2020高考-高中数学常用公式及结论--理科精品

【关键字】情况、方法、条件、前提、增长、问题、焦点、充分、位置、基础、途径、标准、速度、关系、倾斜、推广、方向、外心、内心

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?

2 集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有

22n -个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2) 顶点式2

()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）

(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假 5

6 ）

是p 的必要条件；

（2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

等价关系：(1)设1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性：定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其

中，T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；

（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1

()()

f x m f x

+=-

，此时周期为2m 。 10常见函数的图像：

11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=

;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=

对称. 12 分数指数幂与根式的性质： (1)m n

a

=0,,a m n N *

>∈，且1n >）.（2）1m n

m n

a

a

-=

=

0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

（3

）n

a =.（4）当n

a =；当n

,0

||,0a a a a a ≥?==?-

.

13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)1、1p p a a

-=

； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n

a a = (4)、(0,,)r

s

r s

a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)

、m n

a = ；

指数函数：

(1)、 (1)x

y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)x

y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a

M

M N N

-= ； (3)、 log log m

a a

b m b =? ；(4)、 log log m n a a n

b b m

=

? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b

a b =

对数函数：

(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或

(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

推论 log log m n a a n

b b m

=

(0a >,且1a ≠, 0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m

n a a n

N N n m R m

=∈。

16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 17 等差数列：通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和： （1）1()

2

n n n a a S +=

；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。 （2）1(1)

2

n n n S na d -=+

（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =++

+ （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；

注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。 （2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

等比数列：通项公式：（1） 1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。 （2）推广：n k

n k a a q -=?（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：11(1)(1)

(1)

1n n na q S a q q q =??

=-?≠?-?

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；

注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。

19三角不等式：

（1）若(0,

)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.

20 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θ

cos sin ，

21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±

=

.sin cos a b αα+)α?+

(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

a ?= ).

23 二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα=2

2tan 1tan α

α

=

+.

2

2

2

2

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan α

α

-=

+. 2

2tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα

-==+ 24 三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||

T π

ω=；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||

T πω=

. 三角函数的图像：

25 正弦定理 ：2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 26余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

27面积定理：

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.

(3)OAB S ?=28三角形内角和定理 ：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B

π+?

=-

222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;

(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .

30a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。 31平面向量的坐标运算：

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 32 两向量的夹角公式：

121

cos ||||

a b

a b x θ?=

=

?+a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

33 平面两点间的距离公式：

,A B d =||AB AB AB =

?(=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

34 向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：

a ||

b ?b =λa 12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）

a ⊥

b (a ≠0)? a ·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）

36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重

心的坐标是123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心2

2

2

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 38常用不等式：

（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈

?

2

a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333

3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>

（4）b a b a b a +≤+≤-.

（5

）22ab a b a b +≤≤

+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。 39极值定理:已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

1s . （3）已知,,,a b x y R +

∈，若1ax by +=则有

21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y

+=++=+++≥++=。 （4）已知,,,a b x y R +

∈，若1a b x y

+=则有

40 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解

集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之

间.即：

121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.

41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

22x a x a a x a ?>?>或x a <-.

42 斜率公式 ：

21

21

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

43 直线的五种方程：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).

两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）

1+r 2

r 2-r (4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A

B '=，方向向量：(,)l B A =-

46 点到直线的距离 ：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

47 圆的四种方程：

（1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

20x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+??

=+?.

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

48点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆

2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：

若d =d r >?点P 在圆外;

d r =?点P 在圆上; d r

49直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

(22B

A C Bb Aa d +++=):

0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：

条公切线外离421??+>r r d ;条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;

条公切线内切121??-=r r d ;无公切线内含??-<<210r r d . 51 椭圆22221(0)x y a b a b +=>

>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?

. 离心率c e a ==，

54 椭圆的切线方程:椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.

55 双曲线2

2221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与122

22=-b

y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。

57双曲线的切线方程:双曲线22

221x y a b

-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.

58抛物线px y 22

=的焦半径公式:

抛物线2

2(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+.

过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2.

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

或1212||AB x x y y ==-=-

（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0

)y ,x (F b

kx y 消去y 得到02=++c bx ax

0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=61证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 62证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：

(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 65 夹角公式：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.

66 异面直线间的距离 ：

||

||

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 67点B 到平面α的距离：

||

||

AB n d n ?=

（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 68球的半径是R ，则其体积34

3

V R π=,其表面积24S R π=．

69球的组合体：

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面

对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为

12

a

(的14),(的34

). 70 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.

分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =???. 71排列数公式 ：m

n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．规定1!0=.

72 组合数公式：m

n C =m n m m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤).

组合数的两个性质:(1)m

n C =m

n n

C - ;(2) m n C +1

-m n

C =m n C 1+.规定10

=n C .

73 二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.

2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：

012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -+++-=-；0(0)a f =。

74 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 75 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).

n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k

n n P k C P P -=-

77 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++

数学期望的性质

（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1

()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p

ξ=

. 78方差：()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+

+-?+

标准差：σξ=ξD .

方差的性质：

(1)()2

D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.

(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2

q D p ξ=

. 方差与期望的关系：()2

2D E E ξξξ=-.

79正态分布密度函数：(

)()()2

2

26,,x f x x μ--

=

∈-∞+∞，

式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2

(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-??

=Φ

???

.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<

80 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：

00000()()()lim

lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''

===??. 瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??. 81 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 82 几种常见函数的导数：

(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1

()()n n x nx

n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1

)(ln =

'；1(log )log a a x e x

'=. (6) x

x e e =')(; a a a x

x

ln )(='. 83 导数的运算法则：

（1）'

'

'

()u v u v ±=±.（2）'

'

'

()uv u v uv =+.（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠. 84 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 85 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

86 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +87 复平面上的两点间的距离公式：

12||d z z =-=111z x y i =+，222z x y i =+）.

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程20ax bx c ++=，

①若2

40b ac ?=->,则1,22b x a -±=;

②若240b ac ?=-=,则122b

x x a

==-;

③若240b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根

240)x b ac =-<.