数值分析4。4高斯型求积公式
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Gauss型求积公式
Gauss型求积公式 一、Gauss型求积公式 定义： 个节点的具有2 定义 ： 把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
称为Gauss型求积公式， 称为Gauss型求积公式，其求积节点 xk k=0， Gauss型求积公式 （ =0， 称为高斯点 高斯点， 高斯系数。 1，……n）称为高斯点，系数 A 称为高斯系数 k称为高斯系数 Remark：构造Gauss Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 个高斯点构造基函数， 点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯 系数。 系数。
f (x) = P x) n+1(x) ( ω 的次数不超过2n+1。
故有
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = ∑A ωn+1( xk )P( xk ) = 0 k
k=0
n
充分性 ： 设 ∫ ωn+1(x)P(x)dx = 0 对于任意次数不超过 a ω 2n+1的多项式 f (x),设 n+1(x)除f(x)的商为p(x),余 项为q(x)。
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
6
7 4 0.3478548451 0.6521451549
4。4高斯型求积公式
=
A
1
=1
于是得到求积公式
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∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
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10
定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
数值分析(高斯求积公式)
2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高斯求积公式
(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
数值分析-高斯求积分
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
4.3高斯型求积公式
k 0
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式
n 1 1 Ak f ( xk ) 1 1 x f ( x )dx k =0 (2k 1) 为Tn 1的零点, xk cos 2n 2 1 1 Ak 1 1 x lk ( x )dx n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式
n 1 1 Ak f ( xk ) 1 1 x f ( x )dx k =0 (2k 1) 为Tn 1的零点, xk cos 2n 2 1 1 Ak 1 1 x lk ( x )dx n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
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1 n ik
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
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此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
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2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为
Ak
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。
b
a
x lk x dx, k 0,1,n
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19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
1
1 x
2
f x dx
f 2
f 2
2
对于n=2,三次Chebyshev多项式为 4 x3 3x ，三点 Gauss-Chebyshev求积公式为 3 1 1 3
1
1 x
2
f x dx
f 0 f f , 3 2 2
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12
由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同
的高斯型求积公式。
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
在区间[-1，1]上取权函数
x 1,
，取正交多项式为Legendre多
项式
n 1 1 d n1 2 Pn1 x x 1 n 1!2n1 dxn1
零点为 x0
15 , x1 0, x2 5
15 5
，以此为Gauss点，可构造出具有
五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式
1
1
f x dx
5 f 9
15 8 5 15 f 0 f . 5 9 9 5
式对于 Px n1 x 是准确成立的，即有
b
a
x P x n 1 x dx Ak P xk n 1 xk
k 0
n
但 n1 xk 0, k 0,1,2n 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 n1 x 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 f ( x) P x n1 x Q( x) 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
A x
1 1
2
1 3
A x 由第二式和第四式可得 x
取
3 0
2 0
A x 0. x ，结合第一式和第三式得 x
1
1
x
2
1
1 . 3
x0
1 1 , x1 3 3
得
A
1 1
0
A
1
1
于是得到求积公式
华长生制作
1 1 f x dx f f 3 3
如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程 组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数 值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的 特性着手研究Gauss公式的构造问题 。
华长生制作 5
由插值余项
R[ f ]
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
以n+1次Legendre多项式的零点 xk k 0,1,
, n 为Gauss点的求积公式为
1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中
华长生制作
13
系数
x xi Ak dx , 1 i 0 xk xi
华长生制作
20
3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区 x x e 间[0， ，取节点xk k 0,1, , n ]，权函数取为 为n+1次拉盖尔多项式
d n 1 n 1 x Ln 1 x e x e n 1 dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 2 1 1 1 2 x I x e dx (t 1) e 1t / 2 dt 0 8 1 2 令 f t 1 t e1t / 2 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
1 P x (5 x 2 3 x), 当n=2时，三次Legendre多项式 3 2
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有
1 5 I 8 9 15 8 5 f 0 f 5 9 9 15 f 5 0.718251799
，从而有
b
a
x f x dx
A
k 0
n
k
f xk
由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。
x k
k
0, 1 ,n
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由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。
Tn1 x cos[(n 1) arccosx]
的零点为 xk cos
2k 1 , k 0,1, , n. 2n 2
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
Ak
1
1 1 x
2
1
lk x dx
n 1
, k 0,1, n.
3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有
1次代数精度。 一般地，考虑带权求积公式
其中
为2n+2个待定参数，适当选择这些参
数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。
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4
定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则 称该公式高斯型求积公式，称 其 节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
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0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
其中 lk
x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss18
Chebyshev求积公式如下
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1
1 1 x
2
1
f x dx
f x , n 1
k 0 k
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
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此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
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2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
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2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
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即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为
Ak
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。
b
a
x lk x dx, k 0,1,n
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19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
1
1 x
2
f x dx
f 2
f 2
2
对于n=2,三次Chebyshev多项式为 4 x3 3x ，三点 Gauss-Chebyshev求积公式为 3 1 1 3
1
1 x
2
f x dx
f 0 f f , 3 2 2
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12
由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同
的高斯型求积公式。
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
在区间[-1，1]上取权函数
x 1,
，取正交多项式为Legendre多
项式
n 1 1 d n1 2 Pn1 x x 1 n 1!2n1 dxn1
零点为 x0
15 , x1 0, x2 5
15 5
，以此为Gauss点，可构造出具有
五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式
1
1
f x dx
5 f 9
15 8 5 15 f 0 f . 5 9 9 5
式对于 Px n1 x 是准确成立的，即有
b
a
x P x n 1 x dx Ak P xk n 1 xk
k 0
n
但 n1 xk 0, k 0,1,2n 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 n1 x 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 f ( x) P x n1 x Q( x) 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
A x
1 1
2
1 3
A x 由第二式和第四式可得 x
取
3 0
2 0
A x 0. x ，结合第一式和第三式得 x
1
1
x
2
1
1 . 3
x0
1 1 , x1 3 3
得
A
1 1
0
A
1
1
于是得到求积公式
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1 1 f x dx f f 3 3
如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程 组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数 值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的 特性着手研究Gauss公式的构造问题 。
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由插值余项
R[ f ]
15
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Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
以n+1次Legendre多项式的零点 xk k 0,1,
, n 为Gauss点的求积公式为
1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中
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系数
x xi Ak dx , 1 i 0 xk xi
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3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区 x x e 间[0， ，取节点xk k 0,1, , n ]，权函数取为 为n+1次拉盖尔多项式
d n 1 n 1 x Ln 1 x e x e n 1 dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 2 1 1 1 2 x I x e dx (t 1) e 1t / 2 dt 0 8 1 2 令 f t 1 t e1t / 2 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有
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当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
1 P x (5 x 2 3 x), 当n=2时，三次Legendre多项式 3 2
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有
1 5 I 8 9 15 8 5 f 0 f 5 9 9 15 f 5 0.718251799
，从而有
b
a
x f x dx
A
k 0
n
k
f xk
由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。
x k
k
0, 1 ,n
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由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。
Tn1 x cos[(n 1) arccosx]
的零点为 xk cos
2k 1 , k 0,1, , n. 2n 2
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
Ak
1
1 1 x
2
1
lk x dx
n 1
, k 0,1, n.
3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有
1次代数精度。 一般地，考虑带权求积公式
其中
为2n+2个待定参数，适当选择这些参
数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。
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定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则 称该公式高斯型求积公式，称 其 节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
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0
e x f x dx Ak f xk
k 0
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n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
其中 lk
x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss18
Chebyshev求积公式如下
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1
1 1 x
2
1
f x dx
f x , n 1
k 0 k