江苏省海安高级中学2018-2019学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含答案
江苏省海安高级中学2018-2019学年度第一学期高二阶段性
测试（二）
数学试卷 （I 卷）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位
置上）
1．已知椭圆C ：110
22
=+y x ，则它的右准线方程为 ▲ ． 2．命题“若0x ＞，则20x ≥”的否定为 ▲ ．
3．设x ∈R ，则234x x ->是2x >的 ▲ ．条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S = ▲ ．
5．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥-+2,2,02y x y x ，则z ＝2x ＋y 的最小值是 ▲ ． 6．已知()f x '是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数α满足()()3f f αα'=，则t a n 2α
的值为 ▲ ．
7．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()
()2
2
3425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当
ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ▲ ．
8．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆22650x y y +-+=相切，则双曲
线离心率的值是 ▲ ． 9．若命题“x R ∃∈，2
10x
ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
10．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
2y =的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．
11．已知直线03=--by ax 与x
xe x f =)(在点P （1，e ）处的切线相互垂直，则
=b
a
▲ ．
12．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，若3BC CE =，
AF AB λ=，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ▲ ．
13．设集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+-=22(|),(22
2m y x y x A ），{}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤-=,,21|),(，若
B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
14．()331f x ax x =-+对于[]
1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤） 15．（本题14分）
已知命题
关于的方程
有实数根，命题
．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是
的必要非充分条件，求实数
的取值范围．
16．（本题14分）
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点． （1）证明：B 1C 1∥平面A 1DE ；
（2）若平面A 1DE ⊥平面ABB 1A 1，证明：AB ⊥DE.
17．(本小题满分14分)
在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =， 14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，
1n b +也成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ．
（1）求证： {}n n a b +是等比数列； （2）求n a 及n S ；
18．(本小题满分16分)
某中学新校区内有一块以O 为圆心，R （单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），学校计划对其开发利用，其中弓形BCD 区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD 区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。
已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。
（1）设BOD θ∠=（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积()S f
θ=弓
（2）如果该校邀请你规划这块土地。
如何设计BOD ∠的大小才能使总利润最大？并求出该最大值
19．（本题16分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
1l ：1x
y
a b
+
=被椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线1l 与圆D ：22
640x y x y m +--+=相切：
（i ）求圆D 的标准方程；
（ii ）若直线2l 过定点()3,0，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同
的两点M 、N ，求EF MN ⋅的取值范围．
20．（本题16分）
设函数2
()ln f x x bx a x =+-
（1）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且
()0,1,x n n n N ∈+∈， 求n ；
（2）若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成
立，求实数a 的取值范围.
数学附加题 （II 卷）
1.（本题10分）
已知函数()sin(2)6
f x x x π
=-，求()f x 在6
x π
=
处的切线方程.
2.（本题10分）
如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至
点M ，使PQ →＝12QM →，且PR →·PM →
＝0.求动点M 的轨迹C 1；
3.（本题10分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =
，1AF =，M
B
是线段EF 的中点．
（1））求二面角A DF B --的大小；
（2）试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60o
．
4．（本题10分）
如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于点A (x 1，y 1)(y 1>0)，和点B (x 2，y 2)，T 为抛物线的准线与x 轴的交点． （1）若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率； （2）求∠ATF 的最大值．。
江苏省南通市海安高级中学2018--2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题1．已知集合A ={(x ，y)|x 2+y 2=4 }， 集合B ={(x ，y)|y =x }，则A ∩B 中元素的个数为__________.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若S 5=10，a 9=20，则a 1的值是___________. 3．若不等式x 2+px +2<0的解集为(1 ， 2)，则p 的值为__________ 4．曲线y =lnx 在点(1 ， 0)处的切线方程为__________.（写出斜截式方程） 5．已知向量a ，b 满足|a |=1，a · (2a −b )=3，则a ·b = ____________ 6．若tan (α−π4)=16,则tanα=____________.7．已知实数x ，y 满足不等式组{y ≥0y ≤x x +y −4≤0 ，则z =2x −y 的最大值为__________. 8．已知椭圆x 2m−2+y 220−m =1的焦点x 轴上，且焦距为4，则m =_______.9．在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ，S n 是其前n 项和，则S 6的值是__________.10．平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x +ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A=__________.11．若直线xa +yb =1(a >0，b >0)过点(2 ， 2)，则4a +b +1的最小值为__________. 12．已知P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，F 1 ，F 2是椭圆的两个焦点，(OP ⃑⃑⃑⃑⃑ −OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP ⃑⃑⃑⃑⃑ −OF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，且ΔF 1PF 2的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =___________.13．直线kx −y −2k +1=0与直线x +ky −3k −2=0相交于点M ，则OM 长度的最小值为___________.14．定义：点M (x 0， y 0)到直线l:ax +by +c =0的有向距离为ax 0+by 0+c √a 2+b 2，已知点A(−2 ， 0)，B(2 ， 0)，直线m 过点P(4 ， 0)，若圆x 2+(y −6)2=36上存在一点C ，使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 斜率的取值范围是__________.二、解答题15．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD ，点E 为线段PD 的中点.（1）求证：PB//平面AEC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD .16．如图，A ，B 是单位圆O 上的点，C ，D 分别是圆O 与x 轴的两交点,ΔAOB 为正三角形.（1）若A 点坐标为(35，45)，求cos∠BOC 的值；（2）若∠AOC =x (0<x <2π3)，四边形CABD 的周长为y ，试将y 表示成x 的函数，并求出y的最大值.17．已知函数f (x )=x 3−32(k +1)x 2+3kx +1，其中k ∈R ． （1）当k =3时，求函数f (x )在[0 ， 5]上的值域；（2）若函数f (x )在[1 ， 2]上的最小值为3，求实数k 的取值范围．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号18．某海警基地码头O 的正东方向40海里处有海礁界碑M ，过点M 且与OM 成30∘（即北偏西60∘）的直线l 在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O 北偏东60∘方向领海海面上的A 处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P 处恰好截获可疑船.（1）如果O 和A 相距6海里，求可疑船被截获处的点P 的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P 不能在公海上）．则O 、A 之间的最大距离是多少海里？19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点(1，√62)，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P（1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP ⊥OM ；（3）试问OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 20．已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， S n+1=a n+1a nS n +(λ⋅3n +1)a n+1（n ∈N ∗）．(1)若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a n+1<12a n 对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的取值范围2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．2【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，可利用此距离来判断直线与圆的位置关系，从而得出交点个数即为交集中元素的个数.【详解】x2+y2=4的圆心为（0，0）圆心在直线y=x上，所以圆心到直线的距离为0，所以直线与圆相交，有两个交点，所以A∩B中元素有2个,故答案为2.【点睛】本题考查了交集的元素个数问题，通过判断直线与圆的位置关系即可,是基础题.2．-4【解析】【分析】根据等差数列的前n项和的公式及通项性质得出a3，又由a9=20可得出公差d，借助于a3和d 即可得出a1的值.【详解】因为{a n}是等差数列，所以S5=5(a1+a5)2=5a3=10∴a3=2又a9=20，所以a9=a3+6d= 2+6d=20∴d=3∴a3=a1+2d=a1+6=2可得a1=−4.故答案为-4.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质和前n项和的公式，由前n项和可以求得某一项，由项之间可以求得公差及首项,是基础题.3．-3【解析】【分析】由不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出p的值；【详解】∵不等式x2+px+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，∴1和2是一元二次方程x2+px+2=0的两个实数根，∴1+2=-p, ∴p=-3，故答案为-3.【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出参数，属于基础题．4．y=x−1【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y=lnx，∴y′＝1x，∴函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=x-1，故答案为：y=x-1.【点睛】本题考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键,属于基础题.5．-1【解析】【分析】利用数量积的运算性质可得a⋅(2a−b⃑)=2a2−a⋅b⃑=3，因为|a |=1代入即可得出a⋅b⃑的值.【详解】由a⋅(2a−b⃑)=3可得2a2−a⋅b⃑=3∵|a |=1∴2-a⋅b⃑=3∴a⋅b⃑=-1，故答案为-1.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质及向量数量积的基本运算，属于基础题.6．75【解析】tanα=tan[(α−π4)+π4]=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=16+11−16=75故答案为75.7．8【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(0,0),B(2,2),C(4,0)，所以直线z=2x−y 过点C时取最大值8.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8．13【解析】【分析】利用椭圆的简单性质直接求解．【详解】∵椭圆x 2m−2+y220−m=1的长轴在x轴上，∴{20−m>0m−2>0m−2>20−m解得11＜m＜20，∵焦距为4，∴c2=m-2-20+m=4，解得m=13．故答案为13.【点睛】本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质,看清焦点位置是关键.9．126【解析】【分析】由题意可得数列{a n}是首项为2，公比q=2的等比数列，运用等比数列的求和公式，即可求出S6的值.【详解】数列{a n}中a1=2，a n+1=2a n，可得数列{a n}是首项为2，公比q=2的等比数列，可得S6=2(1−26)1−2= 126,故答案为126【点睛】本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题，注意计算的准确性.10．{0,−1,−2}【解析】略11．19【解析】【分析】直线xa+yb=1(a>0，b>0)过点(2 ， 2)可得2a+2b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】∵直线xa+yb=1(a>0，b>0)过点(2 ， 2)可得2a+2b=1，∴4a+b+1=（4a+b）(2a+2b)+1=10+8ab+2ba+1≥2√8ab⋅2ba+11=19当且仅当a=3，b=6时取等号．∴4a+b+1的最小值为19.故答案为19.【点睛】本题考查了直线截距式的方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，注意求最值时等号成立的条件要写上.12．57【解析】【分析】先根据椭圆的性质化简条件(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0,得到△F1PF2所满足的条件,再根据已知三条边长成等差数列,列等式求解离心率.【详解】由椭圆的性质,可知O为F1F2的中点,所以OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,由(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0及(OP⃑⃑⃑⃑⃑ −OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(OP⃑⃑⃑⃑⃑ +OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0得|OP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |所以∠F1PF2=90°.设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义,可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即m+2c=2(2a-m),解得m=13(4a-2c),即|PF1|=13(4a-2c).所以|PF2|=2a-13(4a-2c)= 13(2a+2c).又∠F1PF2=90°,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即[13(4a−2c)]2+[13(2a+2c)]2=(2c)2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=75c或a=-c(舍去).则e=ca=57.故答案为57【点睛】本题利用向量式子得出焦点三角形为直角三角形，根据三边成等差数列得出|PF1|，|PF2|的长，再结合勾股定理得出a,c的等量关系即可求出e.13．2√2−1【解析】【详解】直线kx−y−2k+1=0可化为y-1=k（x-2）过定点P（2，1）, 直线x+ky−3k−2=0可化为x-2+k(y-3)=0过定点Q（2,3），且满足k•1-1•k=0，∴两条直线互相垂直，垂足为M，其交点M 在以PQ为直径的圆上，即M落在以T（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|OM|的最小值为|OT|-1=2√2−1，故答案为2√2−1.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、动点的轨迹问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,发现两条直线垂直是关键点.14．[−43，0]【解析】【分析】由直线m过定点（4，0）可设直线m为kx-y-4k=0，由A ，B ，C三点到直线m的有向距离之和为√1+k2√1+k2√1+k2=0，化简得kx-y-12k=0即求出了点C的轨迹，又C在圆上，所以转化为直线与圆有交点，即d≤r即可解得斜率范围.【详解】设直线m的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,设C(x,y)则A ，B ，C三点到直线m的有向距离之和为√1+k2√1+k2√1+k2=0，化简得kx-y-12k=0,又C在圆x2+(y−6)2=35上，所以kx-y-12k=0与x2+(y−6)2=36有交点，圆心到直线的距离为√1+k2≤6解得−43≤k≤0，故答案为[−43，0].【点睛】本题考查了新定义“有向距离”、点到直线的距离公式，根据题意求出点C的轨迹是关键，点C 即为直线与圆的交点，即可利用直线与圆的位置关系解决问题.15．(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）连结AC,BD交于点0，连结OE，通过中位线的性质得到PA//OE，由线面平行判定定理得结果；（2）通过线面垂直得到DE⊥BC，通过等腰三角形得到DE⊥PC，由线面垂直判定定理可得DE⊥面PBC，再结合面面垂直判定定理得即可得结果.试题解析：（1）证明：连结AC,BD交于点0，连结OE，∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点，又∵E为PC中点，∴OE为△PAC的中位线∴PA//OE，又∵OE⊂BDE,PA⊄面BDE,PA//面BDE.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥CD，PD⊥BC，∴BC⊥面PCD∴DE⊥BC，又∵PD=DC，E为PC中点∴DE⊥PC，∴DE⊥面PBC，又∵DE⊂面BDE，∴面BDE⊥面PBC点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于基础题；主要通过线线平行得到线面平行，常见的形式有：1、利用三角形的中位线（或相似三角形）；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；垂直关系中应始终抓住线线垂直这一主线..16．（1）3−4√310；（2）y=3+2sin(x2+π3)，y max=5.【解析】试题分析：（1）A点的坐标为(35,45)，根据正弦、余弦定义可得sin∠AOC=45,cos∠AOC=35，所以cos∠BOC=cos(π3+∠AOC)=3−4√310.（2）由题意知|AB|=|OC|=|OD|=1，在△AOC中，∠ACO=π−x2，由正弦定理得|CA|sin∠AOC=|OA|sin∠ACO，即|CA|=sinxsinπ−x2=2sin x2，同理有|BD|=2sin(π3−x2)，所以y=3+|CA|+|BD|=3+2sin x2+2sin(π3−x2)=3+2sin(x2+π3)，又因为∵0<x<2π3，∴x2+π3∈(π3,2π3)，∴sin(x2+π3)∈(√32,1]，所以当x=π3时，y max=5.试题解析：（1）A点的坐标为(35,45)，所以sin∠AOC=45,cos∠AOC=35，cos∠BOC=cos(π3+∠AOC)=3−4√310.（5分）（2）由题意知，y=3+|CA|+|BD|=3+2sin x2+2sin(π3−x2)=3+2sin(x2+π3)（8分）因为∵0<x<2π3，∴x2+π3∈(π3,2π3)，∴sin(x2+π3)∈(√32,1]，（10分）故当x=π3时，y max=5. （12分）考点：1.三角函数定义；2.正弦定理；3.恒等变换公式.17．(1) [1,21];(2) k≥2.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得f′(x)=3(x−1)(x−k)，再分k≤1和k>1两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：k=3时，f(x)=x3−6x2+9x+1则f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)令f′(x)=0得x1=1,x2=3列表由上表知函数f(x)的值域为[1,21]（2）方法一：f′(x)=3x2−3(k+1)x+3k=3(x−1)(x−k)①当k≤1时，∀x∈[1,2],f′(x)≥0，函数f(x)在区间[1,2]单调递增所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3即k=53（舍）②当k≥2时，∀x∈[1,2],f′(x)≤0，函数f(x)在区间[1,2]单调递减所以f(x)min=f(2)=8−6(k+1)+3k⋅2+1=3符合题意③当1<k<2时,当x∈[1,k)时，f′(x)<0f(x)区间在[1,k)单调递减当x∈(k,2]时，f′(x)>0f(x)区间在(k,2]单调递增所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3化简得：k3−3k2+4=0即(k+1)(k−2)2=0所以k=−1或k=2（舍）注：也可令g(k)=k3−3k2+4则g′(k)=3k2−6k=3k(k−2)对∀k∈(1,2),g′(k)≤0g(k)=k3−3k2+4在k∈(1,2)单调递减所以0<g(k)<2不符合题意综上所述：实数k取值范围为k≥2方法二：f′(x)=3x2−3(k+1)x+3k=3(x−1)(x−k)①当k≥2时，∀x∈[1,2],f′(x)≤0，函数f(x)在区间[1,2]单调递减所以f(x)min=f(2)=8−6(k+1)+3k⋅2+1=3符合题意…………8分②当k≤1时，∀x∈[1,2],f′(x)≥0，函数f(x)在区间[1,2]单调递增所以f(x)min<f(2)=3不符合题意③当1<k<2时,综上所述：实数k取值范围为k≥218．（1）轨迹是以(4√3，4)为圆心，4为半径的圆；(2) 15(√3－1)【解析】【分析】（1）由题意知点A坐标，设点P（x，y），利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；（2）求得直线l的方程，设|OA|=t、点P（x，y），利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离．【详解】解：（1）设可疑船能被截获的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)，∠AOx=90∘−60∘= 30∘，点A的坐标(3√3，3)，则有√x2+y2=2√(x−3√3)2+(y−3)2化简得(x－4√3)2+(y－4)2=16，轨迹是以(4√3，4)为圆心，4为半径的圆．（2）设点A的坐标(√3t，t)，t＞0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，即有√x2+y2=2√(x−√3t)2+(y−t)2，化简得(x−4√3t3)2+(y−4t3)2=16t29因为M(40，0)，l的倾斜角180∘−30∘=150∘，因此直线方程为l：x+√3y－40=0．由题意，点A在领海内，因此√3t+√3t－40＜0．即0＜t＜20√33．P的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离|4√33t+4√33t−40|2>4t3，即|√33t－5|＞t3，解之得t＞15(√3+1)2(不合，舍去)或0＜t＜15(√3−1)2．又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(√3－1)(海里)．19．（1）x24+y22=1（2）详见解析（3）4．【解析】试题分析：（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为√22得a2=2b2，由椭圆C过点(1,√62)得1a2+32b2=1，即得a2=4，b2=2，则椭圆C的方程x24+y22=1．（2）证明AP⊥OM，一般从坐标表示出发：先设P(x1,y1)，则x12+2y12=4，又由B,P,M三点关系可得M(−2,−4y1x1+2)，从而AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x1+2,y1)⋅(−2,−4y1x1−2)=−2(x1+2)−4y12x1−2=−2×x12−4+2y12x1−2=0，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2）OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x1,y1)⋅(−2,−4y1x1−2)=−2x1−4y12x1−2=−2×x12−2x1+2y12x1−2=−2×4−2x1x1−2=4试题解析：（1）∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，∴a 2=2c 2，则a 2=2b 2，又椭圆C 过点(1,√62)，∴1a2+32b 2=1． 2分∴a 2=4，b 2=2， 则椭圆C 的方程x 24+y 22=1． 4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为y =k(x −2)，设P(x 1,y 1)， 将y =k(x −2)代入椭圆C 的方程x 24+y 22=1中并化简得：(2k 2+1)x 2−4k 2x +8k 2−4=0， 6分 解之得x 1=4k 2−22k 2+1，x 2=2， ∴y 1=k(x 1−2)=−4k 2k 2+1，从而P(4k 2−22k 2+1,−4k2k 2+1)． ８分令x =−2，得y =−4k ，∴M(−2,−4k)，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4k)． 9分 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4k 2−22k 2+1+2,−4k2k 2+1)＝(8k 22k 2+1,−4k2k 2+1)， 11分 ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−16k 22k 2+1+16k22k 2+1=0， ∴AP ⊥OM ． 13分（3）OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(4k 2−22k 2+1,−4k2k 2+1)⋅(−2,−4k)=−8k 2+4+16k 22k 2+1=8k 2+42k 2+1=4．∴OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值4． 16分 考点：直线与椭圆位置关系，椭圆方程 20．（I ）a n =1（II ）λ>13【解析】试题分析：（I ）λ=0时，S n+1=a n+1a nS n +a n+1,变形得S n+1a n+1=S n a n+1，即数列{Sn a n}为一个等差数列，从而S n a n=1+n −1=n ，再根据a n+1=S n+1−S n 得a n+1=(n +1)a n+1−na n ⇒a n+1=a n =1；也可变形为S n =a n+1a nS n ，即a n+1=a n ，从而有a n =1（II ）同（I ）可得S n+1a n+1−S n a n=λ⋅3n +1，再利用叠加法得到S n =(λ⋅3n −32+n)⋅a n ，利用a n+1=S n+1−S n 得(λ⋅3n+1−32+n)⋅a n+1= (λ⋅3n −32+n)⋅a n ，因为a n+1<12a n 对一切n ∈Ν∗恒成立，可化简为λ⋅3n −32+n <12(λ⋅3n+1−32+n)对一切n ∈Ν∗恒成立，变量分离得λ>2n3n +3对一切n ∈Ν∗恒成立，下面只需求出b n =2n3n +3最大值即可，利用求数列单调性方法得b 1=b 2=13是一切b n 中的最大项，因此λ>13试题解析：解：（I ）λ=0时，S n+1=a n+1a nS n +a n+1．又a n+1=S n+1−S n ，∴ S n =a n+1a nS n ．∵ a n >0，∴ S n >0．∴ a n+1=a n ． ∵ a 1=1，∴ a n =1．（II ）∵ S n+1=a n+1a nS n +(λ⋅3n +1)a n+1，a n >0，∴ S n+1a n+1−Sn a n=λ⋅3n +1．则S2a 2−S1a 1=λ⋅3+1，S 3a 3−S 2a 2=λ⋅32+1，⋅⋅⋅，S n a n−Sn−1a n−1=λ⋅3n−1+1（n ≥2）．相加，得Sn a n−1=λ⋅(3+32+⋅⋅⋅+3n−1)+n −1．则S n =(λ⋅3n −32+n)⋅a n （n ≥2）．上式对n =1也成立，∴ S n =(λ⋅3n −32+n)⋅a n （n ∈Ν∗）． ①∴ S n+1=(λ⋅3n+1−32+n +1)⋅a n+1（n ∈Ν∗）． ②②−①，得a n+1=(λ⋅3n+1−32+n +1)⋅a n+1−(λ⋅3n −32+n)⋅a n ，即(λ⋅3n+1−32+n)⋅a n+1=(λ⋅3n −32+n)⋅a n ．∵ λ≥0，∴ λ⋅3n −32+n >0，λ⋅3n+1−32+n >0．∵ a n+1<12a n 对一切n ∈Ν∗恒成立， ∴ λ⋅3n −32+n <12(λ⋅3n+1−32+n)对一切n ∈Ν∗恒成立．即λ>2n3n +3对一切n ∈Ν∗恒成立．记b n =2n3n +3，则b n −b n+1=23n +3−23n+1+3=(4n−2)3n −6(3n +3)(3n+1+3)． 当n =1时，b n −b n+1=0；当n ≥2时，b n −b n+1>0； ∴ b 1=b 2=13是一切b n 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是λ>13．考点：由和项求通项，叠加法求和，数列单调性。
海安县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
海安县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定3． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2 B ．x 3﹣2x 2 C ．﹣x 3+2x 2 D ．﹣x 3﹣2x 24． 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能5． 已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ） A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）6． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5} C ．{1，2，3，4，5} D ．∅7． 设集合A={x||x ﹣2|≤2，x ∈R}，B={y|y=﹣x 2，﹣1≤x ≤2}，则∁R （A ∩B ）等于（ ）A ．RB ．{x|x ∈R ，x ≠0}C ．{0}D ．∅8． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.9． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法10．若方程x 2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（4，+∞）D ．（0，4）11．已知函数f （x ）=，则的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．312．为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位二、填空题13．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．14．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1，=S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．16．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3cos()4A B π-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．17．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．18．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．三、解答题19．已知向量=（x ，y ），=（1，0），且（+）•（﹣）=0．（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）设曲线C 与直线y=kx+m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m 的取值范围．20．已知等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．22．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．23．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．24．设函数，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．海安县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2AD=2，A1（1，0，2），C1（0，1，2），=（﹣1，1，0），B（1，1，0），G（0，1，1），=（﹣1，0，1），设直线A1C1与BG所成角为θ，cosθ===，∴θ=60°．故选：C．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．2．【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3． 【答案】A【解析】解：设x ＜0时，则﹣x ＞0，因为当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2所以f （﹣x ）=（﹣x ）3﹣2（﹣x ）2=﹣x 3﹣2x 2，又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），所以当x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=x 3+2x 2，故选A ．4． 【答案】D【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．5． 【答案】A【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A ．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．6． 【答案】B【解析】解：∵C U A={1，5}∴B ∪（∁U A ）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B ．7． 【答案】B【解析】解：A=[0，4]，B=[﹣4，0]，所以A ∩B={0}，∁R （A ∩B ）={x|x ∈R ，x ≠0}， 故选B ．8． 【答案】C.【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C. 9． 【答案】C【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，∴是系统抽样法，故选：C．【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．10．【答案】C【解析】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．11．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=3﹣2=．故选：A．12．【答案】A【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．二、填空题13．【答案】 2x ﹣y+1=0 ．【解析】解：由题意得，y ′=（x+e x ）′=1+e x，∴点A （0，1）处的切线斜率k=1+e 0=2，则点A （0，1）处的切线方程是y ﹣1=2x ，即2x ﹣y+1=0，故答案为：2x ﹣y+1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．14．【答案】2016【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ，则由(0)0f =，得0063e 032eba -=，整理，得2016ab =．15．【答案】 ．【解析】解：S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ，∴S n+1﹣S n =S n+1S n ，∴=﹣1，=﹣1，∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，∴=﹣1+（n ﹣1）×（﹣1）=﹣n ．∴S n =﹣，n=1时，a 1=S 1=﹣1，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=．∴a n =．故答案为：．16．【答案】【解析】17．【答案】2．【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），∴z=，∴|z|===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．18．【答案】5【解析】考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由题意向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，∴，化简得，∴Q点的轨迹C的方程为．…（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则，从而，，…又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．则，即2m=3k2+1，②将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，解得，故所求的m的取值范围是（，2）．…（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得﹣1＜m＜1．…综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）由a2+2，a3，a4﹣2成等比数列，∴=（a2+2）（a4﹣2），（1+2d）2=（3+d）（﹣1+3d），d2﹣4d+4=0，解得：d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）b n ===（﹣），S n = [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（1﹣），=，数列{b n }的前n 项和S n ，S n =．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得： 10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A ，B ， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C ，D ，E ，F ， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ）， （B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：（A ，B ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共7个，所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．22．【答案】【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，由正弦定理得，则，∴，得cosA=，由余弦定理得，cosA==，∴=，化简得，n=4，∴a=4、b=5、c=6，cosA=，又0＜A＜π，∴sinA==，∴△ABC的面积S===．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，2016）；h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）；∴f（x）﹣g（x）为奇函数；（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；∴；解得﹣2016＜x＜0；∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．24．【答案】【解析】解：∵，∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；且f（﹣）=﹣﹣×+2×+5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；故f max（x）=f（2）=7；故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；故实数m的取值范围为（7，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．。
海安县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
海安县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（）B ．（，]C ．（） D ．（]2． 已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 3． sin 3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（ ） A ．sin1.5sin 3cos8.5<< B ．cos8.5sin 3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin 3<<D ．cos8.5sin1.5sin 3<<4． =（ ） A ．2B ．4C ．πD ．2π5． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D26． 对于区间[a ，b]上有意义的两个函数f （x ）与g （x ），如果对于区间[a ，b]中的任意数x 均有|f （x ）﹣g（x ）|≤1，则称函数f （x ）与g （x ）在区间[a ，b]上是密切函数，[a ，b]称为密切区间．若m （x ）=x 2﹣3x+4与n （x ）=2x ﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ）A ．[3，4]B ．[2，4]C ．[1，4]D ．[2，3]7． 数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣1D ．18． 设集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|log 2x ＜0}，则M ∩N 等于（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（1，3）9． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）A ．B ．C ．D ．10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（ ）A ．11？B ．12？C ．13？D ．14？11．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,2]上是增函数，则 A 、(25)(11)(80)f f f -<< B 、(80)(11)(25)f f f <<- C 、(11)(80)(25)f f f <<- D 、(25)(80)(11)f f f -<<二、填空题13．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．14．若函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．15．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．16．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________. 17．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）18．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题19．已知正项等差{a n }，lga 1，lga 2，lga 4成等差数列，又b n=（1）求证{b n }为等比数列．（2）若{b n }前3项的和等于，求{a n }的首项a 1和公差d ．20．已知函数f （x0=．（1）画出y=f （x ）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间； （2）解不等式f （x ﹣1）≤﹣．21．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*∈N n ），11=a ，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .22．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为BB 1中点． （Ⅰ）证明：AC ⊥D 1E ；（Ⅱ）求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面AD 1E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由．23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若四边形BCCB1是正方形，且A1D=，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．124．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=，b=，求△ABC的面积．海安县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：∵函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ）， ∴函数f （x ）关于x=m 对称，若φ∈（，），则sin φ＞cos φ，则由f （sin φ）=f （cos φ）， 则=m ，即m==（sin φ×+cos αφ）=sin （φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin （φ+）＜，则＜m ＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．2． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21'f x x=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 3． 【答案】B 【解析】试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为8.522πππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，∴cos8.5sin 3sin1.5<<． 考点：实数的大小比较.4． 【答案】A【解析】解：∵（﹣cosx ﹣sinx ）′=sinx ﹣cosx ，∴==2．故选A．5．【答案】C【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.6．【答案】D【解析】解：∵m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，∴m（x）﹣n（x）=（x2﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x2﹣5x+7．令﹣1≤x2﹣5x+7≤1，则有，∴2≤x≤3．故答案为D．【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基础题．7．【答案】D【解析】解：∵a1=3，a n﹣a n•a n+1=1，∴，得，，a4=3，…∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1，∵2016=3×672，∴A2016 =（﹣1）672=1．故选：D．8．【答案】C【解析】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，N={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题，解题时要注意一元二次不等式和对数函数等知识点的合理运用．9． 【答案】A【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23） 且3+log 23＞4∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=故选A ．10．【答案】C【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值，若输出的结果是，则最后一次执行累加的k 值为12， 则退出循环时的k 值为13， 故退出循环的条件应为：k ≥13？， 故选：C【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．【答案】B【解析】解：在圆上其他位置任取一点B ，设圆半径为R ， 则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR ，则AB 弦的长度大于等于半径长度的概率P==．故选B ．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．12．【答案】D【解析】∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=，∴()f x 的周期为8，∴(25)(1)f f -=-，)0()80(f f =，(11)(3)(14)(1)(1)f f f f f ==-+=--=，又∵奇函数)(x f 在区间[0,2]上是增函数，∴)(x f 在区间[2,2]-上是增函数， ∴(25)(80)(11)f f f -<<，故选D.二、填空题13．【答案】 （0，）∪（64，+∞） ．【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），又f （x ）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，∴x ＞64或0＜x ＜．即不等式的解集为{x|x ＞64或0＜x ＜}故答案为：（0，）∪（64，+∞）【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．14．【答案】﹣2【解析】解：函数f （x ）=﹣m 的导数为f ′（x ）=mx 2+2x ，由函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，即有f ′（1）=0，即m+2=0，解得m=﹣2，即有f ′（x ）=﹣2x 2+2x=﹣2（x ﹣1）x ，可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．故答案为：﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．15．【答案】D 【解析】16．【答案】或 【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数是或． 考点：等差数列的性质．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出150a d +=，所以60a =是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．17．【答案】 ①③⑤【解析】解：建立直角坐标系如图：则P 1（0，1），P 2（0，0），P 3（1，0），P 4（1，1）．∵集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；对于③，∵集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），∴•=1；•=1；•=1；•=1；∴当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值，故③正确；④同理可得，当x=﹣1时，（i ，j ）有4种不同取值，故④错误；⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i ，j ）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2； 当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0， ∴M 中的元素之和为0，故⑤正确． 综上所述，正确的序号为：①③⑤， 故答案为：①③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．18．【答案】7 14⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】三、解答题19．【答案】【解析】（1）证明：设{a n}中首项为a1，公差为d．∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，∴a22=a1a4．即（a1+d）2=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．当d=0时，a n=a1，b n==，∴=1，∴{b n}为等比数列；当d=a1时，a n=na1，b n==，∴=，∴{b n}为等比数列．综上可知{b n}为等比数列．（2）解：当d=0时，S 3==，所以a 1=；当d=a 1时，S 3==，故a 1=3=d ．【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．20．【答案】【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得或，解得x ≤﹣1或≤x ≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪ [，]．【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．21．【答案】（1）12-=n a n ,nn b 21=；（2）n n n T 2323+-=. 【解析】试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，求出d ，然后求解n b ；（2）写出nn n T 212...232321321-++++=利用错位相减法求和即可． 试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，] 所以)24(2)2(2d d +=+ 0>d ，∴2=d ∴122)1(1-=⨯-+=n n a n又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即nn b 21=（6分）考点：数列的求和． 22．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接BD∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC …1分 在长方形ABCD 中，AB=BC ，∴BD ⊥AC …2分 又BD ∩D 1D=D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，…3分 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E …4分（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则A （1，0，0），D 1（0，0，2），E （1，1，1），B （1，1，0），∴…5分设平面AD1E的法向量为，则，即令z=1，则…7分∴…8分∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则∵BP∥平面AD1E∴，即，∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．23．【答案】【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DO∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，四边形BCCB1是正方形，且A1D=，1∴CD⊥AB，CD==，AD=1，∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，∵，∴，∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，∵底面△ABC是等边三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，则sinθ===．∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（﹣）=π，∴ω==2，又x=时，2×+φ=+2kπ，得φ=2kπ﹣，（k∈Z）又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）…6分（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣）=，∵a＜c，∴A为锐角，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，得A=，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣2，即：c2﹣3c﹣4=0，∵c＞0，∴解得c=4．∴△ABC的面积S=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．。
2019-2020学年江苏省海安高级中学高二12月月考数学试题 含答案
江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++L ＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 110．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．－1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()11ef '-＝，则a ＋b ＝ ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题．（1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）设函数()1f x ax x b ++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中ABAB()C H()D GEF图1 BCDEFHGA图2BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分15分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．23．（本小题满分15分）已知椭圆C ：22214y x a+＝（a ＞2），直线l ：y ＝kx ＋1（k ≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点，D 为AB 的中点（O 为坐标原点）．（1）若直线l 与直线OD 的斜率之积为12-，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO＝．若∠∠存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】BCD12．【答案】AD13．【答案】BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．【答案】9+15．【答案】116．【答案】) 312+17．【答案】1322升20122升三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）【答案】19．（本小题满分12分） 【答案】 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围成的三角形的面积为定值2.20．（本小题满分14分） 【答案】21．（本小题满分14分） 【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分 又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =I所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，2AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面I BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE =································· 9分（3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==u r u u u r, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =r ，因为(1,0,1)BA =-u u u r ，(1,1,0)BC =-u u u r由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n =r ············································· 12分 所以||3cos 3||||m n m n θ⋅==u r r u r r ，即二面角C AB E --的余弦值为33 14分22．（本小题满分15分）【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝， 又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b 由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4）， 原点O 到直线l 的距离d ＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分23．（本小题满分15分）【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴. 所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴. 即，∴.由（1）知，，∴. ∴. 所以存在定点使得.------14分。
海安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
海安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．24D ．482． 在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形的形状一定是（ ） A ．等腰直角 B ．等腰或直角 C ．等腰D ．直角3． 若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．54． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 5． 已知椭圆，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．86． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A ．（￢p ）∨qB ．p ∨qC ．p ∧qD ．（￢p ）∧（￢q ） 7． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ）A．1372 B．2024 C．3136 D．44958．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A．B．C．D．9．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞）D．（﹣∞，]10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（）A．（0，1）∪（2，3）B．（0，1）∪（3，4）C．（1，2）∪（3，4）D．（1，2）∪（2，3）11．已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣312．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若﹣+1=0，则角B的度数是（）A．60°B．120°C．150°D．60°或120°二、填空题13．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm和4cm,侧棱长为2cm,则其表面积为__________2cm.14．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．15．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.16．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是．17．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为海里．18加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12 350002015年5月15日48 35600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升．三、解答题19．设函数f （θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x ，y ），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求f （θ）的值；（Ⅱ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝12x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．21．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．22．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；（Ⅱ）求侧面积S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．23．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x 不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？24．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；（1）求ω，φ；（2）将y=f （x ）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象，若y=g （x ）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．（3）对任意的x ∈[，]时，方程f （x ）=m 有两个不等根，求m 的取值范围．海安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．2．【答案】B【解析】因为，所以由余弦定理得，即，所以或，即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B答案：B3．【答案】C【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴y=+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴y=+的最小值是4．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．【答案】A.【解析】5．【答案】D【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．6．【答案】B【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，可推出￢p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．7．【答案】C【解析】【专题】排列组合．【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．故选：C．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．8．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．9．【答案】B【解析】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．10．【答案】D【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0，∴（x﹣2）f（x）＞0；当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0，∴（x﹣2）f（x）＞0；∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）故选：D【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．11．【答案】A【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠，解得a=﹣3，或a=1．故选：A．12．【答案】A【解析】解：根据正弦定理有：=，代入已知等式得：﹣+1=0，即﹣1=，整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），又∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，可得2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=，则B=60°．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二、填空题13．【答案】20 【解析】考点：棱台的表面积的求解.14．【答案】．【解析】解：由题意可得，2a ，2b ，2c 成等差数列 ∴2b=a+c∴4b 2=a 2+2ac+c 2①∵b 2=a 2﹣c 2②①②联立可得，5c 2+2ac ﹣3a 2=0∵∴5e 2+2e ﹣3=0∵0＜e ＜1∴故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题15．【答案】54【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.16．【答案】64．【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28∴甲的中位数为28乙的得分共有9个，中位数为36∴乙的中位数为36则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64故答案为：64．【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．17．【答案】24【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC==24海里，则这时船与灯塔的距离为24海里．故答案为：24．18．【答案】8升．【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．三、解答题19．【答案】【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f （θ）===2（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC ）如图所示， 其中A （1，0），B （1，1），C （0，1）．因为P ∈Ω，所以0≤θ≤，∴f （θ）==，且，故当，即时，f （θ）取得最大值2；当，即θ=0时，f （θ）取得最小值1．【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．20．【答案】【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得h ′（x ）＝1x ，（x ＞0），则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.（2）φ（x ）＝12x 2＋x ＋a －e x ，φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －32）＜0，∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －32）．21．【答案】【解析】（1）解：赞成率为，被调查者的平均年龄为20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43 （2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴．【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面积S ABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cos+1），θ∈（0，），设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，θ∈（0，），即θ=时，木梁的侧面积s最大．所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．∴当θ=时，体积V最大．23．【答案】【解析】解：（1）…=…定义域是（0，7]…（2）∵，…当且仅当即x=6时取=…∴y≥80×12+1800=2760…答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…24．【答案】【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象，可得•=，求得ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣）的图象，∵y=g（x）图象的一个对称点为（，0），∴2•+2θ﹣=kπ，k∈Z，∴θ=﹣，故θ的最小正值为．（3）对任意的x∈[，]时，2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈，即f（x）∈，∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[，]时的图象可得，1≤m＜2．。
江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期12月月考试题(含解析)
江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期12月月考试题（含解析）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设全集．若集合，，则．【答案】【解析】因为，所以考点：集合运算2.已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为_______.【答案】【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.【答案】【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】试题分析：由题意，则，而双曲线的渐近线方程为，因此方法为．考点：双曲线的性质．6.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形7.方程的解为．【答案】【解析】设，则考点：解指对数不等式8.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.视频9.若，则【答案】【解析】试题分析：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．考点：三角恒更变化．视频10.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.11.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】若f（x）无最大值，则，或，解得答案．【详解】f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：【点睛】本题主要考查导数和分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此考点：向量数量积，解三角形13.已知圆O：，定点，过点A的直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C 均在x轴上方，若OC平分，则直线l的斜率为________.【答案】【解析】由角平分线的定义知，设出点B（x1，y1），由此求出点C的坐标，代入圆的方程求出x1，y1，得出点B的坐标，从而求出直线l的斜率k AB．【详解】由OC平分∠AOB知，，设点B（x1，y1），点C（x，y），则，即（x﹣x1，y﹣y1）（3﹣x，﹣y），由向量相等解得x，y y1；又1, ①x2+y21，∴,②；由①②解得x1，y1＝±，∴点B（，）；∴直线l的斜率为k AB．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线定理与直线和圆的方程应用问题，是中档题．14.已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数a，b满足2a+b=3，∴2a+b+2=5，则=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是．故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB的中点.（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：EF∥平面PCD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2) 取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.【详解】（1）∵，且为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵面，∴PE⊥BC.（2）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为平行四边形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.16.已知函数="4tan" xsin（）cos（）.（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f（x）在区间[]上单调性.试题解析：（Ⅰ）的定义域为..所以,的最小正周期（Ⅱ）令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．视频17.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【答案】（1）否；（2）小时.【解析】【分析】建立直角坐标系，则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P 的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【详解】（1）如图建立直角坐标系，则城市，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，10小时后，km，台风的半径为160km，因为，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，即，解得答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.【点睛】本题考查圆的性质在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程．18.已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】分析：（1）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.详解：（Ⅰ）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，，则，，则，易得当时，，故的最大值为．（Ⅲ）设，，，，则①，②，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.19. （本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．【答案】（Ⅰ）【解析】参考标准答案.本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.视频20.已知函数，．（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）求出，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围．（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，从而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）则=2t+2﹣=，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3．【详解】（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由，得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．（3），因为，所以，即，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
海安县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
海安县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． △ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．± 2． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）A ．B ．y=﹣2x+5C ．y=lnxD ．y=3． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 4． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD5． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）6． 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）P （K 2＞k ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.7081.3232.072 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%7． 若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan （ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8． 执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（ ）A ．19B ．42C ．47D ．899． 若函数1,0,()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩则(3)f -的值为（ ）A ．5B ．1-C ．7-D ．210．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆被双曲线C 截得劣弧长为23a π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．65BC ．5D 11．下列命题中错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形12．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题13．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．14．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 16．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．17． 设函数()x f x e =，()ln g x x m =+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-；③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22em <-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.18()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．三、解答题19．设{a n }是公比小于4的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a 1=1，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =lna 3n+1，n=12…求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．21．在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥AE ．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．23．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．24．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分A B C D E，其频率分布直方图如下图所示．别记为,,,,（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；C D E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中（Ⅱ）该团导游首先在,,随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．海安县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，∴A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则==±=±．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．2．【答案】C【解析】解：对于A，函数y=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．3．【答案】D【解析】考点：不等式的恒等变换.4．【答案】C【解析】根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A 1的坐标为：（0，0，12），B 1的坐标为（11，0，12），C 1的坐标为（11，7，12），D 1的坐标为（0，7，12）；E 的坐标为（4，3，12） （1）l 1长度计算 所以：l 1=|AE|==13。
海安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
海安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]C ．[1，2）D ．（1，2]2． 若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A．＞B．＞C ．|a|＞|b|D ．a 2＞b 23． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 4． 如果过点M （﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A． B． C．D．5． 方程1x -=表示的曲线是（ ）A ．一个圆B ． 两个半圆C ．两个圆D ．半圆6． 已知抛物线28y x =与双曲线2221x y a-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲线的渐近线方程为A 、530x y ±=B 、350x y ±=C 、450x y ±=D 、540x y ±=7． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015228． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ） A ．（0，10）B．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）9． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．10．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n 为（ ） A ．2n ﹣1B ．﹣3n+2C ．（﹣1）n+1（3n ﹣2）D ．（﹣1）n+13n ﹣211．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．12．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．14．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．16．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．17．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．18．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．三、解答题19．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．22．已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23．求下列各式的值（不使用计算器）：（1）；（2）lg2+lg5﹣log 21+log 39．24．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求tan tan AB的值；（Ⅱ）若a =4B π=，求ABC ∆的面积．海安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．2．【答案】A【解析】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．【答案】A【解析】4．【答案】D【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l 的斜率k 的取值范围是[﹣，]．故选：D ．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．5． 【答案】A 【解析】试题分析：由方程1x -=221x -=，即22(1)(1)1x y -++=，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程.6． 【答案】Ａ【解析】：依题意，不妨设点M 在第一象限，且Mx 0，y 0，由抛物线定义，|MF |＝x 0＋p2，得5＝x 0＋2.∴x 0＝3，则y 20＝24，所以M 3，26，又点M 在双曲线上， ∴32a 2－24＝1，则a 2＝925，a ＝35， 因此渐近线方程为5x ±3y ＝0.7． 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数22()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等比数列，T 122015...a a a =，201521...T a a a =，两式相乘，根据等比数列的性质得()()2015201521201513T a a ==⨯，T =201523，故选C.考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 8． 【答案】D【解析】解：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）=f （|x|），因为f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）内单调递增，由f （﹣1）＜f （lg x ），得|lg x|＞1，即lg x ＞1或lg x ＜﹣1，解得x ＞10或0＜x ＜．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．9．【答案】B【解析】10．【答案】C【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n ﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．故选：C．11．【答案】D12．【答案】B【解析】考点：向量共线定理．二、填空题13．【答案】12．【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．14．【答案】．【解析】解：由于角A为锐角，∴且不共线，∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．∴实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．15．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，S n==2﹣（）n﹣1，对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，∴x2+tx+1≥2，x2+tx﹣1≥0，令f（t）=tx+x2﹣1，∴，解得：x ≥或x ≤，∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．16．【答案】()0,2x π∃∈，sin 1≥【解析】试题分析：“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是()0,2x π∃∈，sin 1≥考点：命题否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.17．【答案】 50π ．【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是： =50π．故答案为：50π．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．18．【答案】 ﹣1054 ．【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根， ∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ， ∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程，由（4，3）在椭圆上得，则椭圆方程为；（2）由双曲线有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由题意可得c 2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．20．【答案】【解析】解：（1）由题得=， =1，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=8，b 2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴，=1，两式相减得=0，∵P 是AB 中点，∴x 1+x 2=4，y 1+y 2=2， =k ， 代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l ：x+y ﹣3=0． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是22．【答案】【解析】解：由p：⇒﹣1≤x＜2，方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2≤2，解得1＜|a|≤，当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，综上﹣．【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）=4+1﹣﹣=1；（2）lg2+lg5﹣log21+log39=1﹣0+2=3．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．24．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由1)cos2cosa Bb A c-=及正弦定理得1)sin cos2sin cos sin sin cos+cos sinA B B A C A B A B-==，（3分）cos3sin cosA B B A=，∴tantanAB=6分）（Ⅱ）tan A B==3Aπ=，sin42sin sin3a BbAππ===，（8分）sin sin()C A B=+=，（10分）∴ABC∆的面积为111sin2(3222ab C==（12分）。
海安县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
海安县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，G为CC1中点，则直线A1C1与BG所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．如图所示，阴影部分表示的集合是（）A．（∁U B）∩A B．（∁U A）∩B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）6．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）A． B． C． D．7．己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（）A．B．或C． D．或8．已知函数f（x）=a x﹣1+log a x在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（）A ．B ．C ．2D ．49． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8+2B ．8+8C ．12+4D ．16+411．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞）D ．（0，1）12．将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．二、填空题13．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．14．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．15．已知函数为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．16．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+， 则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．17．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 18．如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．三、解答题19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t ay -=（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。
江苏省海安高级中学2018-2019学年高二上学期12月月考数学试题答案(II卷)
2018-2019江苏省海安高级中学阶段性测试三高二数学（II 卷）1.（本题10分） 已知函数()sin(2)6f x x x π=-，求()f x 在6x π=处的切线方程.【答案】'()sin(2)2cos(2)66f x x x x ππ=-+-，切点为(,)612ππ12k =切线为：1()1226y x ππ-=+-，即；1(2y x =+- 2.（本题10分）如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使PQ →＝12QM →，且PR →·PM →＝0.求动点M 的轨迹C 1；【答案】方法一 设M (x ，y )，P (x 1,0)，Q (0，y 2)，则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R (0，－3)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1(x －x 1)＋(－3)y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简得x 2＝4y .所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．方法二 设M (x ，y )．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫3x 2，y ＝0，B 即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y . 所以动点M 的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．3.（本题10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点．（1））求二面角A DF B --的大小；（2）试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60．【答案】（1）以,,CD CB CE为正交基底，建立空间直角坐标系，则(001),0)E D ，，，，)F,(0B，A ， (2,BD =，(2,0,1)BF =． 面ADF 的法向量(1,0,0)t =，………………………………………………………2分设面DFB 法向量(,,)n a b c =，则0n BD⋅=，0n BF ⋅=，所以0,0.c-=+=令1a =，得1,b c ==，所以(1,1,n =．…………..4分设二面角A DF B --的大小为θ(02πθ<<) 从而1cos cos ,2n t θ=<>=，∴60θ=, 故二面角A DF B --的大小为60．…………………..6分（3）依题意，设(,,0)P a a（0a ≤≤），则(2,1)PF a a =-，CB =． 因为,60PF CB <>=，所以1cos 602==，解得a =…..9分所以点P 应在线段AC 的中点处．……………………………………………….10分4．（本题10分）如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于点A (x 1，y 1)(y 1>0)，和点B (x 2，y 2)，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．（1）若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率；（2）求∠ATF 的最大值．【答案】(1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，T (－1,0)，当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾，所以可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1,2＝2k 2＋4±(2k 2＋4)2－4k 42k 2， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，① 故y 21y 22＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理，得k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1>0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1， 当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时取等号， 因为点A 在第一象限，所以∠ATF 的最大值为π4.。