两个正态总体方差比的假设检验
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第九章 假设检验
经济与管理学院 任鸣鸣
第一节 假设检验的基本问题
一、什么是假设检验
从对总体参数所做的一个假设开始， 然后搜集样本数据，计算出样本统计量， 进而运用这些数据测定假设的总体参数 在多大程度上是可靠的，并做出承认还 是拒绝该假设的判断。
总体平均数的假设有3种情况：
（1）H0: µ = µ0 ；H1: µ ≠ µ0。 （2）H0: µ ≥ µ0 ；H1: µ < µ0。 （3）H0: µ ≤ µ0 ；H1: µ > µ0。
在临界值的右侧。
例如，某公司经理希望他的推销员注意旅费的限额， 经理要求推销员每日平均费用保持在60元。做出这个 规定后的1个月之后，得到每日费用的1个样本。经理 利用这个样本来考虑费用是否在规定的限额之内。
在这个例题中，经理希望推销员的日平均费用在60元 以内，于是可以假设：
H0: µ ≤ 60 推销员的日平均费用在60元 H1: µ > 60。 推销员的日平均费用超过60元
二、假设检验中的小概率事件
假设检验的基本思想？根据小概率的原理，可以做出 是否接受原假设的决定。
小概率原理：指发生概率很小的随机事件在一次试验 中几乎不可能发生的。
例如，有一个厂商声称，他的产品的合格品率很高， 可以达到99%，那么从一批产品（譬如100件）中随机 抽取一件，这一件恰恰相反好是次品的概率就非常小， 只有1%。如果厂商的宣传是真的，随机抽取一件是次 品的情况就几乎是不可能发生的。但如果这种情况确 实发生了，就有理由怀疑原来的假设，即产品中只有 1%的次品的假设是否成立，这时就有理由推翻原来的 假设，可以做出厂商的宣传是假的这样一个推断。
当样本平均数显著地超过60元时，即将落在右端的拒 绝区域时，才拒绝原假设。
五、假设检验的一般程序
（1）确定适应的原假设和备择假设。 （2）选择检验的统计量及其分布。 （3）规定显著性水平α 。 （4）根据显著水平和统计量的抽样分布来确定统计量 的临界值，从而确定拒绝域。
（5）样本计算统计量的值与临界值比较看是否落入拒 绝域。
（6）得出结论。
第二节 总体平均数的假设检验
一、总体为正态分布且方差已知，则适
当的检验统计量为：
~ (, )
此统计量服从标准的正态分布。
注：双侧检验与区间估计有一定联系，
我们可以通过求μ的（1-α）的置信 区间来检验该假设。
二、总体为正态分布且，但方差未知
总体为正态分布，但方差未知，且抽 取样本为小样本条件下，适当的检验统
计量为： ~() /
用寿命在1000小时以上，该机构当然不会拒绝这批货。因
为灯泡寿命增加，不会给这个机构增加额外的费用。因此，
这个机构的假设是：H0: µ ≥ 1000小时，H1: µ < 1000
小时。只有当所抽取的灯泡的平均寿命低于1000小时很多
时，它才会拒绝H0。
2、右侧检验
假设H0: µ ≤ µ0 ， H1: µ > µ0。只要样本平均数显 著超过假设的总体参数，就拒绝原假设H0。拒绝区域是
例如，一个灯光厂需要生产平均使用寿命µ = 1000小时
的灯泡，如果寿命比它短，企业就会丧失竞争能力；如果寿命
比它长，灯丝就要加粗，企业要提高产品成本。为了观察生产
工艺过程是否正常，从一批产品中抽取150个进行检验，得到
平均使用寿命980小时，能否断定这个厂生产的灯泡平均使用
寿命为1000小时？为什么？
犯两错误的概率：在假设检验中， 犯第一类错误的概率记为α，α也称为显著性水 平。
犯二类错误的概率记为β。
两类错误有相反的关系（如下图所示），减小α会引起β 增大，减少β会引起α增大。
可能带来的后果越严重，危害越大的哪一类错误，在假设 检验中作为首要的控制目标！它是谁呢？
假设检验中，遵守首先控制犯α错误原则大家都在执行这 样一个原则。 原因是：原假设是什么常常是明确的，而替换假设是什么 常常是模糊的。所以，人们常把我们最关心的问题作为原 假设提出，将较严重的错误放到了α，这就能够在假设检 验中对α错误实施有效控制。
四、双侧检验和单侧检验
（一）双侧检验
原 假 设 是 µ 等 于 某 一 数 值 µ 0 ， 只 要 µ>µ 0 或 µ<µ 0
二者Βιβλιοθήκη Baidu有一个成立,就否定原假设。
即：H0: µ = µ0 ，H1: µ ≠ µ0。
双侧检验的目的：观察在规定的显著性水平下所 抽取的样本统计量是否显著高于或低于假设的总 体参数。 显著性水平α固定了接受区域和拒绝区域的分界 线。如果样本统计量落在任一拒绝区域，就拒绝 原假设
依据小概率原理推断可能会犯错误！上例中100件产品中 确实只有1件是次品，如恰好在一次抽取中被抽到了，犯 错误的概率是1%，也就是说我们在冒1%的风险做出厂商 宣传是假的这样一个推断。
三、第一类错误、第二类错误与显著水平
第一类错误（弃真错误）：原假设H0
本来为真，却错误地否定了。
第二类错误（取伪错误）：原假设H0 非真，但做出接受H0的选择。
这个例题里由于灯泡厂不希望在1000小时任何一边超越
太多，于是可以假设：
H0: µ = 1000
（平均使用寿命为1000）
H0: µ ≠ 1000
（平均使用寿命不是1000）
我们在这里提出的原假设是µ=1000，所以只要µ>1000或
µ<1000二者中有一个成立就可以否定原假设（平均使用寿命为
（二）单侧检验
拒绝区域在临界值左端。
左侧检验适用范围：适用于担心样本统计量会显著地低于 假设的总体参数的情况。
例如，某政府机构从那家企业购买灯泡。假定某机构购买
的数量很大，该批货到达时，这个机构就抽取一个样本以
便决定是否接受这批货。只有当该机构觉得灯泡平均寿命
在1000小时以下时，它才会拒绝这批货。如果灯泡平均使
单侧检验：主要关心带方向性的检验问题。 分两种情况：一种是我们所考察的数值 越大越好。例如某机构购买灯泡的使用 寿命，轮胎的行驶里程数，等等。另一 种是数值越小越好，例如废品率、生产 成本等等。单侧检验可分为左侧检验和 右侧检验2种，它们都只有一个拒绝区域。
1、左侧检验
假设：H0: µ ≥ µ0 ，H1: µ < µ0，就使用左侧检验。
经济与管理学院 任鸣鸣
第一节 假设检验的基本问题
一、什么是假设检验
从对总体参数所做的一个假设开始， 然后搜集样本数据，计算出样本统计量， 进而运用这些数据测定假设的总体参数 在多大程度上是可靠的，并做出承认还 是拒绝该假设的判断。
总体平均数的假设有3种情况：
（1）H0: µ = µ0 ；H1: µ ≠ µ0。 （2）H0: µ ≥ µ0 ；H1: µ < µ0。 （3）H0: µ ≤ µ0 ；H1: µ > µ0。
在临界值的右侧。
例如，某公司经理希望他的推销员注意旅费的限额， 经理要求推销员每日平均费用保持在60元。做出这个 规定后的1个月之后，得到每日费用的1个样本。经理 利用这个样本来考虑费用是否在规定的限额之内。
在这个例题中，经理希望推销员的日平均费用在60元 以内，于是可以假设：
H0: µ ≤ 60 推销员的日平均费用在60元 H1: µ > 60。 推销员的日平均费用超过60元
二、假设检验中的小概率事件
假设检验的基本思想？根据小概率的原理，可以做出 是否接受原假设的决定。
小概率原理：指发生概率很小的随机事件在一次试验 中几乎不可能发生的。
例如，有一个厂商声称，他的产品的合格品率很高， 可以达到99%，那么从一批产品（譬如100件）中随机 抽取一件，这一件恰恰相反好是次品的概率就非常小， 只有1%。如果厂商的宣传是真的，随机抽取一件是次 品的情况就几乎是不可能发生的。但如果这种情况确 实发生了，就有理由怀疑原来的假设，即产品中只有 1%的次品的假设是否成立，这时就有理由推翻原来的 假设，可以做出厂商的宣传是假的这样一个推断。
当样本平均数显著地超过60元时，即将落在右端的拒 绝区域时，才拒绝原假设。
五、假设检验的一般程序
（1）确定适应的原假设和备择假设。 （2）选择检验的统计量及其分布。 （3）规定显著性水平α 。 （4）根据显著水平和统计量的抽样分布来确定统计量 的临界值，从而确定拒绝域。
（5）样本计算统计量的值与临界值比较看是否落入拒 绝域。
（6）得出结论。
第二节 总体平均数的假设检验
一、总体为正态分布且方差已知，则适
当的检验统计量为：
~ (, )
此统计量服从标准的正态分布。
注：双侧检验与区间估计有一定联系，
我们可以通过求μ的（1-α）的置信 区间来检验该假设。
二、总体为正态分布且，但方差未知
总体为正态分布，但方差未知，且抽 取样本为小样本条件下，适当的检验统
计量为： ~() /
用寿命在1000小时以上，该机构当然不会拒绝这批货。因
为灯泡寿命增加，不会给这个机构增加额外的费用。因此，
这个机构的假设是：H0: µ ≥ 1000小时，H1: µ < 1000
小时。只有当所抽取的灯泡的平均寿命低于1000小时很多
时，它才会拒绝H0。
2、右侧检验
假设H0: µ ≤ µ0 ， H1: µ > µ0。只要样本平均数显 著超过假设的总体参数，就拒绝原假设H0。拒绝区域是
例如，一个灯光厂需要生产平均使用寿命µ = 1000小时
的灯泡，如果寿命比它短，企业就会丧失竞争能力；如果寿命
比它长，灯丝就要加粗，企业要提高产品成本。为了观察生产
工艺过程是否正常，从一批产品中抽取150个进行检验，得到
平均使用寿命980小时，能否断定这个厂生产的灯泡平均使用
寿命为1000小时？为什么？
犯两错误的概率：在假设检验中， 犯第一类错误的概率记为α，α也称为显著性水 平。
犯二类错误的概率记为β。
两类错误有相反的关系（如下图所示），减小α会引起β 增大，减少β会引起α增大。
可能带来的后果越严重，危害越大的哪一类错误，在假设 检验中作为首要的控制目标！它是谁呢？
假设检验中，遵守首先控制犯α错误原则大家都在执行这 样一个原则。 原因是：原假设是什么常常是明确的，而替换假设是什么 常常是模糊的。所以，人们常把我们最关心的问题作为原 假设提出，将较严重的错误放到了α，这就能够在假设检 验中对α错误实施有效控制。
四、双侧检验和单侧检验
（一）双侧检验
原 假 设 是 µ 等 于 某 一 数 值 µ 0 ， 只 要 µ>µ 0 或 µ<µ 0
二者Βιβλιοθήκη Baidu有一个成立,就否定原假设。
即：H0: µ = µ0 ，H1: µ ≠ µ0。
双侧检验的目的：观察在规定的显著性水平下所 抽取的样本统计量是否显著高于或低于假设的总 体参数。 显著性水平α固定了接受区域和拒绝区域的分界 线。如果样本统计量落在任一拒绝区域，就拒绝 原假设
依据小概率原理推断可能会犯错误！上例中100件产品中 确实只有1件是次品，如恰好在一次抽取中被抽到了，犯 错误的概率是1%，也就是说我们在冒1%的风险做出厂商 宣传是假的这样一个推断。
三、第一类错误、第二类错误与显著水平
第一类错误（弃真错误）：原假设H0
本来为真，却错误地否定了。
第二类错误（取伪错误）：原假设H0 非真，但做出接受H0的选择。
这个例题里由于灯泡厂不希望在1000小时任何一边超越
太多，于是可以假设：
H0: µ = 1000
（平均使用寿命为1000）
H0: µ ≠ 1000
（平均使用寿命不是1000）
我们在这里提出的原假设是µ=1000，所以只要µ>1000或
µ<1000二者中有一个成立就可以否定原假设（平均使用寿命为
（二）单侧检验
拒绝区域在临界值左端。
左侧检验适用范围：适用于担心样本统计量会显著地低于 假设的总体参数的情况。
例如，某政府机构从那家企业购买灯泡。假定某机构购买
的数量很大，该批货到达时，这个机构就抽取一个样本以
便决定是否接受这批货。只有当该机构觉得灯泡平均寿命
在1000小时以下时，它才会拒绝这批货。如果灯泡平均使
单侧检验：主要关心带方向性的检验问题。 分两种情况：一种是我们所考察的数值 越大越好。例如某机构购买灯泡的使用 寿命，轮胎的行驶里程数，等等。另一 种是数值越小越好，例如废品率、生产 成本等等。单侧检验可分为左侧检验和 右侧检验2种，它们都只有一个拒绝区域。
1、左侧检验
假设：H0: µ ≥ µ0 ，H1: µ < µ0，就使用左侧检验。