§310三角函数的诱导公式(二)
1.3.1三角函数的诱导公式2
玛纳斯县一中
温故知新
任意角三角函数的定义
定 义
图
单 位 圆 中
y P(x,y) 。 α
一 般 地
P(x,y)
sin
cos
y
x
y x
tan
| OP | r(r 0) y r x r y x
想一想，记一记
角度a 弧度a sina 0°
6
2. 填写下表：
45° 60° 90° 180° 270°
cosa tana
归纳总结
y α 的终边
P(x,y)
．
x
诱导公式（一）：
o
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos t an( k 2 ) t an (k z )
α的终边
角终边关于y轴对称
x
o
x
归纳总结
sin( 2k ) sin
公式一：
公式二：
cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα 等.
课本P29
1，4. 1
再见！
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
学以致用 例２.化简
cos(180 ) sin( 360) sin( 180) cos(180 )
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课 时 栏 目 开 关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
本 课 时 栏 目 开 关
sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．
1.3 三角函数的诱导公式(二) 教案+习题
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．预习教材P26完成下面问题： 知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．( ) (3)sin(k π2－α)＝±cos α.( )提示 (1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角． (2)√，由诱导公式一～六可知其正确．(3)×，当k ＝2时，sin(k π2－α)＝sin(π－α)＝sin α．题型一 利用诱导公式化简、求值【例1】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值； 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35． (2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α)．解 原式＝sin α·(－cos α)·sin α·(－sin α)(－cos α)·sin α·(－sin α)·cos α＝tan α．规律方法 求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数――→用公式一或三任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式二或四、或五或六锐角三角函数【训练1】 已知cos(π6－α)＝23，求下列各式的值：(1)sin(π3＋α)；(2)sin(α－2π3)．解 (1)sin(π3＋α)＝sin[π2－(π6－α)]＝cos(π6－α)＝23．(2)sin(α－2π3)＝sin[－π2－(π6－α)]＝－sin[π2＋(π6－α)] ＝－cos(π6－α)＝－23．题型二 利用诱导公式证明恒等式【例2】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．规律方法 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 【训练2】 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1． 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ． 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ．∴左边＝右边，故原等式成立.【例3】 已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin (π2－α)cos (π＋α)的值．解 (1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35．(2)f (α)＝(－tan α)·sin α·cos α－cos α＝tan α·sin α＝sin αcos α·sin α ＝sin 2αcos α＝(－35)2×(－54)＝－920． 【迁移1】 本例条件不变，求f (α) ＝sin (5π－α)cos (7π2－α)tan (－π＋α)－tan (－19π－α)sin (－α)的值．解 f (α)＝sin α·(－sin α)·tan αtan α·(－sin α)＝sin α＝－35．【迁移2】 本例条件中“cos α＝－45”改为“α的终边与单位圆交于点P (m ，154)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求sin (α－π2)sin (π＋α)－sin (3π2－α)＋1的值．解 由题意知m 2＋(154)2＝1， 解得m 2＝116，因为α为第二象限角，故m <0， 所以m ＝－14，所以sin α＝154，cos α＝－14． 原式＝－cos α(－sin α)－(－cos α)＋1＝14－154－14＋1＝－3＋156．规律方法 用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．课堂达标1．sin 165°等于( ) A ．－sin 15° B ．cos 15° C ．sin 75°D ．cos 75°解析 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°． 答案 D2．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析 cos(π4－α)＝cos[π2－(α＋π4)]＝sin(α＋π4)＝13．答案 C3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________． 解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1． 答案 14．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos(α＋5π2)＝________．解析 由题意得sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以cos(α＋5π2)＝－sin α＝265．答案2655．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332．课堂小结1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．基础过关1．已知sin α＝14，则cos(α＋π2)＝( )A ．14B ．－14C ．154D ．－154解析 cos(α＋π2)＝－sin α＝－14．答案 B2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－23aB ．－32aC ．23aD ．32a解析 由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a ．答案 B3．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3．答案 C4．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________．解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13．答案 －135．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________．解析 原式＝sin (32π＋α)·cos (π2－α)sin (π2－α)sin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1．答案 －16．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan 2(2π－α)·tan (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．解 因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35，又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45.所以tan α＝34．故原式＝(－cos α)·(－cos α)·tan 2α·(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝34．7．设tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝m ． 求证：sin ⎝⎛⎭⎫α＋15π7＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫－α＋20π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝m ＋3m ＋1．证明 左边＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3πsin ⎣⎡⎦⎤4π－⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋1＝m ＋3m ＋1＝右边． ∴原等式成立．能力提升8．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析 f (cos x )＝f (sin(π2－x ))＝3－cos 2(π2－x )＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x ．答案 C9．α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( ) A ．355B ．377C ．31010D ．13解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，tan α－6sin β＝1②， ①式×2＋②式可得tan α＝3， 即sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角， 故可解得sin α＝31010．答案 C10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________．解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2． 答案 211．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)．①sin β＝154；②cos(π＋β)＝14；③tan β＝15； ④tan β＝155． 解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α， ∴sin α＝14，若α＋β＝90°，则β＝90°－α，故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±154，故①满足； ③中tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即③满足，而②④不满足． 答案 ①③12．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， ③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4． 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．13．(选做题)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α． ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169．又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513．。
§1.3三角函数的诱导公式(2)
第一章 §1.3 三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：（1）理解识记诱导公式（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值 （3）会进行简单三角函数式的化简和证明。
预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注 1. 写出诱导公式一～四？观察这四组公式共同特点是？2、 公式五3、 公式六公式五～六可以概括如下:4、点P 1（x,y ）关于直线y=x 对称的点P 2的坐标如何？ 探究问题（一） 诱导公式五思考1：sin （90°-60°）与sin60°的值相等吗？相反吗？思考2：sin （90°-60°）与cos60°,cos(90°-60°)与sin60°的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？思考3：如果α为锐角，你有什么办法证明ααπcos )2sin(=-与ααπsin )2cos(=-？思考4：若α为一个任意角，那么απ-2的终边与α的终边有什么对称关系？思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P 1（x,y ），则απ-2的终边与单位圆的交点为P 2（x,y ）,根据三角函数的定义，你能获得那些结论？探究问题（二）απ+2的诱导公式思考1：απ-2与απ+2有什么内在联系？思考2：根据相关诱导公式推导，3sin(),2πα- 3sin(),2πα+ 3cos(),2πα-)23cos(απ+探究问题（三） 公式的应用 例1： 化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2απαπαπαπαπαπαπαπ+++课堂小结：1.这节课学到了什么2.各小组表现如何课下作业：课本P28 练习7)60(sin 1)60(cos )30(tan 1ααα++++-31)30(sin =-α 32)6(cos =-απ)32(sin πα-例3 已知 ，求 的值。
三角函数诱导公式(二)
cosπ2－θ＝sin θ，cosπ2＋θ＝－sin θ， 所以 B，D 项与 cos32π－θ的值相等.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－41，则 cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为
＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边，
∴原等式成立.
三、诱导公式的综合应用
例 3 已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32，求下列各式的值： (1)sin32π＋αcosα－π2；
解 由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32， 得 sin α＋cos α＝ 32， 两边平方整理得 2sin αcos α＝－79， ∴sin αcos α＝－178， ∴cos α－sin α ＝± cos α－sin α2＝± 1－2sin αcos α
√ A.－16
B.－38
1 C.6
3 D.8
解析 由 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－14， 得 sin α＝18，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－38.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为__12__. 解析 cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12.
延伸探究 1.将本例(2)的条件改为 sinπ3＋α＝12，求 cos56π＋α的值.
解 cos56π＋α＝cosπ2＋π3＋α ＝－sinπ3＋α＝－12.
＝co－s θsi·nsiθn·θc·otsanθ θ
1.3三角函数的诱导公式(二)
课 题：1.3正弦、余弦的诱导公式（二）教学目的：学会关于90︒ k ± α两套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解新课：诱导公式5：（课件1.3.7）sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α. sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α诱导公式6：（课件1.3.8） sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α.tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α. sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α二、讲解范例： 例1)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证： 证：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例2的值。
三角函数的诱导公式(二)
§1.3 三角函数的诱导公式（二）【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P25-P27，用红色笔进行勾画。
再针对预习案二次阅读并回答；2.若预习完可对合作探究部分进行认真审题，做不完的正课时再做，对于变式部分BC层可以不做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；【学习目标】1.掌握诱导公式并能灵活应用进行化简求值，提高和渗透化归数学思想；2.积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究诱导公式的应用规律；3.以极度热情投入学习，享受学习数学的快乐；+( 2kα∈的关系，记忆口诀“奇变偶不变，符号看象4之间角的三角函1.将下列三角函数化为045之间的三角函数（1）sin115= （2）cos105= （3）tan110= （4）sin85=2.求值（1）19sin()4π-= （2）4tan()3π-= （3）cos()2πα-= (4) sin()2πα-=例1、 （1）化简)2cos()23sin()27cos()2sin()23sin()sin()3tan(απαππααπαπαπαπ++--+---（2）求证：对任意的整数k1)212cos()232sin()212cos()212sin(-=--∙++++∙-+απαπαπαπk k k k变式练习：已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，求证： （1）A C B A cos )2cos(-=++(2) 2cos 2sin AC B =+ (3) 43tan 4tan CB A +-=+π例2.(1)已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
(2)已知31)3sin(=+απ，求)65cos(απ+值变式练习：已知)23sin()sin()23sin()2cos()2cos()(απαππααπαπα+∙--+-∙-∙+=f （1）化简)(αf（2）若α是第三象限角，且51)23cos(=-πα，求)(αf 的值课堂小结一、选择题1、sin(α－2π)= （ ） A ．sin(23π+α) B ．cos(2π+α) C ．cos(2π－α) D ．sin(2π+α)2、如果sin(π+α)=－21,那么cos(α-π23)= （ ） A ．－21 B ．21 C ．－23 D ．233、)75(sin 2cos )(cos f x x f ，则== （ ）A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 4、式子)690sin(630sin )585cos(︒-+︒︒-的值是 （ ）A ．22B ．2C ．32D ．-325、已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于 （ ）A ．232B ．－232 C ．31D ．－31二、填空题6、化简___________________28sin 36tan 54tan 62sin 020002=+⋅+．7、54cos 53cos 52cos5cosππππ+++= ． 8、)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若==______________.三、解答题9、已知的值。
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§3.10 三角函数的诱导公式(二)
教学目标：教学知识点:正弦、余弦的诱导公式．
教学过程：
一、复习回顾
诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2k π)＝______，cos(α＋2k π)＝______，tan(α＋2k π)＝______，其中k ∈Z ．
(2)公式二：sin(－α)＝_________，cos(－α)＝_________，tan(－α)＝________．
(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________．
(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________．
二、新授
诱导公式五～八
(1)公式五：=-)2sin(
απ ，=-)2cos(απ
，=-)2tan(απ ． (2)公式六：=+)2sin(απ ，=+)2cos(απ ，=+)2
tan(απ ． (3)公式七：=-)23sin(απ ，=-)23cos(απ ，=-)2
3tan(απ ． (4)公式八：=+)23sin(απ ，=+)23cos(απ ，=+)2
3tan(απ ． 总结：①诱导公式五～八的记忆απ±2，απ±2
3的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________．
②诱导公式一～八记忆口诀为： ．
三、应用举例
例1．化简)2
5sin()2cos()5tan()4cos()23cos()3sin(πααππααππααπ-+-+--
例2．①若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫α＋7π12＝________． ②若sin(3π＋α)＝－12
，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α＝________．
例3．已知3
1)75cos(=+αο，且οο90180-<<-α，求)15cos(α-ο的值．
例4．①已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．
②(cos )cos17,(sin )f x x f x =若求.
作业： 班级 姓名 学号
1．化简)2
cos()2sin()sin()cos(αππααππα+---= ． 2．化简)
3tan()2sin()
sin()2cos(απαπ
απαπ-++-= ． 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α的值等于________． 4．已知cos(75°＋α)＝13
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 5．已知41)6sin(=+π
x ，则)3
(sin )65sin(2x x -+-ππ= ． 6．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．
7．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________．
8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝________． 9．已知函数满足x 2cos )x (cos f =，则)15(sin f ︒= ．
10．已知x x x f 3cos tan 1)(tan -=，则=)tan 1(x
f ．
11．已知51)4sin(
-=-x π，且20π<<x ，求)4
sin(x +π的值．
12．设a =+)78tan(πα，求)7
22cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+---++．。