几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。
作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣1 芝诺悖论在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。
巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。
但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。
芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。
其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。
作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。
限于篇幅, 在此只辑录其二。
二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑110千米, 然后让阿喀琉斯去追。
于是问题来了。
当阿喀琉斯追到110千米的地方, 乌龟又向前跑了1100千米, 当阿喀琉斯又追到1100千米时, 乌龟又向前跑了110000千米, … …, 这样一来, 一直追下去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗?之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。
十大恐怖悖论
十大恐怖悖论悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。
悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
本期，我们给大家整理的世界十大经典恐怖悖论，都是烧脑级别的，个个拿出来逻辑思辨力直线上升，是朋友聚会聊天吹牛必备法宝。
还等什么，先让自己的脑子“烧”起来吧～第一个悖论——上帝悖论其实上帝悖论是专门为了反驳天主教徒眼中万能的上帝而创造出来的，如果说上帝存在我们的世界上，它是无所不能的，那么上帝能够创造出一块连自己都无法搬动的石头吗？如果上帝能够创造出这样一块石头，既然上帝都无法搬动，那么说明上帝并不是万能的，如果上帝无法制造出这样一块石头，那么依然证明上帝不是万能的，也就是说，不管怎样，上帝能不能创造出这块石头，都会证明上帝不是万能的!上帝悖论是产生于文艺复兴时期,当时天主教行而且一直宣称上帝是全知全能之神,可以无所不能,坚定的无神主义者便提出了那个著名的上帝能否造出自己機不动的石头的问题，来怼这些天主教徒。
面对这个上帝悖论，很多相信上帝是万能的的人也陷入了沉思中,他们感到迷茫，绞尽脑汁的想反驳上帝悖论这一观点。
可是他们却没有想到，上帝悖论这一论点本身就是有问题的。
因为要论证是上帝是不是万能的，就必须要承认上帝是存在的，而上帝是否存在本身就是一个谜题，有神论者认为，上帝创造了我们的宇宙、创造了我们的世界，无神论者认为我们的宇宙并不是上帝创造的，双方各执一词，既然到现在我们谁都没有见过上帝，那么上帝悖论就永远都没有正确的答案，对于不同的人来说，对上帝的定义也是不同的，或许科学家眼中的上帝和我们所谓的上帝都是不同的。
第二个悖论——价值悖论价值悖论又称价值之谜，指有些东西效用很大，但价格很低(如水)，有些东西效用很小，但价格却很高(如钻石)。
这种现象与传统的价格理论不一致。
这个价值的悖论是亚当·斯密在200多年前提出的，直至边际效用理论提出后才给予一个令人满意的答案。
10大悖论
10大悖论1. 邱奇-图灵悖论邱奇-图灵悖论源自数理逻辑中的一个重要命题：不可能存在一个算法，能够判断任意算法是否停机。
这个命题的证明过程非常复杂，但其结论却具有深刻的哲学意义。
在计算机科学中，图灵机是一种抽象的计算模型，被认为是现代计算机的理论基础。
邱奇和图灵分别独立提出了图灵机的概念，并证明了它的等价性。
然而，他们的工作也揭示出了一个无法解决的问题：无法判断一个算法是否会停机。
这意味着，即使我们拥有了最强大的计算机和最聪明的算法，我们仍然无法预测一个算法是否会在有限的时间内停止运行。
这个悖论挑战了我们对计算机科学的基本认识，也引发了对人工智能和机器学习领域的深思。
2. 赫胥黎悖论赫胥黎悖论是关于集合论的一个重要悖论。
在集合论中，我们通常认为一个集合是由它的成员所确定的。
然而，赫胥黎悖论却质疑了这一观点。
考虑一个由所有不包含自己的集合组成的集合。
根据我们的直觉，这个集合应该是一个合法的集合。
然而，如果我们问这个集合是否包含自己，我们会发现一个悖论：如果这个集合包含自己，那么根据定义，它不应该包含自己；如果这个集合不包含自己，那么根据定义，它应该包含自己。
这个悖论揭示了我们对集合的理解存在一些隐含的问题，也引发了对集合论基础的深入思考。
3. 费尔马定理悖论费尔马定理是数学中一个著名的未解之谜。
它声称没有正整数解的方程x^n + y^n = z^n，其中n大于2。
然而，费尔马定理悖论在于，虽然费尔马定理已经被证明是正确的，但其证明过程却非常复杂，以至于无法在有限时间内完成。
这个悖论引发了对数学证明的思考：我们如何确定一个命题是否为真？费尔马定理悖论表明，即使我们相信一个命题是真的，我们也可能无法证明它。
这对于数学和逻辑的发展产生了重要影响。
4. 佩亚诺悖论佩亚诺悖论源自数学中的一个基本问题：是否存在一个能够判断所有数学命题真假的公理系统？佩亚诺悖论证明了这是不可能的。
如果我们假设存在这样一个公理系统，那么我们可以构造一个命题：这个命题在公理系统中是不可证明的，但它却是真的。
史上十大烧脑悖论
史上十大烧脑悖论悖论是指在逻辑上自相矛盾的陈述、思想或行为。
它们常常出现于哲学、数学、物理学和其他理论学科中。
在历史上有很多著名的悖论，这些悖论颠覆了人们的常识和思考方式，使人们产生了深刻、困惑的思考。
这里列出的是史上十大烧脑悖论：1.质数与素数悖论：数学家们认为质数是不可分解的，只能用它本身和1来表达；而素数是一个数只存在两个因子1和它本身。
尽管两者看似相似，但实际上它们之间存在着一个悖论：不是所有的质数都是素数。
2.史派罗悖论：这是一个关于假设的悖论，它表明一个假设的真假取决于假设中所涉及的条件。
换句话说，这个假设无法得到证明或证伪。
3.睡眠悖论：这是一个涉及睡眠长度的悖论，它表明人们需要越来越多或越来越少的睡眠时间来保持清醒。
4.隧道悖论：这是一个描述隧道长度的悖论，它表明一个隧道的长度可以无限地扩大，仍然保持有限。
5.猜疑悖论：这是一个涉及推理和怀疑的悖论，它表明如果我们说“我不会相信任何人”，那么我们也不能相信我们自己。
6.自指悖论：这是一个描述自我指涉和定义的悖论，它表明如果一个命题把自己定义为假，那么它自身应该是真的，但这又意味着它应该是假的。
7.约翰霍奇悖论：这是一个描述关于真实性的悖论，它表明一个命题的真实性不能被确定，因为它需要更多的知识和信息来确定。
8.卡利姆尼斯悖论：这是描述涉及推理和惯性的悖论，它表明我们的推理可能会被我们的惯性所影响。
9.悖论悖论：这是描述关于悖论本质的悖论，它表明一些悖论的特性令人困惑和矛盾，这可能是我们理解悖论的障碍。
10.时间悖论：这是一个描述时间可逆性的悖论，它表明我们无法解释时间的单向性和不可逆性。
这十个悖论是有代表性的，虽然它们看起来让人感到困惑和矛盾，但它们也能促使人们去思考，深入研究和质疑自己的认知方式和思维逻辑。
它们都是我们理解世界和探索真理的重要组成部分。
数学悖论问题
5.
赛德尔悖论：赛德尔悖论是关于集合中自身是否是自己的成员的问题。具体地说，如果有一个集合包含自身的元素，则称该集合是自指的。赛德尔悖论就是指出不存在一个集合同时既包含自身的元素，又不包含自身的元素。这看起来似乎与常识相违背，因此被称为赛德尔悖论。
6.
这些数学悖论问题都是深奥而有趣的问题，对于理解数学的本质和逻辑思维的训练都具有很大的启示作用。
数学悖论是指在数学中出现的看似矛盾或荒谬的结论或情况。以下是几个经典的数学悖论问题：它断言当n大于2时，a^n + b^n = c^n方程没有正整数解。虽然费马大定理已被证明，但其证明过程非常复杂，历史上曾引发过很多争议。
2.
3.
伯利兹巴悖论：伯利兹巴悖论是集合论中的一个悖论，它指出对于任何一个集合来说，不存在一个集合包含所有集合的元素。这个结论看起来与集合的定义相矛盾，因此被称为伯利兹巴悖论。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论数学史上十个有趣的悖论1. 贝尔曼-福特悖论：贝尔曼和福特提出了一个悖论，即在某些情况下，一个更短的路径可能比一个更长的路径需要更多的时间来到达。
这与我们直觉中的常识相悖，但在一些特殊的网络或图形结构中确实存在。
2. 贝利悖论：贝利悖论是一个关于概率的悖论。
它认为，如果一个事件在无穷次试验中发生的概率为1，那么在有限次试验中发生的概率也应该接近1。
然而，这个悖论表明，在某些情况下，有限次试验中事件发生的概率可以远远小于1。
3. 监狱悖论：监狱悖论是一个涉及概率和信息理论的悖论。
它认为，如果一个被告的定罪率很高，那么当一个新的证据出现时，这个被告的定罪率反而会降低。
这个悖论挑战了我们对证据和定罪率之间关系的直觉。
4. 伯罗利悖论：伯罗利悖论是概率论中的一个悖论。
它指出，在一个非常大的随机样本中，某个事件的概率与在一个较小的样本中的概率可能截然不同。
这个悖论揭示了我们在处理大样本和小样本时概率的表现方式的差异。
5. 孟克顿悖论：孟克顿悖论是一个关于集合论的悖论。
它指出，如果一个集合包含了所有不包含自身的集合，那么它既包含自身又不包含自身。
这个悖论揭示了集合论中的一些潜在的矛盾和难题。
6. 伊普西隆悖论：伊普西隆悖论是一个关于几何学的悖论。
它认为，在一个无限大的平面上，可以找到两个面积完全相等的形状，但一个形状的周长比另一个形状的周长更长。
这个悖论在无限性的背景下挑战了我们对形状和大小的直觉。
7. 赫尔曼悖论：赫尔曼悖论是一个关于游戏理论的悖论。
它指出，在一个竞争性的游戏中，一个玩家的最佳策略可能会使其处于劣势的局面。
这个悖论挑战了我们对最佳决策和优势策略的理解。
8. 麦克阿瑟悖论：麦克阿瑟悖论是一个关于进化生物学的悖论。
它认为，自私的个体在一个群体中可以获得更大的优势，但在整个群体中自私的个体却会导致整体效益较低。
这个悖论揭示了个体利益和群体利益之间的矛盾。
9. 巴塞尔悖论：巴塞尔悖论是一个关于级数求和的悖论。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论1. 赫拉克利特悖论：你永远无法踏入同一条河流。
因为河流的水流不断更替，所以你每次接触到的都是不同的水。
2. 亚里士多德悖论：有一只鸟，如果它每天吃一只虫子就会活下去，那么它连续吃两只虫子会发生什么？它会死亡，因为它每天只需要一只虫子来维持生命。
3. 形而上学悖论：如果一个人把一艘船的每一块木头一块一块地替换掉，那么到最后是否还是同一艘船呢？4. 希尔伯特问题的悖论：是否存在一个包含所有数学真理的最终公式列表？如果是，那么这个列表将包含说真话的几句话和谎言。
但如果它不能说出哪句话是真话，哪句话是谎言，那么这个列表就不完整。
5. 斯特芬兹悖论：如果你有一个无穷的房间，房间里有一个无穷大的桶，里面装满了无穷多的球，但只有两种颜色：红和白。
你是否能用有限的步骤将球分成两堆，一堆红的，一堆白的？6. 孪生数悖论：对于任何一个素数，若将它加一或减一，它们之间的差值必定是二。
因此，两个素数之间一定有一个偶数。
7. 吉尔伯特-陶逊悖论：如果一个村庄中只有男人和小孩，那么这个村庄中一定存在一个人至少有红色头发吗？实际上是可以的，因为这个悖论只是一个错综复杂的抽象预测。
8. 无穷大悖论：如果你将自然数的所有数字分成偶数和奇数，你会发现奇数会比偶数多一些。
但是，当你将这些数字除以二，结果是每个数字都是整数，因此奇数和偶数应该在数量上相同。
9. 托勒密悖论：在托勒密的地球中心宇宙模型中，一颗星星的轨道被假定为匀速圆周运动。
这导致了一个悖论，因为我们观察到的星星的视差应该与其轨道的半径有关，但实际上并非如此。
10. 蒙提霍尔悖论：你在面前有三个门，其中一个门后面是奖品，另两个门后面没有奖品。
你选择了一个门，然后主持人打开了另一个没有奖品的门。
你是否应该更改你的选择以提高你获得奖品的机会？是的，你应该更改你的选择，因为这将让你获得奖品的机会增加到2/3。
世界十大数学悖论
世界十大数学悖论：1.说谎者悖论：一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。
”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话。
2.柏拉图与苏格拉底悖论：柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。
”苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。
”不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。
3.鸡蛋的悖论：先有鸡还是先有蛋？4.书名的悖论：美国数学家缪灵写了一部标题为《这本书的书名是什么》的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？5.印度父女悖论：女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个‘不’字在此卡片上。
”随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写“是”，否则写“不”。
问：父亲是写“是”还是写“不”？6.蠕虫悖论：一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？7.龟兔赛跑悖论：龟对兔说：“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。
”兔子当然不服，可又说不过乌龟。
实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。
8.语言悖论：N是用不超过25个自然字不能定义的最小正整数。
数一数上述N定义中的自然字只有23个，没有超过25个，即用不超过25个自然字定义了N，与N是用不超过25个自然字不能定义相矛盾。
9.选举悖论：A、B、C竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选A而不愿选B，有2/3的选民愿选B而不愿选C。
于是A说：“根据2/3的选民保我而反B，2/3的选民保B而反C，说明我优于B，B优于C，所以我优于C，从而我最优，应该选我。
”C不服说道：“那2/3保A反B之外的1/3选民反A而保C，那2/3保B而反C的选民之外1/3的选民反A而保C，则形成2/3的选民保C 而反A，按你的逻辑，我亦优于你，你优于B，我C最优，应选我。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几个有趣的悖论的数学辨析数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的内容, 促进了数学的发展。
作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课内容生动有趣; 作为学生了解这方面的内容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣1 芝诺悖论在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。
巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。
但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一”的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。
芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。
其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。
作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动”, 就会招致更加荒谬的结果。
限于篇幅, 在此只辑录其二。
二分法: 你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟：阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄，他怎么会跑不过大乌龟呢？假定他的速度是乌1龟的10倍，阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是 1千米，让乌龟先跑爲千1米,然后让阿喀琉斯去追。
于是问题来了 。
当阿喀琉 斯追到爲千1千米时，乌龟又向前跑了 而00千米， ...... ，这样一来，一直追下去，阿喀琉斯会追上大乌龟吗 ？之所以说这两个论证是悖论，是因为我们知道，无论是谁，不 管身高身低，只要一迈步，都可以在有限的时间内越过无穷多个点 ； 无论是谁，都不会相信大英雄阿喀琉斯竟 会跑不过大乌龟。
然而在 当时的人们的知识范围内，却找不出芝诺的论证错在什么地方 。
1・1芝诺悖论的数学意义芝诺的 二分法”和“阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证，本意是要 用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点 ，该两个论证与另外两个论证（“飞箭”与“运动场”）组合得出了时空既 是不可无限分割，又是可以无限分割的矛盾结论。
“芝诺悖论”促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基 础的数学的发展。
芝诺论 证问题 的方法 是我们今天数学中仍在使 用的反证法。
可以说，这是对反证法的最早的运用。
大家知道，当一 个数学命题无法直接证明时，我们就求助于反证法。
1 米的地方，乌龟又向前跑了硕千米 当阿喀琉斯又追到 丄 1001. 2芝诺悖论”的数学解释芝诺关于二分法”的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么;“阿喀琉斯追龟”的实质是无穷级数求和的问题。
1 . 2. 1关于“二分法”的解释“二分法”的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么的问题。
这里我们对无穷小做一个讨论。
若无穷小是O ,则无穷多个0之和仍为0。
也就是说此时的无穷是所谓的实无穷。
但若无穷小是一个变量，即不是一个恒为0的数（称为潜无穷），亦即无穷多个无穷小的和。
那么该问题相当于极限中的未定式，该极限可能存在, 也可能不存在；可能等于0,可能是一个常数，或者是无穷大。
但对同一个问题，不可能既等于零又可为无穷大。
确定该极限的方法，就是用微分学中的罗必达法则。
对于“二分法”，如果给定的距离一1 1定，不妨设为1 ,那么先走一半即1 ,再走剩下的一半即4 ,再走1剩下的一半的一半即8,…,以此类推则在一定时间内走的距离为：I _ （-^―）flI I J ____ I__ + 丄=丄=1 2I r 4 ...... 2n~ 2~ 2 I1 ,1"T显然n -时，该式的极限为1 ,那么只要距离一定，人们可以在一定的时间内穿过无穷个点。
1 . 2. 2关于“阿喀琉斯追龟”的解释丄按照该问题的条件，让乌龟先跑爲千米，那么阿喀琉斯要追上乌1 1龟，得先跑10千米，由于乌龟的速度是阿喀琉斯的10,则在阿喀琉斯11 1追到订千米时，乌龟又跑了 硕 千米,当阿喀琉斯追到 丽 千米时，乌1龟又跑了 10000千米，…，这样一来，阿喀琉斯一共跑的距离是下列 无穷级数的和： ⅛÷1⅛ 101 1对该式在n -时取极限，显然其极限是9 ,所以只要阿喀琉跑够9千米,就能追上乌龟。
2贝特朗奇论2 .1贝特朗奇论”的数学表示在单位圆内随机取一条弦，弦长超过3（单位圆内 接等 边三角形的边长）的概率是多少？这个问题 有三种解法，答案互相矛盾。
解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上，另一端B 任意（图1）。
对于等边三角形ACD ,若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,_ CD 弧长—1P =圆周长=3解法二：设弦AB 垂直于直径EF , C D = DO （图2）,若AB的中点落在线段C D 上 ,贝S AB> 3 ,故P = CD小圆面积 1落在此圆内，则AB> 3 ,故P = 小圆面积=4。
IO解法三：作半径为1/ 2的同心圆（图3） O A B 的中点图I P= y2. 2贝特朗奇论”的数学辨析同一问题有三种不同的答案，究其原因，是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。
解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能解法二假定中点在直径上的落点处处等可能，解法三假定中点在圆内的落点处处等可能。
三种答案对于各自的假定都是正确的。
这样的解释显得似是而非，但又找不到反驳的理由，故名奇论。
其实弊病出在概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义：概率的统计定义：在条件相同的n次试验中事件A出现m次，如果加大n时，A的频率m逐渐稳定在一个常数附近，就把这个常数叫做事件A的概率。
概率的古典定义：如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件 A ,它的概率定义为：P（A）= m，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的几何定义：若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点，且出现于每一点的可能性相等，又区域A包含于区域Ω中, 那么试验结果出现于区域 A 的概率,即事件 A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。
概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的, 仅能以A的频率作为P( A)的近似值。
然而n要多大,准确到什么程度,都没有确切的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等。
如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义就不适用了。
概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调试验结果的等可能性。
可是怎样才算等可能性? 这都无从回答。
即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “如果找不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。
”当然这种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。
如果进一步分析,所谓“等可能性” 就是“等概率”。
这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。
正是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一般的概型, 以便更广泛更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理化定义3 理发师悖论“理发师悖论”是“罗素悖论” 的通俗说法。
说的是在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。
这就引出一个问题：他该不该给自理发？或者问：他的头发应由谁理？要是他给自己理发，那么他就违反了自己的规定；因为按规定，他不应该为自己理发。
要是他不给自己理发，他也违反了自己的规定；因为按规定，他一定得给自己不理发的人理发，所以他也得给自己理发。
理发师发难了：他不论怎么做都自己打自己的耳光”。
3 . 1理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是：“一切不包含自身的集合所组成的集合”是否包含自身的问题。
如果说它不包含自身，那么他就应当是这个集合的元素，即包含自身；如果说它包含自身，即属于这个集合那么它又不应包含自身。
用符号表示就是:R ∈R ≡≡R R 即命题R ∈R等价于它的否命题RR O3.2罗素悖论”的辨析及历史意义“罗素悖论”产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式特性或者形而上学思维方法的矛盾。
集合既是一种完成了的对象I 又具有无限扩张的可能性，它是完成与过程的统一。
而人们在认识集合这种辩证性时，由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法往往是片面强调矛盾的一方，且把它推向极端，然后又把对立的双方机械的重新联结起来，这样出现矛盾就不可避免了，在罗素悖论”的形成中,它一方面肯定的是集合本身无限扩张的可能性，即强调集合的过程性。
另一方面，又对不能再予以扩张的集合即全集的绝对肯定,即又强调了集合的完成性。
这样一来，把绝对化了的双方又机械的联系起来，就必然构成了悖论。
“罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的内部, 推理简单明了毫不含糊, 一针见血地指出了当时集合论中存在的矛盾。
大家知道数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一个宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论”的提出, 使人们如闻霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机,但正是这一次数学危机, 促进了公理化集合论的诞生。