最新29-第二章平面向量小结与复习(2)汇总
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
2023年平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习1.向量有关概念:（1）向量旳概念: 既有大小又有方向旳量, 注意向量和数量旳区别。
向量常用有向线段来表达, 注意不能说向量就是有向线段, 为何？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0旳向量叫零向量, 记作：, 注意零向量旳方向是任意旳；（3）单位向量: 长度为一种单位长度旳向量叫做单位向量(与共线旳单位向量是)；（4）相等向量: 长度相等且方向相似旳两个向量叫相等向量, 相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相似或相反旳非零向量、叫做平行向量, 记作：∥, 规定：零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量, 但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不一样旳两个概念: 两个向量平行包括两个向量共线, 但两条直线平行不包括两条直线重叠；③平行向量无传递性！（由于有)；④三点共线共线；（6）相反向量: 长度相等方向相反旳向量叫做相反向量。
旳相反向量是－。
2.向量旳表达措施: （1）几何表达法: 用带箭头旳有向线段表达, 如, 注意起点在前, 终点在后；（2）符号表达法: 用一种小写旳英文字母来表达, 如, , 等；（3）坐标表达法: 在平面内建立直角坐标系, 以与轴、轴方向相似旳两个单位向量, 为基底, 则平面内旳任历来量可表达为, 称为向量旳坐标, ＝叫做向量旳坐标表达。
假如向量旳起点在原点, 那么向量旳坐标与向量旳终点坐标相似。
3.平面向量旳基本定理：假如e1和e2是同一平面内旳两个不共线向量, 那么对该平面内旳任历来量, 有且只有一对实数、, 使= e1＋e2。
4.实数与向量旳积: 实数与向量旳积是一种向量, 记作, 它旳长度和方向规定如下: 当>0时, 旳方向与旳方向相似, 当<0时, 旳方向与旳方向相反, 当＝0时, , 注意:≠0。
5.平面向量旳数量积:（1）两个向量旳夹角: 对于非零向量, , 作, 称为向量, 旳夹角。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
第二章平面向量小结复习课
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
A
[0, ]
B C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
首尾相接
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB
共起点
在同一个平行四边形中把握： a , b , a b , a b 及其模的关系 D
a b，（a b) (a b)， a (b c)，(a+b)2
(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影
(4) 已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若(2a-b)和b共线,则x= ； 若(2a-b)和b垂直,则x= .
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
高中数学必修(4)第二章平面向量(知识点汇总)
必修4第二章 平面向量1、向量的有关概念：(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）。
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量。
与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作0a ，||0a a a =。
(4)平行向量：方向相同或相反的两非零向量叫做平行向量。
任一组平行向量经过平移都可以移到同一条直线上，平行向量又叫做共线向量。
规定：0 与任一向量平行。
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2、向量的表示法：（1）字母表示法：如a ，AB 等；（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量；（3）代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点O 在坐标原点，终点坐标为（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记为OA =（x ，y ）；3、向量的线性运算法则：（1）平行四边形法则（2）三角形法则4、向量的线性运算性质： a b b a +=+(交换律))()(c b a c b a ++=++（结合律）a a a =+=+0000 =a 00=⋅a 00 =λ||||||a a λλ=a a)()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(⇔+=)(21OB OA OM M 是线段AB 的中点非零向量a 的单位向量为||a a ± 5、共线向量定理：如果b a λ=，则b a //；反之，如果b a //，且0 ≠b ，则一定存在唯一一个实数λ使b a λ=。
6、两个向量平行的充要条件：若a 与b 不共线且b a μλ=，则0==μλ；若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ、，使0 =+b a μλ。
7、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21a a 、，使得2211e a e a a += ，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。
高一数学必修四第二章 平面向量章末总结
高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。
在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。
下面我将对这一章内容进行总结。
第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。
平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。
平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。
平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。
平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。
平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。
第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。
加法和数乘的运算统称为线性运算。
数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。
第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高二必修4数学第二章平面向量复习要点，希望你喜欢。
1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个) 坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
高中数学《平面向量》复习小结
例 9.已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中 a 为实数，O 为原 点 ， 当 此 两 向 量 夹 角 在 0，1π2 变 动 时 ， a 的 范 围 是
() A．(0,1) C. 33，1∪(1， 3)
B. 33， 3 D．(1， 3)
解析 已知O→A＝(1,1)，即A(1,1)，如图
答案 D
例 4.如图，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧， 与铅垂线的夹角分别为 30°、60°，当整个系统处于平衡状态时， 求两根绳子的拉力．
解 如图，在▱OACB 中，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°
→→
→
∠OAC＝90°，设向量OA、OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体的重力，
＝A→M＋λM→N＝A→M＋λ(A→N－A→M)＝(1－λ)A→M＋λA→N＝1－m λa＋nλb.
根据平面向量基本定理n1λ－＝m λ12＝12
答案 2
消去 λ 整理得 m＋n＝2.
例 6.如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的
直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，
答案 2
消去 λ 整理得 m＋n＝2.
例 7．（1）已知向量 a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则 b 可能是( )． A．(4,8) B．(8,4) C．(－4，－8) D．(－4,8)
（2）设 a＝( 3 ， 1 )，b＝(cosα， 3 ) (0, ) ，且 a b，则 α＝_______
所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为 1π2，即∠AOB1＝∠AOB2＝1π2，此时， ∠B1Ox＝π4－1π2＝π6，∠B2Ox＝π4＋1π2＝π3， 故B11， 33，B2(1， 3)，又a与b夹角不为零， 故a≠1，由图易知a的范围是 33，1∪(1， 3)．
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29-第二章平面向量小结与复习(2)第二章平面向量章末复习（第2课时）教学目标重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用．难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运算能力和解决实际问题的能力．教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．一、【知识结构】二、【知识梳理】1．平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，我们把数量«Skip Record If...»叫做«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的数量积(inner product)（或内积），记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角．(2)数量积的几何意义数量积«Skip Record If...»等于«Skip Record If...»的长度«Skip Record If...»与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»方向上的投影«Skip Record If...»的乘积，或等于«Skip Record If...»的长度«Skip Record If...»与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»方向上的投影«Skip Record If...»的乘积．(3)数量积的性质①«Skip Record If...»．②当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同向时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»反向时，«Skip Record If...»；特别地，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»．通常«Skip Record If...»记作«Skip Record If...»．③«Skip Record If...»(4)数量积的运算律已知向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»和实数«Skip Record If...»，则：①«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»；③«Skip Record If...»．(5)数量积的坐标表示已知两个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．由此可得：①«Skip Record If...»或«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»；③设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的夹角，则«Skip Record If...»．2．平面几何中的向量方法用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．3．向量法在物理中的应用向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．三、【范例导航】例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 «Skip【分析】由题意可知«Skip Record If...»，根据«Skip Record If...»，解方程可以求得«Skip Record If...»的值.【解答】如图，设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»所以«Skip Record If...».【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.变式训练1(2011·江苏卷10)已知«Skip Record If...»是夹角为«Skip Record If...»的两个单位向量，«Skip Record If...»若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为．答案：«Skip Record If...»解析：«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...».例2(2012·江苏9)如图，在矩形«Skip Record If...»中，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的中点，点«Skip Record If...»在边«Skip Record If...»上，若«Skip RecordIf...»，则«Skip Record If...»的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.【解答】因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，«Skip Record If...»且«Skip RecordIf...»= ．答案：18解析：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，所以，«Skip Record If...»例3.证明：对于任意的«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，恒有不等式«Skip Record If...»．【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量【解答】设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»所以«Skip Record If...».【点评】此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»、«Skip RecordIf...»两点的坐标表示«Skip Record If...»的余弦值.答案：«Skip Record If...»解析：因为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»那么，«Skip Record If...».四、【解法小结】1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(1)«Skip Record If...»，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)«Skip Record If...»与«Skip Record If...»可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化．(3)«Skip Record If...»不仅可以用来直接计算两向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量«Skip Record If...»向量的运算«Skip Record If...»数到形”. 3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量«Skip Record If...»是数乘向量；(3)功即是力«Skip Record If...»与所产生的位移«Skip Record If...»的数量积. 五、【布置作业】 必做题：1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a|＝|b|D ．a ＋b ＝a －b2．（2012·上海卷） 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________．3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__ __.DE →·DC→的最大值为________．4．在边长为1的正三角形«Skip Record If...»中，则«Skip Record If...»________．.必做题答案：1．因为||a ＋b ＝||a －b ⇔()a ＋b 2＝()a －b 2⇔a ·b ＝0，所以a ⊥b ，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．2．令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在平行四边形ABCD 中，AM →＝AB →＋nAD →，AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－n )AB →]＝－n 2－2n ＋5，而函数f (n )＝－n 2－2n ＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]． 3．以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.4．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起点要重合，对于本题要特别注意：向量«Skip Record If...»的夹角不是«Skip Record If...»，而是«Skip Record If...».选做题：1．已知向量«Skip Record If...»是以点A (3，－1)为起点，且与向量«Skip Record If...»＝（－3，4）垂直的单位向量，求«Skip Record If...»的终点坐标.2．如图，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»交于«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...». 选做题答案：1.设«Skip Record If...»的终点坐标为«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»,由题意«Skip Record If...»由①得：ｎ＝«Skip Record If...»（3ｍ－13）代入②得25ｍ2－15O ｍ＋2O9＝O 解得«Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»的终点坐标是（«Skip Record If...»点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联①2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.六、【教后反思】1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．2．本教案的弱项是：(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少，如夹角的计算、模的计算等；(2)向量法在物理中的应用没有涉及到，有待于进一步补充．。