静电场(能量〕
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量1电势能和电势一、静电力做功的特点1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．二、电势能1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝E p A－E p B.(1)静电力做正功，电势能减少；(2)静电力做负功，电势能增加．3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.4．电势能具有相对性电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。
确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。
在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系(1)W AB＝E p A－E p B.静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)在同一电场中，正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小．三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．2．公式：φ＝E p q。
(1)φ取决于电场本身；(2)公式中的E p 、q 均需代入正负号。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V ,1 V ＝1 J/C.4．电势高低的判断：(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．(2)电势能判断法：由φ＝E p q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0.6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．7．电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关．在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零．8．电势虽然有正负，但电势是标量．在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向．2 电势差一、电势差1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫作电压．U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高．3．单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V .4．静电力做功与电势差的关系(1)公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W AB q. (2)U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功．二、电势差的理解1．电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．2．电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且U AB ＝－U BA ，与零电势点的选取无关．3．电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．三、静电力做功与电势差的关系1．公式U AB＝W ABq或W AB＝qU AB中符号的处理方法：把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．2．公式W AB＝qU AB适用于任何电场，其中W AB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．3．电势和电势差的比较1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．2．等势面的特点(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．(3)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．3．等势面的特点及应用(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功，电荷的电势能不变．(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布．(3)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性确定场强大小．(4)任意两个等势面都不相交．4．几种常见电场的等势面(如图1所示)图1(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线．(3)等量同种点电荷的等势面①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．3 电势差与电场强度的关系一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：U AB ＝Ed .二、公式E ＝U AB d的意义 1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E ＝U AB d可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V /m.1 V/m ＝1 N/C.三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．公式E ＝U AB d及U AB ＝Ed 的适用条件都是匀强电场． 2．由E ＝U d可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势． 式中d 不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．4．电势差的三种求解方法(1)应用定义式UAB ＝φA －φB 来求解．(2)应用关系式UAB ＝WAB q来求解． (3)应用关系式UAB ＝Ed(匀强电场)来求解．5．在应用关系式UAB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．四、利用E ＝U d定性分析非匀强电场 U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．(1)在非匀强电场中，公式U ＝Ed 中的E 可理解为距离为d 的两点间的平均电场强度．(2)当电势差U 一定时，场强E 越大，则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密．(3)距离相等的两点间的电势差：E 越大，U 越大；E 越小，U 越小．五、用等分法确定等势线和电场线1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U ＝Ed ，其中d 为两点沿电场方向的距离． 由公式U ＝Ed 可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC ＝φA ＋φB 2，如图1甲所示． 图1结论2：匀强电场中若两线段AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD (或φA －φB ＝φC －φD )，同理有U AC ＝U BD ，如图乙所示。
静电场的能量
【解】带电球形电容器的电场分布是对称的，由有介质中 的高斯定理可求其电场强度的大小为
E
Q
40 rr 2
则电场能量密度为
we
1 2
0
r
E
2
Q2
322 0 r r 4
现取半径为r、厚为dr的球壳为一体积元，则该体积元的体积为
dV 4r2dr
因此，球壳中储存的电场能量为
于是总能量为
dWe
wedV
Q2
8 0 r r 2
U Ed
将平行板电容器的电容公式（7-38）带入式（7-43），可得
We
=
1 2
CU
21 20r Sd(Ed )21 2
0r E2Sd
1 2
E 2V
上式说明了电场能量的携带者是电场本身。
由上式可得单位体积电场内所具有的电场能量为
we
We V
=
1 E2
2
上式表明，电场的强度越大，电场的能量密度也越大。上 式虽然是从平行板电容器中求得的，但可以证明，对于任意电 场，这个结论也成立。
对于非均匀电场，我们可以任取一体积元dV，可以认为dV 内是均匀电场，则在dV内电场所储存的能量为
dWe
wedV
1 E2dV
2
因此，整个电场的能量为
We
V dWe =
V wedV
1 E2dV
V2
【例7-11】一球形电容器，内、外半径分别为R1和R2，所 带电量分别为＋Q和－Q，两球间充满相对电容率为εr的电介 质，如下图所示。求此电容器储存的电场能量是多少？
物理学
静电场的能量
1.1 电容器的静电能
电容器充电时，电源必须做功，才能克服电容器极板上
大学物理,静电场中的导体和电介质8-5 静电场的能量
2
R1
r
dr
Q R2 dWe wedV dr 2 8 π εr 2 2 R Q Q 1 1 2 dr We dWe ( ) 2 8 π ε R1 r 8 π ε R1 R2 9
8.5 静电场的能量
2
第8章 静电场中的导体和电介质
第8章 静电场中的导体和电介质
例：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带电量分别为 +、 -，其间充有 r 电介 质。求： 1）两柱面间的场强 E；2）电势差 U；3）单位长 度电容 ；4）单位长度贮存能量。
介质中高斯定理： D dS q 0
5
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
二、静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例，将电能用电场的量表示。
1 1 1 1 εS 2 2 2 2 ( Ed ) εE Sd εE V We CU 2 2 2 d 2
电场中单位体积的能量 称为电场能量密度：
d
S
εr
We we V
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
静电场的能量 ( Electrostatic Energy ) 一个带电系统包含许多的电荷。电荷之间 存在着相互作用的电场力。 任何一个带电系统在形成的过程中，外力 必须克服电场力做功，即要消耗外界的能量。 外界对系统所做的功，应该等于系统能量 的增加。 因此，带电系统具有能量。
第8章 静电场中的导体和电介质
1 We QU 2
R1
1 λ R2 λh ln 2 2πε0 εr R1 2 λh R2 ln 4πε0 εr R1
静电场的能量5
W球面 <W球体 e e
课堂讨论
13.5 静电场的能量 (electrostatic energy)
定义： 定义： 把系统从当前状态无限分裂到彼此相距无 限远的状态中静电场力作的功， 限远的状态中静电场力作的功，叫作系统 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 或： 把这些带电体从无限远离的状态聚合到当 前状态过程中，外力克服静电力作的功。 前状态过程中，外力克服静电力作的功。
r
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。 比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
q
0 E = q 4 r2 πε0
R
R
r <R r >R
q
R
r q 4 ε R π0 3 E = q 4 ε0r2 π
∞
r <R r >R
1 1 2 2 2 2 W = ∫ ε0E ⋅ 4 r dr +∫ ε0E ⋅ 4 r dr π π e 2 2 0 R
3.电容器储存的能量 电容器储存的能量
K
a
b
开关倒向a，电容器充电。 开关倒向 ，电容器充电。 开关倒向b，电容器放电。 开关倒向 ，电容器放电。
灯泡发光
←电容器释放能量
←电源提供
计算电容器带有电量Q，相应电势差为U 计算电容器带有电量 ，相应电势差为 时所 具有的能量。 具有的能量。
电容器中的能量是在充电过 程中建立起来的。 程中建立起来的。 充电过程， 充电过程，使电容器的两极 板分别带上等量的正负电荷， 板分别带上等量的正负电荷，这 相当于将某一极板上的电荷拉到 另一极板上。 另一极板上。这是电荷在两极板 间的搬迁过程。 间的搬迁过程。 搬迁过程中， 搬迁过程中，随着极板上电 荷的累积，要做的功越来越大， 荷的累积，要做的功越来越大， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 粮越来越高，再往上倒， 粮越来越高，再往上倒，就越来 越困难。 越困难。
大学物理8-5 静电场的能量
E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
r R1
max Eb 2π 0 R1
l
max 2 0 R1 Eb
-+ - + R1 - + R2 -+
8 – 5
静电场的能量
第八章 静电场中的导体和电介 质
（2）电场的能量
E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
( R1 r R2 )
1 1 R12 Eb2 2 wm 0 Em 0 2 2 2 r
R2
沿轴线单位长度的最大电场能量
Wm wm dV
2 1 2 b
R1
1 R E 0 2 1 2rdr 2 r
2 1
2 b
R2 4 1 0R E ln 5.76 10 J m R1
8 – 5
静电场的能量
第八章 静电场中的导体和电介 质
作业:
Q2 6 8 0 R
2
R
0
Q 2 dr 4 r dr R r 2 8 0
2 2
Q Q 3Q 40 0 R 8 0 R 20 0 R
8 – 5
静电场的能量
例8-6 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1和 所带电荷为 Q．若在两球壳间充以相对介电常数为 的电介质，求此电容器贮存的电场能量.
8 – 5 一
静电场的能量 电容器的电能
第八章 静电场中的导体和电介 质
q d W udq d q C
1 W C
Q
0
1 1 W QU CU 2 2 2
Q2 1 1 电容器贮存的电能 We QU CU 2 2C 2 2
静电场的能量
ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
静电场的能量公式
静电场的能量公式好的，以下是为您生成的关于“静电场的能量公式”的文章：咱们在学习物理的时候，静电场可是个挺有意思的家伙。
说到静电场，就不得不提到它的能量公式，这玩意儿可是藏着不少奥秘呢！先来说说静电场能量公式到底是个啥。
简单来讲，静电场的能量可以用公式 $W = \frac{1}{2} \int \varepsilon E^2 dV$ 来表示。
这里头的$\varepsilon$ 是介电常数，$E$ 是电场强度，$dV$ 是体积元。
这公式看起来可能有点复杂，但别慌，咱们慢慢捋捋。
就拿我曾经观察过的一个小实验来说吧。
有一次，我在教室里给同学们演示静电实验。
我拿了一块塑料板和一些碎纸屑，把塑料板在头发上摩擦了几下，然后靠近碎纸屑。
嘿，那些碎纸屑就像被施了魔法一样，纷纷跳起来粘在了塑料板上。
这其实就是静电场在起作用。
那这个和静电场的能量公式有啥关系呢？其实，当塑料板摩擦产生静电的时候，就形成了一个小小的静电场。
这个静电场具有一定的能量，而这个能量的大小就可以用咱们刚才提到的公式来计算。
只不过这个实验中的静电场比较简单，真正复杂的静电场，比如在电容器中，那能量的计算可就没这么轻松啦。
咱们再回到这个公式，为啥会有这样的形式呢？想象一下，电场就像是一个大力士，它在空间中“使劲”，而这个“使劲”的程度就由电场强度 $E$ 来表示。
介电常数 $\varepsilon$ 呢，则反映了介质对电场的影响。
就好像在不同的环境中，大力士发挥的效果不一样。
比如说在空气里和在水里，同样的电场强度，产生的效果可能就不同。
而积分 $\int dV$ 则是把空间中每一个小部分的能量都加起来，这样才能得到整个静电场的总能量。
在实际应用中，静电场的能量公式可重要了。
比如说在电子电路中，电容器储存电能就是依靠静电场。
我们要设计一个高效的电路，就得搞清楚电容器中静电场的能量有多少，这时候这个公式就派上用场啦。
还有在研究电磁辐射的时候，也离不开对静电场能量的理解。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
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r
W Aq1 q2 E1 dl q2 E1 dl
r
q2
q1
40r
q2U21
在q1处在的q电2 所势
也可以先移动 q2
q2在 q1所
在处的电势
W
作功与路径无关 表达式相同
q1
q2
40r
q1U12 q2U21
状态a
q1 r q2
1
1
为了便于推广 写为 W 2 q1U1 2 q2U2
d
电场能量密度为 (自证)
we
We V
we
1 2
D
E
普遍
1 单位体积内的电能 we 2 D E
例 导体球的电场能
r
Q
E 40r 2
Q
D 4 r 2
ED
We wedV
all of
sfipealdce
R
Q2
32 20r
4
4
r
2 dr
We
Q2
8 0R
与前面计 算结果同
x 2
D 0 x
d x
2
D 0 d
2
D E
0r
0 x 0r
P
r
1
0 x r
E D 0d 0 20
均匀场
P 0 r 1 E 0
§7 静电场的能量
带电体系处于状态 a
一.带电体系的静电能
electrostatic energy
或：
状态a时的静电能是什么？
定义：把系统从状态 a 无限 分裂到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功，叫作系统 在状态a时的静电势能。简称 静电能。
Ui 除 qi
以外的电荷在q i
处的电势
W 1
2
i
qiU i
点电荷系
若带电体连续分布
1
W dqU
2 Q
dq
U: 所有电荷在dq 处的电势
如 带电导体球 带电量 Q半径 R
1
Q
Q2
W dq
2 Q 40 R
80 R
静电能 = 自能 + 相互作用能
三.导体组的静电能 电容器的储（静电〕能
W
相互作用能
把这些带电 体从无限远 离的状态聚 作用能
状态a
以两个点电荷系统为例
想象 q1 q2初始时相距无限远
q1 r q2
第一步 先把q1 摆在某处 外力不作功
第二步 再把q2 从无限远移过来 使系统处于
状态a 外力克服 q1 的场作功
S
qi
i
0
0E dS P dS qoi
S
S
i
qi qoi
i
i
0
D dS q0i
S
i
在具有某种对称性的情况下，可
以首先由高 斯定理出发 解出 D
即 D E P q
例 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
相对介电常数为 r 内部均匀分布体电荷密度为 0 的自由电荷
§6 电位移矢量 D 有电介质时的的高斯定理
electric displacement vector
一.电位移矢量
D 0E P
量纲 D P
单位 C/m
各向同性 线性介质
P 0 r 1 E
D 0r E 介质方程
二.D 的高斯定理
D dS q0i
S
i
自由电荷
证：
E dS
求：介质板内、外 的D E P 解： 面对称 D E P 平板
取坐标系如图 x 0 处 E 0
以 x 0 处的面为对称
d
0r
过场点作正柱形高斯面 S
底面积设 S0
S S0
x
0x
d x
2 d x 2
2DS0 0 2 x S0
D 0 x
2DS 0 0S0d
D 0 d
2
d
0r
S
x
0x x
d
1 2
dq AU
QA
A
1 2
dqBU
QB
B
导体是等势体
电容器储能
i 12QiUi
带等量异号的电荷 QA QB
1
1
W 2 QAU A 2 QAU B
1 QU
2
W 1 Q2 2C
四.场能密度
能量储存于场中
单位体积内的电能
we
dW dV
rS
以平行板电容器的场为特例可以
导出
在带电为 Q 时