直角三角形全等判定 公开课

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′ 中 A AB=A ′ B ′
{
C B′
BC=B ′ C ′
A′ C′
B C (HL) ∴Rt△ABC≌ Rt △ A ′ ′′
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
4.有两边对应相等的两个直角三角形. 4.有两边对应相等的两个直角三角形. 有两边对应相等的两个直角三角形 全等
情况1： 情况 ：全等 (SAS)
情况2： 情况 ：全等 ( HL)
例1
已知：如图， 已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 中 ， 是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD 求证 ∠ ∠
B A
E D C
学以致用
如图，有两个长度相同的滑梯， 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水 与右边滑梯水平 梯的高度 与右边滑梯水平方向的长 相等， 度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 相等 两个滑梯的倾斜角∠ABC和 DFE大小有什么关系？ 大小有什么关系 ∠DFE大小有什么关系？
斜边和一条直角边对应相等→ 斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。 让我们来验证这个结论。 结论
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个 △ 使得∠ 用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 使得 ° 一直角边CA=4cm,斜边 斜边AB=5cm. 一直角边 斜边
P D
C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝ EDF,改为 改为AC=DF， 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠ 变式 ：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 ＝ 改 为另一个适当条件， 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 与 仍能 全等。试证明。 全等。试证明。
证明：∵AD是高 证明： 是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 △ 和 △ 中 AB=AC AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） △ ≌ △ （ ） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ∠ ∠
A
{
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2
已知：如图 在 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 和 中 ⊥ ⊥ 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. 求证： 垂足分别为 求证 ≌
分析： 分析： △ABC≌△DEF ≌ ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E ∠ ∠ ∠
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ △ ≌ △ AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
证明： 证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 、 是 和 的高 ∴∠APB=∠DQE=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 △ 和 △ 中 AB=DE AP=DQ
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 两直角边对应相等的两个直角三角形 全等 ( SAS)
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
小结
P D
C
E
Q
F
小结
一般三角 形全等的 判定
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
学以致用
已知:如图,D是 ABC的BC边上的中 已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 ,D ,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, AB,垂足分别为 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, 且DE=DF. F 求证: ABC是等腰三角形 是等腰三角形. 求证: △ABC是等腰三角形.
忆一忆
相等 1、全等三角形的对应边 ---------,，对 ---------, 相等 应角----------2、判定三角形全等的方法有： 判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS 、 、 、
认识直角三角形 Rt△ Rt△ABC
A
直 角 边 斜边 直角边
C
B
直角三角形全等的判定
舞台背景的形状是两个直角三角形， 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人 员想知道两个直角三角形是否全等， 员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？ 你能帮他想个办法吗？
B
5cm 5cm
B′
A
4cm
C
A′
4cm
C′
BC Rt△ABC≌ Rt △ A ′ ′′
斜边、 斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简写成“斜边、直角边” 简写成“斜边、直角边” “HL” 或
斜边、 斜边、直角边公理 (HL)
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝ EDF,改为 改为AC=DF， 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 B
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 可测量对应一边和一锐角 根据 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。 可测量其余两边与这两边的夹角。 根据 可测量其余两边与这两边的夹角
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 ）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等 于是， 发现它们分别对应相等。 角边和斜边 发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的” 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形 全等 (AAS)
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形 全等 ( ASA)
N B
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB; △ABC即为所要画的三角形 ABC
N B
M
A
C
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？ 这些直角三角形有怎样的关系呢？
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。BP D NhomakorabeaC
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
证明： 证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ⊥ ⊥ ∴∠C=∠ ∴∠ ∠D=90° ° 在Rt△ABC和Rt△BAD中 △ 和 △ 中
D
C
A B = B A B C = A D
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) △ ≌ △ A B
例3
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
B
5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
N
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;