高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修2-1
[探究共研型] 椭圆的离心率
探究 1 已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 分别是其在 x 轴正半轴和 y 轴正半 轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且 PF⊥x 轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心 率？
【提示】 如图，设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
∵OP∥AB，
∴△PFO∽△BOA，
1．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 有相同的长轴，椭圆ax22＋
by22＝1(a＞b＞0)的短轴长与2y12 ＋x92＝1 的短轴长相等，则(
)
A．a2＝15，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9 或 a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
焦点的位置 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程 范围
ax22＋by22＝1(a＞b＞0) __－__a_≤_x_≤_a_且___－__b_≤_y_≤_b___
____ay_22_＋__bx_22＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)_ _－__b_≤_x_≤_b_且__－__a_≤_y_≤_a_____
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝b2＋c2 求出 焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c， 而应是 a，b，c 的两倍．
由几何性质求椭圆的方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率 e＝ 36； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8．
∴ac＝mb ，
①
又 P(－c，m)在椭圆上，
∴ac22＋mb22＝1．
②
将①代入②，得2ac22＝1，
即 e2＝12，∴e＝ 22．
求 e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下： (1)若已知 a，c 可直接代入 e＝ac求得； (2)若已知 a，b，则使用 e＝ 1－ba22求解； (3)若已知 b，c，则求 a，再利用(1)或(2)求解； (4)若已知 a，b，c 的关系，可转化为关于离心率 e 的方程(不等式)求值(范 围)．
阶
阶
段
段
一
三
2．2．2 椭圆的简单几何性质
第 1 课时 椭圆的简单几何性质
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中 a、b、c 的几何意义．(重 点)
2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点)
[基础·初探]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教材整理 1 椭圆的简单几何性质
阅读教材 P40～P45“思考”以上部分，完成下列问题．
|F1F2|＝___2_c____ 对称轴为__坐__标__轴__，对称中心为__原__点____
教材整理 2 离心率 阅读教材 P45“思考”以下部分，完成下列问题． 1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比___e_＝__ac__，叫做椭圆的_离__心__率___．
2．性质：离心率 e 的范围是__(0_，__1_)__．当 e 越接近于 1 时，椭圆__越__扁____； 当 e 越接近于____0____时，椭圆就越接近于圆．
【精彩点拨】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量 a、b、c 分别为多少？ 怎样求出？
1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法． 2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先 明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出 a2，b2 的值；②确定焦点所 在的坐标轴；③写出标准方程． 3．在求解 a2、b2 时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式 a2＝b2 ＋c2，e＝ac等构造方程(组)加以求解．
[小组合作型] 根据椭圆的方程研究其几何性质
若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，一个焦点
的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为( )
A．x92＋1y62 ＝1
B．2x52 ＋1y62 ＝1
C．1x62 ＋2y52 ＝1
D．1x62 ＋y92＝1
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再 确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0， A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－
－b)，B2(0，b)
b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝______2_b_______，长轴长＝_____2_a_________
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 对称性
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高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
心一定是原点吗？ y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修1-1
阅读教材 P37 观察～P40 例 4 以上部分，完成下列问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
焦点的位置 标准 方程 范围
顶点
轴长 焦点 焦距 对称性
离心率
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的长轴长等于 a.(
)
(2)椭圆1x22 ＋y42＝1 与1y22 ＋x42＝1 有相同的离心率．(
)
(3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a－c.( )
(4)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
椭圆的简单几何性质
阶
阶
段
段
一
三
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第 1 课时 椭圆的简单几何性质
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 2．掌握椭圆离心率的求法及 a，b，c 的几何意义．(难点) 3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易 混点)
[基础·初探] 教材整理 椭圆的简单几何性质
(2)由 e＝ac得 e2＝ac22＝a2－a2 b2，
∴e＝ ∴e＝
1－ba2. 1－ba22.
求椭圆离心率或其范围的常用方法 1．定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定 a2，b2，求出 a，c 的值，利用公式 e＝ac直接求解． 2．转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立 a，b，c 满足的关系式， 化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次 幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围．
2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质课件新人教A版
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
[解] (1)由已知，a＝ 2b，则椭圆 E 的方程为2xb22＋by22＝1.
由方程组2xb22＋by22＝1， 得 y＝－x＋3，
3x2－12x＋(18－2b2)＝0.① 方程①的判别式为 Δ＝24(b2－3)，由 Δ＝0，得 b2＝3， 此时方程①的解为 x＝2， 所以椭圆 E 的方程为x62＋y32＝1， 点 T 的坐标为(2,1)．
由方程组x62＋y32＝1， y＝12x＋m，
可得 3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
方程②的判别式为
Δ＝16(9－2m2)，由
Δ>0，解得－3
2
23 <m<
2
2 .
由②得 x1＋x2＝－43m，x1x2＝4m23－12.
所以|PA|＝ 2－23m－x12＋1＋23m－y12 ＝ 252－23m－x1， 同理|PB|＝ 252－23m－x2.
)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a－c.( )
(3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
2．做一做 (1)(教材改编 P46 例 4)椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依 次是( ) A．5,3，45 B．10,6，45 C．5,3，35 D．10,6，35 (2)椭圆 x2＋9y2＝36 的短轴的端点为________． (3)设 P(m，n)是椭圆2x52 ＋y92＝1 上任意一点，则 m 的取值范围是________．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
A.
3 3 2 2 B. C. D. 2 4 2 3
2
解析:化为标准形式 x + 则 �����2
1 4
= 1, =
3 . 2
1 2 , ������ 4
=
3 ������ , 故e= 4 ������
【做一做3】 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离 心率为( )
3.弦长公式 剖析:设直线方程为 y=kx+m(k∈R,且
������2 ������
2
= 1(������ > ������ >
������2 0)或 2 ������
+
������2 ������
2
������2 k≠0),椭圆方程为 2 ������
+
= 1(������ > ������ > 0),
=
1 + ������ 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ,
或者|AB|= = =
(������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
2
������1 -������ ������2 -������ ������ ������
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
(������1 -������2 )2 + (������������1 + ������-������������2 -������)2 = (������1 -������2 )2 · (1 + ������ 2 ) = 1 + ������ 2 · |x1-x2|
课时1 椭圆的简单几何性质+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体
上把握曲线的形状、大小和位置
1.范围
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、
最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
由椭圆的标准方程
+
= > > 可知，椭圆上任意一点的坐标
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
复习导入
问题1 椭圆的定义是什么?
平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于||）的点的轨
迹叫做椭圆
+ = ( > )
叫作椭圆的离心率．
因为 > > ，所以 < < ．
注：因为
=
+
，所以
=
=
( ) =
−
=
−
越接近，越接近， = − 越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
.
知识梳理
焦点的位置
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
3.对称轴与对称中心
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
高中数学第二章圆锥曲线与方程21椭圆212第1课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修1
复习课件
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质课件新 人教A版选修1
2021/4/17
高中数学第二章圆锥曲线与方程21椭圆212第1课时椭圆的简单几
1
何性质课件新人教A版选修1
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭 圆 2．1.2 椭圆的简单几何性质 第 1 课时 椭圆的简单几何性质
解：因为 a＝9，ac＝12，所以 c＝92， 所以 b2＝a2－c2＝81－922＝2443， 所以椭圆的方程为8x12＋244y32 ＝1.
归纳升华 利用性质求椭圆方程的方法与步骤
1．方法：利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采 用待定系数法．
2．步骤：(1)确定焦点位置；(2)根据已知条件构造关 于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
c＝2m3.所以椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3 离心率 e＝ac＝21m＝ 23.
m
类型 2 利用几何性质求椭圆的标准方程(互动探究) [典例 2] 中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求此椭圆的方程． 解：由已知得 2a＝18，2c＝6，所以 a＝9，c＝3， 从而 b2＝a2－c2＝72，又焦点在 x 轴上， 所以所求椭圆的方程为8x12＋7y22 ＝1.
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：(0，0)
焦点 焦距
顶点
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c
A1(－a，0)，A2(a，0)；A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质课件新 人教A版选修1
2021/4/17
高中数学第二章圆锥曲线与方程21椭圆212第1课时椭圆的简单几
1
何性质课件新人教A版选修1
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭 圆 2．1.2 椭圆的简单几何性质 第 1 课时 椭圆的简单几何性质
解：因为 a＝9，ac＝12，所以 c＝92， 所以 b2＝a2－c2＝81－922＝2443， 所以椭圆的方程为8x12＋244y32 ＝1.
归纳升华 利用性质求椭圆方程的方法与步骤
1．方法：利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采 用待定系数法．
2．步骤：(1)确定焦点位置；(2)根据已知条件构造关 于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
c＝2m3.所以椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3 离心率 e＝ac＝21m＝ 23.
m
类型 2 利用几何性质求椭圆的标准方程(互动探究) [典例 2] 中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求此椭圆的方程． 解：由已知得 2a＝18，2c＝6，所以 a＝9，c＝3， 从而 b2＝a2－c2＝72，又焦点在 x 轴上， 所以所求椭圆的方程为8x12＋7y22 ＝1.
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：(0，0)
焦点 焦距
顶点
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c
A1(－a，0)，A2(a，0)；A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
A．5,3,0．8
B．10,6,0．8
C．5,3,0．6
D．10,6,0．6
B [椭圆方程可化为x92＋2y52 ＝1，则 a＝5，b＝3，c＝ 25－9＝4，
e＝ac＝45，故选 B．]
3．已知椭圆10x－2 m＋m－y2 2＝1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，则
m 等于( ) A．8 C．5
1．椭圆 6x2＋y2＝6 的长轴的端点坐标是( ) A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－ 6，0)，( 6，0) D．(0，－ 6)，(0， 6) D [椭圆方程可化为 x2＋y62＝1，则长轴的端点坐标为(0，± 6)．]
2．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解]
(1)由椭圆C1：
x2 100
＋
y2 64
＝1可得其长半轴长为10，短半轴
(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定
系数法求解．
法二：设与椭圆
x2 12
＋
y2 6
＝1有相同离心率的椭圆方程为
x2 12
＋
y2 6
＝
k1(k1>0)或1y22 ＋x62＝k2(k2>0)．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝ac＝ 36，∴c＝ 6， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3． ∴椭圆的方程为x92＋y32＝1． 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－a92＝ 36，解得a2＝27．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修
解:(2)方程可化为 x2 + y2 =1(m>0), mm m3
所以 a= m ,b= m ,c2= m2 2m .m3 Nhomakorabeam3
又 e= 3 ,则 3 = m2 2m ,所以 m=1,从而 a=1,b= 1 ,c= 3 .
2 4 m(m 3)
22
所以椭圆的长轴长 2a=2,短轴长 2b=1,
焦点坐标 F1(- 3 ,0),F2( 3 ,0).
2
4
5.一个顶点为(0,2),离心率 e= 1 ,坐标轴为对称轴的椭圆方程为
.
2
解析:(1)当椭圆焦点在 x 轴上时,由已知得 b=2,e= c = 1 ,所以 a2= 16 ,b2=4,
a2
3
所以方程为 3x2 + y 2 =1. 16 4
(2)当椭圆焦点在 y 轴上时,由已知得 a=2,e= c = 1 ,所以 a2=4,b2=3,所以方 a2
纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看:椭圆位于直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看:利用方程研究,易知 y 2 =1- x2 ≥0,故 x2 ≤1,即-a≤x≤a;
b2
a2
a2
x2 =1- y 2 ≥0,故 y 2 ≤1,即-b≤y≤b.
a2
b2
b2
2.对称性 在椭圆的标准方程 x2 + y 2 =1(a>b>0)中以-y 代 y,方程并不改变,这说明当点
a
22
故 2 m = 1 ,所以 m= 3 .
24
2
故选 B.
2.椭圆 x2 + y 2 =1 的焦距为 2,则 m 的值为( C )
所以 a= m ,b= m ,c2= m2 2m .m3 Nhomakorabeam3
又 e= 3 ,则 3 = m2 2m ,所以 m=1,从而 a=1,b= 1 ,c= 3 .
2 4 m(m 3)
22
所以椭圆的长轴长 2a=2,短轴长 2b=1,
焦点坐标 F1(- 3 ,0),F2( 3 ,0).
2
4
5.一个顶点为(0,2),离心率 e= 1 ,坐标轴为对称轴的椭圆方程为
.
2
解析:(1)当椭圆焦点在 x 轴上时,由已知得 b=2,e= c = 1 ,所以 a2= 16 ,b2=4,
a2
3
所以方程为 3x2 + y 2 =1. 16 4
(2)当椭圆焦点在 y 轴上时,由已知得 a=2,e= c = 1 ,所以 a2=4,b2=3,所以方 a2
纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看:椭圆位于直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看:利用方程研究,易知 y 2 =1- x2 ≥0,故 x2 ≤1,即-a≤x≤a;
b2
a2
a2
x2 =1- y 2 ≥0,故 y 2 ≤1,即-b≤y≤b.
a2
b2
b2
2.对称性 在椭圆的标准方程 x2 + y 2 =1(a>b>0)中以-y 代 y,方程并不改变,这说明当点
a
22
故 2 m = 1 ,所以 m= 3 .
24
2
故选 B.
2.椭圆 x2 + y 2 =1 的焦距为 2,则 m 的值为( C )
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修1_1
λa2λ－a2λb2＝
a2－b2 a.
故选 C．
3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8
＝0 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0)
B．(－4，0)
C．(－10，0)
【解】 (1)由 2b＝2 5，e＝ac＝23，得 b2＝5，a2－a2 b2＝49，a2 ＝9.当焦点在 x 轴上时， 所求椭圆的标准方程为x92＋y52＝1； 当焦点在 y 轴上时， 所求椭圆的标准方程为y92＋x52＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x92＋y52＝1 或y92＋x52＝1.
焦点在 x 轴上
图形
焦点在 y 轴上
标准方程
_xa_22＋__b_y22_＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)_
__ay_22＋__xb__22＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
范围 顶点
－__a_≤__x_≤ ___a_且__－__b__≤__y___ _－__b_≤__x_≤___b_且__－__a_≤ ___y
所以椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6，2c＝2 5，焦点坐标
为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，
顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，
B2(0，2)，离心率e源自ac＝5 3.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出 a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． [注意] 长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b， c 的两倍．
②对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)， (8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝35.
椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3、顶点
问题3:已知椭圆方程为
，F1，F2是两个焦点，下列各点的坐标
(1)F1
; F2
.
(2)A1
; A2
.
(3)B1
; B2
.
3、顶点
长轴
线段A1A2，长轴长: |A1A2|=2a
短轴
线段B1B2，短轴长: |B1B2|=2b
追问：现在你能说说a,b,c的几何意义吗？
a
椭圆的长半轴长
b
椭圆的短半轴长
研究他们的几何性质.
1、范围
问题1：观察可得，椭圆上的点都在一个特定的矩形内．为确定其具
体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究：
x2 y2
由方程 2 2 1(a b 0)可知，
a
b
x2 y2
x2
1 2 2 0， ∴ 2 1，
a
b
a
-a ≤ x ≤ a； -b ≤ y ≤ b
c
椭圆的半焦距长
①焦点必在长轴上.
②椭圆上点到焦点的最短距离是 a-c ,最长距离是 a+c .
4、离心率
问题4.根据前面所学有关知识画出下列图形
2
x2 y2
1
（2）
25 4 y
2
x
y
1
（1）
25 16
y
A1
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
B2
A1
A2
1 2 3 4 5
a
a
说明： (1) 离心率的取值范围：因为a > c > 0，所以0 < e < 1.