可逆矩阵及的应用举例共41页
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§2.3 可逆矩阵
可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
第三章可逆矩阵
解:
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
⎛ d − b⎞ A* = ⎜ ⎜ − c a ⎟. ⎟ ⎝ ⎠
有用的结论
定理2.1
设A为n阶方阵 , A∗是A的伴随矩阵 , 则 AA∗ = A∗ A = A E .
若An = (a ij )满足a ij = Aij , 则A* = AT .
证明
⎡ a11 ⎢a 21 AA* = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ a n1 ⎡A ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
得
6 − 4⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ A∗ = ⎜ − 3 − 6 5 ⎟ , ⎟ ⎜ 2 2 − 2⎠ ⎝
⎛a b⎞ −1 设A = ⎜ ⎜ c d ⎟, 若ad − bc ≠ 0, 求A . ⎟ ⎝ ⎠
1 ⎛ d − b⎞ A* ⎜ ⎟. = A ad − bc ⎜ − c a ⎟ ⎝ ⎠
−1
解 : A−1 =
证明： B = ( E + A) −1 ( E − A), 得 由 ( E + A) B = E − A，B + AB + A − E = 0, A( B + E ) + B − E = 0,
A( B + E ) + B + E = 2 E ,
( A + E )( B + E ) = 2 E , ( B + E ) −1 = 1 ( A + E ). 2 A+ E (B + E ) = 2E , 2
−1 性质3 若A可逆, 数λ ≠ 0, 则λA可逆, 且(λA) =
1
λ
A−1
可得 B = EB = (CA) B = C ( AB ) = CE = C .
所以 A的逆矩阵是唯一的 , 即 B = C = A −1 .
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
第三章-可逆阵
一、可逆矩阵的定义二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件三、逆矩阵的性质四、求逆矩阵的初等行变换五矩阵方程五、矩阵方程一、可逆矩阵的定义定义1设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B , 使得A B B A EA B = B A = E ,则称B 为A 的逆矩阵，此时也称A 可逆.由定义1 可知，若B 是A 的逆矩阵，则A 也是B 逆矩阵，即A 与B 是互逆的.定理1若矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的.设B 、C 均为 A 的逆矩阵，则C =C E =C A B )=(C A )B =E B =B ,证 C C E C (A B ) (C A ) B E B B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.的逆矩阵的唯性由矩阵A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为A 1.例1设a 11a 22… a nn ≠0 , 则由定义可直接验证对角矩11 22 nn ,阵的逆矩阵111-⎤⎡a 111⎤⎡-a 22⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢a.1122⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=--a⎦⎣nn a ⎦⎣nn a 例2若方阵A 1 , A 2 , …, A m 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵有类似的逆矩阵11-⎥⎤⎢⎡A A 111⎥⎤⎢⎡--A A 2⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣m A.12⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=-m A上一页当时对~二、伴随矩阵及二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定义2n >1时，对n 阶方阵,称为矩阵A 的代数余子式余子式阵阵，称为矩阵A 的伴随伴随阵阵。
n n ij a A ⨯=)(n n ij a A ⨯=)~(T A A ~*=例如⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛=24,34~,321*A A A 非常重要⎭⎝⎭⎝⎭⎝13124定理2则d t(**设，则n n ij a A ⨯=)(EA A A AA )det(==矩阵i j *证由行列式性质2与性质7，矩阵的(i,j )元素为A A *det(),,0TTT T T A i j A A AA A A =⎧====⎨e e e e e e aa ()()()()()0,.i j i j i j i j i j ≠⎩E A A A )det(*=AA d (同可得因此。
线性代数 逆矩阵
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-23 结束
1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 2 r r r3 r1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 1 0 0 r 2r 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1 1 1 可以验证 A diag( , ,..., ). a1 a2 an
1 E E. 特别地有
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结束
例2
a b , 设 A c d
1
若 ad bc 0, 可以验证 A
可逆且
1 d b A ad bc c a
1 1 1 1 ( A A ... A ) A A ... A 也可逆, 且 1 2 s s s1 1 .
2、设 A, B 可逆，但 A B 不一定可逆。 思考：反例？ 即使 A B 也可逆，一般地
( A B)1 A1 B 1
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结束
定理2.2
设 A 是 n 阶方阵，如果A可逆，则矩阵方程
1 2 3 1 0 0 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1
r3 r2 r1 r2
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-21 结束
1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r1 2 r3 0 2 0 3 6 5 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5 r3 0 0 1 1 1 1
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结束
推论2.1
-23 结束
1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 2 r r r3 r1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 1 0 0 r 2r 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1 1 1 可以验证 A diag( , ,..., ). a1 a2 an
1 E E. 特别地有
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结束
例2
a b , 设 A c d
1
若 ad bc 0, 可以验证 A
可逆且
1 d b A ad bc c a
1 1 1 1 ( A A ... A ) A A ... A 也可逆, 且 1 2 s s s1 1 .
2、设 A, B 可逆，但 A B 不一定可逆。 思考：反例？ 即使 A B 也可逆，一般地
( A B)1 A1 B 1
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定理2.2
设 A 是 n 阶方阵，如果A可逆，则矩阵方程
1 2 3 1 0 0 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1
r3 r2 r1 r2
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1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r1 2 r3 0 2 0 3 6 5 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5 r3 0 0 1 1 1 1
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推论2.1
第09节-可逆矩阵
A1 , B 1都存在.
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可逆矩阵一PPT课件
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
2.4 可逆矩阵
4 / 设A是n阶矩阵，若A2＝A，证明A + E可逆。 5 / 设A为n阶方阵，A2 + 2 A − 3E = 0, 证明 : A − 2 E可逆，并求其逆。 6 / 设A为n阶方阵，A3 = 2 E , B = A2 − 2 A + E , 证明：B可逆，并求其逆 7 /已知X , Y是相互正交的n维列向量，证明E + XY T 可逆。
•推论：A , A , L , A 均可逆，则A A L A 可逆 1 2 m 1 2 m
且（A1 A2 L Am） = A L A A 。 DEF：设A是n阶可逆矩阵，那么对任意的 B = Bn×m或（Bm×n）， 矩阵方程AX = B（或XA = B）有唯一解 X = A B(或X = BA )
−1
T −1
−1 T
• |A|!=0,可逆矩阵是方阵
(7)( A−1 )* = ? (8)( A + B)−1 = ? A−1 + B−1
2.4 可逆矩阵
• 有关逆矩阵的运算规律： 有关逆矩阵的运算规律： • DEF:若A,B为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且 （AB）-1=B-1A-1.
2.4 可逆矩阵
2.5.4 转置矩阵的乘法
(AAT) T=AAT,对称矩阵
2.5.5 逆矩阵的乘法
1.AB=BA=I,可逆唯一; 2.伴随矩阵的定义, 3. A* A =| A | I
2.4 可逆矩阵
• Def 2.13 对n阶矩阵A，如果存在同阶矩阵B，使AB=BA=I, 则称A为可逆矩阵 可逆矩阵（简称A可逆）， 可逆矩阵 的逆矩阵，记作 B为A−1，或A−1 = B 并称B是A的逆矩阵 是 的逆矩阵 讨论：n阶矩阵具备什么条件时可逆？逆矩阵是否唯一？ 怎样求逆矩阵？ • 定理 定理2.2 逆矩阵的唯一性 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 唯一的。 唯一的 • 定理 定理2.3 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|！=0，且