人教高中数学A版必修二《事件的关系与运算》PPT课件
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知识梳理 (1)并事件：事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本 点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件称为事件A与事件B的 并 事件 (或 和 事件)，记作 A∪B (或 A＋B )． (2)交事件：事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也 在事件B中，我们称这个事件称为事件A与事件B的 交 事件(或积事件)，记作 A∩B (或 AB )．
解析：对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则 A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
答案：B
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3．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件 P＝“向上的点数是 1”，事件 Q＝“向上的 点数是 3 或 4”，M＝“向上的点数是 1 或 3”，用集合表示 P∪Q＝________，M∩Q ＝________.
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[自主检测] 1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是 1 或 2”为事件 A，“向上的点数是 2 或 3”为 事件 B，则( ) A．A⊆B B．A＝B
C．A＋B 表示向上的点数是 1 或 2 或 3 D．AB 表示向上的点数是 1 或 2 或 3
解析：设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点 数为1或2或3.
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解析：(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白 球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件． (2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至 少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是 互斥事件． (3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时 发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．
解析：因为事件P＝{1}，Q＝{3,4}，M＝{1,3}，所以P∪Q＝{1,3,4}，M∩Q＝{3}．
答案：{1,3,4} {3}
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探究一 互斥事件与对立事件的判断 [例 1] 一个射击手进行一次射击． 事件 A：命中的环数大于 7 环； 事件 B：命中环数为 10 环； 事件 C：命中的环数小于 6 环； 事件 D：命中的环数为 6、7、8、9、10 环． 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． (1)事件 A 与 B；(2)事件 A 与 C； (3)事件 C 与 D.
R＝{(1,2)，(2,1)}，
G＝{(3,4)，(4,3)}，
M＝{(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，
N＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}．
(2)因为R⊆R1，所以事件R1包含事件R； 因为R∩G＝∅，所以事件R与事件G互斥；
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10．1 随机事件与概率 10．1.2 事件的关系与运算
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内容标准 1.了解随机事件的并、交与互斥、互为对立的含义． 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3.学会利用集合间的基本关系与集合的基本运算探究事件的 关系与运算.
因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事件M与事件N互为对立事件．
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2．向指定的目标射三发子弹，若Ai＝“第i发子弹击中目标”(i＝1,2,3)，试用A1， A2，A3表示下列事件： (1) 只击中第一发；(2)只击中一发；(3)三发都没有击中；(4)至少击中一发 ；(5)最 多击中一发．
解析：(1)A1 A2 A3 (2)A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3 (3) A1 A2 A3 (4)A1＋A2＋A3 (5)＝ A1 A2 A3 ＋A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3
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事件的混合运算的方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验的所有样本点，分析并利用这些 样本点进行事件间的运算． (2)利用 Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有样本点，把这 些样本点在图中列出，进行运算．
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数字化——事件关系与运算的集合表示 ►数据分析、直观想象 借助于集合的关系与运算来表示事件的关系与运算，以便我们准确地求出并事件、 交事件．课本这道例题就是有力的佐证．
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[典例] 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球(标号为 1 和 2)， 2 个绿色球(标号为 3 和 4)，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球．设事件 R1＝“第 一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次 都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”． (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件 R 与 R1，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？ (3)事件 R 与事件 G 的并事件与事件 M 有什么关系？事件 R1 与事件 R2 的交事件与事 件 R 有什么关系？
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互斥事件与对立事件的判断方法 (1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不 同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件． (2)判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发 生；二是必有一个发生，如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件， 只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．两个事件是对立事件的 前提是互斥事件．
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1．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球 个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是 对立事件． (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球．
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[解析] (1)所有的试验结果如图所示．用数组(x1，x2)，表示可能的结果，x1是第一 次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)， (1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．
知识梳理 (1)一般地，若事件A发生，则事件B 一定发生，则称事件B包含事件A(或 事件A包含于事件B)，记作 B⊇A (或 A⊆B )． (2)如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件 B相等，记作A ＝ B.
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探究二 事件的综合运算 [例 2] 掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于 3}，D＝{点数大于 2}，E＝{点 数是 3 的倍数}． 求：(1)A∩B，BC； (2)A∪B，B＋C； (3)记 H 是事件 H 的对立事件，求 D ， A C， B ∪C， D ＋ E .
Байду номын сангаас
答案：C
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2．下列各组事件中，不是互斥事件的是( ) A．一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6 B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于 90 分与平均分不高于 90 分 C．播种 100 粒菜籽，发芽 90 粒与发芽 80 粒 D．检验某种产品，合格率高于 70%与合格率低于 70%
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[解析] (1)不是互斥事件，更不可能是对立事件．理由：事件 A：命中的环数大于 7 环，包含事件 B：命中环数为 10 环，二者能够同时发生，即 A∩B＝{命中环数为 10 环}． (2)是互斥事件，但不是对立事件． 理由：事件 A：命中的环数大于 7 环，与事件 C：命中的环数小于 6 环不可能同时发 生，但 A∪C＝{命中环数为 1、2、3、4、5、8、9、10 环}≠Ω(Ω 为样本空间)． (3)是互斥事件，也是对立事件． 理由：事件 C：命中的环数小于 6 环，与事件 D：命中的环数为 6、7、8、9、10 环 不可能同时发生，且 C∪D＝{命中环数为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 环}＝Ω(Ω 为样本空间)．
知识点二 并事件与交事件 预习教材，思考问题 结合集合中的并集和交集，思考并事件和交事件的含义？
[提示] 一般地，事件 A 与事件 B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或 者在事件 A 中，或者在事件 B 中，我们称这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件)； 一般地，事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 A 中，也 在事件 B 中，我们称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是 R1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}；
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事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是 R2＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)}． 同理，有
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2024春高中数学第10章10.1.2事件的关系和运算课件新人教A版必修第二册
事件为(
)
A．恰有两件次品
C．恰有两件正品
B
B．恰有一件次品
√
D．至少有两件正品
[事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.]
1
2
3
4
2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一
面的点数是2或3”为事件B，则(
)
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3
∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理
解为集合A∪B.
)
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
√
D
从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取
出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红
球．故选D.
类型2 事件的运算
【例2】 掷一枚骰子，下列事件：
C2间有什么关系？
知识点1 事件的关系
关系
包含
关系
相等
关系
定义
表示法
一定
若事件A发生，事件B____发生，
称事件B包含事件A(或事件A包含 ____(或A⊆B)
B⊇A
于事件B)
如果事件B包含事件A，事件A也
包含事件B，则称事件A与事件B
相等
A＝B
图示
关系
互斥
事件
对立
事件
定义
不能同时
如果事件A与事件B________发
[解]
ҧ
(1)A∩B∩＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}．
)
A．恰有两件次品
C．恰有两件正品
B
B．恰有一件次品
√
D．至少有两件正品
[事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.]
1
2
3
4
2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一
面的点数是2或3”为事件B，则(
)
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3
∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理
解为集合A∪B.
)
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
√
D
从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取
出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红
球．故选D.
类型2 事件的运算
【例2】 掷一枚骰子，下列事件：
C2间有什么关系？
知识点1 事件的关系
关系
包含
关系
相等
关系
定义
表示法
一定
若事件A发生，事件B____发生，
称事件B包含事件A(或事件A包含 ____(或A⊆B)
B⊇A
于事件B)
如果事件B包含事件A，事件A也
包含事件B，则称事件A与事件B
相等
A＝B
图示
关系
互斥
事件
对立
事件
定义
不能同时
如果事件A与事件B________发
[解]
ҧ
(1)A∩B∩＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}．
数学人教A版(2019)必修第二册10.1.2事件的关系和运算(共21张ppt)
练习 书本235页练习2
抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
判断下列结论是否正确
小结
A
互斥事件与对立事件的区别： 事件A和事件B是互斥事件，则有 ①若事件A发生，则事件B就不发生 ②若事件B发生，则事件A就不发生 ③事件A,B都不发生
而事件A和事件B是对立事件，仅有前两种情况
互斥事件不一定对立，但对立事件一定互斥
三、例题精析
例5.如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件
发现事件 发生，那么事件G一定发生，用集合表示为
包含事件 对于事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A （或事件A包含于事件B），记作
特别地，若
，则称
事件A与事件B相等，记作A=B
AB
二、探索新知---并事件/和事件
发现事件 和事件 至少有一个发生，那么事件 一定发生， 用集合表示为
称事件 为事件 和事件 的并事件
可能正常或失效．设事件A =“甲元件正常”, B =“乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件两个元件工
作状态的样本空间；
（3）用集合的形式表示事件
和事件
,并说明它们的含
义及关系.
例5. 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一 个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事 件A =“甲元件正常”, B =“乙元件正常”. （1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
例5. 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每 个元件可能正常或失效．设事件A =“甲元件正常”, B =“乙元件正常”. （2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件两个元 件工作状态的样本空间；
高中数学必修第二册人教A版-第十章-10.1.2事件的关系和运算课件
(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方
向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
A.互斥但非对峙事件
B.对峙事件
C.非互斥事件
D.以上都不对
A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能 的，故是互斥事件，但不是对峙事件.
二 事件的运算
∵A⊆(A＋B)， ∴A(A＋B)＝A，D正确.
4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则 A B∪A B
表示的含义是___只__有__一__人__破___译__密__码，事件“密码被破译”可表示为___A__B_∪___A__B__∪_.AB
5.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数， 事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件 A∩B用样本点表示为_{_1__0_,2__0_,_3_0_,_4_0_,_5_0_,_3_2__,4_2__,5_2_.,54}
符号 A∩B＝∅
一般地，如果事件A和事件B在任何一次实验中 对峙事件 _有___且__仅__有__一__个产生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，
那么称事件A与事件B互为对峙.
A∪B＝Ω 且A∩B＝∅
图示
易错辨析
1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.( √ ) 2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对峙事件.( × ) 3.若两个事件是对峙事件，则这两个事件也是互斥事件.( √ ) 4.若事件A与B是互斥事件，则在一次实验中事件A和B至少有一个产生.( × )
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来. (1)三个事件都产生； 解 ABC.
10.1.2事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版必修第二册第十章
4.事件的交 若某事件产生当且仅当事件A产生且事件B产生（即“ A与 B 都产生” ），则称此事件为A 与B 的交事件（或积事件）， 记为A B 或 AB
A B
C
例：某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0以上。记事件 A = “左眼视力在1.0以上” 事件 B =“右眼视力在1.0以上” 事件 C =“视力合格” 说出事件A、B、C的关系。
A，B是对峙事件
A，B是互斥事件
2.判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对峙事件。从40张扑克牌（四种花色从1~10 各10 张）中任取一张①“抽出红桃”和“抽出黑桃”②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”③“抽出的牌点数为 5 的倍数”和“抽出的牌点数大于 9
3、一名学生独立解答两道物理习题，考察这两道习题的解答情况。记 A = “该学生会解答第一题，不会解答第二题” B = “该学生会解答第一题，还会解答第二题”试回答：1. 事件A 与事件B 互斥吗？为什么？2. 事件A 与事件B 互为对峙事件吗？为什么？
4、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，视察其中的次品数记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件” C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成： A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个产生）
例：从一批产品中抽取30件进行检查, 记 A =30件产品中至少有1件次品，B =30 件产品中有次品。说出A与B之间的关系。
2.在掷骰子实验中，我们用集合情势定义如下事件：D1＝｛出现的点数不大于3｝，E1＝｛出现的点数为1或2｝，E2＝｛出现的点数为2或3｝，
3 .事件的并（或称事件的和） 若某事件产生当且仅当事件A产生或事件B产生（即 事件A ，B 中至少有一个产生），则称此事件为A与 B的并事件（或和事件） 记为 A B （或 A + B ）。
A B
C
例：某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0以上。记事件 A = “左眼视力在1.0以上” 事件 B =“右眼视力在1.0以上” 事件 C =“视力合格” 说出事件A、B、C的关系。
A，B是对峙事件
A，B是互斥事件
2.判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对峙事件。从40张扑克牌（四种花色从1~10 各10 张）中任取一张①“抽出红桃”和“抽出黑桃”②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”③“抽出的牌点数为 5 的倍数”和“抽出的牌点数大于 9
3、一名学生独立解答两道物理习题，考察这两道习题的解答情况。记 A = “该学生会解答第一题，不会解答第二题” B = “该学生会解答第一题，还会解答第二题”试回答：1. 事件A 与事件B 互斥吗？为什么？2. 事件A 与事件B 互为对峙事件吗？为什么？
4、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，视察其中的次品数记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件” C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成： A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个产生）
例：从一批产品中抽取30件进行检查, 记 A =30件产品中至少有1件次品，B =30 件产品中有次品。说出A与B之间的关系。
2.在掷骰子实验中，我们用集合情势定义如下事件：D1＝｛出现的点数不大于3｝，E1＝｛出现的点数为1或2｝，E2＝｛出现的点数为2或3｝，
3 .事件的并（或称事件的和） 若某事件产生当且仅当事件A产生或事件B产生（即 事件A ，B 中至少有一个产生），则称此事件为A与 B的并事件（或和事件） 记为 A B （或 A + B ）。
数学人教A版必修二10.1.2事件的关系和运算课件
A源自B互斥A、B对峙A
BΩ
AB=ø
互斥
A B= Ā
Ω
AUB=Ω且AB=Ø
对峙
知识讲授
运算法则
1.交换律：(1)AUB=BUA (2) AB = BA
2.结合律：(1)(AUB)UC=AU(BUC) (2)(AB)C = A(BC)
3.分配律：(1)(AUB)C=ACUBC (2)(AB)UC=(AUC)(BUC)AU(BC)=(AUB)(AUC)
可表示为：ABC，或 ABUC;
(2)A,B都产生，C不产生；
ABC，或AB-C; (3）三个事件同时都产生； ABC;
(4)A,B,C中恰有一个事件产生可表示为： ABC+ABC+ABC;
知识拓展
(5)A,B,C中恰有两个产生可表 示为： ABC+ABC+ABC,
或ABUBCUAC-ABC;
(6）三个事件至少有一个产生；
(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系类似； ②两事件相等的实质为相同事件，即同时产生或同时不产生．(2)判断事 件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确 定是否有一个结果产生会意味着两个事件都产生，若是，则两个事件不 互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对峙的两个步骤第一步，判断 是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个产生，否则只有互斥， 但不对峙．
积事件也可记作 A.B或AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格 所决定，因此"产品合格"是"长度合格"与"直径合格"的交或积 事件．图示事件A与B的积事件．
知识讲授
n
②A1UA2U…UAn=UAi ： i=1
BΩ
AB=ø
互斥
A B= Ā
Ω
AUB=Ω且AB=Ø
对峙
知识讲授
运算法则
1.交换律：(1)AUB=BUA (2) AB = BA
2.结合律：(1)(AUB)UC=AU(BUC) (2)(AB)C = A(BC)
3.分配律：(1)(AUB)C=ACUBC (2)(AB)UC=(AUC)(BUC)AU(BC)=(AUB)(AUC)
可表示为：ABC，或 ABUC;
(2)A,B都产生，C不产生；
ABC，或AB-C; (3）三个事件同时都产生； ABC;
(4)A,B,C中恰有一个事件产生可表示为： ABC+ABC+ABC;
知识拓展
(5)A,B,C中恰有两个产生可表 示为： ABC+ABC+ABC,
或ABUBCUAC-ABC;
(6）三个事件至少有一个产生；
(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系类似； ②两事件相等的实质为相同事件，即同时产生或同时不产生．(2)判断事 件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确 定是否有一个结果产生会意味着两个事件都产生，若是，则两个事件不 互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对峙的两个步骤第一步，判断 是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个产生，否则只有互斥， 但不对峙．
积事件也可记作 A.B或AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格 所决定，因此"产品合格"是"长度合格"与"直径合格"的交或积 事件．图示事件A与B的积事件．
知识讲授
n
②A1UA2U…UAn=UAi ： i=1
事件的关系和运算 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共29张PPT)
E1 “点数为1或2"={1, 2};
E2 "点数为2或3"={2,3}
F "点数为偶数"= {2, 4, 6}
G "点数为奇数"= {1,3,5}
我们借助集合与集合的关系和运算以及事件的相关定义，我们发现这些 事件之间有着奇妙的联系，可以分为以下几种情况.
概念解析 用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分
事件 D1 为事件 E1 和事件 E2 的并事件. 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,
或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
可以发现，事件E 和E 同时发生，相当于 12
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥；
(2)C2,C3为对立事件;
(3)C3⊆D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (7)E=C1∪C3∪C5; (9)D2∪D3=D2;
探究新知
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事 件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研 究事件之间的关系和运算.
引例：在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
时,称为事件A发生
必然 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有 事件 一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件
10.1.2事件的关系和运算课件(人教版)
(1)甲未中靶； (2)甲中靶而乙未中靶； (3)三人中只有丙未中靶； (4)三人中至少有一人中靶； (5)三人中恰有两人中靶．
高中数学2·必修第二册·A版
第35页
解：(1)甲未中靶： A . (2)甲中靶而乙未中靶：A∩ B ，即 A B . (3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩ C ，即 AB C .
提示：事件： 掷一枚硬币三次，统计正面向上的情况．
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第5页
解析：当事件 A 发生时，事件 C 一定发生，当事件 B 发生时，事件 C 一定发生， 因此 A⊆C，B⊆C；当事件 A 发生时，事件 B 一定不发生，当事件 B 发生时，事件 A 一定不发生，因此事件 A 与事件 B 之间不存在包含关系．综上所述，事件 A，B，C 之间的包含关系为 A⊆C，B⊆C.
(2)不可能事件记作∅，显然 C⊇∅(C 是任一事件)；
(3)事件 A 也包含于事件 A，即 A⊆A.
提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．
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第10页
3．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种 情况：事件 A 发生，事件 B 不发生；事件 A 不发生，事件 B 发生；事件 A，B 同时发 生，即事件 A，B 中至少有一个发生．
第30页
1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事 件．
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第35页
解：(1)甲未中靶： A . (2)甲中靶而乙未中靶：A∩ B ，即 A B . (3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩ C ，即 AB C .
提示：事件： 掷一枚硬币三次，统计正面向上的情况．
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第5页
解析：当事件 A 发生时，事件 C 一定发生，当事件 B 发生时，事件 C 一定发生， 因此 A⊆C，B⊆C；当事件 A 发生时，事件 B 一定不发生，当事件 B 发生时，事件 A 一定不发生，因此事件 A 与事件 B 之间不存在包含关系．综上所述，事件 A，B，C 之间的包含关系为 A⊆C，B⊆C.
(2)不可能事件记作∅，显然 C⊇∅(C 是任一事件)；
(3)事件 A 也包含于事件 A，即 A⊆A.
提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．
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第10页
3．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种 情况：事件 A 发生，事件 B 不发生；事件 A 不发生，事件 B 发生；事件 A，B 同时发 生，即事件 A，B 中至少有一个发生．
第30页
1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事 件．
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10.1.2事件的关系和运算(课件)高一数学(人教A版必修第二册)
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”； E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”； F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”； ……
新知1：事件的关系
①若事件A产生，则事件B一定产生，则称事件B包含事件A
(或事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)．
Ω
如：A＝“点数为1”，B＝“点数为奇数”，则_A__⊆_B___ {1}⊆{1,3,5}
2．写出实验的样本空间的方法： (1)列举法：合适于较简单的问题． (2)列表法：合适求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：合适较复杂问题中基本事件的探求．
掷100、1000、10000次硬币，得到正面向上的 频率在0.5附近，由此估计掷一枚硬币正面向上 的概率为0.5。
通过实验和视察的方法，我们可得到一些事件 的概率估计。但此法耗时多，而且得到的仅是 概率的近似值。 在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事 件概率的通用方法。
巩固：事件的关系
P232-例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1 和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”， G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两球颜色不同”．
Ω
如: C＝“点数不大于3”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_C_=_A__∪__B {1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}
新知1：事件的关系
④事件A与事件B同时产生，且事件C中的样本点既在事件A中，
又在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)．
互为对峙的是( D ).
新知1：事件的关系
①若事件A产生，则事件B一定产生，则称事件B包含事件A
(或事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)．
Ω
如：A＝“点数为1”，B＝“点数为奇数”，则_A__⊆_B___ {1}⊆{1,3,5}
2．写出实验的样本空间的方法： (1)列举法：合适于较简单的问题． (2)列表法：合适求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：合适较复杂问题中基本事件的探求．
掷100、1000、10000次硬币，得到正面向上的 频率在0.5附近，由此估计掷一枚硬币正面向上 的概率为0.5。
通过实验和视察的方法，我们可得到一些事件 的概率估计。但此法耗时多，而且得到的仅是 概率的近似值。 在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事 件概率的通用方法。
巩固：事件的关系
P232-例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1 和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”， G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两球颜色不同”．
Ω
如: C＝“点数不大于3”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_C_=_A__∪__B {1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}
新知1：事件的关系
④事件A与事件B同时产生，且事件C中的样本点既在事件A中，
又在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)．
互为对峙的是( D ).
数学人教A版必修第二册10.1.2？事件的关系和运算课件
【变式训练3】甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙
两人的位置情况.（1）写出这个试验的所有可能结果构成的集合；
（2）求这个试验的所有可能结果总数；（3）写出事件“甲、乙相邻” 和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的所有可能结果.
解：（1）从左到右记这三个位置为1，2，3，则这个实验的所有
第十章 概率
10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
1.了解随机事件的包含、互斥、对峙的含义，会判断
两个随机事件是否互斥、对峙.
2.了解随机事件的并事件、交事件的含义，能进行随
机事件的并、交运算.
重点：包含、互斥、对峙、并事件、交事件的含义. 难点：判断事件的关系、进行事件的运算.
事件的关系或运算以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A产生导致B产生
并事件（和事件）
A与B至少一个产生
A∪B或A+B
交事件或AB
互斥（互不相容）
A与B不能同时产生
互为对峙
A与B有且仅有一个产生
常考题型 题型一 事件的有关概念及运算
例1. 从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}； B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：
（1）A∩B∩ C 表示什么事件？ （2）在什么条件下有A∩B∩C＝A？
（3） C B表示什么意思？ （4）如果 A ＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书 都不是中文版的？
【解】（1）A∩B∩ C ＝{2000年或2000年前出版的中文版的数
学书}.（2）在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为 中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.（3） C B表示什么意思？ 表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.
数学人教A版必修第二册10.1.2事件的关系和运算课件
N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2}．
随堂练习
1.在某次考试成绩中（满分为100分），下列事件的关系是什么？
① A1={70分～80分}，A2={70分以上} ；
A2包含A1
② B1={不及格}，B2={60分以下} ；
相等
③ C1={95分以上}，C2={90分～95分}；
在任何一次实验中，事件F与事件G两者只能产生其中之一，而且也必然
产生其中之一.用集合表示就是 2,4,61,3,5 1,2,3,4,5,6 且2,4,61,3,5
即 F G 且 F G 此时我们称事件F与事件G互为对峙事件。
(6)对峙事件
如果事件A与事件B在任何一次实验中有且仅
有一个产生， A B
既不互斥也不对峙
巩固练习
5.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点 数是3或4},M＝{向上的点数是1或3}, 则P∪Q＝ {向上的点数是 1 或 3, 或 4} M∩Q＝__{_向___上__的__点__数___是___3_}____.
6.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品
并事件（或和事件）
视察事件：C2=“点数为2”即 E1 =“点数为1或2” E2 =“点数为2或3”
C2 2
E1 1,2,
E2 2,3
事件E1和事件E2同时产生，相当于事件C2产生
1,2 2,3 2
E1 E2 C2
交事件
(4)交事件（积事件）
事件A与事件B同时产生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中
互斥
④ D1={80分～100分}，D2={0分～80分}.
随堂练习
1.在某次考试成绩中（满分为100分），下列事件的关系是什么？
① A1={70分～80分}，A2={70分以上} ；
A2包含A1
② B1={不及格}，B2={60分以下} ；
相等
③ C1={95分以上}，C2={90分～95分}；
在任何一次实验中，事件F与事件G两者只能产生其中之一，而且也必然
产生其中之一.用集合表示就是 2,4,61,3,5 1,2,3,4,5,6 且2,4,61,3,5
即 F G 且 F G 此时我们称事件F与事件G互为对峙事件。
(6)对峙事件
如果事件A与事件B在任何一次实验中有且仅
有一个产生， A B
既不互斥也不对峙
巩固练习
5.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点 数是3或4},M＝{向上的点数是1或3}, 则P∪Q＝ {向上的点数是 1 或 3, 或 4} M∩Q＝__{_向___上__的__点__数___是___3_}____.
6.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品
并事件（或和事件）
视察事件：C2=“点数为2”即 E1 =“点数为1或2” E2 =“点数为2或3”
C2 2
E1 1,2,
E2 2,3
事件E1和事件E2同时产生，相当于事件C2产生
1,2 2,3 2
E1 E2 C2
交事件
(4)交事件（积事件）
事件A与事件B同时产生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中
互斥
④ D1={80分～100分}，D2={0分～80分}.