3.1不等关系与不等式

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3.1.1不等关系与不等式

a b
【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断.
【解析】（１）因为c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题. （２）由ac2>bc2，知c≠0,c2>0, ∴ 12 >0. 故该命题为真命题. （3）由
注意实际问题中关键性的文字语言与对应符号之间的正确转
换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
文字语言大于
数学符号＞
文字语言
数学符号 ≥
文字语言至多
数学符号 ≤
文字语言不小于
数学符号 ≥
大于等于
小于等于
小于
＜
≤
至少
≥
不多于
3 2
当x=1时，x =x －x+1， 3 2 当x<1时，x <x －x+1.
例 4 比较(a＋3)( a－5)与( a＋2)(a－4) 的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b) =(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得， 5 8 m ,n 3 3 8 5 所以9a－b= (a－b)+ (4a－b) 3 3
由－4≤a－b≤－1，得

3.1不等关系与不等式(一)

生活中的不等关系：
实例1：某天的天气预报报道，最高气温 32℃，最低气温26℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA< xB. 实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.
生活中的不等关系：
实例4：两点之间线段最短.
实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 实例6：限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车速度 v 不超过 40 km/h.
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
或 2.5 0.1n 8 0.2n 20
比较两种表示
例3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
3.1 不等关系与不等式(一)
思考1：
回忆初中学过的不等式，比较“不等关系”与“不等式”有何异同.
不等关系强调的是关系.用符号“<” “>” “≤” “≥ ”和“≠”表示. 不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如﹣7 <﹣5，3 + 4 > 1 + 4， 2x ≤ 6，a + 2 ≥ 0，3 ≠ 4，0 ≤ 5 等.
生活中的不等关系：
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%蛋白质的含量 p 应不少于2.3%.
思考2：
如何用我们学过的知识来表示这些不等关系？
应用示例
例1 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d ≤ |AB|.
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

3.1不等关系与不等式

3.1不等关系与不等式1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；2.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；一、新课导学※探索新知现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为14℃，明天白天的最高温度23℃；2、三角形ABC的两边之和大于第三边；3、a是一个非负实数。

4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：()A. f≥2.5%或p≥2.3%B.f≥2.5%且p≥2.3%1.不等式的定义：2.2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？a≥b、a≤b表示什么?题型1.建立不等关系例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。

现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。

请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。

题型2:比较法两个数的大小3.4.数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？点的关系：数的关系：5.如何比较两数大小①作差法a b>a b=a b<②作商法: ;a b?.a b?如果p qÞ，同时pq⇒，则记为。

例2.比较x2-x和 x-2的大小变式：比较a mb m++与ab（其中0b a>>，0m>）的大小不等式的性质性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。

3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)

判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形定符号确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
aa
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16，又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.

3.1不等关系与不等式(两课时)

500x 600y 4000
y 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，用不等式组表示为：
数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
数学应用
问题1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
d与线段AB的关系？
A
d≤|AB|
d

B
数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
∴
(a b) (b c) 0
ac 0
∴
ac
由定理1，定理2可以表示为如果
c b且b a
那么
ca
不等式的性质
性质3.如果
a b，那么 a c b c
不等式的可加性
(即a b a c b c)
证明： ∵
∴
(a c) (b c) a b 0
证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc
不等式的性质
性质5：如果
a b 且 c d ，那么
ac bd
不等式的同向可加性

2014年人教A版必修五课件 3.1 不等关系与不等式

例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量 x 不能超过 500 mm 钢管数 y 的 3 倍. 写出满足上述所有不等关系的不等式. 解: ① 600 mm 钢管数 x 不能超过 500 mm 钢管数 y 的 3 倍: x≤3y, ② 总长度不能大于 4000 mm: 600x500y≤4000 x 3 y, ③ 钢管数不能为负: 600x 500 y 4000, x≥0, y≥0, x 0, 由①②③得: y 0.
2. 有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系, 并求出这个两位数 (用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字). 解: 10ab>50, ① 10ab<60, ② ③ b=a2. 48 ; a ③代入①得 ④ 11 58 ③代入②得 a . ⑤ 11 由④⑤得 a = 5, 则 b = 7. ∴这个两位数是 57.
f 2.5%, p 2.3%.
Hale Waihona Puke 例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (1) 设点 A 与平面 a 的距离为 d, B 为平面 a 上任意一点, 写出 |AB| 与 d 的大小关系. (2) 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元, 销售量就可能相应减少 2000本. 若把提价后杂志的定价设为 x 元, 写出销售的总收入不低于20万元的不等式. (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍. 写出满足上述所有不等关系的不等式.

高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4

2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围．【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________．解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度，即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000

高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5

为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________．解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒．解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b，则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．

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(5)a > b > 0, c > d > 0, 则 a > b dc
成立
c>d >0
又a >b > 0
∴0 < 1 < 1 cd
∴a >b>0 dc
即1 >1>0 dc
∴ b dc
1.下列命题中正确的个数是【 A 】 ①若a > b,b ≠0,则 a >1；②若a > b，且a + c > b + d,则c > d b ③若a > b, 且ac > bd,则c > d
(乘法法则 )
5.若a > b, c > d,则a+c >b+d (同向相加 )
6.若a > b > 0, c > d > 0,则 ac>bd (同向正数相乘 )
7.若a > b > 0,则 an > bn (n ∈N * , n ≥2) (正数乘方法则 ) 8.若a > b > 0,则 n a > n b (n ∈N * , n ≥2) (正数开方法则 )
(2)确定差的符号往往有两种方法(类型)：
①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式 . ②将差式化成几个因式乘积的形式 . (3)作差比较大小的步骤：
作差
变形
定号
下结论
已知a > 0,b > 0, 试比较 a + b 与 a + b的大小. ba
解：法一：
a + b -( a + b) = a + b - a - b
= ( a + b)( a - b)• a - b ab
= ( a + b)( a - b)2 ab
已知a > 0,b > 0, 试比较 a + b 与 a + b的大小.
解： ( a + b )2 - (
a+
b b)2
a
ba
a > 0,b > 0,
= a2 + b2 + 2 ab - (a +b + 2 ab) ba
cd (3)a > b, 则2-x • a > 2-x • b
成立
2-x >0 由不等式的性质知 2-x • a > 2-x • b
(4) a > b > 0, 则a n > bn (n ∈N * , n ≥1) 不成立由a >b > 0,则a n >bn
a n 与an可能相等，也可能互为相反数. 比如：a = -2,b =1, n = 3 此时，a n < bn
又x > 3
= (x - 3)(x +1)(x -1)
∴x - 3> 0, x+1> 0, x -1> 0
∴(x - 3)(x +1)(x -1) > 0
∴ x3 +3>3x2 + x
(1)作差法比较 a与b的大小，归结为判断它们的差a - b的符号 (注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要 )
= a2 + b2 + 2 ab - a - b - 2 ab ba
= a2 + b2 - (a +b)
ba
a3 +b3
=
- (a +b)
ab
= (a +b)(a 2 - ab+b2 ) - (a +b) ab
∴ a +b > 0, (a - b)2 ≥0, ab > 0 ∴(a +b) • (a - b)2 ≥0
解： 1
aa
= a2 - 1 aa
= a2 -1 a
= (a +1)(a -1) a
当0 < a <1时，
a -1< 0, a +1> 0
∴(a +1)(a -1) < 0 a
∴a < 1 a
当a =1时， a -1= 0, a +1> 0
∴ (a +1)(a -1) = 0 a
∴a= 1 a
当a >1时， a -1> 0, a +1> 0
b
∴aabb > abba
综上可知，当 a > 0, b > 0时，a abb > abba
思考：若a > b(ab ≠0),是否有 1 < 1 ?
ab
①若a > b > 0,
两边同时除以 ab, 得 1 < 1
②若b < a < 0,
ab
两边同时除以 ab, 得 1 < 1 ab
③若a > 0,b < 0,则 1 > 1 ab
已知a > b > 0, c < d < 0, e < 0,求证：e > e a-c b-d
精讲精练
例1.分别判断下列各命题是否成立，并简述理由 .
(1)a > b, c > d,则a - c > b - d 不成立令a = 5,b = 4, c = 3, d = 2 有a - c b, c < d, cd ≠0,则 a > b cd
不成立当a > b > 0, c < 0, d > 0时,此时显然 a 0
∴x2 +3> 3x
2 44
(2)已知x > 3,比较x3 +3与3x2 + x的大小.
解： (x3 +3) - (3x2 + x) = x3 +3 - 3x2 - x
= x 2 (x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(x 2 -1)
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知a,b, c满足c ac
B.c(b - a) < 0
C.cb2 < ab2
D.ac(a - c) > 0
例2. (1)比较x2 +3与3x的大小，其中 x ∈R.
解： (x2 +3) - 3x = x2 - 3x +3
ba
ba
=( a - b)+( b - a)
b
a
= a-b+b-a
ba
= (a - b) • ( 1 - 1 ) ba
a > 0,b > 0, ∴ a + b > 0, ab > 0,
( a - b )2 ≥0
∴( a + b)( a - b)2 ≥0 ab
即 a + b ≥ a+ b ba
= (a - b) • a - b ab
∴ (a +1)(a -1) > 0 a
∴a> 1 a
已知a > 0，b > 0,比较a abb与abba的大小.
解： a > 0，b > 0, ∴a abb > 0，abba > 0,
∴ aabb abba
aa bb =•
ba ab
= (a)a •(b)b ba
= ( a )a • ( a )-b bb
“⇔”表示“等价于” 意思：可以互相推出 . 要比较两个实数的大小，可以考查这两个实数的差.
不等式性质：
1.若a > b,则b < a 若b < a,则a > b
(对称性)
2.若a > b,b > c,则 a>c (传递性)
3.若a > b,则 a+c >b+c (加法法则)
4.若a > b, c > 0,则 ac >bc 若a > b, c < 0,则 ac <bc
综上, a>b ⇒
1<1 ab
（a, b同号）
1 > 1 （a,b异号） ab
这一条件非常重要！！
若a,b同号，且 a > b,其倒数的不等号方向与原不等式的方向相反；
例4. 已知a > b > 0, c < d < 0,求证：b < a a-c b-d
证明： c<d <0 ∴-c >-d >0 a>b>0 ∴a - c>b - d >0 ∴0< 1 < 1 a-c b-d a>b>0 ∴b < a a-c b-d
第三章不等式
3.1不等关系与不等式
学习目标：
复习引入：
关于实数a,b大小的比较，有以下事实：如果a - b是正数，那么 a > b；如果a - b是零，那么 a = b；如果a - b是负数，那么 a < b.反过来也对 . 这可以表示为：
a-b>0⇔ a>b a-b=0⇔ a=b a-b<0⇔ a b时，ba >1, a - b > 0
∴( a )a-b
b >1