人教版中考数学专题课件：等腰三角形
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2024年九年级数学中考专题：二次函数等腰三角形存在性问题 两圆一线课件
C
二、两圆一线画法
尺规作图
二、两圆一线画法（尺规作图）
1、探究实验：以线段AB为边做一个等腰三角形？ 2、作图：如图，在平面直角坐标系找一点P，使得ΔABP为
等腰三角形，则满足要求的点P 有几个？
三、例题解析
二次函数等腰三角形存在性问题 -----两圆一线
三、例题解析
如图,抛物线与x轴交于A. B两点,与y轴交C点,点A的坐标 为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=−0.5 (1)求抛物线的解析式； (2)M是坐标轴上任意一点，当△MBC为等腰三角形时， 求M圆一线
目录
CONTENTS
一、等腰三角形 二、两圆一线画法 三、例题解析 四、方法归纳
一、等腰三角形
一、等腰三角形
等腰三角形 定义：
有两条边相等的三角形为等腰三角 形，相等的两条边叫做腰
如图：ΔABC,AB=AC, 则ΔABC为等腰三角形
A
B
做题技巧
1、做题工具： 圆规，直尺
2、做题方法： 两圆一线
3、做题思想： 数形结合，分 类讨论
谢谢
轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件 的所有点P的坐标
2.如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交 于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
四、方法归纳
四、方法归纳
2、分类讨论
4、写结果
1、先作图
3、计算点的坐标
五、学以致用
五、学以致用
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点 （A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，4.5） （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称
等腰三角形ppt课件
新课讲授
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言： ∵∠A=60°，AB=AC， ∴ AB=BC=AC （或△ABC是等边三角形）.
例题讲解
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
新知探究 你能说出“等腰三角形的两个底角相等”这个定理条 件和结论吗？请写出它的逆命题。
逆命题:有两个角相等 的三角形是等腰三角形
这个命题是真命题么？你能证明么？
新知探究
活动探究：画△ABC，使∠B＝∠C, 量一量，线段AB与AC的长度.
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
新课讲授
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，
证明 ： ∵ AB=AC，
性质定理
∴ ∠B=∠C（等边对等角）.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴ ∠ADE=∠AED，
∴△ADE为等腰三角形（等角对等边）.
判定定理
例题讲解
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
类比探究
等腰三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有两条边相等的三角形是
等腰三角形(定义). 方法二: 从角看
有两个角相等的三角形是 等腰三角形.
等边三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有三条边相等的三角形是
等边三角形(定义). 方法二: 从角看
有三个角相等的三角形是 等边三角形.
新课讲授，
课件《等腰三角形》优质PPT课件_人教版1
∴BF=CF（三线合一）
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
射线AB的像是射线AC 射线AC的像是射线 AB
∴BF=CF（三线合一）
C BD F E
分析 :
∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
• 抓住图形对称性,巧 从而AD是底边ＢＣ上的 高 ，
为______ __。 由于射线ＤB的像是射线ＤC 射线ＤC的像 ⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
2.3 等腰三角形
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶
腰
角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
想一想:
等腰三角形ABC，其中 AB=AC 作
Δ ABC顶角的平分线AD并以AD对折
你会发现什么? 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
10 cm 或 11 cm
AB＝AC 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
10 cm 或 11 cm
∠B ＝ ∠C.
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
10 cm 或 11 cm
BD＝CD ∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
10 cm 或 11 cm 1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
A
A
A
角平 分线 1 2
高线
中线
B D CB D C B D C
三条边都相等的三角形 叫做等边三角
形；它是特殊的等腰三角形 Ａ
Ｂ
Ｃ
人教版《等腰三角形》PPTPPT课件初中数学3ppt
问题：
如图位于在海上A、B两处的两艘救生船接
到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。如果这
两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大
约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？若
能，给出证明；若不能，说明理由。
O
A B
问题：
如图位于在海上A、B两处的两艘救生船接
到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。如果这
平行于三角形的一边，那么这个三角形是等 (3) ∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，____ =____.
B
C
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB。
D
已知：AE是△ ABC的外角平分线,
且AE ∥ BC.
A
E
求证:AB=AC
B
C
平行+平分
等腰三角形
1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°. 分别计算∠1= 72° ,∠2= 36° ，图中的
两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大
约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？若
能，给出证明；若不能，说明理由。
O
数学建模：
A
已知：在三角形AOB中, ∠A=∠B,那么
B
它们所对的边OA和OB有什么数量关系?
猜想：相等？
验证猜想： • 已知：如图 在△ABO中，∠A=∠B • 求证：OA=OB
O
A
等腰三角形的判定
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
A
①等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”) 。
几何语言：∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C (等边对等角)Fra bibliotekB DC
《等腰三角形》ppt课件人教版初中数学1
理由：∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2，
∵CN=CG+GN, ∴AC=CG+AF ②如当图F，，在G△在A直BC线中AE,BCD的和异C侧D分时别，是如∠图AB3C，和请∠写AC出B的线角段E平AF分，线CG，，EAF/C/之BC间,E的F交等A量B于关E系点．，（交不AC需于证F点明E。）
C G 图1
②当F，G在直线AC的异侧时，如图3，请写出线段AF，CG，AC之间的等量关系．（不需证明）
∴∠1=∠3，∴△BED是等腰三角形
∴理B由E=：EF∵+CB和FD平分外∠ABC 角∴∠1=∠∠2，ACH的角平分线，EF//BC,EF交AB
创新题：A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以AB、C为顶点的三角形是等腰三角形的
所有格点C的位置。
3.如图，在△ABC中,BD和CD分别是∠ABC ②当F，G在直线AC的异侧时，如图3，请写出线段AF，CG，AC之间的等量关系．（不需证明）
若等腰三角形的一个内角为100°，则它的顶角为_______。 5．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，CE，AE相交于点E，过点E的直线交直线AB于点F，交直线CD于点G．
教学设计
教学过程
教学反思
2.如图，在△ABC中,BD和CD分别是∠ABC
和∠ACB的角平分线，EF//BC,EF交AB于E点， 交AC于F点。线段BE、CF、EF之间有A何数 量关系？
EDF
B
c
3 探索发现
教学分 析
教学设计
教学过程
教学反思
解：BE+CF=EF
理由：∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2，
性质2：等腰三 角形的顶角平分 线、底边上的中 线、底边上的高
∵CN=CG+GN, ∴AC=CG+AF ②如当图F，，在G△在A直BC线中AE,BCD的和异C侧D分时别，是如∠图AB3C，和请∠写AC出B的线角段E平AF分，线CG，，EAF/C/之BC间,E的F交等A量B于关E系点．，（交不AC需于证F点明E。）
C G 图1
②当F，G在直线AC的异侧时，如图3，请写出线段AF，CG，AC之间的等量关系．（不需证明）
∴∠1=∠3，∴△BED是等腰三角形
∴理B由E=：EF∵+CB和FD平分外∠ABC 角∴∠1=∠∠2，ACH的角平分线，EF//BC,EF交AB
创新题：A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以AB、C为顶点的三角形是等腰三角形的
所有格点C的位置。
3.如图，在△ABC中,BD和CD分别是∠ABC ②当F，G在直线AC的异侧时，如图3，请写出线段AF，CG，AC之间的等量关系．（不需证明）
若等腰三角形的一个内角为100°，则它的顶角为_______。 5．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，CE，AE相交于点E，过点E的直线交直线AB于点F，交直线CD于点G．
教学设计
教学过程
教学反思
2.如图，在△ABC中,BD和CD分别是∠ABC
和∠ACB的角平分线，EF//BC,EF交AB于E点， 交AC于F点。线段BE、CF、EF之间有A何数 量关系？
EDF
B
c
3 探索发现
教学分 析
教学设计
教学过程
教学反思
解：BE+CF=EF
理由：∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2，
性质2：等腰三 角形的顶角平分 线、底边上的中 线、底边上的高
初中数学人教版《等腰三角形》完美版PPT
一、复习引入 等腰三角形
定义： 有两边相等的三角形是等腰三角形。
性质1： 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
性质2： 等腰三角形的底边上的中线和高线、 顶角平分线互相重合。 (三线合一)
问题情境 ：
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处 遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生 船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点
∴EF＝BE+FC
成立吗？
初中数学人教版《等腰三角形》精美 版
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求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三 角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
E
1
A2
已知：如图，∠CAE是△ABC D 的外角， ∠1=∠2，AD∥BC
求证：AB=AC
B
C
分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知 有∠1= ∠2，只要找出∠B、 ∠C与∠1、 ∠2的 关系就可以了。
30°
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴
BC =
1 2
AB．
B
C
初中数学人教版《等腰三角形》精美 版
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课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°，AB =10，则BC 的长为 5 ．
C
30°
B
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答：B处到达灯塔C的距离为40海里。
初中数学人教版《等腰三角形》精美 版
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在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于
点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图
定义： 有两边相等的三角形是等腰三角形。
性质1： 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
性质2： 等腰三角形的底边上的中线和高线、 顶角平分线互相重合。 (三线合一)
问题情境 ：
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处 遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生 船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点
∴EF＝BE+FC
成立吗？
初中数学人教版《等腰三角形》精美 版
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求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三 角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
E
1
A2
已知：如图，∠CAE是△ABC D 的外角， ∠1=∠2，AD∥BC
求证：AB=AC
B
C
分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知 有∠1= ∠2，只要找出∠B、 ∠C与∠1、 ∠2的 关系就可以了。
30°
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴
BC =
1 2
AB．
B
C
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课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°，AB =10，则BC 的长为 5 ．
C
30°
B
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答：B处到达灯塔C的距离为40海里。
初中数学人教版《等腰三角形》精美 版
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在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于
点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图
人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1
一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的 三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数 量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行 三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例 如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例 已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为 等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例 如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°
等腰三角形ppt课件
THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中，等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系，简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性，因此在标志设计 中常被用作基本图形元素， 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形 常被用作教学工具，帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角 对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等，则这两个三角形
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第17课时┃等腰三角形
1．等腰三角形的性质为我们证明线段相等或角相等又 提供了重要的依据； 2．涉及等腰三角形的问题，一般添作顶角平分线或底 边上的高或底边上的中线． 应用性质时不能忽略前提条件． “ 等 边对等角 ” 有 一个前提条件是 “ 在一个三角形 中”，容易忽视这个条件导致解题错误．
皖考解读
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考点聚焦
皖考探究
当堂检测
等腰三角形
皖 考 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质； 2．等腰三角形“三线合一”的性质； 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线 的性质．
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第17课时┃等腰三角形
例 1 [2012· 随州] 如图 17－1，在△ABC 中，AB＝AC， 点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． 求证：(1)△ABD≌△ACD； (2)BE＝CE.
探究三 等腰三角形的多解问题
命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到三角形的高线的问题要考虑高在形内、形上 和形外等多种情况．
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第17课时┃等腰三角形
例 3 [2013· 白银] 等腰三角形的周长为 16，其一边长 为 6，则另两边长为____________________ ． 5，5或6，4
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
例 4 [教材母题] 已知， 如图 17－3， 点 C 为线段 AB 上一 点，△ACM、△CBN 是等边三角形，AN 交 CM 于点 E，BM 交 CN 于点 F. 求证：(1)CE＝CF；(2)EF∥AB.
图 17－3
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等腰三角形
考点3 等边三角形
三边 相等的三角形是等边三角形. 定义 ________ 等边三角形的各角都 ________ 相等 ，并且每 —个角都等于 ________. 60° 性质 1.等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具 有等腰三角形的所有性质； 2.等边三角形是轴对称图形，有________ 条对称轴. 3 1.三个角都________ 相等 的三角形是等边三角形； 判定 2.有一个角等于________ 60° 的等腰三角形是等边三角形.
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等腰三角形考点2 等腰三源自形的判定定义 定理两边 相等的三角形. ________ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边________( 简写成：___________). 相等 等角对等边 “等边对等角”“等角对等边”成立的条件是 “在一个三角形中”.
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第17课时┃等腰三角形
注意分类讨论思想的应用． 因为等腰三角形的边有腰与底之分， 角有底角和顶角之 分，等腰三角形的高线要考虑高在形内、形上和形外多种情 况．故当题中条件不明确时，要分类讨论．
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第17课时┃等腰三角形
探究四 等边三角形的判定与性质
第17课时┃等腰三角形
(1)由等边三角形的性质证得△ACN 与△MCB 解 析 全等，得到相等的角，再通过证△ACE 与△MCF 全等，证得 结论；(2)先证△CEF 是等边三角形，通过特殊角证明角相等， 得到平行线．
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第17课时┃等腰三角形
要证明一个三角形是等腰三角形， 必须得到两边相等， 而得到两边相等的方法主要有： (1)通过等角对等边得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3)利用中垂线的性质得两边相等．
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第17课时┃等腰三角形
图 17－1
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第17课时┃等腰三角形
(1) 根据等腰三角形“三线合一”可得 BD ＝ 解 析 CD，AD⊥BC，再根据全等三角形的判定定理 SSS 或 HL 可 以证得△ABD≌△ACD； (2)利用(1)中已证 AD 是 BC 的垂直平分线可证 BE＝CE.
解
证明：(1)∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD. 在△ABD 和△ACD 中， BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． (2)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BE＝CE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．
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等腰三角形
考 点 聚 焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
有________ 相等的两边 两边 相等的三角形是等腰三角形． 定义 叫腰、第三边为底．两腰之间的夹角叫顶角，腰与 底边的夹角叫底角. 1.等腰三角形是轴对称图形，有________ 条对称轴； 1 等边对等角 2.等腰三角形的两个底角相等(简称为： ________)； 中线 和底 3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的________ 性质 边上的高互相重合，简称“三线合一”. 1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的 平分线相等； 2.等腰三角形是轴对称图形.
解 析 由平行线的性质得到相等的角，再根据角平分 线的性质实现等角的转换，证得∠CAE＝∠AEC，从而得 出结论． 解
证明：∵AE∥DC， ∴∠BCD＝∠AEC， ∠ACD＝∠CAE. ∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴∠AEC＝∠CAE， ∴AC＝CE， ∴△ACE 是等腰三角形．
解 析 分两种情况：(1)6 是等腰三角形的底边，由 于周长为 16，所以另两边的长为 5，5，且 5，5，6 能组成 三角形；(2)6 是等腰三角形的腰，由于周长为 16，所以另 两边的长为 4，6，且 4，6，6 能组成三角形．综上所述， 这个等腰三角形的另两边长是 5，5 或 6，4.
皖考解读
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皖考探究
当堂检测
第17课时┃等腰三角形
探究二 等腰三角形的判定 命题角度： 等腰三角形的判定．
例 2 [教材母题] 已知，如图 17－2，CD 平分∠ACB， AE∥DC，交 BC 的延长线于点 E. 求证：△ACE 是等腰三角形．
图 17－2
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第17课时┃等腰三角形