第二十一章_一元二次方程_知识点_九年级上册数学
第二十一章 一元二次方程的复习
一、一元二次方程：
1、只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为
【1】 叫二次项， 叫一次项， 叫常数项；
【2】 叫二次项系数， 叫一次项系
数。
3、使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫一元二次方程的解。
二、解一元二次方程：
【配方法1】
1、对于方程p x =2 （1）当0>p 时，方程有 的实数根：
（2）当0=p 时，方程有 的实数根：
（
3）当0<p 时，方程有 的无实根。
2、解一元二次方程，实质 上是把一元二次方程“将次” 为两个一元一次方程，再解这两个一元一次方程、
3、用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化成p n x =+2
)(的形式，它的一边是一个完全平方
式，另一边是一个常数，当 时，两边开平方便可求出它的根。
4、
0962
=-+）（x 的解为
【配方法2】
1、用配方法届一般形式的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的一般步骤： （1）化：化二次项系数为1————两边同时除
以 ；
（2）移：移项—————————将 移到方程的左边， 项移到方程的右边；
（3）加：方程两边都加
上
；
（4）将原方程变成 的形
式；
（5）判断右边代数式的符号，若 ，可以直接开平方求解；
若 ，原方程无
实数解。
2、填空：
（1）=+-x x x (37632 +2
） 。
（2）=--1442x x .
【公式法】
1、式子： 叫做一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）根的判别式。
常用 表示它，即 ；
2、当0>∆时，方程02=++c bx ax （0≠a ）有 的实数根，其根为
当 0=∆时，方程02=++c bx ax （0≠a ）有 的实数根，其根为
当 0<∆时，方程02=++c bx ax （0≠a ） 实数根.
3、 当 0≥∆时，方程02=++c bx ax （0≠a ）的实数根可以写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，运用 解一元二次方程
的方法叫公式法。
4、用公式法解方程1582--=x x 其中=-ac b 42 1x =
2x =
【因式分解法】
1、解一元二次方程，可以先因式分解，使方程化为两个一次式的 等于0
的形式，再5两个一次式分别 ，从而实
现 ，这种解一元二次方程的方法叫做 。
2、因式分解法解方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为 ；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的 ；
（3）令每一因式分别为 ，得到两
个 ；
（4）解这两个 ，它们的解就是原方程的根。
3、 适用于所有一元二次方程， 在解某些一元二次方程时比较简便。
三、一元二次方程的根与系数的关系
1、若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个根为21,x x ，则21x x += ，
21x x ⋅= .
即 等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 等于常数项与二
次项的系数的比。
2、若一元二次方程的两个根分别为21,x x ，则该一元二次方程可化
为 。
3、若21,x x 是一元二次方程0232
=+-x x 的两根，则21x x +的值是 ，21x x ⋅ 。
4、运用与系数的关系所求待定系数的值必须检验0≥∆。
四、实际问题与一元二次方程
1、列一元二次方程应用题的一般步骤：
【1】审题、【2】设元、【3】列方程、【4】解方程、【5】检验、【6】写答；
2、若百位数字为a ，十位数为b ，个位数字为c ，则这个三位数
为 ；
3、若设共有a 人患病，每轮平均一个人传b 个人，则一轮后传染了 人，共有 人患病，
第二轮
传染了 人，共有 人患病。
4、变化率：基本关系n
x a b )1(±=，其中a 是增长（或降低）的基础量，x 是平均增长（或降低）率，n 是
增长（或降低）的次数，b 是增长（或降低）后的数量。
五、实际问题与一元二次方程
1、解决有关面积问题应掌握以下面积公式：
三角形∆S = 、正方形∆S = 、长方形∆S = 、平行四边∆S =
2、一些不规则图形求面积问题，可以通过 等方法，把不规则图形编程 ，利用规则图形的面积公式列方程求解。
3、若三角形的一边长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边长为 。
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程第1讲_一元二次方程 讲义(无答案)
初中九年级数学上册第1讲：一元二次方程一：思维导图 二：知识点讲解知识点一：一元二次方程的定义及一般形式➢ 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程➢ 一元二次方程的一般形式是()002≠=++a c bx ax ，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系统；c 是常数项 ➢ 构成一元二次方程的三个条件：✧ 是整式方程✧ 只含有一个未知数 ✧ 未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程➢ “0≠a ”是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的重要组成部分。
当0=a ，0≠b 时，它就成为一元一次方程。
若方程02=++c bx ax 未指明0≠a ，则它不一定是一元二次方程例1：下面关于x 的方程：①022=++x ax ；②()()119322=+--x x ；③xx x 1=+；④02=-a x (a 为任意实数)；⑤11-=+x x 。
其中，为一元二次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个知识点二：一元二次方程的根➢ 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
➢ 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根例2：若31-是方程022=+-c x x 的一个根，则c 的值为（ ）A.2-B.234-C.33- D. 31+知识点三：根据实际问题列出一元二次方程➢ 步骤1．正确理解题目的含义2．找出其中的数量关系和等量关系 3．列出一元二次方程例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地面长比宽多2米。
求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
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4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
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5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
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例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(含答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0C 解析：C【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-3a ）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x 1•x 2=a=1．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0，b 2-4ac≥0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 5．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．6．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．8．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 19．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题21．用配方法解方程：22510x x -+=解析：154x =+，254x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=， 即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即154x =254x =-． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．26．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案解析：（1）1417x =，2417x =；（2）16x =，24x =．【分析】（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．【详解】解：（1）2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=417x -=±1417x =，2417x =（2）2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±，16x =，24x =．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为99x x x x+≥⋅ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 解：（1）∵0x >，∴99x x x x+≥⋅又∵296=，∴96x x+≥ ∴9x x +的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
解一元二次方程讲义人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程（二）解一元二次方程知识点一 直接开平方法（直接降次法）解一元二次方程要点1.直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.直接将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程，又称直接降次法.要点2.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： （1）形如关于x 的一元二次方程x 2=p ，可直接开平方求解.①若p ＞0，则p x ±=；表示为p x =1，p x -=2，有两个不相等实数根； ②若p =0，则x =0；表示为x 1=x 2=0，有两个相等的实数根； ③若p ＜0，则方程无实数根．（2）①形如关于x 的一元二次方程(mx +n )2=p (p ≥0，m ≠0)，可直接开平方求解，两根是m p n x +-=1，mp n x --=2.②形如关于x 的一元二次方程(mx +n )2=(px+q )2 (m ≠0，p ≠0)，可直接开平方求解，得到一元一次方程mx +n =px+q ，mx +n =-(px+q ). 要点3.直接开方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为x 2=p 或(mx +n )2=p (p ≥0，m ≠0)的形式； （2）直接开平方化成两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解.课堂练习1.用直接开方法解下列方程：（1）5422=x ； （2）81692=++x x ；（3）12)32(22=-x ； （4）0144)1(2=-+x .知识点二 配方法解一元二次方程要点1.配方法：将一元二次方程配成(x +a )2=b (b ≥0)的完全平方形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.配方法解一元二次方程的理论依据是公式：(a ±b )2=a 2±2ab +b 2，把公式中的a 看作未知数x ，并用x 代替，则有(x ±b )2=x 2±2bx +b 2. 要点2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一般形式；（2）将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； （5）两边直接开平方①若方程右边是一个正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根； ②若方程右边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根； ③若方程右边是一个负数，那么这个方程就没有实数根.课堂练习 1.已知x 2+y 2-2x -4y +5=0，分式yxx y -的值为________.2.如果二次三项式m x x +-82是一个完全平方式，那么m 的值是（ ） A. B.16 C.4 D.-163.一元二次方程0432=--y y 配方后可化为（ ） A.2112y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B.2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C.21324y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D.21324y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.用配方法解方程x 2-4x -20=0时，原方程变形为（ ） A.(x +2)2=24 B.(x -2)2=24 C.(x +4)2=36D.(x -4)2=365.用配方法解一元二次方程x 2-8x +9=0，变形后的结果正确的是（ ） A.(x -4)2=-7B.(x -4)2=25C.(x +4)2=7D.(x -4)2=7 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一移二除三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.6.用配方法解下列方程：（1）x-+xx；832=122=+；（2）0x33（3）043-+xx.22=x；（4）022=2+-x要点3.配方法的应用：（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．（4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．课堂练习1.当x为何值时，代数式2x2-16x+5有最小值，最小值是多少？2.我们知道x2-6x=x2-6x+9-9=(x-3)2-9；-x2+10x=-(x2-10x+25)+25=-(x-5)2+25.这种方法称为配方法，利用配方法解以下各题：（1）按上面材料提示的方法填空：a2-4a= = ；-a2+12a= = .（2）探究：当a取不同的实数时，在得到的代数式a2-4a的值中是否存在最小值？请说明理由.（3）应用：如图，已知线段AB =6，M 是AB 上的一个动点，设AM =x ，以AM 为一边作正方形AMND ，再以MB ，MN 为一组邻边作长方形MBCN.问：当点M 在AB 上运动时，长方形MBCN 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由.知识点三 一元二次方程根的判别式 要点1.ax 2+bx +c =0(a ≠0)的配方： （1）常数项移到右边：c bx ax -=+2（2）二次项系数化为1：ac x a b x -=+2（3）两边都加上一次系数的一半的平方：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a c a b x a b x（4）化为完全平方形式：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 要点2.对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，通过配方可得222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则方程根的情况由b 2-4ac 的符号决定.一般地，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆=b 2-4ac. 要点3.利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： （1）把一元二次方程化为一般形式； （2）确定a ，b ，c 的值； （3）计算b 2-4ac 的值；（4）根据b 2-4ac 的符号判定方程根的情况. ①当∆=b 2-4ac ＞0时，原方程有两个不等的实数根； ②当∆=b 2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根； ③当∆=b 2-4ac ＜0时，原方程没有实数根.课堂练习 1.下列方程中，没有实数根的是（ ）A.x 2-2x =0B.x 2-2x -1=0C.x 2-2x +1=0D.x 2-2x +2=02.一元二次方程x 2-x -2020=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断3.方程(2x +3)(x -1)=1的解的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.有一个实数根4.关于x 的一元二次方程x 2-kx -2=0的根的情况是（ ） A.无法确定B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.y =1 k x +1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2+2x +1=0的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有一个实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根要点4.一元二次方程根的判别式的逆用： 在方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中：（1）若方程有两个不相等的实数根，则∆=b 2-4ac ＞0； （2）若方程有两个相等的实数根，则∆=b 2-4ac=0； （3）若方程没有实数根，则∆=b 2-4ac ＜0.课堂练习1.关于x 的方程ax 2-2x -1=0有实数根，则a 的取值范围是 .2.关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 .3.如果关于x 的一元二次方程kx 2-3x -1=0有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是 .4.已知a ，b ，c 分别为③ABC 中③A ，③B ，③C 的对边，若关于x 的一元二次方程注意：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则b 2-4ac ≥0.注意：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解， 但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.(b +c )x 2-2ax +c -b =0有两个相等的实数根，则③ABC 是 三角形.5.若一元二次方程x 2-2x -m =0无实数根，则一次函数y =(m +1)x +m -1的图象不经过第（ ）象限 A.四 B.三 C.二 D.一6.若关于x 的一元二次方程(k -2)x 2+2x -1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的满足（ ）A.1k >B.1k >且2k ≠C.1k ≤D.1k ≥且2k ≠7.若关于的一元二次方程(k -1)x 2+2x -2=0有不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）A.21>kB.21≥kC.21>k 且1≠kD.21≥k 且1≠k知识点四 公式法解一元二次方程要点1.公式法：当∆≥0时，方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，通过配方可得222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，其实数根可以写为a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式，将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.要点2.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化为一般形式； （2）确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； （3）求出b 2-4ac 的值；（4）①当∆=b 2-4ac ＞0时，原方程有两个不等的实数根a acb b x 242-±-=即a ac b b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=；②当∆=b 2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根abx x 221-==；③当∆=b 2-4ac ＜0时，原方程没有实数根.课堂练习1.用公式法解下列方程：注意：（1）必须将方程的右边化为0； （2）方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.（1）0252=+-x x ； （2）05322=--x x ；（3）03322=+-x x ； （4）2222x x =-.知识点五 因式分解法解一元二次方程要点1.因式分解法：先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.要点2.常用的因式分解法： 要点3.用因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)；（2（3）根据“若两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0”，令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.课堂练习1.用因式分解法解下列方程：（1）0822=-x x ； （2）032=-x x ；提取公因式法公式法十字相乘法平方差公式完全平方公式x 2+bx =0 x (x +b )=0 x =0或x +b =0 x 1=0，x 2=-bx 2-k 2=0 (x +k )(x -k )=0 x +k =0或x -k =0 x 1=-k ，x 2=kx 2+2bx +b 2=0 (x+b )2=0 x +b =0 x 1=x 2=-bx 2-2bx +b 2=0 (x -b )2=0 x -b =0 x 1=x 2=bx 2-(p +q )x +pq =0 (x -p )(x -q )=0x -p =0或x -q =0 x 1=p ，x 2=q（3）04)3(2=-+x ； （4）0942=-x .（5）)12(3)12(-=-x x x ； （6）)3)(1()3(5-+=-x x x x .（7）0542=-+x x ； （8）0232=+-x x .2.已知：关于x 的方程x 2-4mx +4m 2-1=0. （1）不解方程，判断方程的根的情况.（2）若③ABC 为等腰三角形，BC =5，另外两条边的长度是方程的根，求此三角形的周长.3.已知③ABC 的一条边BC 的长为5，另两边AB ，AC 的长分别为关于x 的一元二次方程x 2-(2k +3)x +k 2+3k +2=0的两个实数根.（1）试说明：无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）当k =2时，请判断③ABC 的形状并说明理由.知识点六 选择合适的方法解一元二次方程方法 理论依据 适用范围直接降次法 平方根的意义形如x 2=p 或(mx +n )2=p (p ≥0，m ≠0)的一元二次方程 配方法 完全平方公式所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程因式分解法若ab =0，则a =0或b =0一边为0，另外一边易于分解成两个一次因式的积的形式的一元二次方程课堂练习1.用适当的方法解下列方程：（1）125)1(52=-x ； （2）0242=-+x x ；（3）)1(212+=-x x ； （4）0152=--x x .注意：（1）在没有规定解法时,解一元二次方程可以按下列次序选择解法:直接降次法→因式分解法→公式法→配方法. （2）如果二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法比较简单,否则,因其步骤较为烦琐,一般不用配方法.知识点七 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 要点1.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与系数的关系：当∆≥0时，一元二次方程的两个实数根是：a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=由此可得：aba b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221a c a ac b b a ac b b a ac b b x x =---=---⋅-+-=2)4()(24242222221那么a b x x -=+21，acx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比. 要点2.一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；课堂练习1.已知关于x 的方程x 2-3x +a =0有一个根为1，则方程的另一个根为 .2.已知方程4x 2-mx +6＝0的一个根为2，则另一个根为 ，m 的值为 .3.一元二次方程x 2+px -2=0的一个根为2，则p 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-24.若31-是方程x 2-2x +c =0的一个根，则c 的值为（ ） A.-2 B.234- C.33 D.13（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①； ②；③； ④；⑤； ⑥；⑦；⑧； ⑨．课堂练习1.已知a ，b 是一元二次方程x 2-2x -3=0的两个根，则a +b 的值是（ ） A.2 B.-2 C.3 D.-32.已知方程x 2-2x -3=0的两个实数根为a 、b ，则代数式a +b -ab 的值为（ ） A.-5 B.5 C.-1 D.13.已知方程x 2+5x +1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22= .4.若a ，b 是一元二次方程3x 2+2x -9=0的两根，则abb a +的值是 .5.设a 、b 是方程x 2+2013x -2=0的两根，则(a 2+2016a -1)(b 2+2016b -1)= .6.已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+k -1=0有实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12＋x 22=11，求k 的值.222121212()2x x x x x x +=+-2212121212()x x x x x x x x +=+12121211x x x x x x ++=2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+7.关于x 的一元二次方程x 2+2(k -1)x +k 2+1=2有实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足(x 1-2)(x 2-2)=11，求k 的值．8.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2-2=0. （1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且(x 1-x 2)2+m 2=21，求m 的值.9.在关于x 的一元二次方程x 2-bx +c =0中，x 1，x 2是方程的两个根. （1）若b =2时，方程有实数根，求c 的取值范围. （2）若m 是此方程的一个实数根，c =1，b －m =2，求2111x x 的值.（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2-(x 1+x 2)x +x 1x 2=0.1.以-3和7为根且二次项系数为2的一元二次方程是 . （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则 ①当∆≥0且x 1x 2＞0时，两根同号．当∆≥0且x 1x 2＞0，x 1+x 2＞0时，两根同为正数； 当∆≥0且x 1x 2＞0，x 1+x 2＜0时，两根同为负数． ②当∆＞0且x 1x 2＜0时，两根异号．当∆＞0且x 1x 2＜0，x 1+x 2＞0时，两根异号且正根的绝对值较大； 当∆＞0且x 1x 2＜0，x 1+x 2＜0时，两根异号且负根的绝对值较大．1..关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1，x2. （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|=x 1⋅x 2求k 的值.课后练习一 1.用直接开平方法解下列方程：（1）0981212=-x ； （2）423222+-=+x x ；（3）06)2(212=-+x ； （4）22)25()4(x x -=-；注意：利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；2.用配方法解下列方程：（1）01322=+-x x ； （2）02532=--x x ；（3）0231322=-+x x ； （4）3)32(=-x x ；（5）15262-=-x x x ； （6）16)6)(32(=-+x x ；3.用公式法解下列方程：（1）0222=-+x x ； （2）x x x -=+3)2(2；（3）221788x x x =+-； （4）04122=--x x ；4.用因式分解法解下列方程：（1）07522=--x x ； （2）22)12(+=x x ；（3）6)3)(1(21=+-x x ； （4）0)2(242=---x x ；5.用适当的方法解下列方程：（1）5.4)1(22=+x ； （2）0142=-+x x ；（3）x x 532=； （4）02342=-+x x ；（5）22)12()1(-=+x x ； （6）x x x 24)2(3-=-；6.已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x 2-5x +6=0的一个根，则这个三角形的周长是 。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识归纳(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识归纳单选题1、某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．(20+x)(100−2x)=1800B．(20+x)(100−2x)=18000.5×2)=1800D．x[100−2(x−20)]=1800C．x(100−x−200.5答案：C分析：根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;×2）kg，依题意得：解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（100−x−200.5依题意得：x(100−x−20×2)=18000.5故选:C小提示：此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程2、有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm2．设切去的正方形的边长为x cm，可列方程为（）A．4x2=800B．50×30−4x2=800C．(50−x)(30−x)=800D．(50−2x)(30−2x)=800答案：D分析：根据题意求得底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，即可求解．设切去的正方形的边长为x cm，则底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，则(50−2x)(30−2x)=800故选：D小提示：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．4、已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A．2B．-1C．−12D．-2答案：D分析：根据一元二次方程的根与系数的关系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中计算即可．解：根据根与系数的关系得，x1+x2=4，x1·x2=-2∴1x1+1x2=x1+x2x1•x2=4−2=-2．故选D ．小提示：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．5、用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A．(x+1)2=3B．(x+1)2=6C．(x−1)2=3D．(x−1)2=6答案：C分析：方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．小提示：本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．6、已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）A．4或5B．3C．√41D．3或√41答案：D分析：先利用因式分解法解得x1=4，x2=5，然后分类讨论：当两直角边分别为4和5或斜边为5，再利用勾股定理计算出第三边．解：解方程x2−9x+20=0得x1=4，x2=5，当两直角边分别为4和5，则第三边的长=√42+52=√41，当斜边为5，第三边的长=√52−42=3，所以此三角形的第三边长为3或√41．故选：D ．小提示：本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 7、一元二次方程x 2−25=0的解为（ ）A ．x 1=x 2=5B ．x 1=5，x 2=−5C ．x 1=x 2=−5D ．x 1=x 2=25 答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可． 解：x 2−25=0， 移项得：x 2=25，开平方得：x 1=5，x 2=﹣5， 故选B ．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法． 8、关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( ) A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝3 答案：D分析：利用因式分解法求解可得． 解：∵x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0， 解得x ＝5或x ＝3， 故选：D ．小提示：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9、用配方法解一元二次方程3x 2+6x −1=0时，将它化为(x +a )2=b 的形式，则a +b 的值为（ ） A ．103B ．73C ．2D ．43 答案：B分析：将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．解：∵3x2+6x−1=0，∴3x2+6x=1，x2+2x=13，则x2+2x+1=13+1，即(x+1)2=43，∴a=1，b=43，∴a+b=73．故选：B．小提示：本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．10、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2−x+14=0B．x2+2x+4=0C．x2-x+2=0D．x2-2x=0答案：D分析：逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．A.此方程判别式Δ=(−1)2−4×1×14=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意;B.此方程判别式Δ=22−4×1×4=−12<0,方程没有实数根，不符合题意;C.此方程判别式Δ=(−1)2−4×1×2=−7<0，方程没有实数根，不符合题意;D .此方程判别式Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意;所以答案是： D.小提示：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．填空题11、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x 1=0,x 2=−1,x 3=1. 所以答案是：x 1=0,x 2=−1,x 3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.12、在解一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0时，小明看错了系数p ，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q ，解得方程的根为4和﹣2，则p ＝________，q ＝________． 答案： ﹣2 ﹣3分析：由小明看错了系数p 知常数项q 无误，根据所得两根之积可得q 的值；由小红看错了系数q 知一次项系数p 无误，根据所得两根之和可得p 和q 的值． 解：∵小明看错了系数p ，解得方程的根为1和−3， ∴q =1×(﹣3)=﹣3，∵小红看错了系数q ，解得方程的根为4和−2， ∴−p =4−2=2， ∴p =−2，所以答案是：﹣2；﹣3．小提示：本题主要考查根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝﹣ba，x 1•x 2＝ca ，解题关键熟记根与系数的关系．13、从前有一人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43m ，竖着比城门高23m ，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个人试了试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？设竹竿的长为x m ，请列出符合条件的方程______（要求化为一般式）． 答案：x 2−4x +209=0分析：用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可． 解：设竹竿的长为x 米．由题意得： (x −23)2+(x −43)2=x 2 ， 化简得：x 2−4x +209=0所以答案是：x2−4x+20=09小提示：本题考查一元二次方程的应用，得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．14、方程3x2−8x+1=0的一次项系数是______．答案：-8分析：根据一元二次方程的一般形式解答．解：方程3x2−8x+1=0的一次项是−8x，其系数是−8．故答案是：−8．小提示：本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．15、已知一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．答案：20分析：求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：x2−14x+48=(x−6)(x−8)=0，则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为√32+42=5，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20小提示：本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．解答题16、解方程：(1)(x+8)2=36；(2)x(5x+4)-(4+5x)=0；(3)x2+3=3(x+1)；(4)2x2-x-6=0．答案：(1)x1=-2,x2=-14(2)x1=1,x2=-45(3)x1=0,x2=3(4)x1=2,x2=-32分析：（1）利用直接开平方法求解；（2）利用因式分解法进行计算即可；（3）整理后，利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解．（1）解：(x+8)2=36，∴x+8=±6，解得：x1=-2,x2=-14；（2）解：x(5x+4)-(4+5x)=0(x-1)(5x+4)=0，∴x-1=0,5x+4=0，；解得：x1=1,x2=-45（3）解：x2+3=3(x+1)∴x2-3x=0，即x(x-3)=0，∴x=0,x-3=0，解得：x1=0,x2=3；（4）解：2x2-x-6=0，∵a=2,b=-1,c=-6，∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49，∴x=1±√492×2=1±74，解得：x1=2,x2=-32．小提示：本题考查了解一元二次方程——因式分解法和公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17、阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为12n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问：(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？答案：(1)6(2)错误，理由见解析分析：（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解；（2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可．（1）设这个多边形的边数是n，则12n（n－3）＝9，解得n＝6或n＝－3（舍去）．∴这个多边形的边数是6；（2）小明同学的说法是不正确的，理由如下：由题可得12n（n－3）＝10，解得n＝3±√892，∴符合方程的正整数n不存在，∴n边形不可能有10条对角线，故小明的说法不正确．小提示：本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键．18、已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．答案：（1）k≤−1；（2）k=−√6分析：（1）根据方程的系数结合Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ=(−2)2−4(k+2)⩾0解得k≤−1；（2）由一元二次方程根与系数关系，x1+x2=2,x1x2=k+2∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2即(k+2)(k−2)=2，解得k=±√6．又由（1）知：k≤−1，∴k=−√6．小提示：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合1x1+1x2=k−2，找出关于k的方程．。
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点第 21 章一元二次方程。
1. 一元二次方程的概念。
形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中ax^2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 一元二次方程的一般形式。
一般形式为ax^2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，a≠0）3. 一元二次方程的解法。
- 直接开平方法：适用于形如(x + m)^2 = n（n≥0）的方程。
- 配方法：通过配方将方程化为完全平方式，再求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，前提是b^2 - 4ac≥0。
- 因式分解法：将方程化为两个因式乘积等于 0 的形式，从而求解。
4. 一元二次方程根的判别式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），Δ = b^2 - 4ac- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x_1、x_2，则有x_1 + x_2 = -(b)/(a)，x_1x_2 = (c)/(a)第 22 章二次函数。
1. 二次函数的概念。
形如y = ax^2 + bx + c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图象和性质。
- 图象是一条抛物线。
- 当a > 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。
2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。
0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。
4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
九级上册数学知识点总结
九级上册数学知识点总结Let's learn positive psychology to make our life happier.九年级上册数学知识点总结归纳2第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0a≠0.注意：判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式.知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如x+a2=b b≥0的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法.X+a=±b∴1x=-a+b2x=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0k≠0的一般步骤是：①化为一般形式；②移项,将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为x+a2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=b2－4ac≥0.步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a,b,c的值；③求出b2－4ac的值,当b2－4ac≥0时代入求根公式.4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0,则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法.5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0．因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值；②若b2－4ac＜0,则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2x＋42 =3x＋4中,不能随便约去x＋4.⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6．一元二次方程解的情况⑴b2－4ac≥0⇔方程有两个不相等的实数根；⑵b2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；⑶b2－4ac≤0⇔方程没有实数根.解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2－4ac解题.主要用于求方程中未知系数的值或取值范围.知识点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2＋bx+c=0a ≠0来说,x1 +x2 =—a b ,x1●x2= a c.利用韦达定理可以求一些代数式的值式子变形,如2122122212)(x x x x x x-+=+21212111x x x x x x +=+.解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理. 知识点4：一元二次方程的应用 一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； ⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长降低两次得到新数据,常见的等量关系是a1±x2=b,其中a 表示增长降低前的数据,x 表示增长率降低率,b 表示后来的数据.注意：所得解中,增长率不为负,降低率不超过1.⑶ 经济利润问题：总利润=单件销售额－单件成本×销售数量；或者,总利润=总销售额－总成本.⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程.2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性． 一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题单循环问题4、贺卡问题双循环问题5、围栏问题6、几何图形道路、做水箱7、增长率、降价率问题8、利润问题注意减少库存、让顾客受惠等字样9、数字问题10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2=++a b cy ax bx ca≠的函数,，，是常数,0叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数,右边是自变量x的二次式,x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.2y ax c=+的性质： 上加下减.3.()2y a x h =-的性质：左加右减.4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左 右 ,上 下 ”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y axbx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式两点式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. x 轴对称 2y axbx c =++x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. y 轴对称 2y axbx c =++y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 原点对称 2y axbx c =++原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 点()m n ，对称()2y a x h k=-+点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ① 当240bac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <．2. 抛物线2y axbx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本身就是所含ax bx c a字母x的二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)2(x-2)2y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2-322．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3,4,6两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式.4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线2y axbx c =++a ≠0与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－错误!1确定抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题. 例题经典由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数2y axbx c =++的图像如图1,则点),(ac b M 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图2所示,•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1 2点评弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点-2,O 、x 1,0,且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点O,2的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3 B.2,1 C2,3 D ．3,2例4、如图单位：m,等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合．设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．1写出y 与x 的关系式； 2当x=2,时,y 分别是多少 3当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52．1用配方法求它的顶点坐标和对称轴．2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长．点评本题1是对二次函数的“基本方法”的考查,第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6.已知：二次函数y=ax 2-b+1x-3a 的图象经过点P4,10,交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点)(21x x ,交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB ．1求二次函数的解析式；2在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠A CO 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在,请你说明理由．1的图象经过点Ac,－2,例7、“已知函数c+=2y+xbx求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.1根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由.2请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.点评：对于第1小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点Ac,－2”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式.对于第2小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.用二次函数解决最值问题例1 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y 件之间的关系如下表：x元1523…y件2521…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元点评解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点：1设未知数在“当某某为何值时,什么最大或最小、最省”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；2•问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程．例2.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2、性质1对应点到旋转中心的距离相等.2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2、性质1中心对称的两个图形是全等形.2中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.3中心对称的两个图形,对应线段平行或在同一直线上且相等.3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形这一点对称.4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心.考点五、坐标系中对称点的特征 3分1、原点对称的点的特征两个点原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点Px,y原点的对称点为P’-x,-y2、x轴对称的点的特征两个点x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点Px,yx轴的对称点为P’x,-y3、y轴对称的点的特征两个点y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点Px,yy轴的对称点为P’-x,y第二十四章圆一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线. 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C在圆内；A2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1⇒无交点⇒d R r>+；外切图2⇒有一个交点⇒d R r=+；相交图3⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切图4⇒有一个交点⇒d R r=-；内含图5⇒无交点⇒d R r<-；图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角.圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角. 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA外端∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.BAO推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅DBA3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图. 即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦. 如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：12Rt O O C ∆中,221ABCO ==2外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 .十四、圆内正多边形的计算。
人教版初中九年级数学上册知识点总结
2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=-+≠九年级上册数学知识点总结（精华）第二十一章 一元二次方程1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）3、运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为q p x =+2)（的形式，如果q ≥0，方程的根是q p x ±-=；如果q ＜0,方程无实根． 5、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，•x=242b b ac a -±-叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．6、一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则有下列性质：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根：21,242b b ac x a-±-=． ②0∆=⇔方程有两个相等的实数根：122b x x a==-． ③0∆<⇔方程没有实数根．7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有a b x x -=+21，a c x x =∙21（注意：运用根与系数的关系的前提是b 2-4ac ≥0）第二十二章 二次函数1.二次函数：一般地，函数y 和x 自变量之间存在如下关系：一般式： y=ax 2 +bx+c(a≠0)（a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
2.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 ： 对称轴：ab x 2-=， 顶点坐标：24(,)24b ac b a a --， 与y 轴交点坐标（0，c ）（2）顶点式 ： 2()y a x h k =-+ ，对称轴：h x =，顶点：),k h （（3）交点式（或双根式）： 12()()y a x x x x =--，其中抛物线与x 轴的交点是（1x ，0）与（2x ，0） 对称轴：221x x x += 3、增减性：当a>0时，对称轴左侧，y 随x 增大而减小；对称轴右侧，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左侧，y 随x 增大而增大；对称轴右侧，y 随x 增大而减小4、勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点5、.图像平移步骤（1）配方 2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）（2）对x 轴 左加右减（括号内）；对y 轴 上加下减（括号外）6、二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为1x 、2x 其对应的纵坐标相等，那么对称轴122x x x += 7.根据图像判断a,b,c 的符号（1）a ——确定图像的形状和开口方向（2）b ——与a 共同决定对称轴 ：左同右异，当b=0时对称轴是y 轴（3）c ——图像与y 轴交于（0，c)，即c 决定图像与y 轴的交点的位置8.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标1x 、2x 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。