Bers型空间之间的加权微分复合算子
【浙江省自然科学基金】_充要条件_期刊发文热词逐年推荐_20140811
科研热词 广义逆 左高矩阵 右高矩阵 充要条件 群逆 矩阵 环 最大非奇异子阵 收敛性 拟增生算子 拟圆周 拟共形映射 广义最速下降逼近 广义对称sor方法 局部有界算子 小zygmund空间 小bers型空间 复合算子 复合矩阵 圆偏差曲线 双圆性质 单位球 加权复合算子 加权moore-penrose逆 元素 一致光滑实banach空间 г α β -广义逆 г α β -moore-penrose逆 ψ -强增生算子 γ α β -广义逆 γ α β -moore-penrose逆 zygmund空间 drazin逆 besov空间 bers型空间
推荐指数 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 推荐指数 运动学 1 紧性 1 拟齐次符号 1 并联机构 1 变分包含 1 具混合误差的ishikawa迭代序列 1 伴随运动 1 交换性 1 toeplitz算子 1 m-增生映像 1 k-次增生映像 1 dirichlet空间 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
2011年 科研热词 紧性 有界性 复合算子 zygmund型空间 谱 调和曲面 计算机辅助几何设计 算法 状态观测器 极小曲面 最优扩散 斜toeplizt算子 扩散层 循环矩阵 增长型空间 可镇定 加权微分复合算子 加权复合算子 加权可积性 加权cesàro算子 分支数 充要条件 交换性 五行学说 二重三角级数 乘积算子 三角域上的b-b曲面 zygmund空间 plateau问题 hardy空间 dirichlet空间 cesàro算子 bloch空间 bloch型空间 besov空间 bers型空间 推荐指数 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
加权Bergman空间上的加权复合算子的开题报告
加权Bergman空间上的加权复合算子的开题报告
1. 研究背景和意义
在现代数学中，加权Bergman空间是一种重要的函数空间，具有广泛的应用和研究价值。
它是一种带权$L^2$空间，以一定的权函数为基础来描述函数的正则性和增长性。
加权Bergman空间在复分析、调和分析、偏微分方程等领域中都有涉及。
而加权复合算子是一种将一个函数映射到另一个函数的算子，同时保持函数增长率和正则性。
加权复合算子在函数空间中的作用和应用非常广泛，是研究加权Bergman空间的一个重要手段。
因此，本文将从加权Bergman空间和加权复合算子两个方面入手，探讨加权复合算子在加权Bergman空间中的性质和应用。
2. 研究内容和方法
本文将首先介绍加权Bergman空间的定义和基本性质，包括内积、范数等。
然后介绍加权复合算子的定义和基本性质，包括可数性、紧性等。
在此基础上，我们将研究加权复合算子在加权Bergman空间中的一些性质，包括其可逆性、紧性等，并进一步探讨其在该空间中的应用。
本文的方法主要包括函数分析和复分析等数学方法和工具，利用已有的文献和研究结果作为参考和支持。
3. 预期达到的目标和意义
通过本文的研究，预期能够深入理解加权Bergman空间和加权复合算子的相关性质和应用，为进一步研究和探讨相关问题提供帮助。
同时，探究加权复合算子在加权Bergman空间中的性质和应用，有助于发现新的数学问题和应用，对相关领域的学术研究具有重大意义。
加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓａ ｄＣ ｍｐ ｔｔ ｎ ｌ ｃｅ ｃ ， ｙ Ｕ ｉｅｓｔ， ｉｎ ｍｅ ２ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａｉ ｎ ｏ ｕａｉ ａ ｉｎ ｅ Ｗｕ ｉ ｎｖ ｒｉ Ｊａ ｇ ｎ５ ９ ２ ， ｈｎ ） ｏ Ｍａ ｃ ｏ Ｓ ｙ Ａ ｍ ｒ￣ ：Ｔ ｅ ｅｇ ｔｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ｏ ｅａｏ ｓ ｅ ｎ ｄ ｙ （Ｃ ） （） （） ：） ： ｌ ｔａ ｔ ｈ ｗ ｉｈ ｅ ｏ ｏ ｉｏ ｐ ｒｔｒ ｉ ｉ ｄ ｆ ｅ ｂ ” ９（ ： ＝ ：，（ ） ， ∈Ｄ ， ｉ ）
第２ 卷 第３ ４ 期
２１年 ００ ８ 月 Fra bibliotek五 邑大学学报 ｆ自然科学版 ）
ＵＮＩ ＲＳＴＹ （ ｔｒｌ Ｓ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｏ ＶＥ Ｉ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ Ｊ Ｒ Ｌ ＯＵ ＮＡ ＯＦ Ｗ ＵＹＩ
Ⅵ）．４ Ｎｏ ３ １ ２ ． Ａｕ ． Ｒ ２ １ ００
第２ ４卷 第 ３期
邹垫等 ：加权 Ｂ ｒｍ ｎ空间到加 权 Ｂｏｈ空 间的加权 复合算 子 ｅｇ ａ ｌ ｃ
４ ７
Ａ 称 为 Ｂ ｒｍａ ｅｇ ｎ空 间 ； 若 （ ） ｕ （ Ｊ ）／’ ） ｏ 称 Ｄ上 的解 析 函数 属 于 Ｂ ｏ ｈ空 间 Ｂ， 厂 ＝ｓｐ１ Ｉ Ｊ （ Ｊ ｏ － ２ｓ ｚ＜ ｌｃ 并且
诱 导 的复 合算 子 在 经典 的 Ｈａｄ 间 和 Ｂ ｒｍａ 间 是一 个 有 界线 性 算 子 ．我 们 感 兴趣 的 是 给 出由 ｒｙ空 ｅｇ ｎ空
诱 导 的复 合 算 子 在 不 同 空 间之 间的 映 射 是 紧或 有 界 的 函数 理 论 描 述 ．令 材为 Ｄ上 一 确 定 函数 ，定 义 一个 线 性 算 子 ｌ ： 厂＝ （ ） ｌ ‘ ・ 厂。 ，称其 为加权 复合 算 子 。加 权 复 合 算 子 可 看作 是 乘 积算 子 和复 合 算 子的 推 广．
加权Bergman空间Aa 2(Ω)上的加权复合算子
第２ ０卷 第 ６期
２０ ０ ７年 １ ２月
四川理 工 学院 学报 （自然科 学版 ）
Ｊ 』 Ｏ【ＲＮＡＬ ＯＦ Ｉ Ｓ ＣＨＵＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳＩ ＴＹ ＯＦ
Ｖ １ ２ ｏ． ６ ０ ｌ ． ０Ｎ
Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ＆Ｅ ＣＥ Ｃ ＮＧＩ Ｅ Ｉ （ ￣＇ Ｒ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ ＤＩ Ｉ ＮＥ Ｒ ＮＧ Ｎ，Ｉ Ａ Ｃ Ｅ ＥＥ Ｔ ＯＮ） Ｕ
义加权 复合算 子
，
＿ｚ ｖ（ ＜ｏ。 （） （， 的 厂 ）ｄ ）ｏ Ｑ是 Ｑｄ ） （Ｉ ｚ ｝ ｖ
２ 是一全纯映射 ， ： ＿是一全纯函数 ，定 Ｃ
（ 是投影算子 ， Ｑ） 并且其核函数为 （， ） ｚＷ ＝Ｋ（， ） 。 ｚｗ 卜
： ｃ
，
ｆ ｚ ＝ ｚ （ ｚ） （ ） （ ） （） ，ｆ∈Ｈ（２ 。加权复合算子是由 ｃｃＣ ｗ ｎ ｆ） ．．ｏ ｅ 为了解
性 泛 函分析 中关 于线性 算 子的最 基本 问题 。
１ 一 些 定 义 和 引 理
本文中约定 Ａ Ｂ表示存在常数 Ｃ ，使得 ｃ Ｂ≤ｃ 常数可 以不同。令 Ａ Ａ．
（３ ｚＷ ， ＝ ｙｚ ｗ ＝Ｋ （，） 七 （） Ｋ （ ）
设 是 中一有界对称区：１７ — ５ ９（ ０ ７）０ — ０ ９ ０ ６ ３ １４ ２０ ６ ０ ３— ５
加权 Ｂ ｒｍａ ｅｇ ｎ空 间 （） 的加权 复合算子 Ｑ上
江 治 杰
（ 四川理 工 学院数 学 系，四川 自贡 ６ ３ ０ ４ ０ ０） ｃ
摘 要： 文章研究多复变 中有界对称 区域 Ｑ 的加权 Ｂ ｒ ｎｎ ｅ Ｉ 空间 （ 上的加权复合算子 Ｃ ， ｇａ Ｑ）
（ ＝ （ｚ Ｉ （ｗｌ ＝ ｚ） Ｋ（ ）ｄ ｚ ￡ ｚ） ｚ）ｄ （ ，ｌ ） ， ， ， ｚ ｚ ｗ
利普希茨空间到有界解析函数空间的加权微分复合算子
２ １ 年 ０ １
菏
泽
学 院
学
报
第 ５期
证明 微分 复合算子有界 的充分 『证 明如下 ： 生
假设条件（） １ 成立 ， 则对任意的 ∈Ｄ且厂∈Ａ ，
（一 １ ｌｚ Ｉ ） Ｓ ｉ １ｌ ）／ （） ） （Ｉ’ ｚ ｌ Ｕ ： （
利普希茨 空间到有界解析 函数 空间的加权微分复合算子
张 亮
（ 天津大学 理学院， 天津 ３０７ ） ００２
摘 要； 加权微分复合算子理论是 算子领域 的重要组成部分． 同空 间的加权微分 复合算子 的有界 性和 紧致 不
性被深入地研究并出现了许多成果． 在此基础上给出了单位圆盘上从利普希茨空间到有界解析函数空间的加权微 分复合算子有界和 紧致 的性质 ， 明 了算子有界和 紧致 的充要条件． 并证
ｌ ＜ ｃ
（） ４
∞ ＞ｃＩ ｃ。Ｉ 一 “ｌ） “Ａ ‘ — Ｉ ￣Ｌ ）Ｉ １ Ｉ Ｉ （ ） ｕ
（ Ｉ 卢 （ ）Ｉ ２ （ １一 Ａｌ Ｉ ａ Ａ ） ｕ Ｉ （ ｌ （ ）Ｉ 卜 １一 Ａ ） “
范数 与范数 Ｂ等价， 记：
Ｂ 如果存在常数 Ｃ＞Ｏ使得 Ｂ ＣｓＡ Ｃ ． ， ， ／ Ｂ
文献［ ５ 已经深入研究了微分复合算子在不同空间的有界性和紧致性． １～ ］ 借助文献［ ５ 的一些方法， １～ ］ 给 出了从利普希茨空间到有界解析 函数空间的加权微 分复合算子 的一些性质．
所 以 Ｄ： Ａ 一 是有界算 子．
ｌｌ ￥ ｉ ，－ ： ｌ ｔ ： 一 ｌ
Ｉｌ ｌ 厂。 Ｉ・
微分复合算子有 界的必要性证明如下 ： 假设 “ 。 Ａ 一 爿 ＣＤ： 莒是有界算子， 则对所有／∈Ａ ， ’ 存在常数 ｃ使得 Ｉ Ｃ ｌ ５ ＣＩ ｌ 则令 ｚ ， Ｉ Ｉ ｕ ｔ ｆｌ ）＝
单位球上小Bloch型空间之间的加权复合算子
Ｎ． ｏ４
刘 竞成 等 ：单 位球上 小 Ｂｏｈ型 空 间之 间 的加权复 合算 子 ｌｃ
８５ ９
［ 】 单位球 上 Ｂｏｈ空 间上的 复合算 子 的有界 性和 紧性 条件进 行 了刻 画；文献 ［ｌ得 １ 对 ０ ｌｃ １】 到单位 球上 Ｂｏｈ型 空间上 为 有界 或紧算子 的充要条 件．但是 对于 高维 小 Ｂｏｈ型 空间 ｌｃ ｌｃ 上 的加权复 合算子 的有 界性 和紧性 条件 至今还 没有 给 出．本 文 将在上 述基础 之 上给 出 到
摘要： 对所有的 ０＜Ｐ、 ｑ ０ 该文得到了 ＜Ｏ，
中单位球上小 Ｂｏｈ型空间 ｌ ｃ 到 饼 之间
的加权复合算子 五 ， 为有界算子或紧算子的充要条件． 关键词：小 Ｂｏ ｈ型空间；有界性；紧性；加权复合算子． ｌｃ
ＭＲ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：７ ３； ２ ３ 中图分类号： ７． 文献标识码： ４Ｂ ８ ３Ａ ７ Ｏ１４ ６ ５ Ａ
ｊ＝ｌ
用 Ｖ （ ＝（ （ ， ， （ ） ｆ ） … 表示， ，的 ｚ ） ） 径向 导数用 Ｒ （ ＝（ ｆｚ － 表示． ｆｚ Ｖ （ ， ） ）） ２
对０ ＜Ｐ＜∞， Ｂ上全纯函数 ，如果满足 Ｉ ｌ１＝ｓｐ １ ｚ ）ｌｆｚＩ 。 就称 ， Ｉ ｌｌ ｕ （ 一Ｉ Ｐ （ ＜ｏ， ｆ ｐ ｌ Ｒ ） 属
，∈
｛ ｌ （ 一 ＝ ｉ １ ｝ ｍ
１
Ｉ （）＝０ ｖｆ ｌ ∈日（ ， 为 Ｂ — Ｂ 全纯 白映射 ， Ｂ）
设 、 ｙ 是 Ｂ 上两个 由全纯 函数构成 的空 间，
从 空间 到 ｙ 的加权复合算 子 ， 定义为 ， １ ＝矽（ 。 （） 厂 １ ） （ ） 厂 ｆ∈ ． 在单复变情形，Ｂｏｈ ｌ 型空间之间的复合算子和加权复合算子已经被广泛的研究 （ ｃ 如文 献 ［８． ３ ］ 至于多复变情形，由于一般 Ｂｏｈ型空间在 Ｍ ｂ ｓ —） ｌ ｃ ６ ｉ 变换下不是不变的，所以在高 ｕ 维处 理一般 Ｂ ｏｈ型空 间之间复合算 子 问题 往往是 很困难 的．近年来 国 内外从 事高维 Ｂ ｏｈ ｌｃ ｌｃ 型 空 间之 间复合 算子 研 究的学 者很 多 （ 见文献 ［ ３ １—８）得到 不少结 果 ．其 中文献 参 １ １， ７ １］ ０ ，
作用于微分形式的复合算子T。D。G的高阶可积性
第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性赵鹏飞,㊀毕淑娟,㊀刘振杰(哈尔滨学院信息工程学院,哈尔滨150080)摘㊀要:利用微分形式的Poincaré-Sobolev 不等式证明了当1<p <n 时复合算子T D G 的高阶L P 可积性,然后进一步讨论了p ȡn 的情形,获得了复合算子的高阶范数估计,并利用该结果对L p 可积微分形式证明了局部加权范数不等式成立㊂关键词:复合算子;高阶可积性;微分形式DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.018中图分类号:O175.3文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0144-05Higher Integrability of the Composite Operator T D Gfor Differential FormsZHAO Pengfei,㊀BI Shujuan,㊀LIU Zhenjie(School of Information Engineering,Harbin University,Harbin 150080,China)Abstract :We firstly prove the higher integrability of the composite operator T D G by using Poincaré-Sobolev inequalities when 1<p <n .Then further consider the case of p ȡn and obtain the higher order norm estimation of composite operators,by which theweighted norm inequality for L p integrable differential forms is proved.Keywords :the composite operator;higher integrability;differential forms㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2021-11-08基金项目:黑龙江省自然科学基金(LH2020A015).作者简介:毕淑娟(1970 ),女,博士,副教授;刘振杰(1969 ),男,博士,副教授.通信作者:赵鹏飞(1981 ),男,硕士,E-mail:pengfeizhao81@.0㊀引㊀言近年来,随着对微分形式算子理论研究的展开,算子的有界性及其高阶可积性对研究拟正则映射和微分形式A -调和方程理论有十分重要的意义[1-8]㊂2009年,Ding 等[9-10]首先对同伦算子与投影算子的复合算子的奇异积分问题进行了研究㊂之后,Bi 等[11-13]对同伦算子及其复合算子的强(p ,q )型不等式进行了研究,证明了算子在加权L p 空间的有界性㊂近几年,Y.Xing [14]㊁H.Gao [6-7,15]㊁Y.Lu [16-17]和Y.Tong [18]等对算子的高阶可积性以及拟线性椭圆方程解的全局可积性进行了研究,取得了一系列丰富的成果㊂本文的主要目的是研究同伦算子T ㊁Dirac 算子D 和Green 算子G 的复合算子T D G 的高阶可积性,并进一步得到当p ȡn 时,复合算子的高阶L p 范数估计㊂为了方便,首先介绍一些符号和术语㊂设E ⊂ℝn 为一有界域,|E |为E 的Lebesgue 测度,n ȡ2㊂Λl (ℝn )表示定义在ℝn 上的l -形式全体所构成的空间㊂D ᶄ(E ,Λl )表示定义在E 上的所有可微l -形式所构成的空间㊂L p loc (E ,Λl)表示定义在E 上的系数局部可积的l -形式全体所构成的空间㊂1㊀预备知识Hodge 星算子定义为∗u =ð1ɤi 1< <i k ɤn(-1)σu i 1, ,i k (x )dx j 1Λ Λdx j n -k其中j 1< <j n -k ,(i 1, ,i k ,j 1, ,j n -k )为(1, ,n )的全排列,σ为全排列的逆序数㊂利用外微分算子d 和Hodge 星算子可以定义Hodge 上微分算子d ∗=(-1)nl +1∗d ∗,Dirac 算子定义为D =d +d ∗㊂同伦算子T 为T.Iwaniec 和A.Lutoborski 在证明Poincaré引理过程中引入的一个重要算子㊂对每个y ɪE ,首先定义一个线性算子k y :C ɕ(E ,Λl)ңC ɕ(E ,Λl -1)为(k y u )(x ;ξ1, ,ξl -1)=ʏ10tl -1u (tx +y -ty ;x -y ,ξ1, ,ξl -1)d t定义1㊀同伦算子T :C ɕ(E ,Λl )ңC ɕ(E ,Λl -1)定义为Tu =ʏEφ(y )k yu d y其中φɪC ɕ0(E )且满足ʏEφ(y )d y =1㊂然后T.Iwaniec 等研究了同伦算子的L p理论,将同伦算子的定义拓展到T:L 1loc(E ,Λl)ңL 1loc(E ,Λl -1),并证明了对所有的u ɪΩq ,p (E ,Λl ),有如下分解u =dTu +Tdu(1)其中Ωq ,p (E ,Λl -1)表示满足u ɪL p(E ,Λl -1)且du ɪL p(E ,Λl)的全体(l -1)-形式所构成的集合㊂对于算子T 有如下估计式Tω s ,B ɤC diam(B ) ω s ,B (2)成立,其中B 为ℝn 中的球,1<p <n ㊂关于同伦算子的更多性质可参看文[1],[19]㊂令u ɪD ᶄ(E ,Λl ),l -形式u E ɪD ᶄ(E ,Λl )定义为u E =|E |-1ʏEu (y )d y ,l =0dTu ,l =1,2, ,n{定义2[2]㊀Green 算子G 定义为G :C ɕ(E ,Λl )ңΗʅɘC ɕ(E ,Λl )其中Gu 是ΗʅɘC ɕ(E ,Λl )中满足Poisson 方程ΔGu =u -H (u )的唯一解㊂如果w (x )>0a.e.且在ℝn 上局部可积,则称w (x )为权函数㊂L p (E ,Λl ,w )表示加权的L p 空间,其范数定义为 u p ,E ,w =(ʏE|u |pw (x )d x )1/p㊂1972年,B.Muckenhoupt [20]在研究极大算子的性质时给出了A r 权的概念㊂定义3㊀如果定义在E ⊂ℝn 上的权函数w (x )满足sup B ⊂E 1|B |ʏBw d x ()1|B |ʏB1w()1r -1d x()r -1<ɕ则称w (x )在E 上满足A r (E )条件㊂下面的Poincaré-Sobolev 不等式出现在文[1]中㊂引理1㊀若u ɪD ᶄ(B ,Λl ),du ɪL p (B ,Λl +1),l =0,1, ,n ,则u -u B ɪL npn -p (B ,Λl )且有不等式(ʏB|u -u B |np n -pd x )n -p npɤC p (n )(ʏB|du |pd x )1p其中B 为有界凸区域中的任意球体㊂引理2[2]㊀设u 为定义在E 上的光滑的微分形式,1<s <ɕ,则存在一个与u 无关而与s 有关的正常数C (s ),使得不等式dd ∗Gu s ,B + d ∗dGu s ,B + dGu s ,B + d ∗Gu s ,B + Gu s ,B ɤC (s ) u s ,B对所有满足B ⊂E 的球都成立㊂设φ(x )为定义在[0,ɕ)上的严格增凸函数,φ(0)=0,u 为定义在有界域E ⊂ℝn 上满足对任意λ>0及μ({x ɪE :|u -u E |>0})>0都有φ(λ|u |+|u E |)ɪL 1(E ,μ)的微分形式,其中,μ为由d μ=w (x )d x 定义的Radon 测度,w (x )为权函数㊂可以证明对任意的a >0,ʏEφ12|u -u E|()d μɤC 1ʏEφ(a |u |)d μɤC 2ʏEφ(2a |u -u E|)d μ(3)其中C 1,C 2为正常数㊂2㊀定理证明定理1㊀设u ɪL p loc (E ,Λl)为定义在E 上的光滑微分形式,1<p <n ,D 为Dirac 算子,G 为Green 算子,T 为同伦算子,0<s <np (n -p )-1,则存在与u 无关,与n ,s ,p 有关的常数C 使得TDGu s ,B ɤC u p ,σB其中:B ⊂σB ⊂E ,σ为某个大于1的常数㊂541第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性证明:这里将分成两步来完成证明㊂1)如果|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0则由引理1和引理2,有TDGu-(TDGu)B np n-p,BɤC p(n) dTDGu p,BɤC p(n) DGu-TdDGu p,BɤC p(n)( DGu p,B+ TdDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C dDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C u p,B)ɤC u p,B在式(3)中取φ(t)=t np n-p,则有(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p npɤC(ʏB|TDGu-(TDGu)B|np n-p d x)n-p np由L p空间的单调性,若0<s<np(n-p)-1,则(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p np 于是有(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏσB|u|p d x)1p㊂2)假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|=0则TDGu=(TDGu)B㊀在B上几乎处处成立,因此TDGu为闭形式,进而TDGu为A-调和方程的解㊂于是由式(2)和引理2,有TDGu p,σBɤC diam(B) DGu p,σBɤC|B|1n u p,σB又由Hölder不等式有TDGu s,BɤC|B|1s-1p TDGu p,σB故TDGu s,BɤC|B|1n+1s-1p u p,σB于是定理得证㊂定理2 设uɪL p loc(E,Λl)是定义在E上的一个光滑微分形式,pȡn,T是同伦算子,D是Dirac算子,G是Green算子㊂则对于任意的实数s>1,有TDGuɪL s loc(E,Λl),进而存在一个与u无关的常数C使得,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B其中B⊂E为E中的任意球㊂证明:首先当1<sɤp时,由引理2和式(3),有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B显然成立㊂接下来证明当s>p时,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,σB成立㊂假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0令m=sp-1,记q=mnp/(n+mp)㊂因为n-p ɤ0,所以q-p=[p(m(n-p)-n)](n+mp)-1<0即q<p,而1<q=mnp/(n+mp)<n㊂于是由引理1㊁引理2和L p空间的单调性,有(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC2(ʏB|dTDGu|q d x)1q=C2(ʏB|DGu-T(d(DGu)|q d x)1qɤC3(ʏB|DGu|q d x)1q+C4(ʏB|T(d(DGu)|q d x)1qɤC5(ʏB|u|q d x)1q+C6(ʏB|u|q d x)1qɤC7|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p(4)因为|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0,所以若在式(3)中取φ(t)=t nq(n-q),则对任意的微分形式ω,可得(ʏB|ω|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC8(ʏB|ω-ωB|nq(n-q)d x)(n-q)nq(5)在式(5)中用TDGu代替ω,有(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq n-q d x)n-q nq(6)因为nq/(n-q)=mp=s,再一次利用L p空间的单调性,式(6)和式(4),有(ʏB|TDGu|s d x)1s=(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC10|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p=641哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀C10|B|1s+1n-1p(ʏB|u|p d x)1p因此有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B于是定理得证㊂需要指出的是,以往得到的关于同伦算子和Green算子的高阶可积性结论均仅对A-调和方程的解成立,而定理1和定理2的结果表明对于满足一定条件的指数s,p,对任意在E上局部L s可积的微分l-形式,复合算子的高阶可积性仍然成立㊂3㊀应㊀用近年来,关于算子在加权微分形式L p空间有界性问题的研究已取得一些成果,但由于在证明过程中需要用到弱逆Hölder不等式,因此关于加权不等式的结论仅对A-调和方程的解成立㊂而由定理2,则可得到对任意L p可积的微分形式均成立的加权结果㊂引理3㊀如果w(x)ɪA r(E),则存在与w无关的常数γ>1和C>0,使得w γ,BɤC|B|(1-γ)γ w 1,B(7)对所有球B⊂E都成立㊂定理3㊀设E为有界凸区域,n<p<ɕ,T为同伦算子,D为Dirac算子,G为Green算子,如果权函数w(x)满足A r(E)条件,其中1<r<p/n,则对任意uɪL p(E,Λl),存在与u无关的常数C使得 TDGu p,B,wɤC u p,B,w对所有的球B⊂E都成立㊂证明:由于w(x)满足A r(E)条件,由引理3,存在常数γ>1和正数C1使得对所有的球B⊂E有 w γ,BɤC1|B|(1-γ)γ w 1,B取t=γp/(γ-1),则由Hölder不等式有 TDGu p,B,wɤ(ʏB|TDGu|t d x)1t(ʏB wγd x)1γp= TDGu t,B w 1pγ,B(8)这样,将式(7)代入式(8)中,有TDGu p,B,wɤC2|B|(1-γ)γp TDGu t,B w 1p1,B(9)记m=p/r,则由定理2可以得到TDGu t,BɤC3 u m,B(10)其中C3与t,m,n有关㊂再由式(9)和式(10),有 TDGu p,B,wɤC4|B|(1-γ)γp u m,B w 1p1,B 又由于1/p+(r-1)/p=1/m,于是由Hölder不等式有u m,Bɤ(ʏB(|u|w1p)p d x)1pʏB1w()1r-1d x()p r-1= u p,B,wʏB1w()1r-1d x()p r-1(11)注意到wɪA r(E),因此存在常数C5>0使得对所有的球B⊂E,有1|B|ʏB wdx()1p1|B|ʏB1w()1(r-1)d x()(r-1)p<C5<ɕ这样,再由式(10)和式(11),立即有TDGu p,B,wɤC6|B|1-γPγ|B|1P|B|r-1P u p,B,w=C6|B|r P+1-γPγ u p,B,wɤC6|D|r P+1-γPγ u p,B,wɤC7 u p,B,w结论得证㊂4㊀结论本文证明了微分形式L s空间同伦算子T㊁Green 算子和Dirac算子的复合算子T D G当1<p< n时的高阶可积性,并进一步证明了复合算子当pȡn时的高阶范数估计以及对L p可积微分形式成立的局部加权范数不等式㊂参考文献:[1]㊀IWANIEC T.,LUTOBORSKI A.Integral Estimates forNull Lagrangians[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1993,125(1):25.[2]㊀SCOTT C.Theory of Differential Forms on Manifolds[J].Transactions of the American Mathematical Society,1995,347(6):2075.[3]㊀毕卉,于冰,李贯锋.复合算子的Lipschitz和BMO范数不等式[J].黑龙江大学自然科学学报,2017,34(5):556.BI Hui,YU Bing,LI Guanfeng.Lipschitz and BMONorm Inequalities for the Composite Operator[J].Journalof Natural Science of Heilongjiang University,2017,34(5):556.[4]㊀AGARWAL R.P.,DING Shusen,NOLDER C.Ine-qualities Fordifferential Forms[M].Springer,2009.[5]㊀高红亚,褚玉明.拟正则映射与A-调和方程[M].北741第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G的高阶可积性京:科学出版社,2013.[6]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,DENG Hua,et al.Global Integrability for Solutions to Quasilinear EllipticSystems[J].Manuscripta Mathematica,2021,164:23.[7]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,REN Wei.GlobalRegularity for Minimizers of Some Anisotropic VariationalIntegrals[J].J.Optimization Theory and Applications,2021,188(2):523.[8]㊀NOLDER C.Global Integrability Theorems for A-harmon-ic Tensors[J].Journal of Mathematical Analysis and Ap-plications,2000,247(1):236.[9]㊀DING Shusen,LIU Bing.A Singular Integral of the Com-posite Operator[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(8):1271.[10]DING Shusen,LIU Bing.Dirac-harmonic Equations forDifferential Forms[J].Nonlinear Analysis,2015,22:43.[11]BI Hui,XING Yuming.Poincare-type Inequalities withLp(logL)-norms for Greenᶄs Operator[J].Computers&Mathematics with Applications,2010,60(10):2764.[12]BI Hui,DING Shusen.Some Strong(p,q)-type Ine-qualities for the Homotopy Operator[J].Computers&Mathematics with Applications,2011,62(4):1780.[13]BI Hui,SUN Yuli.Imbedding Inequalities for the Com-posite Operator in the Sobolev Spaces of DifferentialForms[J].J.Inequalities and Applications,2015,2015(1):1.[14]XING Yuming,DING Shusen.Higher Integrability ofGreenᶄs Operator and Homotopy Operator[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2017,446(1):648.[15]GAO Hongya,LIANG Shuang,CHI Yi.Global Integra-bility Related to Anisotropic Operators[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2016,442(1):244.[16]LU Yueming,LIAN Pan.Variational Integral and SomeInequalities of a Class of Quasilinear Elliptic System[J].Advances in Applied Clifford Algebras,2020,30(4):62.[17]LU Yueming.On Weak Solutions to Dirac Harmonic E-quations for Differential Forms[J].Advances in AppliedClifford Algebras,2017,27(4):3167. [18]TONG Yuxia,LIANG Shuang,ZHENG Shenzhou.Inte-grability of Very Weak Solution to the Dirichlet Problemof Nonlinear Elliptic System[J].Electronic Journal ofDifferential Equations,2019,2019(1):1. [19]GOLᶄDSHTEIN V.,TROYANOV M.Sobolev Inequali-ties for Differential Forms and Lq,p-cohomology[J].Journal of Geometric Analysis,2006,16(4):597.[20]MUCKENHOUPT B.Weighted Norm Inequalities for theHardy-Littlewood Maximal Operator[J].Transactions ofthe American Mathematical Society,1972,165:207.(编辑:温泽宇)841哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀。
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
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为 有
界算 子或 紧算 子 的充要 条 件 ．本 文将 利 用泛 函分 析 和复分 析 的方法 ，研 究Ｂ ｒ型空 间（ ｘ ｅｓ 空 间） ｅｓ 或ｄ Ｂ ｒ型 之 间 加权 微 分复 合 算 子 的有 界性 和 紧 性 ，得 到若 干 充要 条 件． 文 中 ｃ表示 与 函数无 关 的正常 数 ，每 次 出现 未
文章编 号 ： ０ ０５ ６ （０ ０ ．６ ００ １０ —８ ２２ １ ）６０ １．４ １
Ｂ ｒ 型 空 间之 间的加权 微分 复 合算 子 ｅｓ
吴 莹颖 ，张 若 静 ，唐 笑敏
（ 州师 范学 院理 学 院，浙 江 湖 州 ３ ３０ ） 湖 １０ ０
摘要： 定复 面中 位 盘Ｊ上的 纯自 射 设 ∈ Ｄ ， （ ） 加 微 复 算 为 给 平 单 圆 ［ 全 映 ， （） 定义 Ｄ 上的 权 分 合 子Ｄ ， ）
其中 为非负整数．当 １ ＝ｃ ｚ 时， ． ＝ ，“ ｏ ） ＇ ｆ＝
Ｄ 就 是 微 分 复 合 算 子 ． 当 月＝１， ｕｚ ＝１ ， （） 时
是 一 个 Ｂ ｎｃ 空 间 ， ａａｈ
是 Ｈ２的闭子空问．
Ｊ， Ｄ就是由 诱导的另一复合微分算子 ， ［ ） ｆ＝ ：
第 ３ 卷 第 ６期 ５ ２１ 年 １ 月 ０１ １
江西 师范 大学 学报 （ 自然科 学 版）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ ＦＪ Ｎ Ｘ Ｏ ＭＡ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ Ａ Ｇ Ｉ Ｒ ＬＵ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｅ Ｃ ） Ｏ Ｉ Ｎ Ｃ
Ｖ＿． ０ ３５ＮＯ． １ ６ Ｎ ＯＶ．２ １ Ｏ１
是Ｄ上的全纯自映射，Ｕ （） 定义 Ｈ（ ） ∈ Ｄ， Ｄ 上的
Ｈ ２
（） Ｄ＜
加权 微分 复合 算子
．
为
Ｈ ｛Ｈ）（ｆ Ｉ， ２ （ｌ＿） － ∈Ｄ １ ）｝ ； ｌ ｏ ｚ
其 中 ０ ＜＋ｏ．显 然 ， ＜ ｏ
。
（ ）） ｚｆ’ （） ｆ （） ｚ Ｊ ， （ ＝（・ （ ｚ， ∈ Ｄ， ∈） ／ｚ ） ） ［ ，
（ ））“ ）（（ｚ， ∈ （）ｚＤ 利 泛 分 和 分 的 法 讨 了 ｅ型 间 ， （＝（． ） ／ ⅣＤ， ∈ ． 用 函 析 复 析 方 ， 论 Ｂｓ 空 ／ ｚ ｚ厂 （） ｒ
（ 小 Ｂ ｒ 型空 间） 间加权 微分 复合 算 子 或 ｅｓ 之 的有 界性 和 紧性 ，得到 了若 干充要 条件 ．
文献 ［】 得 了混合 模空 间 到加权 型空 间 的 ８获
．
设 是 Ｊ 上 的 全 纯 自映 射 ，Ｕ∈ Ｄ） ［ ） Ｈ（ ，定 义
Ｈ（ 上 的加权 复合算 子 “ 为 Ｄ） （Ｃ ｆ） ） （） （ （）， Ｄ） ∈ “ ｏ （ ＝ ｚ／ ｚ）ｆ∈Ｈ（ ， Ｄ． ｚ
项 目．
作者 简 介：唐 笑敏 （９ ６ ） ，浙 江桐 乡人 ，副教 授 ，主 要从 事复分 析研 究 ． １７ 一 ，男
第 ６期
吴莹颖，等： ｅｓ Ｂ ｒ 型空间之 间的加权微分复合算子
６１ １
Ｖｆ∈
，
ｌｏ ０ ．ｆ （＋ ／ ） ）．ｆ ０ （＋ Ｉ ・ ） ｌ ＋＋ Ｉ
关键词 ： ｅ 型空间； Ｂｒ ｓ 加权微分复合算子； 有界性；紧性 中图分 类号 ： ７ ． Ｏ １４５ ６ 文献 标识 码 ： Ａ
的有 界性 和紧性 ．而 文献 【】 画 了 Ｂ ｒｍａ ４刻 ｅｇ ｎ空 间 、
０ 引 言
以 Ｄ 记复 平 面上 的单 位 圆盘，Ｄ上 全 纯 函数 的 全体 记作 Ｈ（ ．Ｄ上 的 Ｂ ｒ 型空 间和小 Ｂ ｒ 型空 Ｄ ｅｓ ｅｓ
间分 别定 义 为
ｒ １
Ｈａｄ 空 间上 微分 复合 算子 Ｊ 为 有界 算子 或 紧算 ｒｙ ［ ）
子 的特 征 ．此 后 ，许 多 学 者纷 纷开 始 研 究 该算 子 在 函数 空 间上 的 特性 ［ ．最 近 ，人们 又推广 了这 些线 】 性算 子 ，文 献 【］ 出加 权微 分 复合 算 子 如 下 ：设 ６给
ｚ∈Ｄ 、
２ 。
≥
（ ｌ＋ （． ｔ ｚ １ｔ ￣ ） ／ Ｉ １
Ｉ
） Ｉ
】是 有 ，
此处，
．
（ｚ≥ ） （Ｉ ）
一 ．（ ２ ）
引 理 ２ 设 和 ｙ为 Ｄ 上 的 Ｂ ｒ ｃｓ型 空 间 ，则
Ｔ： Ｘ ｙ是 紧 算 子 的充 要 条 件 是 ：Ｔ：
设 ， ｙ为 ２ 个 函 数 空 间 ，若 Ｖ ｆ∈ 都 有 Ｘ
Ｕｆ∈ ・ Ｙ，则称 为 到 】的一个 点乘 子 ，记 这些 点 ，
乘 子 的全 体 为 Ｍ（ 】 ．易 知 ，加权 复 合 算 子 是 点 Ｘ， ） ，
乘 子 和复合 算子 的一 般化 ．
必 同一 ．式子 Ａ兰Ｂ意 味着 Ｃ Ａ≤ Ｂ≤ Ｃ Ａ．
型 空 间 和 （ ，） 间上 复合 算 子 和加 权 复 合 算 子 ｐｇ 空
收 稿 日期 ： ２ ｌ． ７０ ０ １０ —６
基 金项 目：国家 自然科 学基 金（０ ７ ０ ３ １ ０ １９ ， 江省 自然 科 学基 金（ ６ ０ ２ ９和浙 江 省新 苗人 才计 ￣ （０ ９ ４ ５ １ ） １ ９ １ ６ ，ｌ１ １３ ） 浙 Ｙ １０ １） ］ １ ０ Ｒ ２ ０ ８ 资助 ２
许 多学 者 研究 了复合 算子 和 加权 复合 算 子在 各
类 函 数 空 问 上 的 特 性 ，取 得 了一 系 列 成 果 ．文 献 ［—］ 别讨 论 了 Ｈａｄ １３分 ｒｙ空 问 、Ｂ ｒｍａ 间 、Ｂ ｏ ｈ ｅｇ ｎ空 ｌｃ
１ 若 干 引理
引理 １ ［ 设 ｎ １ 整 数 ， ０ ５ ∞ ，则 ≥ 为 ＜０＜＋
１ １
界算子， 并且对 中的任意有界函数列 ｛ ｝ 若 ｆ ， ｋ