2020年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2020•开封一模）已知集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝N，则B∩（∁R A）＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1}C．{﹣1，0}D．{0，1，2} 2．（5分）（2020•开封一模）复数的实部小于虚部，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）（2020•开封一模）已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2020•开封一模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，﹣2），则tan2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）（2020•开封一模）已知定义在[m﹣5，1﹣2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f （x）＝2x﹣1，则f（m）的值为（）A．﹣15B．﹣7C．3D．156．（5分）（2020•开封一模）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A．45人B．660人C．880人D．900人7．（5分）（2020•开封一模）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为（）米．A．20B．30C．30D．358．（5分）（2020•开封一模）设函数f（x）＝alnx+bx3在点（1，﹣1）处的切线经过点（0，1），则实数a+b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．19．（5分）（2020•开封一模）已知{F n}是斐波那契数列，则F1＝F2＝1，F n＝F n﹣1+F n﹣2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n＝（）A．10B．18C．20D．2210．（5分）（2020•开封一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2＝a2+b2与C在第一象限的交点为M，若△MF1F2的面积为ab，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．11．（5分）（2020•开封一模）将函数f（x）＝a sin x+b cos x的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数f（x）有下述四个结论：①f（x）的最小正周期为2π②若f（x）的最大值为2，则a＝1③f（x）在[﹣π，π]有两个零点④f（x）在区间[﹣，]上单调其中所有正确结论的标号是（）A．①③④B．①②④C．②④D．①③12．（5分）（2020•开封一模）已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2020•开封一模）已知向量，，若，则m＝．14．（5分）（2020•开封一模）已知点A（0，2），动点P（x，y）的坐标满足条件，则|P A|的最小值是．15．（5分）（2020•开封一模）如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M在大圆上从点M0出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点N0出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON分别扫过的扇形．假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是．16．（5分）（2020•开封一模）若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2020•开封一模）已知等差数列{a n}满足a n+1+n＝2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18．（12分）（2020•开封一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），动点Q到点F的距离比到y轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，且，求直线l的方程．19．（12分）（2020•开封一模）底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求三棱锥F﹣BEG的体积．20．（12分）（2020•开封一模）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001～090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．21．（12分）（2020•开封一模）已知函数，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：∀x∈（﹣∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在上存在极值点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•开封一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ＝，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•开封一模）已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2020•开封一模）已知集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝N，则B∩（∁R A）＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1}C．{﹣1，0}D．{0，1，2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】37：集合思想；49：综合法；5J：集合；65：数学运算．【分析】先求补集，再求交集，注意N为自然数．【解答】解：∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴∁R A＝（﹣2，3），∵B＝N，∴B∩（∁R A）＝{0，1，2}，故选：D．【点评】本题考查集合交集，补集运算，属于基础题．2．（5分）（2020•开封一模）复数的实部小于虚部，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数；65：数学运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于虚部列式求解．【解答】解：∵＝的实部小于虚部，∴＜，解得a＜0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2020•开封一模）已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】49：综合法；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．【分析】与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）（2020•开封一模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，﹣2），则tan2α＝（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【专题】36：整体思想；49：综合法；56：三角函数的求值；65：数学运算．【分析】由三角函数的定义可求tanα，然后再由二倍角正切公式an2α＝即可求解．【解答】解：由三角函数的定义可知，tanα＝﹣2，tan2α＝＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础试题．5．（5分）（2020•开封一模）已知定义在[m﹣5，1﹣2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f （x）＝2x﹣1，则f（m）的值为（）A．﹣15B．﹣7C．3D．15【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】35：转化思想；36：整体思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．【分析】先根据奇函数定义域关于原点对称求出m，然后代入即可求解【解答】解：由奇函数的对称性可知，m﹣5+1﹣2m＝0，∴m＝﹣4，∵x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（m）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣15．故选：A．【点评】本题考查奇函数的性质，转化思想，正确转化是关键．6．（5分）（2020•开封一模）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A．45人B．660人C．880人D．900人【考点】B8：频率分布直方图．【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计；65：数学运算．【分析】利用图形，先算出抽取的总人数，求出C的百分比，最后算出结论．【解答】解：根据图形，抽取的总人数10÷20%＝50，其中C所占的百分比为：12÷50＝0.24，故1000×（0.24+0.2+0.46）＝1000×0.9＝900，故选：D．【点评】考查直方图，扇形统计图，样本估计总体问题等，基础题．7．（5分）（2020•开封一模）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为（）米．A．20B．30C．30D．35【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】先求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，再利用正弦定理求得AC，最后在Rt △ABC中利用AB＝AC•sin∠ACB求得AB的长．【解答】解：如图所示，依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°由正弦定理可知＝∴CE sin∠EAC＝AC sin∠CEA，∴AC＝＝20米∴在Rt△ABC中，AB＝AC•sin∠ACB＝20×＝30米所以旗杆的高度为30米故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决8．（5分）（2020•开封一模）设函数f（x）＝alnx+bx3在点（1，﹣1）处的切线经过点（0，1），则实数a+b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用；65：数学运算．【分析】本题采用求导法先写出函数f（x）在点（1，﹣1）处的切线方程，然后根据题意将点（0，1）代入切线方程，得到关于a、b的一个关系式，再根据f（1）＝1，代入函数f（x）表达式，得b＝﹣1．即可得到实数a+b的值．【解答】解：由题意，f′（x）＝+3bx2，x＞0．∵f′（1）＝a+3b，∴函数f（x）在点（1，﹣1）处的切线方程为：y+1＝（a+3b）（x﹣1）．∵切线经过点（0，1），∴1+1＝（a+3b）（0﹣1），整理，得a+3b＝﹣2．又∵f（1）＝﹣1，代入函数f（x）表达式，得b＝﹣1．∴a＝﹣2﹣3b＝1，∴a+b＝0．故选：C．【点评】本题主要考查利用导数求出在某一点处的切线方程，然后再代入函数值，考查了转化能力，数学计算能力．本题属中档题．9．（5分）（2020•开封一模）已知{F n}是斐波那契数列，则F1＝F2＝1，F n＝F n﹣1+F n﹣2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n＝（）A．10B．18C．20D．22【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；5K：算法和程序框图；65：数学运算．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a，b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，a＝1，b＝1，满足条件i＜10，执行循环，输出斐波那契数列的前2项，a＝2，b＝3，i＝2满足条件i＜10，执行循环，输出斐波那契数列的第3，第4项，a＝5，b＝8，i＝3…每经过一次循环，输出了斐波那契数列的2项，i＝9时，共输出了斐波那契数列的前18项，此时i＝10，不满足条件，退出循环体．故程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，n＝18．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）（2020•开封一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2＝a2+b2与C在第一象限的交点为M，若△MF1F2的面积为ab，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，运用双曲线的定义和勾股定理、以及矩形的周长和面积公式，化简可得a，c的关系，进而得到所求离心率．【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，①由|OM|＝|ON|，|OF1|＝|OF2|，可得四边形F1NF2M为平行四边形，圆O：x2+y2＝a2+b2＝c2，由直径所对的圆周角为直角，可得四边形F1NF2M为矩形，即有m2+n2＝4c2，②S＝mn＝ab，③由①②③可得4c2﹣4ab＝4a2，即为b＝a，可得e＝＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率，考查直径所对的圆周角为直角，以及勾股定理和化简运算能力，属于中档题．11．（5分）（2020•开封一模）将函数f（x）＝a sin x+b cos x的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数f（x）有下述四个结论：①f（x）的最小正周期为2π②若f（x）的最大值为2，则a＝1③f（x）在[﹣π，π]有两个零点④f（x）在区间[﹣，]上单调其中所有正确结论的标号是（）A．①③④B．①②④C．②④D．①③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质；5L：简易逻辑；62：逻辑推理．【分析】利用辅助角公式化积，结合函数的图象平移及对称性求得θ，可得函数f（x）的解析式，然后逐一核对四个命题得答案．【解答】解：f（x）＝a sin x+b cos x＝＝．将f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）＝．∵g（x）的对称中心为坐标原点，∴，得，则θ＝，k∈Z．∴f（x）＝．∴f（x）的最小正周期T＝2π，故①正确；若f（x）的最大值为2，则，a不一定为1，故②错误；由f（x）＝0，得sin（x+）＝0，即sin（x+）＝0，在[﹣π，π]有两个零点，，故③正确；当x∈[﹣，]时，x+∈，当k为偶数时，f（x）单调递增，当k为奇数时，f（x）单调递减，故④错误．∴其中所有正确结论的标号是①③．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查推理运算能力，属中档题．12．（5分）（2020•开封一模）已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题；5F：空间位置关系与距离；64：直观想象．【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形，可以看成两个边长为的等边三角形，由此求出正方体在平面α内的正投影面积．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．因为正三角形的边长为，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），可以看成两个边长为的等边三角形，所以正方体在平面α内的正投影面积是S＝2×＝．故选：B．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2020•开封一模）已知向量，，若，则m＝1．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；65：数学运算．【分析】由题意可得•＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．【解答】解：∵向量，，若，则•＝0，即2×3﹣6m＝0，则m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．14．（5分）（2020•开封一模）已知点A（0，2），动点P（x，y）的坐标满足条件，则|P A|的最小值是．【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】34：方程思想；44：数形结合法；5B：直线与圆．【分析】由题意画出图形，再由点到直线的距离公式求解．【解答】解：动点P（x，y）所满足的可行域如图：则|AP|的最小值转化成点A到直线y＝x的距离d＝，故答案为：．【点评】本题考查点到直线距离公式的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2020•开封一模）如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M在大圆上从点M0出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点N0出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON分别扫过的扇形．假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是．【考点】CF：几何概型．【专题】31：数形结合；49：综合法；5I：概率与统计；65：数学运算．【分析】先分别求出各自运动的面积以及公共面积，结合几何概型的面积比即可求解．【解答】解：如图：由题可得点M运动了两秒钟，OM扫过的是半径为2，圆心角为120°的扇形AOB；且其面积为：×π×22＝；点N运动了两秒钟，ON扫过的是半径为1，圆心角为180°的扇形COF；且其面积为：π×12＝π；公共部分是半径为1，圆心角为30°的扇形COD；其面积为：×π×12＝；∴所求概率：p＝＝．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．16．（5分）（2020•开封一模）若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是．【考点】8H：数列递推式．【专题】23：新定义；31：数形结合；33：函数思想；44：数形结合法；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法；62：逻辑推理．【分析】因为S n＝2a n+2t﹣1，则S n﹣1＝2a n﹣1+2t﹣1，把这两个等式相减，得a n＝2a n﹣2a n﹣1，所以，因为S1＝2a1+2t﹣1，所以a1＝1﹣2t，则数列{a n}是公比为2的等比数列，所以a n＝a1×2n﹣1＝（1﹣2t）×2n﹣1，＝（1﹣2t）×2n﹣2，根据题意得，（a n+1﹣）﹣（a n﹣a n﹣1）＞0，进而得出答案．【解答】解：因为S n＝2a n+2t﹣1，则S n﹣1＝2a n﹣1+2t﹣1，把这两个等式相减，得a n＝2a n﹣2a n﹣1，所以，因为S1＝2a1+2t﹣1，所以a1＝1﹣2t，则数列{a n}是公比为2的等比数列，所以a n＝a1×2n﹣1＝（1﹣2t）×2n﹣1，＝（1﹣2t）×2n﹣2，所以a n﹣a n﹣1＝3（1﹣2t）×2n﹣3，a n+1﹣＝3（1﹣2t）×2n﹣2，（a n+1﹣）﹣（a n﹣a n﹣1）＝3（1﹣2t）×2n﹣2﹣3（1﹣2t）×2n﹣3＞0，解得t＜，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题是考查新定义的“差半递增”数列，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2020•开封一模）已知等差数列{a n}满足a n+1+n＝2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．【分析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n﹣1，相减可得公差d＝1，再令n＝1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1＝2d，所以d＝1，②当n＝1时，a2+1＝2a1+1，所以a1＝1．所以a n＝1+n﹣1＝n；（2），，所以＝．【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18．（12分）（2020•开封一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），动点Q到点F的距离比到y轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，且，求直线l的方程．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】36：整体思想；4P：设而不求法；5C：向量与圆锥曲线；65：数学运算．【分析】（1）由抛物线的定义可知求出Q的轨迹方程；（2）设直线方程与抛物线联立，根与系数的关系及数量积可得直线l的方程．【解答】解：（1）当F不在定直线上时，根据抛物线的定义，知动点Q的轨迹是以F为焦点，以x＝﹣1为准线的抛物线，所以动点Q的轨迹方程E为：y2＝4x．当F在定直线上时，动点Q的轨迹方程E：y＝0（x＜0），综上所述动点Q的轨迹方程E为：y＝0（x＜0）或y2＝4x（2）①当l的斜率不存在时，可知，不符合条件；②当l的斜率存在且不为0时，设l：y＝k（x﹣1），则，联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2＝1．因为向量，方向相反，所以＝，所以k2＝1，即k＝±1，所以直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．【点评】考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．19．（12分）（2020•开封一模）底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求三棱锥F﹣BEG的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；64：直观想象．【分析】（1）连接AC，由题意可知四边形AEGC为平行四边形，得到EG∥AC，再由已知证明EG⊥BF，可得EG⊥平面BDHF，进一步得到EG⊥DF；（2）设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知证明EH∥FG，EF∥HG，得到四边形EFGH 为平行四边形，则P为EG的中点，由OP＝3，DH＝4，由梯形中位线定理得BF＝2．求出三角形BFG的面积，再证明EA∥平面BCGF，可得点A到平面BCGF的距离等于点E 到平面BCGF的距离．然后利用等积法求三棱锥F﹣BEG的体积．【解答】（1）证明：连接AC，由AE∥CG，AE＝CG，可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG∥AC，由题意知AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF，∵BD∩BF＝B，∴EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF；（2）解：设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG，同理可得：EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP∥AE且OP＝AE，由OP＝3，DH＝4，由梯形中位线定理得BF＝2．∴．∵EA∥FB，FB⊂平面BCGF，EA⊄平面BCGF，∴EA∥平面BCGF，∴点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为．∴＝．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）（2020•开封一模）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001～090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．【考点】B4：系统抽样方法；BC：极差、方差与标准差．【专题】12：应用题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计；66：数据分析．【分析】（1）按照系统抽样方法抽出的编号组成等差数列，计算编号之和即为该数列的前10项和，求出即可；（2）（i）由题意分别计算样本的平均数和方差，由此估计所求的平均数和方差；（ii）由题意知样本中A、B题目的成绩大于样本平均值的成绩个数，用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．【解答】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，所以；（2）（i）由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x1，x2， (x6)B题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y1，y2，y3，y4；记样本的平均数为，样本的方差为s2；由题意可知，＝，，i＝1，2， (6)，i＝1，2， (4)＝；所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5，易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为x1，x2，x3；B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为y1，y2；。
【附20套高考模拟试题】2020届河南省开封高中高考数学模拟试卷含答案
（Ⅰ）因为 底面 ， 平面 ，所以
又因为正方形 中， ，
所以 平面
又因为 平面 ，所以
因为 分别是 、 的中点，所以
所以
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知， ， ， 两两垂直，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，设 ，
， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
，解得
设直线 与平面 所成角为 ，则
1.设复数 ，则复数 的共轭复数的模为( )
A． B．1C．2D．
2.设全集 ，函数 的定义域为M，则 为( )
A. B. C. D.
3．偶函数 在 上单调递减，则 的大小关系是( )
A B C D不能确定
4．已知 为等差数列且公差 ，其首项 ，且 成等比数列， 为 的前 项和， ，则 的值为( )
设 ，则由题意知 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，令 ，则 ， ，
所以取 ，显然可取平面 的法向量 ，
由题意： ，所以 .
由于 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
易知在 中， ，从而 ，
所以直线 与平面 所成的角为 .
【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
【解析】
【分析】
（1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】
（1）设数列{an}的公差为d，
2020届河南省开封市高三数学第一次质量检测试卷文科 人教版
2020届河南省开封市高三数学第一次质量检测试卷文科本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立， 其中R 表示球的半径 那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率334R V π=是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发 其中R 表示球的半径 生k 次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．a =（1，3），b =（x ，2）且a ·b =0，则x = （ ）A ．32B ．－6C ．1D ．22．设集合A ={x ||x －2≤2}，x ∈R },B ={y |y =－x 2,－x ≤x ≤2},则 （A ∩B ）等于 （ ） A ．R B ．{x |x ∈且x ≠0} C ．{0} D ．φ 3．已知函数)(1x f y -=的图象过点（1，0），则函数)121(-=x f y 的图象一定过点（ ）A ．（2，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（2，0）4．设数列{a n }是公比为a （a ≠1），首项为b 的等比 数列，S n 是其前n 项和，对任意的n ∈ N *，点（S n ，S n +1）在（ ）A ．直线y=ax +b 上B ．直线y=ax －b 上C ．直线y=bx +a 上D ．直线y=bx －a 上5．下列命题不正确．．．的是（其中l ，m 表示直线，α，β， r 表示平面 （ ）A ．若l ⊥m ，l ⊥α，m ⊥β，则α⊥βB ．若l ⊥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α⊥βC ．若α⊥r ，β//r ，则α⊥βD ．若l //m ，l ⊥α，m ⊂β，则α⊥β6．6人排成一排，要求甲、乙两人中间恰好有1人，且甲，乙都不与丙相邻，则不同的排列方法有 （ ） A ．24 B ．72 C ．48 D ．367．已知F 1，F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，1+2）B ．（1+2，+∞）C ．（1－2，1+2）D ．（2，2+1）8．已知函数=--+=)12()4(cos )4(cos )(22πππf x x x f 则 （ ）A ．21B ．－21C ．23 D ．－23 9．正方体的内切球，与各棱都相切的球，外接球的半径之比为 （ ）A ．1：2：3B ．1：2：3C ．1：2：3D ．1：3：210．函数f (x )=x 2－2ax +a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数xx f x g )()(=在区间（1， +∞）上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数11．已知=（2cos α，2sin α）， =（3cos β，3sin β），与的夹角为60°，则直线x cos α－ysin α+21=0与圆(x －cos β)2+(y+sin β)2=1的位置关系是 （ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定12．某工厂从2020年起，职工每人的年工资（奖金另计）主要由三个项目组成并按下表规定实施，若该工厂某职工在2020年得到住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，则A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．已知5)1cos (+θx 的展开式中x 2的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的二项式系数相等，则cos θ= .14．当x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥020k y x x y x （k 为常数）时，能使Z=x +3y 的最大值为12的k 的值是 .15．f (x )=|3x －x 3|在[－2，2]上的最大值是 . 16．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于点（－43，0）成为中心对称图形，且满足 )2008()2()1(,2)0(.1)1(),23()(f f f f f x f x f +++-==-+-=K 则的值为 . 三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π（1）求函数f (x )的最小正周期； （2）若]2,2[ππ-∈x 时，求f (x )的单调递减区间. 18．（本小题满分12分）某次摸奖活动规定，在装有黑球和红球的盒中，每次摸出一个球，若摸到红球，则该人中奖且摸奖结束；若摸到的是黑球，则放回后，继续摸球，直到摸到红球，但每人最多只能摸10次，且每次摸到红球的概率为P.（1）在这次摸奖活动中，求某人摸奖次数不超过三次就能中奖的概率； （2）在这次摸奖活动中，求某人10次摸奖机会全部用完的概率.如图：将一副三角板拼接，使它们有公共边BC ，且使两个三角形所在平相互垂直，若∠BAC=90°，AB=AC ，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6. （1）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；（2）求二面角A —CD —B 的平面角的正切值.20．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1，数列{b n }中，b n =(3n －2)·a n . （1）求数列{a n }的通项a n ； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ； 21．（本小题满分14分）设函数).32()]2(2[)13(2131)(2223-++'-+--=a a x a f a x a x x f （1）用a 表示)2(a f '；（2）若f(x)的图象上有两条与y 轴垂直的切线，求实数a 的取值范围；（3）当a=2时，求f(x)在[0，3]上的最大值与小值.如图，直角梯形ABCD 中，∠DAB=90°，AD//BC ，AB=2，AD=23，BC=21，椭圆T 以A 、B 为焦点且经过点D.（1）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆T 的方程；（2）若椭圆T 上存在两点M ，N ，使O CN CM =+，求△AMN 的面积.[参考答案]一、选择题： 1—5BBAAB 6—10BABBD11—12AC二、填空题：13．510±14．－9 15．2 16．1 三、解答题：17．解：（1）x x x x x x x f cos sin sin 3)cos 23sin 21(cos 2)(2+-+= )32sin(22cos 32sin )sin (cos 3cos sin 222π+=+=-+=x xx x x x x∴T=π （2）f (x )的减区间为2323222πππππ+<+<+k x k 上单调递减和在在即或又]2,12(]125,2[)(2121252]12,2[12712ππππππππππππππ--≤<-<≤-∴--∈+<<+x f x x x k x k Θ 18．解：每次摸到红球的概率为P ，摸球摸到黑球的概率为1－P.（1）在前3次中奖的概率为P 1=P+（1－P ）P+1（1－P ）2·P=3P －3P 2+P 3（2）在本次摸奖活动中未中奖的概率为（1－P ）10在本次摸奖活动中恰在第10次中奖的概率为（1－P ）9·P ∴某人在这次摸奖活动中，10次摸奖机会全部用完的概率为P 2=（1－P ）10+（1－P ）9·P=（1－P ）[（1－P ）+P]=（1－P ）919．（1）证明：∵平面ABC ⊥平面BCD BD ⊥BC ∴BD ⊥平面ABC ∴AC ⊥BD又∵AC ⊥AB AB ∩BD=B ∴AC ⊥平面ABD∴平面ABD ⊥平面ACD（2）取BC 中点E ，连AE ，则AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCD作EF ⊥CD 于F ，连AF 则AF ⊥CD 则∠AFE 为二面角A —CD —B 的平面角 ∵BC=6∴AE=3=CD∴EF=CE ·sin30°=23 ∴tan ∠AFE=EFAE=2 20．解：（1）∵S n =2a n －1 ① S n －1=2a n －1－1 (n ≥2) ②①－② 得a n =2a n －2a n －1∴a n =2a n －1 ∵a 1=S 1=2a 1－1 ∴a 1=1{a n }是首项为1，公比为2的等比数列 a n =2n －1（2）∵b n =(3n －2)·2n －1∵T n =1+4·2+7·22+…+（3n －2）·2n －1③2T n =1·2+4·22+…+（3n －2）·2n④③－④－T n =1+3(2+22+…+2n －1) －(3n －2)·2n=－5－(3n －5)·2n∴T n =(3n －5)·2n+521．解：（1）f ′(x)=x 2－(3a －1)x+2a 2－f ′(2a)则f ′(2a)=4a 2－6a 2+2a+2a 2－f ′(2a) 得f ′(2a)=a（2）由（1）得f ′(x)=x 2－(3a －1)x+2a 2－a由题可知x 2－(3a －1)x+2a 2－a=0有两个不相等的实数根△=(3a －1)2－4(2a 2－a)=(a －1)2>0⇒a ≠1 （3）a=2 f(x)=31 x 3－25x 2+6x+5 f ′(x)=(x －2)(x －3) f ′(x)=0x 1=2 x 2=3∴f max (x)=f(2)=3f mix (x)=f(0)=5 22．解：（1）以AB 所在直线为x 轴.AB 中垂线为y 轴建立如图坐标系则A （－1，0） B （1，0） C （1，21），D （－1，23） 设椭圆方程)(12222c b a by a x >>=+∵D 在椭圆上149122=+b a ……………………① c 2=1=a 2－b 2…………………………②由①②得a 2=4 b 2=3∴椭圆方程13422=+y x （2）若椭圆上存在两点M （x 1,y 1）N(x 2,y 2)使=+ 则MN 以C 为中点 易知MN 斜率存在 设MN 方程y －21=k(x －1) 由1243124322222121=+=+y x y x 两式相减3(x 1+x 2)+4(y 1+y 2)·k=0⇒k=－23 MN 方程016312430423222=+-⇒⎩⎨⎧=+=-+x x y x y xx 1+x 2=2 x 1x 2=31 66713737821||2113713|40)1(3|378344491||=⋅⋅===-+-==-+=∆d MN S d MN A MN AMN 之距到。
河南省开封市2020届高三数学第一次模拟考试 文
高三数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据1x ,2x ,…n x 的标准差 锥体体积公式 ])()()[(122221x x x x x x n s n -+⋯+-++= Sh V 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V=Sh 24R S π= 334R V π= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U ＝{-2,-1,0,1,2,3}，M={0,1,2}，N ＝{0,1,2,3}，则（∩N=A ．{0,1,2}B ．{-2,-1,3}C ．{0,3}D ．{3}2. i 是虚数单位，复数=+-+=ii z 2332 A ．0 B ．-1 C ．1 D ．-13. 连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则向量(a,b)与向量(1,-1)垂直的概率是A ．125B ．61C ．31D ．21 4. 在等差数列{a n }中，已知a 6=5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11=A ．45B ．50C ．55D ．605. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若b 2+c 2-a 2=56bc ，则cosA 的值为 A.-54 B.54 C.-53 D.53 6. 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是A.若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；B.若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；C.已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β；D.m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直.7. 将函数y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A.y=sin(2x-10π)B.y=sin(2x-5π) C.y=sin(21x-10π) D.y=sin(21x-[20π) 8. 如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于A ．7B ．8C ．10D ．119. 对于函数y=f(x),x ∈R,“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h=A ．23 B ．3 C ．33 D ．5311. 设点P 为抛物线C ：（x+1）2=y-2上的点，且抛物线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为［0,4π］，则点P 横坐标的取值范围为 A ．［21,1］ B ．［0,1］ C ．［-1,0］ D ．［-1,-21］ 12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前10项的和S 10＝A ．210-1B ．29-1 C ．45 D ．55第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，则( )A. B. C. D.2. 设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 若是纯虚数，则实数( )A. B. 2 C. D. 34. 已知中，D为BC边上一点，且，则( )A. B. C. D.5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为( )A. 4B. 2C.D.7. 已知，则的最大值为( )A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足的x 的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知数列的前n项和，若，则( )A. 7B. 8C. 9D. 1010. 已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则( )A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为( )①平面ABCD；②平面平面；③直线MN与所成的角为；④直线与平面所成的角为A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知点，，，则______ .14. 已知函数，则______ .15. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部最细处的直径为______16.在数列中，，记是数列的前n项和，则______ .17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为240、160、单位：件，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取7件样品进行检测.求抽取的7件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；设抽取的7件商品分别用A、B、C、D、E、F、G表示，现从中再随机抽取2件做进一步检测.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2件商品来自不同地区”，求事件M发生的概率.18.在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，求的值；若，求19. 如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，证明：平面ABC；求三棱锥的体积.20. 已知函数，若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；当时，求在上的最小值.21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.求椭圆的方程；以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记的面积为S，若，求直线l的斜率.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，为曲线C 上一点的坐标.将曲线C的参数方程化为普通方程；过点O任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点A，B，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程，并化为普通方程.23. 已知函数当时，求的最小值；若，时，对任意，使得不等式恒成立，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故选：先求得，再运算可得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p：，为全称量词命题，则为：，故选：根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：为纯虚数，则，解得故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为，所以所以故选：利用向量的线性运算即可求得．本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设圆锥母线长为l，高为h，底面半径为，则由得，所以，所以故选：由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由可得，，即甲同学成绩的方差为故选：由平均数相等求出m，再求方差．本题主要考查了茎叶图的应用，考查了方差的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点A时，z有最大值，由，解得，平移直线经过点A时，z有最大值，故选：作出可行域，根据简单线性规划求解即可．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为是定义域为R的偶函数，所以，又在上单调递减，所以在上单调递增，若，则，解得故选：利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案．主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①，当时，，当时，②，由①-②得，当时，符合上式，，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，，，，解得，故选：根据数列的与的关系，可得数列是等差数列，根据等差数列的性质和前n项和公式，即可得出答案．本题考生数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：，，，即，，，点M在C上，，设，，即，则，，令，当时，有最大值，且最大值为4，即时，最大值为4，当时，有最小值，且最小值为，即，时，最小值为1，综上所述，最小值为1，最大值为4，故选：由题意得，，，再由椭圆的定义可得，设，则，令，利用二次函数的性质，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：在正方体中，点M，N分别是，的中点，以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则，，，，，，，由正方体的性质可知：平面ABCD，则平面ABCD的法向量为，，，，平面ABCD，平面ABCD，故①正确；设平面的法向量为，，，，取，得，同理可求出平面的法向量，，，平面平面，故②正确；，，，异面直线所成的角范围为直线MN与所成的角为，故③正确；设直线与平面所成的角为，，平面的法向量为，，直线与平面所成的角不是，故④错误．故选：以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，利用向量法求解．本题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、异面直线所成角、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：依题意得若函数为不动点函数，则满足，即，即，设，，令，解得，当时，，所以在上为增函数，当时，，所以在上为减函数，所以，当时，，当时，，所以的图象为：要想成立，则与有交点，所以，对应区间为故选：根据题意列出关于和a的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点．本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：，，，则，，故故答案为：根据已知条件，求出，，再结合平面向量的数量积公式，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，故答案为：利用三角函数的恒等变换化简得，进而可求得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由已知，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，由已知可得，，且，所以，所以双曲线方程为，底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：，解得：，，所以喉部最细处的直径为故答案为：由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出a，b之间的关系，由题意底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部最细处的直径．本题主要考查了双曲线的性质在实际问题中的应用，属于中档题．16.【答案】110【解析】解：由题意可得，当n为奇数时，，，数列的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，则可令，，故，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故答案为：由题干递推公式分n为奇数和偶数两种情况进行分析，当n为奇数时可得数列的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，进一步计算出当n为奇数时数列的通项公式，当n为偶数时可得，在求前20项和的值运用分组求和法、等差数列求和公式即可计算出结果．本题主要考查由数列递推公式推导出前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．17.【答案】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7件商品，因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、件；从抽取的7件商品中随机抽取2件商品的所有可能结果为：AB、AC、AD、AE、AF、AG、BC、BD、BE、BF、BG、CD、CE、CF、CG、DE、DF、DG、EF、EG、FG；不妨设抽取的7件商品中，来自甲地区的是A、B、C，来自乙地区的是D、E，来自丙地区的是F、G，则从抽取的7件商品中随机抽取的2件商品来自相同地区的所有可能结果为：AD、AE、AF、AG、BD、BE、BF、BG、CD、CE、CF、CG、DF、DG、EF、EG，共16种，所有的基本事件共21种，故【解析】利用分层抽样可计算得出所抽取的7件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；利用列举法可列举出所有的基本事件；列举出事件M所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值．本题主要考查了分层抽样的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．18.【答案】解：，，，则，由正弦定理得，又，则，又A，B均为三角形内角，，即，又，即，即，又，则；若，则，由得，由余弦定理可得，即，解得或，当时，，则，即为等腰直角三角形，又，此时不满足题意，故【解析】先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，即可得出答案；由得的值，根据余弦定理公式展开列方程求解c，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：取CF的中点D，连接DM，DN，，N分别是AF，CE的中点，，，又平面ABC，平面ABC，平面ABC，又，，同理可得，平面ABC，平面MND，平面MND，，平面平面ABC，平面MND，平面ABC；解：取AB的中点O，连接OC，OE，由已知得且，是平行四边形，且，是正三角形，，平面平面ABEF，平面平面，平面ABEF，又平面ABEF，，设，在中，由，解得，即，由题意，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离，又平面ABC，【解析】取CF的中点D，连接DM，DN，证明平面平面ABC，原题即得证；取AB的中点O，连接OC，OE，设，由勾股定理即可求出a，进而可求解三棱锥的体积．本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．20.【答案】解：由已知可得：恒成立，即恒成立，又的最小值为，所以，则有；当时，，，所以，令在上单调递减，又因为，所以存在使得，即，从而，则有x正负递增递减则有最大值为：，所以，则在上单调递减，所以最小值为【解析】由已知可得：即可求解；结合导数和隐零点替换即可求解最值．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：由，，，，椭圆的长半轴，短半轴，椭圆的方程为；设直线l的斜率为k，方程为，联立方程，消去y得，，设，，，，又直线l与圆相切，，，，，，，解得或，或，即直线l的斜率为或【解析】由题意可得，，所以椭圆的长半轴，短半轴，从而得到椭圆的标准方程；设直线l的斜率为k，方程为，与椭圆的标准方程联立，利用韦达定理结合弦长公式可得，由直线l与圆相切，可得，所以，又因为，所以，所以，从而求出k的值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线C的参数方程为为参数，消去参数t可得：，将点代入可得，所以曲线C的普通方程为；由已知得OA，OB的斜率存在且不为0，设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为，联立方程，可得，同理可得，设，所以为参数，所以，所以，即为点M轨迹的普通方程．【解析】根据曲线C的参数方程为为参数，消去参数t求解；设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解．本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，当，，；当，，；当，，；当时，的最小值为证明：，，当时，恒成立可化为恒成立，令，，，，，当且仅当时取得等号；又当时，，故【解析】分段求解的最小值和范围，即可求得结果；将问题转化为，结合二次函数在区间上的最值和基本不等式，即可证明．本题考查了分段函数的最值问题以及不等式的证明问题，属于中档题．。
河南省开封市2020届高三12月一模考试数学(文)试题 Word版含解析
开封市2020届高三第一次模拟考试数学（文科）试题注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 参考公式：样本数据1x ，2x ，…n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24S R π= 343V R π=其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|23A x x x =≤-≥或，B N =，则()R B C A =（ ）A.1,0,1,2B. {}1-C. {}1,0-D. {}0,1,2【答案】D【解析】 【分析】根据补集定义先求得R C A ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{|2A x x =≤-或}3x ≥ 所以{}|23R C A x x =-<< 因为B N =则(){}0,1,2R B C A ⋂= 故选:D【点睛】本题考查了集合补集与交集的混合运算,属于基础题. 2.复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. (),1-∞C. ()0,∞+D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】将复数化简后求得实部与虚部,即可根据实部小于虚部求得实数a 的取值范围. 【详解】根据复数的除法运算,则()()()()()1+1+1+11111222a i i a a i a i a ai i i i +--+-===+++- 所以实部为+12a ,虚部为12a - 由实部小于虚部可知+1122a a-< 解不等式可得0a <即实数a 的取值范围为(),0-∞ 故选:A【点睛】本题考查了复数的概念,复数除法运算,属于基础题.3.已知a →,b →为非零向量，则“•0a b >”是“a →与b →夹角为锐角”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角或零角，若a 与b 夹角为锐角，则一定有0a b ⋅>，所以“0a b ⋅>”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求得tan α,结合正切的二倍角公式即可求得tan2α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2-由三角函数定义可得2tan 21α-==- 根据正切的二倍角22tan tan21tan ααα=-代入可得()()2224tan 2312α⨯-==-- 故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.5.已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21xf x =-，则()f m 的值为（ ） A. -15 B. -7C. 3D. 15【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题. 6.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%.其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有（ ）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人【答案】D 【解析】 【分析】根据A 等级的人数和占比,可计算出样本容量.再根据扇形图可计算出A 、B 、C 等级一共的人数,即可估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数.【详解】由条形图和扇形统计图可知,在抽取的部分学生中A 等级共有10人,占样本容量的20%所以样本容量为105020%= 则样本中B 等级人数为5046%23⨯=人 由条形图可知样本中C 等级人数为12人所以在样本中C 级及以上级别的学生人数为10231245++=人 则该年级拿到C 级及以上级别的学生人数为45100090050⨯=人 故选:D【点睛】本题考查了条形图与扇形图在统计中的应用,样本与总体的关系,属于基础题. 7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度约为（ ）A. 103B. 22米C. 30米D. 35米【答案】C 【解析】 【分析】由正弦与余弦的差角公式求得sin15cos15、的值.设旗杆高为x ,根据观礼台的斜面距离和坡度可求得观礼台的水平长度和垂直高度.表示出PD 的值,再在三角形CDP 中解三角形即可求得旗杆高度.【详解】由正弦与余弦的差角公式可知()62sin15sin 4530sin 45cos30sin 30cos 45-=-=-=()62cos15cos 4530cos 45cos30sin 30sin 454+=-=+=根据题意,设旗杆高度为x ,将各个位置用点标出来如下图所示:则PQ x =,且60PAQ ∠=可得3AQ x =则由106,15AC CAB =∠= 可得62cos151061553AB DQ AC +====+62sin151061553BC AC -===-则31553CD BQ AB AQ ==+=+ (1553PD PQ DQ x =-=--因为30PCD ∠=则满足3CD PD =即(3155331553x x ⎤+=--⎦解方程可求得30x = 故选:C【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用,正弦与余弦差角公式的用法.建立合适的数学模型是解决此类问题的关键,属于基础题.8.设函数()3ln f x a x bx =+在点()1,1-处的切线经过点()0,1，则实数+a b 的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】C 【解析】【分析】函数过点()1,1-,代入可求得b .根据导数的几何意义,求得导数后将切点的横坐标带入为切线斜率,即可求得a 的值,进而求得+a b 的值.【详解】因为函数()3ln f x a x bx =+在点()1,1-处的切线经过点()0,1所以()11f =-,代入可得1b =- 因为()2'3af x bx x=+ 所以经过点()1,1-与点()0,1的斜率为()11201k --==-- 且()'13f a =- 即32a -=-,解得1a = 所以()110a b +=+-= 故选:C【点睛】本题考查了利用导数求函数切线方程的方法,利用两点间斜率公式表示出斜率,与导函数相等即可,属于基础题.9.已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，12n n n F F F --=+（*n N ∈且3n ≥），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（ ）A. 10B. 18C. 20D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的结构,计算出前几项,结合归纳推理即可得解. 【详解】1,1,1i a b === 第一次循环:2,2,3i b a === 第二次循环:3,5,8i b a === 第三次循环:4,13,21i b a ===⋅⋅⋅由以上循环可知,每循环一次,输出斐波那契数列的2项 所以当10i =时,共输出数列的20项 故选:C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的特征,斐波那契数列的特征,归纳推理的应用,属于基础题.10.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆O ：2222x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若12MF F ∆的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据M 为圆O :2222x y a b +=+与C 在第一象限的交点,结合双曲线中a b c 、、的关系可判断12MF F ∆为直角三角形.由双曲线中焦点三角形的面积公式可得a b 、的等量关系,即可求得离心率.【详解】根据题意画出图形如下图所示:圆O ：2222x y a b +=+,由双曲线中222+=a b c 可知 22a b c +=,圆心为原点 因而12F F 为圆的直径 所以1290F MF ∠=根据双曲线中焦点三角形面积公式12222tan 45tan 2MF F b b S b θ∆===由题意可得122MF F S b ab ∆==,即b a =由双曲线离心率c e a ===故选:A【点睛】本题考查了圆与双曲线的综合应用,双曲线焦点三角形的面积公式及离心率求法,属于基础题.11.将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A. ①③④ B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()f x ,根据平移后的图像()g x 关于原点中心对称可求得()f x 解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确. 【详解】函数()sin cos f x a x b x =+,由辅助角公式可得()(),tan bf x x aϕϕ=+=将()f x 图像向右平移3π单位长度可得()3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0即03πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得,3k k Z πϕπ=+∈则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于①()f x 的最小正周期为221T ππ==,所以①正确; 对于②若()f x 的最大值为2,则2b a=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误03x k ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,当[],x ππ∈-时,满足123x k k πππ++=,12,k k Z ∈.解方程可得3x π=-或23x π=,所以③正确; 对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭,则其一个单调递增区间为,232x k k Z ππππ-≤++≤∈,解得5,66k x k k Z ππππ--≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,所以④正确. 综上可知,正确的为①③④故选:A【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.12.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ）A. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等,可得该平面α的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积.【详解】正方体的棱长为1,平面α过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面α如下图所示:该正方体在平面α内的正投影如下图所示:则111ABCC D A 即为该正方体在平面α内的正投影面积,该投影是正六边形.因为正方体的棱长为1,则 2AC =则由正六边形的性质可知126tan 30B M == 则11623BB B M == 所以111126322236CB B S CM BB =⨯⨯=⨯= 则11113663ABCC D A CB B S S ===故选:B【点睛】本题考查了空间中直线与平面的夹角,空间几何体在平面上的投影面积问题,对空间想象能力要求较高,属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,6a =-，()3,b m =，若a b a b +=-，则m =______.【答案】1【解析】【分析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +与a b -,再结合向量的模长公式即可求得m 的值.【详解】向量()2,6a =-,()3,b m =则()5,6a b m +=-+,()1,6a b m -=---则25a b +=+=()()16a b m -=-+--=因为a b a b +=-=,化简可得12611237m m -+=+解得1m =故答案为: 1【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14.已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是______.【解析】【分析】根据不等式组,可得动点(),P x y 的可行域.结合点()0,2A 的位置,由几何关系即可求得PA 的最小值. 【详解】因为动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x ≥⎧⎨≤⎩则动点(),P x y 运动的可行域如下图所示:由图可知,当PA与y x=垂直时, PA的值最小min22sin4522PA==⨯=故答案为: 2【点睛】本题考查了不等式表示的可行域,点到可行域距离最小值的求法,属于基础题. 15.如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M在大圆上从点0M出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点0N出发顺时针匀速运动.图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON分别扫过的扇形.假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是______.【答案】1 21【解析】【分析】根据动点运动的过程,可得2秒钟后重叠部分.分别求出总的面积和重叠部分面积,根据几何概型概率的求法即可求解.【详解】由题意可知,两秒钟后形成的图形如下图所示:大圆半径为2,小圆半径为1.重叠部分的圆心角为30 所以重叠部分的面积为2301==12360S ππ⨯⨯重 两部分总的面积为221202150174360360S πππ⨯⨯⨯⨯=+= 则点落在公共区域内的概率为4112=7127214S Sππππ=⨯=重 故答案为: 121【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,扇形面积公式,属于基础题. 16.若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<，则称数列{}n a 为“差半递增”数列.若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足()*221n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是______.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】根据221n n S a t =+-,利用递推公式求得数列{}n a 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因()*221n n S a t n N =+-∈所以当2n ≥时, 11221n n S a t --=+-两式相减可得122n n n a a a -=-,即12n n a a -=,所以数列{}n a 是以公比2q 的等比数列当1n =时,112a t =-所以()1122n n a t -=-⋅ 则()()122111312212232222n n n n n a a t t t ----⎛⎫-=-⋅--⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ ()()11111312212232222n n n n n a a t t t --+⎛⎫-=-⋅--⋅=-⋅ ⎪⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知2133323222n n t t --⎛⎫⎛⎫-⋅<-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得3332322t t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭解不等式可得12t 即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共50分.17.已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =. (2) 21n n T n =+ 【解析】【分析】 （1）根据递推公式121n n a n a ++=+,带入求得首项1a .由递推可得1121n n a n a -+-=+,作差即可得等差数列的公差d ,即可得等差数列的通项公式{}n a（2）先求得等差数列的前n 项和n S ,可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,根据裂项求和即可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【详解】（1）由已知{}n a 为等差数列,记其公差为d .①当2n ≥时,1121121n n nn a n a a n a +-+=+⎧⎨+-=+⎩, 两式相减可得12d d +=解得1d =②当1n =时,21121a a +=+,所以11a =.则()111n a n n =+-⨯=.（2）()12n n n S += ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以111111*********n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,裂项求和法的应用,属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度.（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB ⋅=-，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x = (2) 1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,根据题意可得准线方程,由准线方程可求得抛物线的方程.（2）当斜率不存在时,带入FA FB ⋅检验是否成立；当斜率存在时,设出直线方程,联立抛物线,根据韦达定理可得1212,x x x x +⋅.由向量数量积定义即可得关于k 的方程,解方程即可求得k 的值.【详解】（1）根据抛物线的定义,知动点Q 的轨迹是以F 为焦点,以1x =-为准线的抛物线 所以动点Q 的轨迹方程E 为：24y x =（2）①当l 的斜率不存在时,可知48FA FB ⋅=-≠-,不符合条件②当l 的斜率存在且不为0时,设l ：()1y k x =-, 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩,联立可得()2222240k x k x k -++=, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则212224k x x k++=,121x x ⋅=. 因为向量FA ,FB 方向相反,所以()()1211FA FB FA FB x x ⋅=-=-++()121224148x x x x k ⎛⎫=-+++=-+=- ⎪⎝⎭所以21k =,即1k =±所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程的求法,直线与抛物线相交时满足条件的直线方程求法,属于基础题.19.底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DA DH DB ===，3AE CG ==.（1）求证：EG DF ⊥；（2）求三棱锥F BEG -的体积.【答案】(1)证明见解析；83 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的关系,可得EG ⊥平面BDHF ,即可证明EG DF ⊥.（2）根据条件可证明 EA ∥平面BCGF ,即点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离.根据等体积可知F BEG E BGF A BGF V V V ---==,即可求得三棱锥F BEG -的体积.【详解】（1）证明：连接AC ,由//AE CG 可知四边形AEGC 为平行四边形所以//EG AC .由题意易知AC BD ⊥,AC BF ⊥所以EG BD ⊥,EG BF ⊥,因为BD BF B =所以EG ⊥平面BDHF又DF ⊂平面BDHF所以EG DF ⊥（2）设AC BD O =,EG HF P =由已知可得平面//ADHE 平面BCGF所以//EH FG同理可得//EF HG ,所以四边形EFGH 为平行四边形所以P 为EG 的中点,O 为AC 的中点 所以//OP AE且3OP =,4DH =由平面几何知识,得2BF = 所以142BFG S BF BC ∆=⨯⨯= 因为//EA FB ,FB ⊂平面BCGF ,EA ⊄平面BCGF所以//EA 平面BCGF所以点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离,为3所以1233F BEG E BGF A BGF BFG V V V S ---∆===⨯833= 【点睛】本题考查了直线与平面的垂直证明,利用等体积法求三棱锥的体积.转换顶点时,注意利用线面平行的性质,属于中档题.20.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.（i ）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.【答案】(1)4300；(2) （i ）平均数为5.2，方差为1.36.（ii ）35 【解析】【分析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A 题目的成绩有6个,B 题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A 题目和B 题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A 题目中超过平均成绩的有3人,B 题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.【详解】（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和, 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=. （2）（i ）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A 题目的成绩有6个,按分值降序分别记为1x ,2x ,…,6x ；B 题目的成绩有4个,按分值降序分别记为1y ,2y ,3y ,4y . 记样本的平均数为x ,样本的方差为2s .由题意可知,()()126123410x x x y y y y x ++⋅⋅⋅+++++=56 5.54 5.210⨯+⨯== ()()()()22225.250.2520.250.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,6i =⋅⋅⋅()()()()22225.2 5.50.3 5.520.3 5.50.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,4i =⋅⋅⋅()()()()()22222126142 5.2 5.2 5.2 5.2 5.210x x x y y s -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯=== 所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.（ii ）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为1x ,2x ,3x ,B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为1y ,2y .从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：()12,x x ,()13,x x ,()23,x x ,()12,y y ,()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ,所以()63105P A ==. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.21.已知函数()sin x a f x x e=+，a R ∈，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：(],0x ∀∈-∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) ()0,1a ∈【解析】【分析】（1）将1a =带入解析式,求得导函数,并判断当(],0x ∈-∞时函数的单调性,根据函数单调性求得函数在(],0x ∈-∞时的最小值,即可证明.（2）先求得导函数,讨论在a 的不同取值范围内函数的单调情况,根据函数的单调情况判断其极值的个数,即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()1sin x f x x e =+,则()1'cos x f x x e -=+, 当(],0x ∈-∞时,01x e <≤,则11x e-≤-,又因为c o s 1x ≤, 所以当(],0x ∈-∞时,()1'cos 0x f x x e-=+≤,仅0x =时,()'0f x =, 所以()f x 在(],0-∞上是单调递减,所以()()01f x f =≥,即()1f x ≥.（2）()'cos x a f x x e-=+,因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以cos 0x >,0x e >, ①当0a ≤时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,没有极值点. ②当0a >时,()'cos x a f x x e-=+在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增, 因为2'02f a e ππ⎛⎫-=-⋅< ⎪⎝⎭,()'01f a =-+. 当1a ≥时,,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()''010f x f a ≤=-+≤ 所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,没有极值点. 当01a <<时,()'010f a =-+>,所以存在0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使()0'0f x = 当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()'0f x <,()0,0x x ∈时,()'0f x > 所以()f x 在0x x =处取得极小值,0x 为极小值点.综上可知,若函数()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极值点,则实数()0,1a ∈. 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,并根据单调性求得最值来证明不等式成立.对参数进行分类讨论,讨论在不同范围内函数的单调情况及最值情况.是高考的重点和难点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积.【答案】(1) 1C ：()221sin 2ρθ+=，2C ：222x y +=.(2) 46- 【解析】【分析】（1）根据参数方程与直角坐标方程的转化,先将1C 的参数方程转化为直角坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,再将直角坐标方程转化为极坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,将2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程.（2）根据参数4πϕ=求得P 的极坐标.根据变换过程可得点Q 的极坐标,根据三角形面积为12OTQ Q S OT x ∆=⋅即可求得OTQ ∆的面积.【详解】（1）由已知可得1C ：2212x y += 则极坐标方程为()221sin 2ρθ+= 2C ：222xy +=.（2）设点Q 的横坐标为Q x ,则由已知可得12OTQ Q S OT x ∆=⋅ 且直角坐标P ⎛⎝,极坐标2P θ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,其中sin θ=cos θ= 极坐标3Q πθ⎫+⎪⎭,则有3Q x πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 所以11212OTQ Q S OT x ∆=⨯⨯=⋅4=-. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的转化,利用极坐标方程求三角形的面积,属于中档题.23.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明：（1）3b c a a b c++≥； （2）22a b c >++.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；【解析】【分析】（1）根据三项基本不等式,可直接证明不等式成立.（2>同理证明b >,c >后,将不等式左右两边分别相加即可证明.【详解】（1）证明:由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥= 不等式得证.（2）证明:由于a ,b ,c 为一个三角形的三边长,则有：2b c a =++>,>a =>,b >c >,相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：()22a b c >++所以22a b c >++不等式得证.【点睛】本题考查了不等式的简单证明,基本不等式在证明不等式中的用法,属于中档题.。
2020年开封市一模考试数学试卷简版答案
2020年开封市一模考试数学试卷
参考答案
一、选择题 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 D B
A C
B
C
D B A C 二、填空题
11. -3
12. k ＜-2
13. 1.5
14. 24123- 15. 2或3
三、解答题
16. （1）化简为a +2；原式=5．
17. （1）800；
（2）选择选项B 的人数280，选项C 的人数160，补图略；
（3）126°；
（4）估计喜欢自学的学生人数约为7.2万人．
18. （1）证明略；
（2）①45；②60°．
19. 旗杆的高度约为15.9米．
20. （1）甲型号汽车每辆的进价为6.5万元，乙型号汽车每辆的进价为4万元；
（2）当购进甲型号汽车33辆，乙型号汽车67辆时，获得利润最大，最大利润为196.5万元．
21. （1）反比例函数的解析式为14y x =； （2）存在，点P 的坐标为(
385
，0)． 22. （1）CF =2DE ；45°；
（2）结论仍然成立，结论为CF =2DE ，直线DE 与CF 所夹锐角的度数是45°，证明略；
（3）CF 的长为25或213．
23. （1）211433
y x x =-++； （2）点P 的坐标为(32-，114)或(92，54-)； （3）点F 的坐标(7，5)或(-5，-1)．。
2020年河南省开封市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷四
数学试卷一、选择题1.设U R =,{}|21x A x =>,{}2|log 0B x x =>,则( )A. {}|0x x <B. {}|1x x >C. {}|01x x <≤D. {}|01x x ≤<2.下列函数既是奇函数,又在区间()0,1上单调递减的是( ) A. 3()f x x = B. ()1f x x =-+C. ()1ln 1xf x x -=+ D. ()22x xf x -=+3.若cos 222sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为( ) A. 7-B. 12-C. 12D.74.ABC ∆中, tan 1A >是4A π>的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.如图所示,点P 从点A 出发,按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周, O 为ABC ∆的中心,设点P 走过的路程为x ,OAP ∆的面积为()f x (当A 、O 、P 三点共线时,记面积为0),则函数()f x 的图像大致为( )A. B.C. D.6.函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0,0A ω>>,2πφ<)的图象如图所示,为了得到cos 2y x=的图象,则只要将()f x 的图象( )A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度C.向左平移12π个单位长度D.向右平移12π个单位长度7.函数cos 2y x =的图像向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后,与函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像重合.则ϕ= ( ) A. 12π B.6πC. 3πD. 512π8.函数()()()321483f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称,则() f x ( )A.在⎡-⎣上为增函数B.在⎡-⎣上为减函数C.在)⎡+∞⎣上为增函数,在(,-∞-上为减函数D.在(,-∞-上为增函数,在)⎡+∞⎣上为减函数9.已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( )A. 79-B. 13-C. 13D. 7910.定义在R 上()f x 满足()()222f x f x +=-,当(]0,2x ∈时, []2,(0,1)(){1,1,2x x x f x x x-∈=∈,若(0,4]x ∈时, ()2732tt f x t -≤≤-恒成立,则实数t 的取值范围是( )A. []1,2B. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,+∞11.设函数()n y f x =在()0,+∞内有定义,对于给定的正数K ,定义函数()()()(),{,K f x f x K f x K f x K ≤=>,取函数()ln 1xx f x e+=,恒有()()K f x f x =,则( ) A. K 的最大值为1e B. K 的最小值为1eC. K 的最大值为2D. K 的最小值为212.已知函数()y f x =的图象和sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,04P π⎛⎫⎪⎝⎭对称,现将()f x 的图象向左平移4π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,则()y g x =的表达式为( )A. 1sin4y x =- B. 1cos 4y x =-C. sin 44y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D. cos 44y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭二、填空题13.已知cos cos 1αβ+=,则sin sin αβ+的最大值为__________. 14.若锐角α、β满足()()1?1?4?αβ+=,则αβ+=______. 15.已知定义在R 上的可导函数()f x 满足'()1f x <,若(1)()12f m f m m -->-,则实数m 的取值范围是__________.16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种互相转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中:①对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数; ②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数;③直线()()12110m x m +-+-=所对应的函数一定是圆()()()222:210O x y R R -+-=>的太极函数;④若函数()()3f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数,则()2,2k ∈-.所有正确的是__________. 三、解答题 17、已知,,,求的值.18.在ABC ∆中, 2sin cos 3A A -=,求cos2A 的值. 19.已知a R ∈,命题:p "[]21,2,0x x a ∀∈-≥",命题:q "2,220x R x ax a ∃∈++-=". 1.若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围;2.若命题p q ∨为真命题,命题p q ∧为假命题,求实数a 的取值范围.20.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且1cos 3A =1.求2sin cos 2B CA ++的值2.若a =求bc 的最大值21.已知函数()()3220f x x ax bx a a =+++>在1x =处有极值10.(1).求,a b 的值;(2).求()f x 的单调区间;(3).求()f x 在[]0,4上的最大值与最小值.22.已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ,设函数()()f x a b a =-⋅r r r . 1.若x R ∀∈,求()f x 的单调递增区间;2.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值.23.设函数()1xf x e ax =+- (e 为自然对数的底数).1.当 1a =时,求()f x 在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的图形的面积; 2.若()2f x x ≥对任意的()0,1x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案1.答案：C 解析：2.答案：C 解析：3.答案：C 解析：sin cos sin cos cos 2sin 4απα--+=⎛⎫- ⎪⎝⎭)sin cos αα=+=,所以1sin cos 2αα+=,故选C.4.答案：A 解析：5.答案：A解析：由三角形的面积公式知,当0x a ≤≤时, ()1123f x x =⋅⋅=,故在[0,]a 上的图象为线段,故排除B;当32a x a <≤时, ()13332222f x a x a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故在3.2a a ⎛⎤⎥⎝⎦上的图象为线段,故排除C,D;故选A. 考点:函数的图象. 6.答案：C解析： 7.答案：C 解析： 8.答案：B 解析： 9.答案：A 解析：2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 26πα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2712sin 69πα⎡⎤⎛⎫=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 10.答案：A解析： 11.答案：B 解析： 12.答案：B解析：设(x)y f =上一点(,)P x y 与sin()4y x π=+上点'(',')P x y 关于(,0)4π对称, 则有'24'0x x y y π⎧+=⨯⎪⎨⎪+=⎩,∴'2'x x y yπ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴'sin(')4y x π=+∴sin()24y x ππ-=-+, ∴cos()4y x π=--,现将f ()x 的图象向左平移4π个单位后,得到cos y x =-再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数1cos 4y x =-的图象,故选B.考点:三角函数图象的变换.13.解析： 14.答案：3π解析：由已知得1tan )3tan tan 4αβαβ+++=,∴tan tan tan tan )αβαβ+=-,∴tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==-又∵0αβπ<+<,∴3παβ+=.15.答案：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭解析：16.答案：②③④ 解析：答案： 17、18.答案：()24sin cos 12sin cos 9A A A A -=-=,所以52sin cos 09A A =>. 又(0,)A π∈,∴sin 0A >,∴cos 0A >.则()214sin cos 12sin cos 9A A A A +=+=,则有sin cos A A +=,所以()()22cos 2cos sin cos sin cos sin 9A A A A A A A -=-=-+=.解析：19.答案：1.因为命题:p "[]21,2,0x x a ∀∈-≥",令()2f x x a =-,根据题意,只要[]1,2x ∈时, ()min 0f x ≥即可,也就是101a a -≥⇒≤.2.由1可知,当命题p 为真命题时, 1a ≤,命题q 为真命题时,()24420a a ∆=--≥,解得2a ≤-或1a ≥.因为命题p q ∨为真命题,命题p q ∧为假命题,所以命题p 与命题q 一真一假,当命题p 为真,命题q 为假时, 1{2121a a a ≤⇒-<<-<<,当命题p 为假,命题q 为真时, 1a ⇒>,综上: 1a >或21a -<<. 解析：20.答案：1.在ABC ∆中∵1cos 3A = ∴221sin cos 2[1cos()]2cos 122B C A B C A ++=-++- 211(1cos )2cos 129A A =++-=- 2.由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-2222432333b c bc bc bc bc ∴=+-≥-=当32b c ==时, bc 的最大值是94解析：21.答案：(1).由()1320f a b '=++=,()21110f a b a =+++=,得4a =,或3a =-, ∵0a >,∴4,11a b ==- (经检验符合).(2).()3241116f x x x x =+-+,()23811f x x x =+-',由()'0f x =得1113x =-,21x =, x11,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 113-11,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞()'f x +-+()f x↗ 极大值 ↘ 极小值 ↖所以()f x 在()11,,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增, 11,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.(3).由(2)知: ()f x 在()0,1上单调递减, ()1,4上单调递增,又因为()()()016,110,4100f f f ===,所以()f x 的最大值为100,最小值为10. 解析：22.答案：1. ()2cossin ,13cos 2cos ,1222x x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24cos sin 13cos 2xx x =++- sin cos 3x x =-+234x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈,即322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.2.因为()344f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭,所以sin 42A π⎛⎫-=⎪⎝⎭. 又因为(0,)A π∈,所以3,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,故44A ππ-=,所以2A π=. 于是在ABC ∆中, 22210b c a +==,故221152222b c S bc +=≤⋅=,当且仅当b c ==, 所以ABC ∆的面积的最大值为52.解析：23.答案：1.当1a =时, ()1xf x e x =+-,()1f e =,()'1xf x e =+,()'11f e =+,函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=++,即()11y e x =+-. 设切线与x 、y 轴的交点分别为,A B . 令0x =得1y =-,令0y =得11x e =+, ∴1,01A e ⎛⎫⎪+⎝⎭,()0,1B -, ()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++.在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为()121e +.2.由()2f x x ≥得21xx e a x+-≥,令()211x xx e e h x x x x x+-==+-, ()()()()2221111'1x xx x ee x h x x x x -+--=--=. 令()1x k x x e =+-, ()'1xk x e =-, ∵()0,1x ∈,∴()'10xk x e =-<,()k x 在()0,1x ∈为减函数,∴()()'0k x k x <=,又∵10x -<,20x >∴()()()211'0x x x e h x x -+-=>,∴()h x 在()0,1x ∈为增函数, ()()12h x h e <=-, 因此只需2a e ≥-.解析：。
河南省开封市2020届高三数学第一次模拟试题 文
河南省开封市2020届高三第一次模拟试题（数学文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）一（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名。
准考证号填写在答题卡上。
认真核对条形码上的姓名、准考证号。
并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂。
如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号-非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-=Λ Sh V 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{2,1,0,1,2,3},{0,1,2},{0,1,2,3},()U U M N C M N =--==⋂=则 （ ）A ．{0，1，2}B ．{-2，-1，3}C ．{0，3}D ．{3} 2．i 是虚数单位，复数2332i z i +==-+（ ） A ．0 B ．-iC ．iD ．-1 3．连续抛两枚骰子分别得到的点数是,a b ，则向量(,)a b 与向量（1，-1）垂直的概率是（ ） A ．512 B ．16 C ．13 D ．124．在等差数列611{},5,{}n n n a a S a n ==中已知是数列的前项和,则S（ ） A ．45 B ．50 C ．55D ．60 5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、2226.,cos 5c b c a bc A +-=若则的值为（ ） A ．45- B ．45 C ．35- D ．356．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；B ．若m 、n 为都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；C ．已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若,m n αβ⊥⊥则；D ．m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直。
2020年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)
2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|2A x x =-…或3}x …，B N =，则()(R B A =⋂ð ) A ．{1-，0，1，2} B ．{1}- C ．{1-，0}D ．{0，1，2}2．（5分）复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞3．（5分）设a 与b 都是非零向量，则“0a b >”是“向量a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1,2)-，则tan 2(α= )A ．34-B ．34 C ．43-D ．435．（5分）已知定义在[5m -，12]m -上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为( ) A ．15-B ．7-C ．3D ．156．（5分）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有( )A ．45人B ．660人C ．880人D ．900人7．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒，且第一排和最后一排的距离为( )米．A ．B ．30C ．D ．358．（5分）设函数3()f x alnx bx =+在点(1,1)-处的切线经过点(0,1)，则实数a b +的值为() A ．2-B ．1-C ．0D ．19．（5分）已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，*12(n n n F F F n N --=+∈且3)n …，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则(n = )A ．10B ．18C ．20D ．2210．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆2222:O x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若△12MF F 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为( )AB C ．2D11．（5分）将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[π-，]π有两个零点 ④()f x 在区间5[6π-，]6π上单调 其中所有正确结论的标号是( ) A ．①③④B ．①②④C ．②④D ．①③12．（5分）已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是( )A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量(2,6)a =-，(3,)b m =，若||||a b a b +=-，则m = ．14．（5分）已知点(0,2)A ，动点(,)P x y 的坐标满足条件0x y x ⎧⎨⎩……，则||PA 的最小值是 ．15．（5分）如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M 在大圆上从点0M 出发逆时针匀速运动，点N 在小圆上从点0N 出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM ，ON 分别扫过的扇形．假设动点M ，N 运动了两秒钟，在OM ，ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是 ．16．（5分）若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<⋯<-<⋯，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足*221()n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB =-，求直线l 的方程． 19．（12分）底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若4DA DH DB ===，3AE CG ==．（1）求证：EG DF ⊥； （2）求三棱锥F BEG -的体积．20．（12分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．()i 用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；()ii 本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率． 21．（12分）已知函数()sin xaf x x e =+，a R ∈，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：(x ∀∈-∞，0]，()1f x …； （2）若函数()f x 在(,0)2π-上存在极值点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为(sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）3b c a a b c++…；（22>．2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|2A x x =-…或3}x …，B N =，则()(R B A =⋂ð ) A ．{1-，0，1，2} B ．{1}-C ．{1-，0}D ．{0，1，2}【解答】解：集合{|2A x x =-…或3}x …， (2,3)R A ∴=-ð，B N =，(){0R B A ∴=⋂ð，1，2}，故选：D ． 2．（5分）复数1a ii++的实部小于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：()(1)111(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-的实部小于虚部， ∴1122a a+-<，解得0a <． ∴实数a 的取值范围是(,0)-∞．故选：A ．3．（5分）设a 与b 都是非零向量，则“0a b >”是“向量a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a 与b 都是非零向量，则“向量a 与b 夹角为锐角” ⇒ “0a b >”，反之不成立，可能同向共线．因此“0a b >”是“向量a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：B ．4．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1,2)-，则tan 2(α= )A ．34-B ．34 C ．43-D ．43【解答】解：由三角函数的定义可知，tan 2α=-，22tan 44tan 21143tan ααα-===--． 故选：D ．5．（5分）已知定义在[5m -，12]m -上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为( ) A ．15-B ．7-C ．3D ．15【解答】解：由奇函数的对称性可知，5120m m -+-=，4m ∴=-，0x >时，()21x f x =-，则()(4)f m f f =-=-（4）15=-． 故选：A ．6．（5分）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D ，E 等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C 级及以上级别的学生人数有( )A ．45人B ．660人C ．880人D ．900人【解答】解：根据图形，抽取的总人数1020%50÷=，其中C 所占的百分比为：12500.24÷=， 故1000(0.240.20.46)10000.9900⨯++=⨯=， 故选：D ．7．（5分）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒，且第一排和最后一排的距离为( )米．A ．B ．30C ．D ．35【解答】解：如图所示，依题意可知45AEC ∠=︒，1806015105ACE ∠=︒-︒-︒=︒1804510530EAC ∴∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理可知sin sin CE ACEAC CEA=∠∠ sin sin CE EAC AC CEA ∴∠=∠，sinsin CE CEAAC AC EAC∠∴===∠米∴在Rt ABC ∆中，sin 30AB AC ACB =∠==米 所以旗杆的高度为30米 故选：B ．8．（5分）设函数3()f x alnx bx =+在点(1,1)-处的切线经过点(0,1)，则实数a b +的值为() A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：由题意，2()3af x bx x'=+，0x >． f '（1）3a b =+，∴函数()f x 在点(1,1)-处的切线方程为：1(3)(1)y a b x +=+-．切线经过点(0,1)， 11(3)(01)a b ∴+=+-，整理，得32a b +=-． 又f （1）1=-，代入函数()f x 表达式，得1b =-．231a b ∴=--=， 0a b ∴+=．故选：C ．9．（5分）已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，*12(n n n F F F n N --=+∈且3)n …，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则(n = )A ．10B ．18C ．20D ．22【解答】解：模拟程序的运行，可得1i =，1a =，1b =，满足条件10i <，执行循环，输出斐波那契数列的前2项，2a =，3b =，2i = 满足条件10i <，执行循环，输出斐波那契数列的第3，第4项，5a =，8b =，3i =⋯每经过一次循环，输出了斐波那契数列的2项，9i =时，共输出了斐波那契数列的前18项， 此时10i =，不满足条件，退出循环体．故程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，18n =． 故选：B ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆2222:O x y a b +=+与C 在第一象限的交点为M ，若△12MF F 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为( )AB C ．2D【解答】解：设1||MF m =，2||MF n =， 由双曲线的定义可得2m n a -=，① 由||||OM ON =，12||||OF OF =，可得四边形12F NF M 为平行四边形，圆22222:O x y a b c +=+=， 由直径所对的圆周角为直角，可得 四边形12F NF M 为矩形， 即有2224m n c +=，②12S mn ab ==，③由①②③可得22444c ab a -=， 即为b a =，可得ce a==． 故选：A ．11．（5分）将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[π-，]π有两个零点 ④()f x 在区间5[6π-，]6π上单调 其中所有正确结论的标号是( )A ．①③④B ．①②④C ．②④D ．①③【解答】解：()sin cos )f x a x b x x x =+=)x θ=+．将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则())3g x x πθ+-．()g x 的对称中心为坐标原点，∴sin()03πθ-=，得3k πθπ-=，则3k πθπ=+，k Z ∈．())3f x x k ππ∴++．()f x ∴的最小正周期2T π=，故①正确；若()f x 的最大值为22=，a 不一定为1，故②错误； 由()0f x =，得sin()03x k ππ++=，即sin()03x π+=，在[π-，]π有两个零点3π-，23π，故③正确； 当5[6x π∈-，]6π时，[,]322x k k k ππππππ++∈-+， 当k 为偶数时，()f x 单调递增，当k 为奇数时，()f x 单调递减，故④错误． ∴其中所有正确结论的标号是①③．故选：D ．12．（5分）已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是( )A B C D 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．正方体1111ABCD A B C D -的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），的等边三角形， 所以正方体在平面α内的正投影面积是122S =⨯=．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量(2,6)a =-，(3,)b m =，若||||a b a b +=-，则m = 1 ． 【解答】解：向量(2,6)a =-，(3,)b m =，若||||a b a b +=-，则0a b =， 即2360m ⨯-=，则1m =， 故答案为：1．14．（5分）已知点(0,2)A ，动点(,)P x y 的坐标满足条件0x y x ⎧⎨⎩……，则||PA【解答】解：动点(,)P x y 所满足的可行域如图：则||AP 的最小值转化成点A 到直线y x =的距离d ==．15．（5分）如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M 在大圆上从点0M 出发逆时针匀速运动，点N 在小圆上从点0N 出发顺时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM ，ON 分别扫过的扇形．假设动点M ，N 运动了两秒钟，在OM ，ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是121．【解答】解：如图：由题可得点M 运动了两秒钟，OM 扫过的是半径为2，圆心角为120︒的扇形AOB ；且其面积为：2120423603ππ⨯⨯=； 点N 运动了两秒钟，ON 扫过的是半径为1，圆心角为180︒的扇形COF ；且其面积为：211122ππ⨯=； 公共部分是半径为1，圆心角为30︒的扇形COD ；其面积为：230136012ππ⨯⨯=； ∴所求概率：11241213212p ππππ==+-．故答案为：121． 16．（5分）若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<⋯<-<⋯，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足*221()n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是 1(,)2-∞ ．【解答】解：因为221n n S a t =+-， 则11221n n S a t --=+-，把这两个等式相减，得122n n n a a a -=-， 所以12nn a a -=， 因为11221S a t =+-，所以112a t =-， 则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1112(12)2n n n a a t --=⨯=-⨯，211(12)22n n a t --=-⨯， 所以3113(12)22n n n a a t ---=-⨯，2113(12)22n n n a a t -+-=-⨯，231111()()3(12)23(12)2022n n n n n n a a a a t t --+----=-⨯--⨯>，解得12t <， 故答案为：1(,)2-∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{}n a 满足121n n a n a ++=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（1）由已知{}n a 为等差数列，记其公差为d ． ①当2n …时，1121121n n nn a n a a n a +-+=+⎧⎨+-=+⎩，两式相减可得12d d +=，所以1d =，②当1n =时，21121a a +=+，所以11a =． 所以11n a n n =+-=； （2）(1)2n n n S +=，12112()(1)1n S n n n n ==-++， 所以1111111122[(1)()()()]2(1)22334111n nT n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++． 18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到y 轴的距离大1个单位长度．（1）求动点Q 的轨迹方程E ；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，且8FA FB =-，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹是以F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹方程E 为：24y x =．（2）①当l 的斜率不存在时，可知48FA FB =-≠-，不符合条件； ②当l 的斜率存在且不为0时，设:(1)l y k x =-， 则2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立可得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212224k x x k ++=，121x x =．因为向量FA ，FB 方向相反，所以12121224||||(1)(1)(1)(4)8FA FB FA FB x x x x x x k=-=-++=-+++=-+=-， 所以21k =，即1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+．19．（12分）底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若4DA DH DB ===，3AE CG ==．（1）求证：EG DF ⊥； （2）求三棱锥F BEG -的体积．【解答】（1）证明：连接AC ，由//AE CG ，AE CG =，可知四边形AEGC 为平行四边形，//EG AC ∴，由题意知AC BD ⊥，AC BF ⊥，EG BD ∴⊥，EG BF ⊥， BDBF B =，EG ∴⊥平面BDHF ，又DF ⊂平面BDHF ，EG DF ∴⊥； （2）解：设ACBD O =，EGHF P =，由已知可得：平面//ADHE 平面BCGF ，//EH FG ∴，同理可得：//EF HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，得P 为EG 的中点，又O 为AC 的中点，//OP AE ∴且OP AE =， 由3OP =，4DH =，由梯形中位线定理得2BF =． ∴142BFG S BF BC ∆=⨯⨯=． //EA FB ，FB ⊂平面BCGF ，EA ⊂/平面BCGF ，//EA ∴平面BCGF ，∴点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离，为．∴13F BEG E BGF A BGF BFG V V V S ---∆===⨯．20．（12分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900．（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．()i 用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；()ii 本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．【解答】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和， 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=； （2）()i 由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个，按分值降序分别记为1x ，2x ，⋯，6x ；B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为1y ，2y ，3y ，4y ；记样本的平均数为x ，样本的方差为2s ； 由题意可知，1261234()()56 5.545.21010x x x y y y y x ++⋯+++++⨯+⨯===，2222( 5.2)[(5)0.2](5)20.2(5)0.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+，1i =，2，⋯，6；2222( 5.2)[( 5.5)0.3]( 5.5)20.3( 5.5)0.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+，1i =，2，⋯，4；22222212614( 5.2)( 5.2)( 5.2)( 5.2)( 5.2)10x x x y y s -+-+⋯+-+-+⋯+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯===；所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．()ii 本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5，易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为1x ，2x ，3x ；B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为1y ，2y ；从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，为： 1(x ，2)x ，1(x ，3)x ，2(x ，3)x ，1(y ，2)y ，1(x ，1)y ， 2(x ，1)y ，3(x ，1)y ，1(x ，2)y ，2(x ，2)y ，3(x ，2)y ，其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为：1(x ，1)y ，2(x ，1)y ，3(x ，1)y ，1(x ，2)y ，2(x ，2)y ，3(x ，2)y ；记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ，所以63()105P A ==． 21．（12分）已知函数()sin xaf x x e =+，a R ∈，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：(x ∀∈-∞，0]，()1f x …； （2）若函数()f x 在(,0)2π-上存在极值点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()sin x f x x e =+，则1()cos x f x x e-'=+， 当(x ∈-∞，0]时，01x e <…，则11xe --…，又因为cos 1x …， 所以当(x ∈-∞，0]时，1()cos 0x f x x e-'=+…，仅0x =时，()0f x '=， 所以()f x 在(-∞，0]上是单调递减，所以()(0)1f x f =…，即()1f x …．（2）()cos xa f x x e -'=+，因为(,0)2x π∈-，所以cos 0x >，0x e >， ①当0a …时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(,0)2π-上单调递增，没有极值点．②当0a >时，()cos x a f x x e -'=+在区间(,0)2π-上单调递增，因为2()02f a e ππ'-=-<，(0)1f a '=-+．当1a …时，(,0)2x π∈-时，()(0)10f x f a ''=-+剟，所以()f x 在(,0)2π-上单调递减，没有极值点．当01a <<时，(0)10f a '=-+>，所以存在0(,0)2x π∈-，使0()0f x '=，当0(,)2x x π∈-时，()0f x '<，0(x x ∈，0)时，()0f x '>，所以()f x 在0x x =处取得极小值，0x 为极小值点． 综上可知，若函数()f x 在(,0)2π-上存在极值点，则实数(0,1)a ∈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为(sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积．【解答】解：（1）由(sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数ϕ，可得曲线1C 的普通方程为2212x y +=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得曲线1C 的极坐标方程为2222cos 2sin 20ρθρθ+-=．由ρ=，得22ρ=，则2C 的直角坐标方程为222x y +=；（2）当4πϕ=时，P ，sin xOP ∠=，cos xOP ∠=， 将射线OP 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线2C 于点Q ，又曲线1C 的上顶点为点T ，||OQ ∴=，||1OT =，则11||||sin())2622OTQ S OQ OT xOP π∆=-==． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）3b c a a b c++…；（22>．【解答】解：（1）a ，b ，0c >，333b c ab c aa b ca b c++=…；当且仅当a b c ==取等号， 故原命题成立；（2）已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长，要证2>，只需证明22()a b c +>++，即证a b c >++，则有2b c a =++>，a >，b c ，三式左右相加得a b c >++， 故命题得证．。