相似三角形应用举例

27.2.3 相似三角形应用举例（1课时）实验中学刘柏槐一、内容和内容解析（一）内容运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度．（二）内容解析解决不能直接测量某物其长度或高度的问题，通常是利用可测物的高度或宽度来表示不可测物的高度与长度．我们曾利用全等三角形的知识解决过有关问题，但要测一些大型建筑物的高度或宽度，用全等三角形的知识就不大方便．相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测某物其长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中有表示测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段．基于上述分析，可以确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构建与应用．二、目标和目标解析（一）教学目标1．体会数学建模思想．2．构建相似三角形模型解决简单实际问题．（二）目标解析1．“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型，如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题．2．会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识解决有关线段度量的简单问题．三、教学问题诊断分析学生有过用所学知识解决不能直接测量某物其长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的高度或宽度（如测金字塔的高度），有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，最后利用相似三角形的性质求出对应的待测物的边长，其间就是借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段；相似三角形的构建及获取相应的某些线段的长度值，学生往往难以做到．本节课的教学难点是：相似三角形模型的构建与相关线段长度值的获取．四、教学支持条件分析flash软件，几何画板．五、教学过程设计（一）复旧引新师生活动：教师利用多媒体课件出示：（1）怎样判断两个三角形相似？（2）相似三角形的性质有哪些？（3）怎样作一个三角形与已知三角形相似？设计意图：复习相似三角形的判定与性质一方面巩固了旧知识，另一方面便于学生找出实际问题中的相似三角形模型，有利于学生使用性质解决相关问题．特别是问题（3），它是构建一个三角形与已知三角形相似模型的依据．师生活动：教师利用多媒体课件展示金字塔图片并播放下列文字录音：你知道埃及金字塔的故事吗?神秘的金字塔引来无数游客观光旅游．胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？设计意图：通过展示图片与叙说历史故事，让学生感悟人类的智慧与勤劳，引发学生对知识的向往和对科学家的崇拜，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，有利于引入新课，利用课件辅助教学可以提高课堂效率．（二）例题解析 课件展示：同学们有过测量某物高度的体验吗？你有什么方法测量金字塔的高度？ 师生活动：大家曾利用全等三角形的知识解决过不知某物其高或长的问题：先作一个三角形使待测物的高或长是该三角形的一边，再构建一个三角形（这个三角形的三边都可知）与含有待测边的三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等求出待测物的长或高．能否用全等三角形知识测金字塔的高呢？设计意图：解题就是利用解过的题解决新问题．如果以往的方法不能解决眼下的问题，则要进行重新联想与创新；此时若用全等知识解决，势必要构建一对巨大的全等三角形，这不切实际．问题促使学生自主改变思路，调整思考方向，有利于提高学生的思维能力！学生思考，教师关注学生的方案，随后展示教材上的测高方法：例４：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图27.2—15木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO .EB怎样测出OA的长？解：太阳光是平行光线，因此∠BAO ＝∠EDF ．又∠BOA ＝∠EFD ＝90°， ∴ △ABO ∽△DEF ． ∴BO OA EF FD＝， ∴ BO ＝FD EF OA ⋅＝20123⨯＝134（m ） 因此金字塔的高度为134 m设计意图：通过对例题的分析，让学生知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造实物所在三角形及与实物所在的三角形相似的三角形，而且在构建的三角形中要能测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式求解；此时相似三角形的构建是利用了在同一时刻、同一地点的太阳光线下物高与其影长的比是一个定值这个事实，解决好实际问题需要的不仅仅是书本上的知识，重要的是生活中的隐形知识；解决问题的关键是金字塔的高线BO 所在的三角形中的OA 的长怎样测量，让学生思索，再加以引导．使学生积极参与多解的探索，提高分析问题的能力，体验成功的愉悦．课件演示：如右图，为了估算河的宽度，我们可以怎样做？ 让学生思考，交流各自的想法后出示教材上的例题：例5 如图27.2—16 ，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ ． 分析：按照例5中的方案请思考：（1）直线QR 与ST 有什么位置关系，为什么？ （2）图中是否有相似三角形？哪两个三角形相似？ （3）怎样求PQ ？师生共同分析后，由学生独立完成，其间教师要关注学生能否准确快速证出两三角形相似；由相似得到的比例式能否解决问题；学生书写是否规范.解：∵∠PQR ＝∠PST =90°，∠P ＝∠P ，∴△PQR ∽△PST ．∴STQR PS PQ =， 图27.2-16TaRbSQ P即ST QRQS PQ PQ =+，906045＝+PQ PQ ， PQ ×90＝(PQ +45)×60． 解得 PQ ＝90 (m) ． 因此，河宽大约为90m ．设计意图：出示一段河流，提出测河宽的问题，不急于解答问题．该题的解决方案不是唯一的，让学生根据自己的经验设计方案再进行交流，便于培养学生的发散思维与自主学习的能力，也给部分学困生提供了展示自己的机会，有利于树立这些学困生的自信心．通过这个例题的分析与讲解，进一步使学生知道在实际测量物体的高度与宽度时，构建相似三角形模型是核心，获取其中的可知线段是关键．课件演示例6 如图27.2-17，左、右并排的两棵大树的高分别是AB =8m 和CD =12m ，两树底部的距离BD =5m ，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m ．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C 了？分析：利用课件制作的动画演示：如右下图所示，改变观察点C 与遮挡物AB 的距离可以发现，AB 后的盲区宽窄在改变；C 离AB 越近，盲区的区域越宽，不可见部分的面积越大．让学生手拿一本书，挡住自己的部分视线，改变书与眼睛的距离，也可以得到同样的结论．有了这样的体验，在图27.2-17（1）中，设观察者眼睛的位置为点F ，画出观察者的水平视线FG ，分别交AB ,CD于点H ，K ．视线F A 与FG 的夹角∠AFH 是观察点A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到． 有了上面的体验，在图27.2-17（2）中，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端A ，C 恰在一条直线上，若观察者继续往前走，她就不能看到右边较高的树的顶点C 了．因此，本题就是求出此时EH 的值．得如下解法：解：如图27.2-17（2），假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端A ，C 恰在一条直线上．∵AB ⊥l ，CD ⊥l ，ABC DEHG图27.2-17CAⅠH FK DB G l(1)ⅡB AG H DCElⅡⅠ(2)K∴AB ∥CD ．∴△AEH ∽△CEK ．∴CK AHEK EH =， 即4.104.66.1126.185=--=+EH EH ． 解得EH ＝8(m ) ．由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C ．设计意图：此题题意大部分学生理解起来有一定难度，通过动画演示及学生亲身实践得到感性认识，便于学生及时找到解题的突破口，使学生知道解决此题最终还是建立相似三角形模型，求出其中的相关线段．利用身边实物的演示，可以变抽象为具体，变模糊为清晰，有利于突破难点；通过例题的解析，培养学生分析与处理实际问题的能力．（三）知识巩固1．在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为90 m ，这栋楼的高度是多少?2．如图，测得BD ＝120m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽AB ．设计意图：及时巩固本节课的知识和思想方法． （四）归纳小结师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学习了什么？（2）解决实际问题时我们运用了什么样的数学思想？是如何体现的？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点和思想方法，让学生形成好的学习习惯． （五）布置作业教科书第43页第9，10题． 六、目标检测设计1．已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，AE ＝4，EC ＝ ． 设计意图：巩固学生对由平行得到相似的知识．2．如图，小明用长为2.4m 的竹竿DE 做测量工具测某旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点C ．此时，CD ＝6m ，DB ＝14m ，则这旗杆AB 的高为（ ）设计意图：检测学生用数学知识解决实际问题的能力．3．如图，A ，B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C ,连结AC ，BC ，在AC 上取点E ，使AE =2EC ，作ED ∥AB 交BC 于D ，量得DE =12m ，则AB 的距离为 ．设计意图：检测是否能从实际问题中抽象出几何图形，并运用由平行得到相似解决问题．ADE（第2题）ABC DEEABD4．小聪利用树影测量树高:他在某一时刻测得长为2m 的竹竿影长1.5m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得树留在墙上的影高CD ＝1.2m ，又测得树在地面部分的影长BD ＝5.1m ，他求的树高AB 的长是多少?设计意图：检测是否能从实际问题中构建相似三角形模型，并运用它解决问题．此题具有多解性，可以锻炼学生的发散思维能力．5．如图，请你利用相似三角形的有关知识，设计一种方案，求出图中所示零件内径AB 的值．设计意图：检测能否熟练地运用所学知识，构建出所需要的相似三角形模型．本题的思考空间较大，给了各类学生发挥创造能力的平台．（第4题） AB DC BA （第5题）。