322log 21log 3log 5<<< , 故选A.

7．在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23-

B ．32-

C ．32

D ．2

3 【答案】D

【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=

所以13

32,42

AB AC ?=??=选Ｄ. 8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，

则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 【答案】C

【解析】用直接法：111221

35353515301560,C C C C C C ++=++=

或用间接法：2222

4635903060,C C C C -=-=故选Ｃ.

9．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，

11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( )

A ．

42π B ．2

2π C ．π2

D ．2π2 【答案】B

【解析】

112BD AC R ===

R ∴=设

1

1,BD AC O =则

OA OB R ===

,2

AOB π

?∠=

,2

l R π

θ∴==故选Ｂ.

10．双曲线

)0,0(122

2

2>>=-b a b

y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )

A

． B

．)+∞ C

．1] D

．1,)+∞ 【答案】C

【解析】200a ex a x c -=+20(1)a e x a c ?-=+2

(1),a a e a c

?+≥- 1

111,a e c e

∴-≤+

=+2210,e e ?--

≤11e ?≤≤+ 而双曲线的离心率1,e

>1],e ∴∈故选Ｃ.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。 11．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则||a b +=_____________________. 【答案】２ 【解析】由

(1,3),||13 2.a b a b +=-∴+=+=

12.从某地区

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 【答案】60

【解析】由上表得15000

(2321)23060.500

-?=?= 13．记n

x

x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 【答案】5

【解析】由211(2)()2,r

n r

r n r r

n r r n n T C x C x x

---+=?=??得2233222,n n n

n C C --?=?? 所以解得 5.n =

y

14．将圆12

2=+y x 沿x 轴正向平移1个单位后所得到圆C ，则圆C 的方程是________,若过点（3

，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率为_____________. 【答案】2

2

(1)1x y -+=, 3

±

【解析】易得圆C 的方程是2

2

(1)1x y -+=,

直线l 的倾斜角为30,150,

所以直线l 的斜率为3

k =±

15．设[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[]14

5,22=??

????=）。对于给定的n N *

∈,

定义[][][),,1,)

1()1()

1()2)(1(+∞∈+--+---=

x x x x x x n n n n C x n

则3

28C =________; 当[)3,2∈x 时，函数x

C 8的值域是_________________________。

【答案】

16,3 28

(,28]3

【解析】328

816,332

C =

=当2x =时，288728,21C ?==?当3x →时，[]2,x = 所以88728,323x

C ?=

=?故函数x C 8的值域是28

(,28]3

.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试

合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人 面试合格的概率都是

2

1

，且面试是否合格互不影响。求： （I ）至少有一人面试合格的概率； （II ）没有人签约的概率。

解：用A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C 相互独立，

且1()()().2

P A P B P C ===

（I ）至少有一人面试合格的概率是1()P A B C -??

317

1()()()1().28

P A P B P C =-=-=

（II ）没有人签约的概率为()()()P A B C P A B C P A B C ??+??+?? ()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ??+??+?? 3

3

3

1113()()().2

2

2

8

=++=

17.（本小题满分12分） 已知函数x x

x x f sin 2

sin 2cos

)(22

+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期；

（II ）当)4

,

0(0π

∈x 且524)(0=

x f 时，求)6

(0π

+x f 的值。

解：由题设有()cos sin f x x x =+=

π

)4

x +．

（I ）函数()f x 的最小正周期是2π.T =

（II ）由524)(0=

x f 0π)4x +=

即0π4

sin(),45

x += 因为)4,

0(0π

∈x ,所以0ππ(,).442

x π+∈

从而0π3cos().45

x +===

于是)6(0π

+

x f 00ππ))]4646x x ππ

=+

+=++

00ππ)cos cos()sin ]4646

x x ππ

=+++

4312()552=+?=

18.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，0

60=∠BCD ， E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。

（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （II ）求二面角A —BE —P 的大小。

解：解法一（I ）如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且0

60=∠BCD 知，

BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 的中点，所以

,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥

又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ?平面ABCD ，

所以,BE PA ⊥而,AB A =PA

因此 BE ⊥平面PAB.

又BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.

（II ）由（I ）知，BE ⊥平面PAB, PB ?平面PAB, 所以.PB BE ⊥

又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角． 在Rt PAB △中, tan 3,60.PA

PBA PBA AB

∠=

=∠=． 故二面角A BE P --的大小为60.

解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

(000),A ，，(100),B ，，33(0),2C ，13(0),2D ，(003),P ，3

(10).E ， （I ）因为3

(0,

0),2

BE =平面PAB 的一个法向量是0(010),n =，，所以BE 和0n 共线. 从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.

（II ）易知3

(10,3),(0,0),PB BE =-=，

设1n 111()x y z =，，是平面PBE 的一个法向量, P A B

C

E D

则由1

100n PB n BE ??=???=??，

得111111000002x y x y z ?+?-=???+

+?=??，

所以111.y x ==0， 故可取1

n 1).=，而平面ABE 的一个法向量是2(001).n =，，

于是,1212121

cos ,.2

||||n n n n n n ?<>=

=．

故二面角A BE P --的大小为60.

19.（本小题满分13分）

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F ，且两条准线间的距离为)4(>λλ。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）若存在过点A （1，0）的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，

求λ的取值范围。

解：（I ）设椭圆的方程为22

221(0).x y a b a b

+=>>

由条件知2,c =且2

2,a c

λ=所以2,a λ=222 4.b a c λ=-=- 故椭圆的方程是

2

21(4).4

x y λλλ+=>- （II ）依题意, 直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是(1).y k x =- 设点(20)F ，关于直线l 的对称点为00(),F x '，y 则

00002(1)2

21

2

y x k y

k x +?=-?????=--??， 解得02022121x k k y k ?=??+??=?+?， 因为点00()F x '，y 在椭圆上，所以22

2222()()11 1.4

k k k λλ+++=- 即4

2

2

(4)2(6)(4)0.k k λλλλλ-+-+-= 设2

,k t =则2

2

(4)2(6)(4)0.t t λλλλλ-+-+-=

因为4,λ>所以

2

(4)0.(4)

λλλ->-于是, 当且仅当23[2(6)](4)()2(6)

0.(4)λλλλλλλλ??=--?

*-?->?-?

-4， 上述方程存在正实根,即直线l 存在.

解()*得16,

3

4 6.

λλ?

≤???<

λ<≤

20．（本小题满分13分）

数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos

)4sin ,1,2,3,,22

n n n n a a n ππ+=++=

（I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）设1321k k S a a a -=++

+，242k k T a a a =+++，*2()2k

k k

S W k N T =

∈+， 求使1k W >的所有k 的值，并说明理由。

解：（I ）因为,2,021==a a 所以2

2

311(1cos

)4sin 44,2

2

a a a π

π

=++=+=

22422(1cos )4sin 24,a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *

-∈=时，

2

2212121(21)21

[1cos ]4sin 4,22

k k k k k a a a ππ+----=++=+ 即2121 4.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列， 因此214(1).k a k -=-

当2()n k k N *

∈=时，2

2222222[1cos

]4sin 2,22

k k k k k

a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k

k a =

故数列{}n a 的通项公式为22(1),21(),2,2()

n n n n k k N a n k k N **?-=-∈?

=??=∈?

（II ）由（I ）知，1321044(1)2(1),k k S a a a k k k -=+++=++

+-=-

2124222222,k k k k T a a a +=++

+=++=-1

2(1)

.22k k k k S k k W T --=

=+ 于是10,W =21,W =33,2W =

43,2W =55,4W =615

16

W =. 下面证明: 当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，

11(1)(1)(3)0,222

k k k k k

k k k k k k W W +-+---=

-=<即1.k k W W +< 又61,W <所以当6k ≥时， 1.k W < 故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.

21．（本小题满分13分）

已知函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点。 （I ）证明：275c -<<；

（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。 解：（I ）因为函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点, 所以3

2

()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设3

2

()39,g x x x x c =+-+则2

()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数; 当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数; 当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数; 所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时,()0g x =最多只有两个不同实根. 因为()0g x =有三个不同实根, 所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,

解得27,c >-且5,c <故275c -<<.

（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点.

不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，

则[],2a a +?1(]x -∞，, 或[],2a a +?23[,]x x ,

若[],2a a +?1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +?23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<

又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+;

当5c =时，2

()(5)(1)f x x x '=+-.

因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤

即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时， 总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减. 综上所述, a 的取值范围是(5)

(3,1)-∞--，.