高斯求积公式
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高斯求积公式
x m ( x)dx,
0
x f ( x)dx 0.389111 f (0.821162)
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组较复杂， 故一般不通过解方程
通常 n 2就很难求解.
求xk 及Ak (k 0,1,, n) ，
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
7
1
0
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A 1 f ( x1 ).
x0 0.821162, A0 0.389111,
x1 0.289949; A1 0.277556.
m 0,1, ,2n 1.
这样，高斯公式是 A xm
k 0 1
n
k
b
a
4
根据定义要使求积公式具有 2n 1次代数精度，只要对
f ( x) x (m 0,1, ,2n 1),
m
令 a f ( x) ( x)dx Ak f ( xk ),
b k 0
n
精确成立，
m A x x k ( x)dx, k 0 m k b a n
a
a
10
由于求积公式是插值型的， 即
b a n 1
它对于q( x) H n 是精确的，
n
P( x) ( x) ( x)dx 0. q( x) ( x)dx A q( x
b a k 0 k
k
).
再注意到
n1 ( xk ) 0 (k 0,1,,n),
知
q( xk ) f ( xk ) (k 0,1,,n),
第07章 03-高斯型求积公式
第七章
§7.7 数值微分
数值积分与微分
泰勒公式是建立数值微分的工具之一，设 h x1 x0 ，
根据泰勒公式可得：
f x0 h f x0 f x0 O h h h h f x0 f x0 2 2 f x0 O h2 h
1 t
0
1
t
2
dt 。
解：(1)首项系数为1的三次勒让德多项式为：
3 2 d x 1 3! 3 3 3 x x x 3 6! dx 5 3 3 , x1 0, x2 取其零点 x0 作为高斯点 5 5 3
第七章
§7.6 高斯求积公式
N
（充分性得证）
第七章
§7.6 高斯求积公式
数值积分与微分
定理7.6 表明，若能够找到满足
N+1次多项式 N 1 x ，则积分公式的高斯点就确定了， 从而确定了一个高斯型求积公式。为此，引入勒让德 (Legendre)多项式。 定义：一个仅以区间[-1, 1]上的高斯点 xi i 0 为零点的
j 0
N
关于高斯求积公式的误差有如下结论：高斯积分公式 的误差是可控的，稳定性比其他积分方法好。特别当
f x 在[-1, 1] 上连续时，高斯型求积公式必收敛。
第七章
数值积分与微分
总结
1 梯形求积公式和辛普生求积公式是低精度的方法，但对 于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的 效果。复化梯形公式和辛普生求积公式，精度较高，计 算较简，使用非常广泛。 2 龙贝格求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似 程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此， 对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3 Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时， 前面计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦， 但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分， 则是其他方法所不能比的。
高斯求积公式
定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
高斯求积公式
3 3 )+ f( )， 求积公式为 ∫ f ( x )dx ≈ f ( − －1 3 3 1 2 3 4 3 4 2 4 4 对于f ( x) = x , I ( f ) = ∫ x dx = ≠ Q( x) = (− ) + ( ) = －1 5 3 3 9
1
只要证明 ∀ 2 n + 2次多项式 f ( x ), I ( f ) = ∫ f ( x )dx ≠ ∑ Ak f ( x k ) a k =0 即可。 = Q( f )即可。 2 2 则 事实上， 事实上，令f ( x ) = [( x − x 0 )( x − x1 )L( x − x n )] = ω n +1 ( x )， f ( x ) ≥ 0,
⇒ m = 3 = 2 × 1 + 1。 一般地， 一般地，对于任意求积节点 a ≤ x0 < x1 < L< xn ≤ b ，任意求积 b 系数， 系数，求积公式 I ( f ) = ∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) = Q ( f )的代数精度 a m < 2n + 2。 分析： 分析： n b
§2 Gauss型求积公式 型求积公式
本节 问题 关键
例4 求节点 x0，x1 ，使插值型求积公式
∫
1
−1
f ( x)dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
( 2 .1 )
具有尽可能高的代数精度。 具有尽可能高的代数精度。 分析：四个未知量A 分析：四个未知量 0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的 代数精度最高。因此按插值型求积公式来 求积公式来求 代数精度最高。因此按插值型求积公式来求A0，A1。 x − x0 x − x1 待定， l , l1 ( x) = ， 解：x0 , x1待定，0 ( x) =
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值分析(高斯求积公式)
2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
高斯求积公式
(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高斯求积公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
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[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
1
3
t(5)
2
A(5) 5
1
3
t(5)
5
0.69314719
积分精确值为
I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 1
f (xk )
(2)
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
表
+0.3399810 0.6521452
+0.8611363 0.3478548
5 -0.9061799 0.2369269
-0.5384693 0.4786287
0
0.5688889
+0.5384693 0.4786287
Rn
1 f " ( )
3
1 f ( 4) ( )
135
1 f (6) ()
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
1 sin xdx
0x
令I=
1 sin xdx
0x
各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
二:用复化梯形公式
令h=1/8=0.125
1 sin
0 x
xdx
hf
2
(0) 2 f
(h)
f
(7h)
f
(1)
0.94569086
三：用复化抛物线
令h=1/8=0.125
1 sin
0 x
xdx
h 3
f
(0)
4 f
(h)
f
(7h)
2 f
(2h)
f
(6h)
f
(1)
0.946083305
四、 Romberg公式
Gauss- Legendre
n xk(n)
Ak(n)
1
0
2
2 -0.5773503
1
+0.5773503
1
3 -0.7745967 5/9=0.5555556
点
+0.7745967 5/9=0.5555556
及
0
8/9=0.8888889
系
4 -0.8611363 0.3478548
数
-0.3399810 0.6521452
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。
为考虑一般性,设求积公式为
b
n
(x) f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 1
(x) 0 是权函数
注意此时的代数精度最高为2n-1
（一）定理：
求积公式
超2n-1次。
b
(x) f (x)dx
a
n
Ak f ( xk )
的代数精度最高不
k 1
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos (2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
Rn
f (2n) ()
(2n)!
b a
(
x
)wn2
(
x
)dx
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.
Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数Ak 都有表可以查询.
高斯求积公式
引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例
引言
n+1个节点的插值求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
的代数精确度不低于n求积公式,能不能在区间[a,b]上适当选
择n个节点x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到
常用的高斯求积公式
1.Gauss - Legendre 求积公式
1
n
f ( x)dx
1
Ak f ( xk )
(1)
k 1
其中高斯点为Legendre多项式的零点
Ln(x)=
1 2n n!
•
d
n
(
x2 dx n
1)n
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 为[-1,1]。
15750
f (8) ()
3472875
f (10) ()
1237732650
例题 利用高斯求积公式计算
1 dx 0 1 x
［解］令x=1/2 (1+t), 则
I 1 dx 1 dt
0 1 x 1 3 t
用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5
I
A(5) 1
1
3
t(5)
1
A(5) 2
K
Tn
Sn
Cn
Rn
0 0.9207355
1 0.9397933 0.9461459
2 0.9445135 0.9460869 0.9400830
3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
五、Gauss公式
k 1
左右,故不成立等式,定理得证.
定义: 使求积公式
b
n
(x) f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 1
达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有
结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1