2020-2021长沙市长郡双语实验学校初三数学下期中第一次模拟试题(及答案)
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初三数学下期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．如果反比例函数y =k x （k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（ ） A ．（﹣12，8） B ．（﹣3，﹣2） C ．（12，12） D ．（1，﹣6） 2．已知反比例函数y ＝﹣6x，下列结论中不正确的是（ ） A ．函数图象经过点（﹣3，2）B ．函数图象分别位于第二、四象限C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3D ．y 随x 的增大而增大3．如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在正方形ABCD 中，N 为边AD 上一点，连接BN ．过点A 作AP ⊥BN 于点P ，连接CP ，M 为边AB 上一点，连接PM ，∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ，有以下结论：①△PAM ∽△PBC ；②PM ⊥PC ；③M 、P 、C 、B 四点共圆；④AN ＝AM ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，ABC △与ADE V 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 6．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（ ）A ．（4，4）B ．（3，3）C ．（3，1）D ．（4，1）7．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ,Q 为BC 边上的点，且BP=PQ=CQ ，BM 与AP ,AQ 分别交于D ,E 点，则BD ∶DE ∶EM 等于A ．3∶2∶1B ．4∶2∶1C ．5∶3∶2D ．5∶2∶18．如图▱ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使:1:3DE AD =，连结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S ∆V ＝（ ）A ．2：3B ．3：2C ．9：4D ．4：99．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A ．33B ．55C ．233D ．25510．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）A ．8tan20°B ．C ．8sin20°D ．8cos20°11．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．在△ABC 中，若|sinA-3|+(1-tanB)2=0，则∠C 的度数是( ) A ．45° B ．60°C ．75°D ．105° 二、填空题13．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣4x图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________．14．如图，点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2，那么BF ：FC=_____．15．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面23米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=k x(k>0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F ．当F 为BC 的中点，且S △AOF =123时，OA 的长为__________．18．如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为_______．19．如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF ，BC 的对应边B'C′与CD 交于点M ，若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为_____．20．近视眼镜的度数(y 度)与镜片焦距(x 米)呈反比例，其函数关系式为120.y x=如果近似眼镜镜片的焦距0.3x =米，那么近视眼镜的度数y 为______． 三、解答题21．计算：cos45tan45sin60cot60cot452sin30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒．22．某天上午7：30，小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8：30的动车．记汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过60千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：V（千米/小时）2030405060T（小时）0.60.40.30.250.2（1）根据表中的数据描点，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）若小芳从开始打车到上车用了10分钟，小芳想在动车出发前半小时到达动车站，若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳能否在预定的时间内到达动车站？请说明理由；（3）若汽车到达动车站的行驶时间t满足0.3＜t＜0.5，求平均速度v的取值范围．23．如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，．求证：∽；求线段CD的长．24．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD=2，AB=3，求的值．25．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(−3,2)，∴k=−3×2=−6，∵−12×8=−4≠−6，−3×(−2)=6≠−6，12×12=6≠−6，1×(−6)=−6，则它一定还经过(1,−6).故答案选D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.2．D解析：D【解析】【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】A 、∵当x ＝﹣3时，y ＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；B 、∵k ＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；C 、∵当x ＝﹣2时，y ＝3，∴当x ＜﹣2时，0＜y ＜3，故本选项正确；D 、∵k ＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，故本选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．D解析：D【解析】 因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 4．A解析：A【解析】【分析】 根据互余角性质得∠PAM ＝∠PBC ，进而得△PAM ∽△PBC ，可以判断①；由相似三角形得∠APM ＝∠BPC ，进而得∠CPM ＝∠APB ，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；由△APB ∽△NAB 得AP AN BP AB=，再结合△PAM ∽△PBC 便可判断④．解：∵AP⊥BN，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠PAM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△PAM∽△PBC，故①正确；∵△PAM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠PAN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠PAN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BPA＝90°，∴△PAN∽△PBA，∴AN PA BA PB=，∵△PAM∽△PBC，∴Al AP BC BP=，∴AN AM AB BC=，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM ⊥PC 是解题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC=， 故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '. 6．A解析：A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C 点坐标．【详解】∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ， ∴A 点与C 点是对应点，∵C 点的对应点A 的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C 的坐标为：（4，4）故选A ．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．7．C解析：C【解析】【分析】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．【详解】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，则BP PQ QC a ===；∵AM CM =，AF ∥BC ， ∴1AF AM BC CM==， ∴3AF BC a ==，∵AF ∥BP ， ∴133BD BP a DF AF a ===， ∴34DF BF BD ==， ∵AF ∥BQ ， ∴2233BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ， ∴313BM BC a MF AF a===， ∴BM MF =，即2BF BM =， ∴235420BF BF BF DE BE BD =-=-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=， ∴3::::?53242010BF BF BF BD DE EM ==：：． 故选：C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．8．D解析：D【解析】【分析】先设出DE x =，进而得出3AD x =，再用平行四边形的性质得出3BC x =，进而求出CF ，最后用相似三角形的性质即可得出结论．解：设DE x =，∵:1:3DE AD =，∴3AD x =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，BC AD 3x ==，∵点F 是BC 的中点， ∴1322CF BC x ==， ∵//ADBC ，∴DEG CFG ∆∆∽，∴224392DEGCFG S DE x S CF x ⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭V V ， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF 是解本题的关键．9．D解析：D【解析】【分析】【详解】过B 点作BD ⊥AC ，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=AD AB =2210=25， 故选D ．10．A解析：A【解析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】设木桩上升了h 米，∴由已知图形可得：tan20°=8h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°故选B. 11．C解析：C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE =， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选：C ．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE12．C解析：C【解析】【分析】先根据非负数的性质求出sinA 及tanB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的值，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵|sin A B )2=0，∴tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.二、填空题13．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y 随x 的增大而增大∵A （-4y1）B （-1y2）解析：y 1＜y 2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 1与y 2的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵A （-4，y 1），B （-1，y 2）是反比例函数y=-4x图象上的两个点，-4＜-1， ∴y 1＜y 2，故答案为：y 1＜y 2．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答． 14．3:2【解析】因为DE∥BC 所以因为EF∥AB 所以所以故答案为:3:2 解析：3:2【解析】因为DE ∥BC,所以32AD AE DB EC ==,因为EF ∥AB ,所以23CE CF EA BF ==,所以32BF FC =,故答案为: 3:2. 15．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25解析：75或25【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；在Rt ACD ∆中，10AD =，AC =∴225CD AC AD =-=，∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=，∴1752ABC S BC AD ∆=⋅=或25． 故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．16．【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分再加起来即可先在直角三角形ABC 中用正切和正弦分别求出BC 和AC （即梯子的长度）然后再在直角三角形DCE 中用∠DCE 的余弦求出DC 然后把BC 和DC 加解析：222+【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC 中，用正切和正弦，分别求出BC 和AC （即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE 中，用∠DCE 的余弦求出DC ，然后把BC 和DC 加起来即为巷子的宽度．【详解】解：如图所示：3米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE.则在直角三角形ABC 中,AB BC＝tan ∠ACB ＝tan60°3 AB AC ＝sin ∠ACB ＝sin60°3∴BC＝2，AC＝4， ∴直角三角形DCE 中，CE=AC=4， ∴CD CE ＝cos45°＝2， ∴CD ＝CE×2＝4×2＝， ∴BD ＝,故答案为：【点睛】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．17．8【解析】分析：过点A 作AH⊥OB 于点H 过点F 作FM⊥OB 于点M 设OA=x 在由已知易得：AH=OH=由此可得S△AOH=由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的中点可得BF=BM=FM=由此可得S△B解析：8【解析】分析：过点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，在由已知易得：，OH=12x ，由此可得S △AOH2x 由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的中点，可得BF=12x ，BM=14x ，FM=x ，由此可得S △BMF2x ，由S △OAF=可得S △OBF=S △OMF=232x +，由点A 、F 都在反比例函数k y x =的图象上可得S △AOH =S △BMF ，由此即可列出关于x 的方程，解方程即可求得OA 的值. 详解：如下图，点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，∵四边形AOBC 是平行四边形，∠AOB=60°，点F 是BC 的中点，S △OAF= ∴，OH=12x ，BF=12x ，∠FBM=60°，S △OBF= ∴S △AOH2x ，BM=14x ，x ， ∴S △BMF2x ， ∴S △OMF=2x ，∵由点A 、F 都在反比例函数k y x =的图象上， ∴S △AOH =S △BMF ，∴238x =236332x +， 化简得：23192x =，解得：1288x x ==-，（不合题意，舍去），∴OA=8.故答案为：8.点睛：本题是一道考查“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”的综合题，熟记“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”是解答本题的关键.18．cm 【解析】【分析】将杯子侧面展开建立A 关于EF 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】解:如答图将杯子侧面展开作A 关于EF 的对称点A′连接A′B 则A′B 即为最短距离根据勾股解析：cm ．【解析】【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求.【详解】解:如答图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离．根据勾股定理，得（cm ）．故答案为：20cm.【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．70°【解析】【分析】设∠BEF=α则∠EFC=180°﹣α∠DFE=∠BEF=α∠CFE=40°+α依据∠EFC=∠EFC 即可得到180°﹣α=40°+α进而得出∠BEF 的度数【详解】∵∠C=∠C解析：70°【解析】【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF 的度数．【详解】∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，∴∠C'FM=40°，设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，∴180°﹣α=40°+α，∴α=70°，∴∠BEF=70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.20．400【解析】分析：把代入即可算出y 的值详解：把代入故答案为400点睛：此题主要考查了反比例函数的定义本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题比较简单解析：400【解析】分析：把0.3x =代入120y x =，即可算出y 的值． 详解：把0.3x =代入120x， 400y =，故答案为400．点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．三、解答题21．14- ． 【解析】试题分析：把特殊角的三角函数值代入运算即可.试题解析：原式23321121 22322.124122=⋅-⋅--==+⨯22．（1）v=12t；（2）若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站；（3）平均速度v的取值范围是24＜v＜40【解析】【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=kt，利用待定系数法求出k即可；（2）根据时间t=13小时，求出速度，即可判断；（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可．【详解】（1）根据表格中数据，可知v=kt，∵v=20时，t=0.6，∴k=20×0.6=12，∴v=12t（t≥0.2）．（2）∵1﹣16-12=13，∴t=13时，v=1213=36＞32，∴若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站；（3）∵0.3＜t＜0.5，∴24＜v＜40，答：平均速度v的取值范围是24＜v＜40．【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．23．（1）参见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长．【详解】（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），∴△ABD∽△ACB；（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，∵相似三角形的对应线段成比例，∴=，即＝，解得：CD＝5．24．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明=，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】(1)证明：∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵AC2=AB•AD，∴=，∴△ADC∽△ACB；(2)∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB=∠ADC=90°，∵点 E 为 AB 的中点，∴CE=AE= AB= ，∴∠EAC=∠ECA，∴∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；∴==，∴=．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；【解析】【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）【点睛】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．。
湖南省长沙市长郡双语实验中学2020届数学中考模拟试卷
湖南省长沙市长郡双语实验中学2020届数学中考模拟试卷一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 5﹣a 3＝a 2B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C.2212a 2a-= D.（﹣2a ）3＝﹣8a 3 2．如图，点E 为△ABC 的内心，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若AB ＝7，AC ＝5，BC ＝6，则MN 的长为（ ）A.3.5B.4C.5D.5.5 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（ ）A. B.C. D.4．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y ＝6的解，则k 的值为（ ） A.34 B.43 C.﹣34 D.﹣435．如图，菱形ABCD 的边长为5cm ，AB 边上的高DE ＝3cm ，垂直于AB 的直线l 从点A 出发，以1cm/s 的速度向右移动到点C 停止若直线l 的移动时间为x （s ），直线l 扫过菱形ABCD 的面积为y （cm 2），则下列能反映y 关于x 函数关系的大致图象是（ ）A. B.C. D.6．如图，点O 是△ABC 的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM ＝CB ，AN ＝AB ，若∠B ＝100°，则∠MON ＝（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°7．方程组21230x y x y -=⎧⎨++=⎩①②的解是（ ） A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．12x y =-⎧⎨=-⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩ 8．如图，正方形ABCD中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF ．则线段OF 长的最小值（ ）A．B2 C． D．9．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4 C．D ．610．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）A.6B.5C.4D.711．如图，AB∥CD，点EF平分∠BED，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF的度数是（）A.70°B.60°C.50°D.35°12．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a8÷a4＝a2C．（2a3）2﹣a•a5＝3a6D．（a﹣2）（a+3）＝a2﹣6二、填空题13．﹣3的绝对值的倒数的相反数是_____．14．两根不一样长的木杆垂直竖立在地面上，若它们的影长相等，则此时的投影是_____．（填写“平行投影”或“中心投影”）15．如图，点E、F在函数y＝2x的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF＝1：3，则△EOF的面积是___________．16．计算:= ____________.17．如图，直线y=－2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线kyx在第一象限经过点D，则k=_______．18．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是______．三、解答题19．从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；（2）某日王老师要去距离甲市大约405m 的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h ，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？20．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：（1）求表中a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案．21．计算：2112sin 452-⎛⎫+ ⎪⎝⎭22．计算：()022)sin 45︒23．（1）计算：（12）﹣2（π+2019）0 （2）先化简，再求值：21(1)11a a a -÷+-，其中a ＝2020． 24．为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．（2）设租用x 辆乙种客车，租车总费用为w 元，请写出w 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．25．据新华社北京2019年4月10日报道：神秘天体黑洞终于被人类 “看到”了。
2021年湖南省长沙市长郡教育集团初三中考第一次模拟考试数学试卷
长郡教育集团初中课程中心2020—2021学年度初三第一次模拟考试数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.若a 、b 互为相反数，则()23a b +-的值为（）A.1- B.3- C.1 D.22.x 的取值范围是（）A.2x ≥ B.0x > C.2x ≥- D.2x >3.北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（）A.42.510⨯B.42510⨯C.60.2510⨯D.52.510⨯4.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图①表示的是()()22++-，根据刘徽的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（）A.()()36+++B.()()36-+-C.()()36-++ D.()()36++-5.下列图象中，能反映函数y 随x 增大而减小的是（）A. B. C. D.6.下列命题正确的是（）A.若甲组数据的方差20.68S =甲，乙组数据的方差20.54S =乙，则甲组数据比乙组数据更稳定B.从1、2、3、4、5中随机抽取一个数，抽到偶数的概率比抽到奇数的概率大C.数据2-、1、3、4、4的中位数是3，众数是4D.若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖7.如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（）A. B. C. D.8.艺术课上，老师将一矩形纸片对折后再对折，如图所示，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（）A.三角形B.矩形C.菱形D.正方形9.中国5G 技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现5G 信号全覆盖.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，5G 网络比4G 网络快90秒.若设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆数据，则由题意可列方程（）A.449010x x -= B.449010x x -= C.40490x x -= D.44090x x-=10.边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，如图所示，使点B 恰好落在函数2y ax =（0a <）的图象上，则a 的值为（）A. B.1- C.324- D.23-二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数是3.请写出一个同时满足上述两个条件的单项式.12.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，则纸扇外边缘弧BC 长为cm.第12题图第13题图13.如图，△ABC ≌△DCB ，AC 与BD 相交于点E ，若∠ACB=40°，则∠BEC 等于.14.钓鱼岛是中国固有领土，2021年4月26日，国家自然资源部发布了钓鱼岛地形地貌调查报告，钓鱼岛中央山脊呈东西走向，北坡稍缓，南坡陡峭，已知主峰高华峰北坡AB 坡度i=1：1.7，海平面上BC 的水平距离约为615米，则主峰高华峰的高度AC 约为米.（精确到1米）第14题图15.在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的位置如图所示，其中B （1-，1-），AB=3，BC=4，AB ∥y 轴，则顶点D 的坐标为.第15题图第16题图16.如图，点O 是三角形ABC 内的一点，OA=OB=OC=4，∠BAC=45°，已知2AOC AOB S S -= ，则∠BOC=，S △ABC =.三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分6分）计算：()201113tan 302π-⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭18.（本小题满分6分）先化简，再求值：()()()()221613232a a a a a -++-+-，其中2220210a a +-=.19.（本小题满分6分）如图所示，平面直角坐标系xOy 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 顶点都在网格线的交点上，点B 坐标为（3-，0），点C 坐标为（2-，2）.（1）画出△ABC 向右平移4个单位的图形△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A 2B 2C 2；（3）写出点A 绕B 点顺时针旋转90°对应的点的坐标.为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖.为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率.21.（本小题满分8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠CAO=30°，OC=4，求阴影部分面积.已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货11吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货19吨，某物流公司现有50吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？23.（本小题满分9分）数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线.小姝的作法是：①在直线l上任取两点A、B；②以D为圆心，AB长为半径作圆弧；③以B为圆心，DA 为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接CD，则直线CD即为直线l的平行线.（1）根据小姝的作法，请你证明直线CD∥直线l；（2）在第（1）问条件下，如图2，在线段CD上取一点E，连接BE并延长交AD的延长线于P，连接AE、BD交于点M，连接PM并延长交CD于F，交AB于G.①求证：DF EF GB GA；②求△PAG与△PGB的面积之比.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的k （（0k >）倍，则称这样的方程为“k 系方程”.如方程()()120x x --=的两根分别为：11x =，22x =，212x x =，则方程()()120x x --=为“2系方程”.（1）下列方程是“3系方程”的是（填序号即可）；①()()3110x x ++=；②2230x x --=；③()244x -=.（2）若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）是“2系方程”.①求证：2902b ac -=；时的最②若c=2，且关于x 的函数2223b y ax x =-+，当121a x a a +≤≤时的最大值为1，求a 的值.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，2-），抛物线的顶点D的坐标为（32，258-）.（1）求抛物线L的函数表达式；（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作EG⊥BC于点G，求EG的最大值，及此时点E的坐标；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//BC，点P，Q分别为直线l和抛物线L上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQBC∽△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.。
2020年长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列各数中，最小的数是()A. −2B. |−2|C. (−1)2D. 3×10−22.下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A. 2(a+b)=2a+bB. (a−b)2=a2−b2C. a5÷a3=a2D. a2b+ab2=a3b34.下列说法中正确的是()A. 数据6，10，8，2，2的中位数是8B. 数据10，6，19，3，6，6的众数是6C. 为准确了解某班学生的体育成绩，应采用抽样调查D. 甲、乙两人10次测验成绩的方差分别为s甲2=1.5,s乙2=2，说明乙的成绩比甲稳定5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，则∠ACD的正切值是()A. 43B. 35C. 53D. 346.如图所示的几何体的俯视图是()A.B.C.D.7. 如图，BC 是⊙O 的直径，点A ，D 在⊙O 上，如果∠D =36°，那么∠BCA的度数是( )A. 36°B. 45°C. 54°D. 72°8. 已知不等式组{x −3>0x +1⩾0，其解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D.9. 如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.若CD =AC ，∠B =25°，则∠A 的度数为( )A. 25°B. 45°C. 50°D. 105°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，√3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为()A. 47mB. 51mC. 53mD. 54m11.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为()A. x2−3=(10−x)2B. x2−32=(10−x)2C. x2+3=(10−x)2D. x2+32=(10−x)212.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=−1，则这个二次函数的解析式为()A. y=−x2+2x+3B. y=x2+2x+3C. y=−x2+2x−3D. y=−x2−2x+3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.在函数y=1中，自变量x的取值范围是______．√2x−314.分解因式：5x3−10x2+5x=______．15.将数0.0000078用科学记数法表示为______．16.如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为______．17.如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C(∠ACB=90°)在直尺的一边上，若∠1=25°，则∠2的度数等于___________．18.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD.若∠AFD=145°，则∠EDF=___．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.先化简(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1+aa−2，再从−1，1，2中选一个合适的数作为a的值，求原式的值．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.计算：−12018+(12)−2−|√3−2|−2sin60°．21.我市自从去年九月实施高中新课程改革以来，高中学生在课堂上的“自主学习、合作交流”能力有了很大提高．张老师为了了解所教班级学生的“自主学习、合作交流”的具体情况，对该班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差，且将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中，张老师一共调查了______名学生，其中C类女生有______名；(2)请将上面的条形统计图补充完整；(3)为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．22.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．23.“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：型号进价(元/只)售价(元/只)A型1012B型1523(1)小张如何进货，使进货款恰好为1300元？(2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润最大值是多少？24.如图，C、D为⊙O上两点，AB为直径，E在AB延长线上，且AD平分∠CAB，过D点的直线EF⊥AF，交AC的延长线于点F，连接BD．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EB:ED=1:√3，⊙O的半径为r，当r=4时，求FC的长．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，于y轴交于点C(0,−3)，顶点为D．(1)求此抛物线的表达式．(2)试问对称轴上是否存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．26.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 5，求a的值；4(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．首先化简各项，然后根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可解答．解：∵|−2|=2，(−1)2=1，3×10−2=0.03，∴−2<0.03<1<2，∴最小的数是−2，故选A.2.答案：D解析：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．3.答案：C解析：解：A、2要乘括号里的每一项，故A错误；B、差的平方等于平方和减乘积的二倍，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、不是同类项不能合并，故D错误；故选：C．根据乘法分配律，可判断A；根据完全平方公式，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据合并同类项，可判断D．本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4.答案：B解析：本题考查了众数、中位数、方差与抽样调查，是基础题目．根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：将选项A中的数据按从小到大的顺序排列为2，2，6，8，10，中位数是6，故A错误；在选项B中的数据中，6出现的次数最多，故这组数据的众数是6，故B正确；为准确了解某班学生的体育成绩，应采用全面调查，故C错误；方差代表数据的波动大小，故方差越小，数据波动越小．因为s甲2<s乙2，所以甲的成绩比乙稳定，故D错误．故选B．5.答案：D解析：本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A=∠ACD是解本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，再根据等边对等角的性质可得∠A=∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．解：∵CD是AB边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB =90°，BC =6，AC =8，∴tan∠A =BC AC =68=34， ∴tan∠ACD 的值34．故选D ．6.答案：C解析：解：如图所示的几何体的俯视图是，故选：C ．从上边看几何体得到俯视图即可．此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体上边看的试图． 7.答案：C解析：本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由圆周角定理可得∠B =∠D =36°，再结合直径所对的圆周角是90°，从而求出∠BCA 即可解决问题． 解：∵BC 是直径，∴∠BAC =90°，∵∠B =∠D =36°，∴∠BCA =90°−36°=54°，故选C ．8.答案：B解析：解：{x −3>0 ①x +1≥0 ②∵解不等式①得：x >3，解不等式②得：x ≥−1，∴不等式组的解集为：x >3，在数轴上表示不等式组的解集为：故选：B．求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式(组)的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．9.答案：C解析：此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠DCB=∠DBC=25°是解题关键．利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC=BD，故∠DCB=∠DBC=25°，则∠CDA=25°+25°=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠CDA=50°，故选：C．10.答案：B解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC−∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD⋅sin60°=60×√3=30√3≈51(m)．2故选B．11.答案：D解析：解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，根据勾股定理得：x2+32=(10−x)2．故选：D．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．12.答案：D解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，则可设交点式y=a(x+3)(x−1)，然后把(0,3)代入求出a即可．解：点(−3,0)关于直线x=−1的对称点的坐标为(1,0)，设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，把(0,3)代入得3=a⋅3⋅(−1)，解得a=−1，所以抛物线解析式为y=−(x+3)(x−1)，即y=−x2−2x+3．故选D．13.答案：x>1.5解析：解：由题意得2x−3>0，解得x>1.5．故答案为：x>1.5．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14.答案：5x(x−1)2解析：解：5x3−10x2+5x=5x(x2−2x+1)=5x(x−1)2．故答案为：5x(x−1)2．先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．15.答案：7.8×10−6解析：解：0.0000078用科学记数法表示：a值为7.8，n为从原数的小数点向右数起到7这个数字一共有6位，则n=−6故答案为：7.8×10−6小数的科学记数法的形式是：a×10n(1≤|a|<10，且n为负整数)；这题考查科学记数法，掌握不同的数字的科学记数法的表示方法！16.答案：√3+1解析：解：连接FD，设正多边形的边长为a，∵在△FED中，EF=ED=a，∠FED=120°，∴FD=√3a.∴DG=DF+FG=(√3+1)a．=√3+1．在Rt△GCD中，tan∠GCD=GDCD故答案为√3+1．设正多边形的边长为a，求出GD长，根据正切值算出GD与CD的比．本题主要考查正多边形的内角和及解直角三角形，解题的关键是在正六边形中求出DF长度．17.答案：65°解析：本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质是解题的关键．先求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．解：如下图：∵∠ACB=90°，∠1=25°，∴∠3=90°−25°=65°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=65°．故答案为：65°．18.答案：55°解析：本题主要考查全等三角形的性质和判定.全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，解答此题先证明△BED和△CDF全等，得出∠CFD=∠BDE=35°，即可求出∠EDF．解：∵FD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BED=90°，∠CDF=∠BDF=90°，∵BE=CD，BD=CF，∴△BED≌△CDF，∴∠CFD=∠BDE，∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°，∴∠BDE=35°，∴∠EDF=90°−∠BDE=55°．故答案为55°．19.答案：解：原式=−(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a−2)2+aa−2=−a+2a−2+aa−2=−2a−2，当a=1时，原式=2．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.答案：解：原式=−1+2−(2−√3)−2×√32=−1+2−2+√3−√3=−1．解析：直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：(1)20 2(2)C类女生有2人，C类所占的百分比为1−10%−15%−50%=25%．补充统计图如下图所示；(3)根据张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，P(一男一女)=36=12．故答案为：20，2．解析：解：(1)调查学生数为3÷15%=20(人)，“C”类别学生数为20×(1−10%−15%−50%)=5(人)，其中男生有3人，C类女生有5−3=2(人)；(2)见答案(3)见答案(1)用A类人数÷A类所占的百分比，得出调查的学生总数，再根据扇形图得出“C”类人数，减去“C”类男生数，即可得出“C”类女生数；(2)根据(1)中求出的“C”类别女生数，可将条形图补充完整，用1减去A、B、D类所占的百分比，得出C类所占的百分比，可将扇形统计图补充完整；(3)由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=12∠ABD=∠FDB，∴EB//DF，∵ED//BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE=√3=2√33，BF=BE=2AE=4√33，故菱形BFDE的面积为：4√33×2=8√33．解析：本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．(1)根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB//DF，DE//BF，根据平行四边形判定推出即可；(2)求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．23.答案：解：(1)设A文具为x只，则B文具为(100−x)只，可得：10x+15(100−x)=1300，解得：x=40．答：A文具为40只，则B文具为100−40=60只；(2)设A文具为x只，则B文具为(100−x)只，可得(12−10)x+(23−15)(100−x)≤40%[10x+15(100−x)]，解得：x≥50，设利润为y，则可得：y=(12−10)x+(23−15)(100−x)=2x+800−8x=−6x+800，因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=−50×6+800=500元．解析：此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，关键是根据题意列出方程和不等式，根据函数是减函数进行解答．(1)设A文具为x只，则B文具为(100−x)只，根据题意列出方程解答即可；(2)设A文具为x只，则B文具为(100−x)只，根据题意列出不等式，得到x≥50，然后列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．24.答案：(1)证明：如图，连接OD，则OD=OA，∴∠，2=∠3，∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD//AF，又∵EF⊥AF，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠3+∠ODB=90°，由(1)可知，∠ODB+∠EDB=90°，∴∠EDB=∠3=∠2，∵∠E=∠E，∴△EDB∽△EAD，∴EBED =EDEA，∵EBED =√3，∴EDEA =√3，∴EA=√3ED=√3×√3EB=3EB，∴EB=r=4，在Rt △ODE 中，，∴∠E =30°，连接BC ，则BC ⊥AF ，∴BC//EF ，∴∠ABC =∠E =30°，在Rt △ACB 中，AC =12AB =4，在Rt △AFE 中，AF =12AE =6，∴FC =AF −AC =6−4=2．解析：本题考查了圆周角定理，切线的判定和性质，角平分线定义，平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，掌握和灵活运用圆周角定理是解题关键．(1)连接OD ，只要证明OD ⊥EF 即可证明EF 是⊙O 的切线；(2)首先证明△EDB∽△EAD ，得到EB =4，然后利用解直角三角形证明∠E =30°，再根据直角三角形的性质即可求出FC 的长．25.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,−3)，∴{a ×(−1)2+b ×(−1)+c =0a ×32+3b +c =0c =−3，解得，{a =1b =−2c =−3，即此抛物线的解析式是y =x 2−2x −3；(2)存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，由题意D(1,−4)，设点P 的坐标为(1,y)，当PA =PD 时，√(−1−1)2+(0−y)2=√(1−1)2+(−4−y)2，解得，y =−32，即点P 的坐标为(1,−32)；当DA=DP时，√(−1−1)2+[0−(−4)]2=√(1−1)2+(−4−y)2，解得，y=−4±2√5，即点P的坐标为(1,−4−2√5)或(1,−4+2√5)；当AD=AP时，√(−1−1)2+[0−(−4)]2=√(−1−1)2+(0−y)2，解得，y=±4，即点P的坐标是(1,4)或(1,−4)，当点P为(1,−4)时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1,−32)或(1,−4−2√5)或(1,−4+2√5)或(1,4)．解析：本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．(1)根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点，可以求得抛物线的解析式；(2)首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．26.答案：解：(1)令y=0，则ax2−2ax−3a=0，解得x1=−1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A(−1,0)，如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF//OC，∴OFOA =CDAC，∵CD=4AC，∴OFOA =CDAC=4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y =ax 2−2ax −3a 得，y =5a ，∴D(4,5a)，把A 、D 坐标代入y =kx +b 得{−k +b =04k +b =5a， 解得{k =a b =a， ∴直线l 的函数表达式为y =ax +a ．(2)如图1，过点E 作EN ⊥y 轴于点N设点E(m,a(m +1)(m −3))，y AE =k 1x +b 1，则{a(m +1)(m −3)=mk 1+b 10=−k 1+b 1， 解得：{k 1=a(m −3)b 1=a(m −3)， ∴y AE =a(m −3)x +a(m −3)，M(0,a(m −3))∵MC =a(m −3)−a ，NE =m∴S △ACE =S △ACM +S △CEM =12[a(m −3)−a]+12[a(m −3)−a]m =12(m +1)[a(m −3)−a]=a 2(m −32)2−258a ， ∴有最大值−258a =54， ∴a =−25； (3)令ax 2−2ax −3a =ax +a ，即ax 2−3ax −4a =0，解得x 1=−1，x 2=4，∴D(4,5a)，∵y =ax 2−2ax −3a ，∴抛物线的对称轴为x =1，设P 1(1,m)，①若AD 是矩形的一条边，由AQ//DP 知x D −x P =x A −x Q ，可知Q 点横坐标为−4，将x =−4带入抛物线方程得Q(−4,21a)， m =y D +y Q =21a +5a =26a ，则P(1,26a)，∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP =90°，∴AD 2+PD 2=AP 2，∵AD 2=[4−(−1)]2+(5a)2=52+(5a)2，PD 2=[4−(−1)]2+(5a)2=52+(5a)2，∴[4−(−1)]2+(5a)2+(1−4)2+(26a −5a)2=(−1−1)2+(26a)2，即a 2=17，∵a <0，∴a =−√77， ∴P 1(1,−26√77).②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为(32,5a2)，Q(2,−3a)，m =5a −(−3a)=8a ，则P(1,8a)，∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠APD =90°，∴AP 2+PD 2=AD 2，∵AP 2=[1−(−1)]2+(8a)2=22+(8a)2，PD 2=(4−1)2+(8a −5a)2=32+(3a)2，AD 2=[4−(−1)]2+(5a)2=52+(5a)2，∴22+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2，解得a 2=14，∵a <0，∴a =−12，∴P 2(1,−4)．综上可得，P 点的坐标为P 1(1,−4)，P 2(1,−26√77).解析：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D 的坐标是本题的关键．(1)由抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．(2)设点E(m,a(m+1)(m−3))，y AE=k1x+b1，利用待定系数法确定y AE=a(m−3)x+a(m−3)，从而确定S△ACE=12(m+1)[a(m−3)−a]=a2(m−32)2−258a，根据最值确定a的值即可；(3)分以AD为对角线、以AP为边，AP为对角线、以AD为边，两种种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．。
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初三数学下期末第一次模拟试题(及答案)
坐标相等或互为相反数．
4．D
解析：D 【解析】 如图，连接 BE， ∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°． ∵把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°． ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
＞0）的图象上，AC∥BD∥y 轴，已知点 A，B 的横坐标分别为 1；2，△OAC 与△CBD 的 面积之和为 ，则 k 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
8．如图，正比例函数 y=k1x
与反比例函数
y=
k2 x
的图象相交于点
A、B 两点，若点
A的
坐标为（2，1），则点 B 的坐标是（ ）
A．（1，2）
2020-2021 长沙市长郡双语实验学校初三数学下期末第一次模拟试题(及答案)
一、选择题
1．九年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：90 分，95 分，96 分，96 分，95 分，89
分，则该同学这 6 次成绩的中位数是（ ）
A．94
B．95 分
C．95.5 分
D．96 分
2．点 P（m + 3，m + 1）在 x 轴上，则 P 点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）
B．（0，﹣4）
C．（4，0）
D．（2，0）
3．已知平面内不同的两点 A（a+2，4）和 B（3，2a+2）到 x 轴的距离相等，则 a 的值为
() A．﹣3
B．﹣5
C．1 或﹣3
D．1 或﹣5
2020-2021长沙市九年级数学下期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021长沙市九年级数学下期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．67B．3037C．127D．60372．如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（）．A．边AB的长度也变为原来的2倍；B．∠BAC的度数也变为原来的2倍；C．△ABC的周长变为原来的2倍；D．△ABC的面积变为原来的4倍；3．若35xx y=+，则xy等于（）A．32B．38C．23D．854．对于反比例函数y=1x，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1）B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限D．当x＜0时，y随x的增大而减小5．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．a C．a D．a6．在函数y＝21ax+（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣14，y2），（12，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y27．反比例函数k y x =与1(0)y kx k =-+≠在同一坐标系的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．如图，ABC △与ADE V 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3 B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:910．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ）A ．1：3B ．1：4C ．2：3D ．1：211．若反比例函数2y x=-的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y =-x +m 的图象上，则m 的取值范围是（ ） A ．22m ＞B ．-22m ＜ C ．22-22m m ＞或＜ D ．-2222m ＜＜12．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y=3x；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ）A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③ 二、填空题13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．14．如图，在平面直角坐标系内有一点()5,12P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余弦值为______.15．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．16．已知一个反比例函数的图象经过点(2,3)--，则这个反比例函数的表达式为________.17．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，这时CD ＝2，则AB ＝_____．18．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．19．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）三、解答题21．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°，在点A 处有一栋居民楼，AO ＝320m ，如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向行驶时．（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；（2）如果行驶的速度为72km /h ，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？22．如图1，为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm .长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一水平面上.（1）旋转连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE .（2）将（1）中的连杆CD 绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠=︒，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，参考数2 1.41≈3 1.73≈）23．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53︒的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得6BE =米，塔高9DE =米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到0.1，参考数据：sin530.7986︒≈，cos530.6018︒≈，tan53 1.3270︒≈）．24．如图，直线y=12x+2与双曲线y=k x相交于点A （m ，3），与x 轴交于点C ． （1）求双曲线的解析式；（2）点P 在x 轴上，如果△ACP 的面积为3，求点P 的坐标．25．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC 、BE 的长？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题解析：如图，过点B 作BP ⊥AC ，垂足为P ，BP 交DE 于Q ．∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BP，∴BP=·341255 AB BCAC⨯==．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DE BQ AC BP=．设DE=x，则有：1251255xx-=，解得x=60 37，故选D．2．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．【详解】解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；∴∠BAC的度数与原来的角相等，故B错误；∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；故选B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．3．A解析：A【解析】【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.【详解】根据比例的基本性质得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得32xy，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键. 4．D解析：D【解析】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1x的图象上，故本选项错误；B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．故选B．5．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．6．A解析：A【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y 1，y 2，y 3的大小关系即可．【详解】∵反比例函数的比例系数为a 2+1＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y 随x 的增大而减小．∵﹣114-＜＜0，∴点（﹣1，y 1），（14-，y 2）在第三象限，∴y 2＜y 1＜0． ∵12＞0，∴点（12，y 3）在第一象限，∴y 3＞0，∴y 2＜y 1＜y 3． 故选A ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．7．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k >0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A 错误；B 根据反比例函数的图象可知，k >0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B 正确；C 根据反比例函数的图象可知，k <0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C 错误；D 根据反比例函数的图象可知，k <0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D 错误．故选B【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.8．D解析：D【解析】【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC=， 故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A的对应点为点'A，点B的对应点B'，点C的对应点为点C'.9．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．10．D解析：D【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=14DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3．∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．11．C解析：C【解析】【分析】根据题意可知反比例函数2yx=-的图象上的点关于y轴的对称的点在函数2yx=上，由此可知反比例函数2yx=的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.【详解】∵反比例函数2yx=-上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上，∴反比例函数2yx=与一次函数y=-x+m有两个不同的交点，联立得2y x y x m ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得：2x m x =-+， 整理得：220x mx -+=，∵有两个不同的交点∴220x mx -+=有两个不相等的实数根，∴△=m 2-8＞0，∴m ＞m ＜故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.12．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 详解：①y =﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误；②y =3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误； ③y =2x 2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确；④y =3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确．故选B ． 点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题13．四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【详解】解：设竹竿的长度为x 尺∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺标杆长=一尺五寸=15尺影长五寸=05尺∴＝解得x=45（尺）故答案为：四丈解析：四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x 尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴x 15＝1.50.5，解得x=45（尺）．故答案为：四丈五尺．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．14．【解析】【详解】如图过点P作PA⊥x轴于点A∵P(512)∴OA=5PA=12由勾股定理得OP=∴故填：【点睛】此题考查锐角三角函数的定义先构建直角三角形确定边长即可得到所求的三角函数值解析：5 13【解析】【详解】如图，过点P作PA⊥x轴于点A，∵P(5,12)，∴OA=5，PA=12，由勾股定理得OP=222251213OA PA+=+=,∴5 cos13OAOPα==,故填：5 13.【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，先构建直角三角形，确定边长即可得到所求的三角函数值. 15．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯解析：7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.【详解】根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，∴527+=，∴最多是7个，故答案为：7.【点睛】本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.16．【解析】【分析】把已知点的坐标代入可求出k 值即得到反比例函数的解析式【详解】设这个反比例函数的表达式为了则所以这个反比例函数的表达式为故答案是：【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式解题关 解析：6y x =【解析】【分析】把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．【详解】 设这个反比例函数的表达式为了(0)k y k x=≠，则 (2)(3)6k =-⨯-=， 所以这个反比例函数的表达式为6y x =. 故答案是：6y x=. 【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是设关系式、再将已知点坐标代入，从而求解即可． 17．6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似然后利用相似三角形的性质求解【详解】∵OA＝3ODOB ＝3CO∴OA：OD ＝BO ：CO ＝3：1∠AOB＝∠DO解析：6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】∵OA ＝3OD ，OB ＝3CO ，∴OA ：OD ＝BO ：CO ＝3：1，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴31AO AB OD CD ==，∴AB ＝3CD ，∵CD ＝2，∴AB ＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．18．4【解析】∵线段b 是ac 的比例中项∴解得b ＝±4又∵线段是正数∴b＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去解析：4【解析】∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．19．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O 连接OBOC 交AB 于D∴OC⊥ABBD=AB 由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O ，连接OB ，OC 交AB 于D ，∴OC ⊥AB ，BD=12AB ， 由图知，AB=16﹣4=12cm ，CD=2cm ，∴BD=6，设圆的半径为r ，则OD=r ﹣2，OB=r ，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得，OB 2=AD 2+OD 2，∴r 2=36+（r ﹣2）2，∴r=10cm ，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.【解析】【分析】根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．三、解答题21．（1）居民楼会受到噪音的影响；（2）影响时间应是12秒．【解析】【分析】（1）作AC ⊥ON 于C ，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC ＝12AO ＝160，则点A 到MN 的距离小200，从而可判断学校会受到影响；（2）以A 为圆心，100为半径画弧交MN 于B 、D ，如图，则AB ＝AD ＝200，利用等腰三角形的性质得BC ＝CD ，接下来利用勾股定理计算出BC ＝120，所以BD ＝2BC ＝240，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【详解】（1）如图：过点A 作AC ⊥ON ，∵∠QON ＝30°，OA ＝320米，∴AC ＝160米，∵AC ＜200，∴居民楼会受到噪音的影响；（2）以A 为圆心，200m 为半径作⊙A ，交MN 于B 、D 两点，即当火车到B 点时直到驶离D 点，对居民楼产生噪音影响，∵AB ＝200米，AC ＝160米，∴由勾股定理得：BC ＝120米，由垂径定理得BD ＝2BC ＝240米，∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间应是：240÷20＝12秒．【点睛】此题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（1）39.6DE cm ≈；（2）下降了，约3.2cm .【解析】【分析】（1）如图2中，作BO ⊥DE 于O ．解直角三角形求出OD 即可解决问题．（2）作DF ⊥l 于F ，CP ⊥DF 于P ，BG ⊥DF 于G ，CH ⊥BG 于H ．则四边形PCHG 是矩形，求出DF ，再求出DF-DE 即可解决问题．【详解】（1）过点B 作BO DE ⊥，垂足为O ，如图2，则四边形ABOE 是矩形，1509060OBD =-=o o o ∠， ∴sin 6040sin 60203DO BO =⋅=⨯=o o∴203539.6DE DO OE DO AB cm =+=+=+≈.（2）下降了.如图3，过点D 作DF l ⊥于点F ，过点C 作CP DF ⊥于点P ，过点B 作BG DF ⊥于点G ，过点C 作CH BG ⊥于点H ，则四边形PCHG 为矩形，∵60CBH ︒∠=，∴30BCH ︒∠=，又∵165BCD ︒∠=，∴45DCP ︒∠=，∴sin 60103CH BC ︒==*sin 45102DP CD ==，∴DF DP PG GF DP CH AB =++=++1021035=.∴下降高度：20351021035DE DF -=-103102=3.2cm ≈. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．9.6米．【解析】试题分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB 和AC 的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB 和AC 的长度，即可得到结论．试题解析：解：∵AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =90°，AB ∥DE ，∴△F AB ∽△FDE ，∴AB FB DE FE = ，∵FB =4米，BE =6米，DE =9米，∴4946AB =+，得AB =3.6米，∵∠ABC =90°，∠BAC =53°，cos ∠BAC =AB AC ，∴AC =cos AB BAC ∠ =3.60.6=6米，∴AB +AC =3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．24．（1）6y x=（2）(-6,0)或(-2,0). 【解析】分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t 的方程，则可求得P点坐标．详解：（1）把A点坐标代入y=12x+2，可得：3=12m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6x；（2）在y=12x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=12×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴12×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．25．BC=6，BE=5【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得BFBE=3BC=24，则可计算出BC=6，BF=12BE，然后利用12BE+BE=7.5求出BE的长．【详解】∵l1∥l2∥l3，∴FBBE=ABBC=ADDE，即BFBE=3BC=24，∴BC=6，BF=12BE，∴12BE+BE=7.5，∴BE=5．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．。
2021年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学一模试题
（2）判断函数y=x+m与y=3x-1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
（3）已知函数y=x+m与y=x2-（2m+1）x+（m2+3m-3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．
A．20°B．25°C．30°D．35°
10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计， ≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为( )
（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
22．准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
14．分解因式： =_____________．
15．一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为___．
16．圆内接正六边形的边心距为2 cm，则这个正六边形的面积为_____cm2．
17．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为_____．
18．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝ BD；③BN＋DQ＝NQ；④ 为定值 ．一定成立的是_____．
湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学2020年中考数学一模试卷 解析版
2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学一模试卷一．选择题（共12小题）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3B．|﹣4|C．﹣D．2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a34．下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则∠ACD 的正切值是（）A．B．C．D．6．如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（）A．48°B．58°C．60°D．64°8．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB＝105°，那么∠B的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m11．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（）A．y＝x2B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1D．y＝2x2﹣4x+2二．填空题（共6小题）13．函数y＝中自变量x的取值范围是．14．分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝．15．一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为．16．圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为cm2．17．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为．18．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP ＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是．三．解答题19.计算：﹣12020+（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°．20.先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入．21.王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C 落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．23.由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）24.如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．25.定义：（i）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（ii）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+3m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2020年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3B．|﹣4|C．﹣D．【分析】根据绝对值的性质先得出|﹣4|＝4，再根据有理数的大小比较的法则进行比较即可．【解答】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣3＜﹣＜＜|﹣4|，∴最小的数是﹣3，故选：A．2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a3【分析】根据同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法计算判断即可．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，错误；B、2（a+1）＝2a+2，错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；D、a6÷a3＝a3，正确；故选：D．4．下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取抽样调查的方式，故选项A错误，一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数分别是3、5，故选项B错误，投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”，但不一定有50次“正面朝上”，故选项C错误，若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故选项D正确，故选：D．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则∠ACD 的正切值是（）A．B．C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan ∠ACD的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，CD＝5，∴AB＝10，∴AC＝8，∴tan∠A＝＝，∴tan∠ACD的值．故选：D．6．如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．【解答】解：如图所示：该几何体的俯视图是：．故选：C．7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（）A．48°B．58°C．60°D．64°【分析】如图，连接BD．证明∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝32°即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝32°，∴∠DAB＝90°﹣∠B＝58°，故选：B．8．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式组得解集为：x≥2．在数轴上表示为：．故选：A．9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB＝105°，那么∠B的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC，∵DC＝AC，∴∠A＝∠CDA，设∠B为x，则∠BCD＝x，∠A＝∠CDA＝2x，可得：x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，即∠B＝25°，故选：B．10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝60m，∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30≈51（m）．故选：B．11．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，故选：B．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（）A．y＝x2B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1D．y＝2x2﹣4x+2【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣有且只有一个公共点，也就是说方程ax2+bx+c＝k（x﹣1）﹣k2只有一个解，即△＝0．【解答】解：联立方程组，∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）﹣k2，整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+k2＝0，∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，故选：C．二．填空题（共6小题）13．函数y＝中自变量x的取值范围是x＞﹣1．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1＞0，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．14．分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x﹣2y）2．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．故答案是：x（x﹣2y）2．15．一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为 6.5×10﹣6．【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．【解答】解：0.0000065＝6.5×10﹣6．故答案为6.5×10﹣6．16．圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为24cm2．【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG＝2，∠AOG＝30°，∵OG＝OA•cos 30°，∴OA＝＝＝4cm，∴这个正六边形的面积为6××4×2＝24cm2．故答案为：24．17．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为34°．【分析】先根据余角的性质得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，∠1＝56°，∴∠3＝90°﹣56°＝34°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠3＝34°．故答案为：34°．18．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP ＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是①②③④．【分析】由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM＝∠NAM＝45°，由等角对等边知，AM＝MN，故①正确；由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS＝NW，所以AB+BN＝SB+BW＝2BW，而BW：BM＝1：，所以，故④正确．因为∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，在∠NAM作AU＝AB＝AD，且使∠BAN＝∠NAU，∠DAQ＝∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN＝∠UAQ＝90°，BN＝NU，DQ＝UQ，即可得出结论，故③正确；【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN＝∠ABC＝90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，∴∠ANM＝∠NAM＝45°，∴由等角对等边知，AM＝MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR＝NQ，则BN＝NU，DQ＝UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ＝QU+UN＝NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS＝NW，∴AB+BN＝SB+BW＝2BW，∵BW：BM＝1：，∴，故④正确．故答案为：①②③④．三．解答题19.计算：﹣12020+（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°．【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】511：实数；66：运算能力．【分析】直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+4﹣（2﹣）﹣2×＝﹣1+4﹣2+﹣＝1．20.先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝（a＝0，1，2时，原式没有意义）．21.王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是20，其中C类女生有2名，D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为36度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360°乘以D类别人数占总人数的比例即可得；（2）根据以上所求结果可补全图形；（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次随机抽取的样本容量是（1+2）÷15%＝20，C类女生有20×25%﹣3＝2（名），D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为360°×＝36°，故答案为：20、2、1、36；（2）补全图形如下：（3）画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为＝．22.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C 落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．【考点】L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】55：几何图形．【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和面积解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，BE＝2，∴AE＝1，BF＝BE＝2AE＝2，∴AB＝，∴菱形BFDE的面积为：2×＝2．23.由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）【考点】8A：一元一次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．【专题】12：应用题；521：一次方程（组）及应用．【分析】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据销售收入为300万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润＝售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．【解答】解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）＝300，解得：x＝10，则20﹣x＝20﹣10＝10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W＝（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）＝1.8y+64，当y＝15时，W最大，最大值为91万元．24.如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．【考点】KO：含30度角的直角三角形；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．【专题】554：等腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力．【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA+OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC ＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵DE⊥OA，∴∠HED＝90°，∴∠H+∠D＝90°，∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，∴∠BOC＝∠D，∴∠H+∠BOC＝90°，∴∠OCH＝90°，∴DC⊥OC，∴DC与⊙O相切；（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：则AG∥OC，∵DC⊥OC，∴∠OCH＝90°，∵∠BOC＝∠D，OC＝4，∴cos∠BOC＝＝，∴OH＝OC＝5，∴AH＝OA+OH＝4+5＝9，CH＝＝＝3，∵AG∥OC，∴△OCH∽△AGH，∴＝＝＝，∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，∴AC＝＝＝．25.定义：（i）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（ii）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+3m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】535：二次函数图象及其性质．【分析】（1）联立解析式消去y，得到关于x的方程，若方程有实根则这两个函数为“合作函数”；把m＝2代入函数，联立解析式求出x的值即为合作点；（2）联立解析式求出x的值即为合作点，x的值还需要满足条件|x|≤2，从而得到关于m 的不等式，求出答案即可；（3）①联立解析式求出x的值，根据条件“0≤x≤5”和有唯一合作点列出关于m的不等式求解即可；②共赢点即为y1+y2的最大值，而y1+y2是二次函数且开口向上，所以最大值在端点求得，分别将x＝0或5代入解析式求出最大值等于10，得到关于m的方程求解即可．【解答】解：（1）若y1＝y2时，则x+m＝，∴x2+mx﹣3＝0．此时△＝m2+12＞0，∴方程总有两个不等实根，∴函数y＝x+m和y＝是“合作函数”．当m＝2时，由x+2＝，则x2+2x﹣3＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1所以，当m＝2时它们的合作点为﹣3和1；（2）若y1＝y2时，则x+m＝3x﹣1，解得，x＝．∵|x|≤2，∴||≤2．解得，﹣5≤m≤3．所以当﹣5≤m≤3时，函数y＝x+m和y＝3x﹣1是“合作函数”，合作点为x＝．当m＜﹣5或m＞3时，函数y＝x+m和y＝3x﹣1不是“合作函数”．（3）①由y1＝y2得，x+m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+3m﹣3）即x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，∴x1＝m﹣1，x2＝m+3．又∵0≤x≤5且有唯一合作点，∴或解得2＜m≤6或﹣3≤m＜1．②y1+y2＝x+m+x2﹣（2m+1）x+（m2+3m﹣3）＝x2﹣2mx+m2+4m﹣3当x＝0取最大值时，y1+y2＝m2+4m﹣3＝18解得m1＝﹣7（舍去），m2＝3．当x＝5取最大值时，y1+y2＝25﹣10m+m2+4m﹣3＝18，解得m1＝3﹣，m2＝3+（舍弃）．综上，m的值为3或3﹣．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE＝k1x+b1，利用待定系数法确定y AE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为边或对角线2种情况讨论即可．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴＝，∵CD＝4AC，∴＝＝4，∵OA＝1，∴OF＝4，∴D点的横坐标为4，代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y＝kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE＝k1x+b1，则，解得：，∴y AE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM＝[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a＝，∴a＝﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P＝x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x＝﹣4代入抛物线方程得Q （﹣4，21a），m＝y D+y Q＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，解得a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．。
2020年湖南省长沙市长郡双语实验中学中考数学模拟试卷
中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.给出下列四个数：-1，0，3.14，，其中为无理数的是（）A. -1B. 0C. 3.14D.2.下面四个图形分別是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.3.下列运算正确的是（）A. B. （-xy2）3=-x3y6C. （-x）5÷（-x）2=x3D. =-44.在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差5.若点P（a-3，a-1）是第二象限内的一点，则a的取值范围是（）A. a＞3B. a＜3C. a＞1D. 1＜a＜36.一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（）A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形7.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°8.若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 6cm9.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A. B.C. D.10.近年来，快速业成为我国经济的一匹“黑马“，2018年我国快递业务量为507亿件，2020年快递量将达到700亿件，设快递量平均每年增长率为x．则下列方程中正确的是（）A. 507（1+x）=700B. 507（1+2x）=700C. 507（1+x）2=700D. 700（1-x）2=50711.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（）A.B.C.D.12.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①A、B之间的距离为1200m；②甲行走的速度是乙的1.5倍；③b=960；④a=34．以上结论正确的有（）A. ①④B. ①②③C. ①③④D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.分解因式：ab2+a2b=______．14.不等式组的非负整数解是______．15.若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|= ______．16.一个密闭不透明的盒子里有若干个质地、大小均完全相同的白球和黑球，在不允许将球倒出来的情况下，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，则从中随机摸出一个球是白球的概率为______．17.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，则k的值为________．18.如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF=1：2，则S△CEF：S▱ABCD=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣20.先化简，再求值：，其中a=2，b=-．四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）21.为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门)．对调查结果进行整理，绘制成如图的两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：(1)本次调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，m的值是_______；(2)将条形统计图补充完整；(3)在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．22.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：△AEH≌△CGF．（2）若∠EFG=90°．求证：四边形EFGH是正方形．23.某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜40元．（1）问购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问最多购买垃圾箱多少个？24.如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：BD＝DE；（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．25.如图，一次函数y1=k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（-1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求△OBD的面积；（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．26.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，以PD为直径的⊙E与直线AB相交于点G，求DG的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：在所列实数中，无理数是，故选：D．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．2.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、（-xy2）3=-x3y6，故此选项错误；C、（-x）5÷（-x）2=-x3，故此选项错误；D、=-4，正确．故选：D．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】A【解析】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，故选：A．由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5.【答案】D【解析】解：∵点P（a-3，a-1）是第二象限内的一点，∴，解得：1＜a＜3，故选：D．根据点的坐标得出不等式组，求出不等式组的解集即可．本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵360÷40=9，∴这个正多边形的边数是9．故选：D．根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．7.【答案】C【解析】解：∵∠D=40°，∴∠B=∠D=40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-40°=50°,故选C．先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，S圆锥侧面积=×2πr×6=，解得：r=3，故选：C．由于圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是圆心角为180°扇形，设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrvm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用扇形的面积公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解．本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．9.【答案】D【解析】解：由三视图可知，这个几何体是．故选：D．根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有三行两列，再根据俯视图即可求解．此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．10.【答案】C【解析】解：设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：507（1+x）2=700．故选：C．设快递量平均每年增长率为x，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，CF=，由题意得∠E=30°，∴EF=，∴BE=BC+CF+EF=6+4，∴AB=BE×tan E=（6+4）×=（2+4）米，故选：B．延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：①当x=0时，y=1200，∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②乙的速度为1200÷（24-4）=60（m/min），甲的速度为1200÷12-60=40（m/min），60÷40=1.5，∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②错误；③b=（60+40）×（24-4-12）=800，结论③错误；④a=1200÷40+4=34，结论④正确．故结论正确的有①④．故选：A．①由x=0时y=1200，可得出A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②根据速度=路程÷时间可求出乙的速度，再根据甲的速度=路程÷时间-乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②错误；③根据路程=二者速度和×运动时间，即可求出b=800，结论③错误；④根据甲走完全程所需时间=两地间的距离÷甲的速度+4，即可求出a=34，结论④正确．综上即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．13.【答案】ab（a+b）【解析】【分析】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．通过提取公因式ab进行因式分解．【解答】解：原式=ab（a+b）．故答案是：ab（a+b）．14.【答案】0，1，2【解析】解：解不等式①得x≤2；解不等式②得x＞-2∴原不等式组的解是-2＜x≤2，∴不等式组的非负整数解0，1，2，故答案为0，1，2．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15.【答案】a+b+c【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边，同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边．【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，∴|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|=b+c-a+c+a-b+a+b-c=a+b+c；故答案是a+b+c．16.【答案】【解析】解：∵共摸球400次，其中80次摸到黑球，∴320次摸到白球，∴从中随机摸出一个球是白球的概率为，故答案为：可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义和相似三角形的判定与性质，属于中档题．作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，证明Rt△OBD∽Rt△AOC，利用相似三角形的性质得到=，利用反比例函数k的几何意义得到=，从而解绝对值方程得到满足条件的k的值．【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC=90°，∵∠BOD+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD，∴Rt△OBD∽Rt△AOC，∴=（）2=（）2=，∵S△OBD=|k|，S△AOC=×4=2，∴=，而k＜0，∴k=-．故答案为-．18.【答案】1：24【解析】解：设CF=a，DF=2a，S△CEF=S，则CD=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3a，AB∥CF，∴△CFE∽△ABE，∴===，∴=，∴S△ABE=9S，∴S△BCE=3S，∵S△ABC=S△ABE+S△BCE=12S，∴S平行四边形ABCD=2•S△ABC=24S，∴S△CEF：S▱ABCD=1：24，故答案为1：24．设CF=a，DF=2a，S△CEF=S，则CD=3a．利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题．本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=2-2×1+4×-2=2-2+2-2=0．【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义进行计算．20.【答案】解：原式=+=+=，当a=2，b=-时，原式==．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a和b的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与运算法则．21.【答案】解：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%；故答案为：50；30%；（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），条形统计图补充如下：；（3）∵5-2=3（名），男1男2男3女1女2男1---男2男1男3男1女1男1女2男1男2男1男2---男3男2女1男2女2男2男3男1男3男2男3---女1男3女2男3女1男1女1男2女1男3女1---女2女1女2男1女2男2女2男3女2女1女2---况有12种，则P（一男一女）==．【解析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．22.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．∵AE=CG，AH=CF，∴EB=DG，HD=BF．∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF=HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH=GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG=∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG=∠FEG，∴∠FGE=∠FEG，∴EF=GF，又∵∠EFG=90°，∴平行四边形EFGH是正方形．∴四边形EFGH是菱形．【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是正方形．本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．23.【答案】（1）解：设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，依题意得，，解得：答：购买1个温馨提示牌需要60元，购买1个垃圾箱需要100元．（2）解：设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100-m）个，依题意得60（100-m）+100m≤8000，解得m≤50，答：最多购买垃圾箱50个．【解析】（1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据费用不超过8000元，可得不等式，根据解不等式，可得答案．本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意得出不等关系是解题关键．24.【答案】（1）证明：∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∵EC⊥AO，∴∠ACE=90°，∴∠A+∠AEC=90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°，∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠AEC=∠DBE，∵∠AEC=∠BED，∴∠DEB=∠DBE，∴DB=DE；（2）解：连接OE，∵OA=OB，E是AB的中点，∴∠OEB=90°，∵BD=DE，∠BDE=60°，∴△BDE是等边三角形，∠OBE=30°，∴BE=DE=，∴OB===2．【解析】本题考查切线的性质、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；（2）连接OE．只要证明△BDE是等边三角形，可得BE=DE=，再解直角三角形即可求得OB．25.【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），∴k=3×1=3，∴反比例函数的解析式为；把B（-1，n）代入反比例函数解析式，可得n=-3，∴B（-1，-3），把A（3，1），B（-1，-3）代入一次函数y1=k1x+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1=x-2；（2）令y1=0，有0=x-2，即x=2，∴D（2，0），OD=2，如图，过B作BE⊥x轴于点E，∵B（-1，-3），∴BE=3，∴S△BOD=×OD×BE=×2×3=3；（3）由图象可知，当-1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，所以k1x+b＞的解集是-1＜x＜0或x＞3．【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，本题属于中等题型．（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD 的面积；（3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．26.【答案】解：（1）在函数y=x-1中，当y=0时，x=2，∴A（2，0），当x=-6时，y=-4，∴B（-6，-4），将A（2，0），B（-6，-4）代入y=-x2+bx+c中，得，解得，∴该抛物线得解析式为y=-x2-x+4…①；（2）存在，理由：设直线AB交y轴于点C，则点C（0，-1），如图所示，作线段AB的垂直平分线交x轴于点F、交y轴于点E，由A、B点坐标得：则点E（-2，-2），则AE==2，tan∠OAC=，即：=，则AF=5，故点F（-3，0），由点E（-2，-2）、F（-3，0）得直线EF的表达式为：y=-2x-6…②，联立①②并解得：x=-4或6（舍去x=6），故点P的坐标为（-4，2），PE==2；（3）如下图所示，PD为直径，则∠PGD=90°，即：PG⊥AC∠OAC=90°-∠PDC=∠DPG，在Rt△AOC中，sin∠OAC==sin∠DPG，则GD=PD sin∠DPG，设点P坐标为（x，-x2-x+4），则点D（x，x-1），GD=PD sin∠DPG=（-x2-x+4-x+1），当x=-=-2时，GD最大，最大值为：．【解析】（1）在函数y=x-1中，求出A（2，0）、B（-6，-4），将A（2，0），B（-6，-4）代入y=-x2+bx+c中，即可求解；（2）存在，理由：由A、B点坐标得：则点E（-2，-2），则AE==2，tan∠OAC=，即：=，则AF=5，可得直线EF的表达式为：y=-2x-6…②，联立①②即可求解；（3）GD=PD sin∠DPG=（-x2-x+4-x+1），即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
长沙市长郡教育集团2020—2021学年初三下期中考试数学试卷
长沙市长郡教育集团2020—2021学年初三下期中考试数学试卷数 学 试 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确的选项，请把正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上．1． 31-的倒数是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．31-D ．31 2．下列运算正确的是( ).A.532a a a =+B.632a a a =⋅C. 6328)2(a a -=- D ． 248a a a =÷ 3.南海资源丰富,其面积约为350万平方千米,相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍.其中350万用科学记数法表示为 ( )A. 3.6510⨯B.3.7510⨯C. 0.83510⨯D.3.9510⨯4. 连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为那个几何图形的直径，依照此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5. 不等式组⎩⎨⎧≥+->-2142x x 的解集在数轴上表示为（ ）A B C D6．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A .当AB =BC 时，它是菱形 B .当AC ⊥BD 时，它是菱形C .当∠ABC =90°时，它是矩形D .当AC =BD 时，它是正方形圆柱 正方体 圆锥 球1221218. A 、B 两地相距10千米,甲、乙二人同时从A 地动身去B 地,甲的速度是乙的速度的2倍,结果甲比乙早到13小时.设乙的速度为x 千米/时,则可列方程为 ( ) A.1010123x x -= B. 1010123x x -= C. 101123x x += D. 1011032x x += 9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为( ) A ． 2 B.3 C.2 D.110． 给出四个命题：①正八边形的每个内角差不多上135°；②半径为1cm 和3cm 的两圆内切，则圆心距为4cm ；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°；④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2－7x ＋12=0的两个根，则它外接圆的半径长为2.5以上命题正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.假如﹣2+△=﹣8，则“△”表示的数应是 ．12.一元二次方程0)1(=-x x 的解是 ．13.因式分解：3a 2﹣3= ．14．函数13++=x x y 的自变量x 的取值范畴是 ． 15.新概念：[a ，b]为一次函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程 11x -+1m=1的解为 ． 16．如图，在正方形网格中，∠AOB 的正切值是17．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，若β=110°，求α= 度．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展平后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论：①AE=AG ；②tan ∠AGE=2；③EFOG DOG S S 四边形=∆；④四边形ABFG 为等腰梯形；⑤BE=2OG 。
2020年湖南省长沙市天心区长郡中学中考数学模拟试卷
2020年湖南省长沙市天心区长郡中学中考数学模拟试卷一、填空题（每题2分，共20分）1．（2分）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝．2．（2分）计算20+（）﹣1的结果是．3．（2分）α＝﹣的倒数是．4．（2分）若a＝2，b＝6，c＝3，则a，b，c的第四比例项为．5．（2分）用科学记数法表示：﹣0.0000473＝，四舍五入得到的近似数76420保留两位有效数字后是．6．（2分）5的平方根是，算术平方根是．7．（2分）二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是．8．（2分）不等式组的解集是．9．（2分）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是．10．（2分）为了保护环境，环保部门每天都要对重点城市的空气污染情况进行监控和预报，当污染指数w≤50时，空气质量为优；当污染指数50＜w≤100时，空气质量为良；当污染指数100＜w≤150时，空气质量为轻度污染……现随机抽取某城市30天的空气质量情况统计如表：污染指数（w）407090110120140天数（t）389631估计这个城市一年（365天）中，空气质量达到良以上的天数是．二、选择题：（每题3分，共30分）11．（3分）下列运算中正确的是（）A．2x2+4x3＝6x5B．3x2•4x3＝12x6C．（﹣5x3）2＝﹣25x6D．10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x212．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x且x≠1D．x且x≠113．（3分）下列各式与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．14．（3分）某商品价格a元，降低10%后，又降低了10%，销售量猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品A．a元B．1.08a元C．0.972a元D．0.96a元15．（3分）已知方程2x2+3＝5﹣3x．若设＝y，则原方程可化为（）A．y2+5y+6＝0B．y2﹣5y﹣6＝0C．y2﹣5y+6＝0D．y2+5y﹣6＝016．（3分）判断方程的（2+）x2﹣2x+2﹣＝0根的情况（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．无法确定17．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．18．（3分）已知点A（a，0）在x轴的负半轴上，点（0，b）在y轴的正半轴上，那么点C（﹣a，﹣b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19．（3分）下列命题中，正确的命题是（）A．一组对边平行但不相等的四边形是梯形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形20．（3分）在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4B．5C．8D．10三、计算题（每题5分，共15分）21．（5分）计算：×（3﹣π）0×（﹣2）2++2cos30°﹣0.3﹣1．22．（5分）解方程：2x2+2x﹣3＝．23．（5分）化简求值：（+）×，其中a＝．四、作图题（共5分）24．（5分）如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．五、应用题（每问4分，共8分）25．（8分）我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方地区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定．北方某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7140264895152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式．六、证明题（每问5分，共10分）26．（10分）如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：（1）CD＝CB；（2）AD•DB＝2CD•DO．七、综合题（每问4分，共12分）27．（12分）如图：圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D．弦CM交OA于P，连结AM，已知tan∠PCO＝，PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．（1）求C点的坐标；（2）写出直线CM的函数解析式；（3）求△AMC的面积．2020年湖南省长沙市天心区长郡中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题2分，共20分）1．【解答】解：b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c）2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．故答案为：（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．2．【解答】解：原式＝1+4＝5，故答案为：5．3．【解答】解：＝＝+，故答案为：+4．【解答】解：设a，b，c的第四比例项为x，根据题意得a：b＝c：x，即2：6＝3：x，解得x＝9，即a，b，c的第四比例项为9．5．【解答】解：﹣0.0000473＝﹣4.73×10﹣5；76420≈7.6×104．故答案为：﹣4.73×10﹣5，7.6×104．6．【解答】解：5的平方根是±，算术平方根是．7．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1＝﹣3（x+1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．8．【解答】解：，由①得：x＞1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2．故答案为：1＜x≤2．9．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴它的每一个外角为45°．又因为多边形的外角和恒为360°，360°÷45°＝8即该正多边形为正8边形．故答案为：正八边形．10．【解答】解：根据题意得：×365＝36.5（天）．答：空气质量达到良以上的天数是36.5天；故答案为：36.5天．二、选择题：（每题3分，共30分）11．【解答】解：2x2+4x3不能合并，故选项A错误；3x2•4x3＝12x5，故选项B错误；（﹣5x3）2＝25x6，故选项C错误；10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x2，故选项D正确；故选：D．12．【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故选：B．13．【解答】解：A、＝3，与是同类二次根式；B、，与不是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、，与不是同类二次根式；故选：A．14．【解答】解：第一次降价后的价格为a×（1﹣10%）＝0.9a元，第二次降价后的价格为0.9a×（1﹣10%）＝0.81a元，∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）＝0.972a元，15．【解答】解：设y＝，则方程为y2﹣5y﹣6＝0．故选：B．16．【解答】解：△＝4﹣（2+）（2﹣）＝4﹣（4﹣3）＝3＞0，故选：A．17．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴cos A＝sin B＝．故选：C．18．【解答】解：∵点A（a，0）在x轴的负半轴上，∴a＜0，∴﹣a＞0，∵点（0，b）在y轴的正半轴上，∴b＞0，∴﹣b＜0，∴点C（﹣a，﹣b）在象四限，故选：D．19．【解答】解：A、一组对边平行但不相等的四边形是梯形，正确；B、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误；C、有一个角相等，相等的角不一定是对应角，错误；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可以是等腰梯形，错误．故选：A．20．【解答】解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴CD为⊙O的直径，由相交弦定理得，P A•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，故选：D．三、计算题（每题5分，共15分）21．【解答】解：原式＝×4+2﹣+2×﹣＝2+2﹣+﹣＝．22．【解答】解：设x2+x＝y，方程变形得：2y﹣3＝，整理得：2y2﹣3y﹣2＝0，即（2y+1）（y﹣2）＝0，解得：y＝﹣或y＝2，经检验都是分式方程的解，当y＝﹣时，x2+x＝﹣，即2x2+2x+1＝0，此方程无解；当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0，可得x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2，经检验x＝1与x＝﹣2都是原分式方程的解．23．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝＝＝+1时，原式＝＝＝．四、作图题（共5分）24．【解答】解：经过对角线的交点且互相垂直的两直线一定把平行四边形平分成四个面积相等的图形．25．【解答】解：（1）因七月份用水量为140吨，1.6×140＝224＜264，（2分）所以（4分）即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，（6分）又8月份用水量为95吨，1.6×95＝152，故取a＝100；（7分）（2）当0≤x≤100时，则y＝1.6x；当x＞100时，则y＝1.6x+x﹣100＝2.6x﹣100．即y＝．（10分）六、证明题（每问5分，共10分）26．【解答】解：（1）连接OB，∵CB与圆O相切，∴OB⊥BC，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∵AO⊥CO，∴∠OAB+∠ODA＝90°，∴∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB；（2）过点C作CH⊥DB于点H，∵CD＝CB，CH⊥DB，∴DH＝BH＝BD，∵∠ADO＝∠CDH，∠AOD＝∠CHD＝90°，∴△AOD∽△CHD，∴，∴AD•DH＝CD•DO，∴AD•DB＝CD•DO，∴AD•DB＝2CD•DO．七、综合题（每问4分，共12分）27．【解答】解：（1）如图，连接BC，∵PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．∴PC•PM＝20，∵tan∠PCO＝＝，∴设CO＝3x，PO＝2x，∵圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D，∴OC＝OB＝OD＝OA＝3x，∴AP＝x，∵∠AMC＝∠CBA，∠APM＝∠BPC，∴△AMP∽△CBP，∴，∴PC•PM＝AP•PB＝20，∴x•5x＝20，∴x＝2，x＝0（舍去）∴CO＝6，OP＝4，∴点C坐标（﹣6，0）；（2）∵OP＝4，∴点P（0，4）设直线CM的函数解析式为：y＝kx+b，∴解得：∴直线CM的函数解析式为：y＝x+4，（3）如图，过点M作MN⊥AB于N，∵CO＝6，OP＝4，∴CP＝＝＝2，∵CP•PM＝20，∴PM＝，∵MN⊥AB，CO⊥AB，∴MN∥CO，∴，∴∴MN＝，∵△AMC的面积＝×AP×（CO+MN）＝×2×（3+）＝．。