现代控制理论实验报告

实验报告
( 2016-2017年度第二学期)
名称：《现代控制理论基础》题目：状态空间模型分析
院系：控制科学与工程学院班级：___
学号：__
学生姓名：______
指导教师：_______
成绩：
日期：2017年4月15日
线控实验报告
一、实验目的：
l.加强对现代控制理论相关知识的理解；
2.掌握用 matlab 进行系统李雅普诺夫稳定性分析、能控能观性分析；
二、实验内容 第一题：已知某系统的传递函数为231)(2++=
S S s G
求解下列问题：
（1）用matlab 表示系统传递函数
num=[1];
den=[1 3 2];
sys=tf(num,den);
sys1=zpk([],[-1 -2],1);
结果：
sys =
1
-------------
s^2 + 3 s + 2
sys1 =
1
-----------
(s+1) (s+2)
（2）求该系统状态空间表达式：
[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num,den);
A =
-3 -2
1 0
B =
1
C =
0 1
第二题：已知某系统的状态空间表达式为：()10,01,0123=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B A ：求解下列问题：
（1）求该系统的传递函数矩阵：
（2）该系统的能观性和能空性：
（3）求该系统的对角标准型：
（4）求该系统能控标准型：
（5）求该系统能观标准型：
（6）求该系统的单位阶跃状态响应以及零输入响应：
解题过程：
程序：A=[-3 -2;1 0];B=[1 0]';C=[0 1];D=0;
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);
co=ctrb(A,B);
t1=rank(co);
ob=obsv(A,C);
t2=rank(ob);
[At,Bt,Ct,Dt,T]=canon(A,B,C,D,'modal');
[Ac,Bc,Cc,Dc,Tc]=canon(A,B,C,D,'companion');
Ao=Ac';
Bo=Cc';
Co=Bc';
结果：
（1）num =
0 0 1
den =
1 3 2
（2）能控判别矩阵为：
co =
1 -3
0 1
能控判别矩阵的秩为：
t1 =
2
故系统能控。

（3）能观判别矩阵为：
ob =
0 1
能观判别矩阵的秩为：
t2 =
2
故该系统能观。

（4）该系统对角标准型为：At =
-2 0
0 -1
Bt =
-1.4142
-1.1180
Ct =
0.7071 -0.8944
（5）该系统能观标准型为：Ao =
0 -2
1 -3
Bo =
1
Co =
0 1
（6）该系统能控标准型为：Ac =
0 1
-2 -3
Bc =
1
Cc =
（7）系统单位阶跃状态响应；G=ss(A1,B1,C1,D1);
[y,t,x]=step(G);
figure(1)
plot(t,x);
（8）零输入响应：
x0=[0 1];
[y,t,x]=initial(G,x0); figure(2)
plot(t,x)
第三题：已知某系统的状态空间模型各矩阵为：
()2-10,011,3-103-011-00=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A ，求下列问题：
（1）按能空性进行结构分解：
（2）按能观性进行结构分解：
clear
A=[0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3];
B=[1 1 0]';
C=[0 1 -2];
tc=rank(ctrb(A,B));
to=rank(obsv(A,C));
[A1,B1,C1,t1,k1]=ctrbf(A,B,C);
[A2,B2,C2,t2,k2]=ctrbf(A,B,C);
结果：
能控判别矩阵秩为：
tc =
2
可见，能空性矩阵不满秩，系统不完全能控。

A1 =
-1.0000 -0.0000 -0.0000
2.1213 -2.5000 0.8660
1.2247 -
2.5981 0.5000
B1 =
0.0000
0.0000
1.4142
C1 =
1.7321 -1.2247 0.7071
t1 =
-0.5774 0.5774 -0.5774
-0.4082 0.4082 0.8165
0.7071 0.7071 0
k1 =
1 1 0
能观性判别矩阵秩为：
to =
2
可见，能观性判别矩阵不满秩，故系统不完全能观。

A2 =
-1.0000 1.3416 3.8341
0.0000 -0.4000 -0.7348
0.0000 0.4899 -1.6000
B2 =
1.2247
0.5477
0.4472
C2 =
0 -0.0000 2.2361
t2 =
0.4082 0.8165 0.4082
0.9129 -0.3651 -0.1826
0 0.4472 -0.8944
k2 =
1 1 0
第四题：已知系统的状态方程为：
()0,010100,987654321==⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A ，
希望极点为-2，-3，-4.试设计状态反馈矩阵K ，并比较状态反馈前后输出响应.
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B=[0 0 1]';
C=[0 1 0];
D=0;
tc=rank(ctrb(A,B));
p=[-2 -3 -4];
K=place(A,B,p);
t=0:0.01:5;
U=0.025*ones(size(t));
[Y1,X1]=lsim(A,B,C,D,U,t);
[Y2,X2]=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t);
figure(1)
plot(t,Y1);
grid on
title('反馈前');
figure(2)
plot(t,Y2)
title('反馈后')
结果：
tc =
3
可见，能观判别矩阵满秩，故系统能进行任意极点配置。

反馈矩阵为：
K =
15.3333 23.6667 24.0000
反馈前后系统输出对比：
第五题.已知某线性定常系统的系统矩阵为：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=3211A ，判断该系统稳定性。

clear
clc
A=[-1 1;2 -3];
A=A';
Q=eye(2);
P=lyap(A,Q);
det(P);
结果：
求得的P矩阵为：
P =
1.7500 0.6250
0.6250 0.3750
且P阵的行列式为：
>> det(P)
ans =
0.2656
可见，P矩阵各阶主子行列式均大于0，故P阵正定，故该系统稳定。