现代测量平差原理及其模型误差分析
第一讲测量平差中的误差处理概述(贵阳)
一、函数模型中未知参数太少对平差结果的影响 设正确选择未知数时平差模型为: X (1-2-1) 2 1
E (l ) A 1 n k
n(nk )
A2
X 2
1
D (l )
p
若选择未知数X2被漏掉,则平差模型为: E (l ) A X (1-2-2)
1
N 11 N 12 N 11 ~ 1 N 22
1
1
~ 1 1 N 22 N 22 N 21 N 11
ˆ 显然: D ( x1 ) 02 ( N 111 N 111 N 12 N 221 N 21 N 111 ) 3 单位权方差估值变大，当未知参数选择少时
~ 1 ~ 1 1 1 1 1 ( N 11 N 11 N 12 N 22 N 21 N 11 ) N 11 x 1 N 11 N 12 N 22 N 21 x 1
ˆ E ( x1 ) x1
无偏 即多选未知数对未知数的估值没有影响
2.未知数 x 1 的协方差变大 其协因素阵为:
T T T 所以 E (V PV ) E ( l PQ VV PQ VV Pl ) E ( l PQ VV Pl )
tr ( PQ VV ( P
2
1
)) ( A1 x 1 A 2 x 2 ) ( PQ VV P )( A1 x 1 A 2 x 2 )
T
T vv
tr ( PQ VV PP
1 1
D (l )
2
p
1
则由最小二乘有:
T 1 T ˆ X 1 ( A1 PA 1 ) A1 Pl
(1-2-3)
T 1 T
现代测量平差原理及其模型误差分析
现代测量平差原理及其模型误差分析一、现代测量平差原理（一）最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化测量残差的平方和来求取最优结果的方法。
其基本原理是，对于一个测量系统的观测数据，通过建立数学模型来描述测量关系，并在该模型中引入未知参数，然后通过最小化预测值与观测值之差的平方和来求取最优的未知参数估计值。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，其具有合理性、稳定性和统计优良性的特点。
在实际测量中，最小二乘法可以用于网络平差、方位角平差、高程平差等各种测量平差。
（二）加权最小二乘法加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上引入权重因子，用于修正观测数据的精度不均匀性。
在实际测量中，不同的观测数据具有不同的可信度和精度水平，因此需要对其进行加权处理。
通过引入权重因子，可以对精度较高的数据赋予较大的权重，从而有效地提高整体平差结果的精度。
在测量平差中，模型误差是指由于建立的数学模型无法完全精确地描述实际测量系统而产生的误差。
为了提高平差的准确性，需要对模型误差进行分析和控制。
（一）理论误差与观测误差在测量平差中，模型误差可以分为理论误差和观测误差两部分。
理论误差是指由于数学模型的简化、近似或假设所引入的误差，通常在建立模型时可以通过数学推导和模型检验来评估。
观测误差是指由于测量仪器、观测操作和环境等因素所引起的误差，具有随机性和系统性两种特征，通常通过实际观测和数据处理来估计。
（二）误差分析与控制误差控制是指通过优化观测设计、改进仪器设备、改进观测方法和提高数据处理等手段，减小观测误差和理论误差，并降低其对最终平差结果的影响。
常用的误差控制方法包括增加观测次数、提高观测仪器的精度和敏感度、加强仪器校准和检查、改进观测方法和数据处理算法等。
测量误差及测量平差分析
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
通常取两倍或三倍中误差作为极限误差，
也称容许误差：
限=2m
或 限=3m
第三节 误差传播定律
——观测值函数的中误差
●如果对某量进行直接观测，则可由观测值的真误差来计 算出中误差，从而判断观测成果的质量。
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
y f ()
1
2
e 2 2
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。 若观测值非常集中，则精度高； 若观测值非常离散，则精度低。
2
n
一.中误差
m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
•计算结果表明m1＜m2, •第一组观测精度高于第二组观测精度。 •不难看出，第一组误差分布比较集中， 而第二组误差分布比较离散，表明第二 组观测结果不稳定，精度比第一组低。
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； （有界性）
2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；（趋向性）
3、绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等；（对称性）
4、当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋于零。（抵偿性）
测量平差测量误差及其传播定律课件
地理信息获取
通过平差测量原理，获取高精度 地理信息数据，为地理信息系统
提供基础数据。
科学研究
在物理、化学、生物等领域，利 用平差测量原理对各种实验数据
进行处理和分析。
CHAPTER 03
误差传播定律
误差传播定律的定义
误差传播定律是测量平差中用来描述测量误差之间相互关系 的定律。它表明，当对一个或多个观测值进行数学运算时， 误差会按照一定的规律传播。
测量误差的来源
01
02
03
04
测量设备误差
设备精度、磨损、老化等因素 导致误差。
环境误差
温度、湿度、气压、风速等环 境因素影响测量结果。
操作误差
操作人员技能水平、操作习惯 等因素导致误差。
观测误差
观测过程中产生的随机误差和 系统误差。
测量误差的分类
系统误差
可预测且相对稳定的误差，如设 备误差。
随机误差
实例三：距离测量误差分析
总结词
距离测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括固定误差和比例误差； 人为误差包括读数误差和记录误差； 外界环境因素包括温度、气压和湿度 等气象因素的影响。
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感谢您的观看
总结词
水准测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
测绘技术中的平差原理及应用
测绘技术中的平差原理及应用导语：测绘技术在现代社会中扮演着极为重要的角色，它为我们提供了地理信息和地形数据，为城市规划、基础设施建设等提供了参考依据。
而平差作为测量中不可或缺的环节，更是保证了测绘数据的精确性和可靠性。
本文将介绍测绘技术中的平差原理及其应用，并探讨其在现代社会中的重要性。
一、平差原理的概述平差是测绘技术中一种重要的数据处理方法，它通过将测量结果进行修正和调整，消除误差，从而提高数据的准确性。
平差的基本原理是根据误差的传递规律，通过权衡各个观测值的权重来修正测量结果。
二、平差的分类根据观测数据量和形式的不同，平差可以分为间接平差和直接平差。
间接平差是指通过多个观测量之间的关系，将各个观测值进行联立求解的平差方法。
而直接平差是指通过最小二乘法求解各个观测值的平差方法。
三、平差的应用领域在测绘技术中，平差被广泛应用于各个领域。
首先，它在制图中起着关键作用。
通过对测量数据进行平差，可以获得更为准确的地形图和地图，为城市规划、土地利用等提供精确的基础数据。
其次，在工程测量中，平差也扮演着重要的角色。
在道路建设、大型桥梁和隧道的设计和施工过程中，平差可以提供精确的地形信息和测量结果，确保工程的顺利进行。
此外，平差还应用于船舶导航、航空导航等领域，为船只和飞机的航行提供准确的数据。
四、平差的实施步骤平差的具体实施步骤可以分为观测准备、观测操作、数据处理和结果分析等几个步骤。
首先，进行观测准备，包括确定目标区域、选择观测仪器，并进行校准和调整。
然后进行观测操作，按照预定的方法和步骤进行测量。
接下来，进行数据处理，包括数据的录入、数据的校验和数据的平差计算等。
最后，进行结果分析，对平差后的数据进行检查和分析，评估其准确性和可靠性。
五、平差技术的挑战与发展随着科技的不断进步，测绘技术也在不断发展，平差技术也面临着新的挑战和机遇。
首先，高精度测量技术的发展提出了对平差技术更高的要求。
其次，大数据和人工智能的兴起为平差技术的应用带来了新的机遇。
平差原理和方法的使用与分析
平差原理和方法的使用与分析一、引言平差作为一种测量数据处理的方法，广泛应用于测绘、空间定位、工程测量等领域。
平差的目的是通过处理观测数据，获得更为准确的测量结果。
在实际应用中，平差原理和方法的正确使用与分析将直接影响测量成果的质量。
二、平差原理的理解与应用平差的基本原理是通过最小二乘法，将观测数据的误差最小化。
在平差过程中，需要定义观测量、未知量和条件方程。
观测量是指通过测量得到的待确定的量，未知量是指需要求解的量，而条件方程则是将观测数据与未知量联系起来的等式。
在实际应用中，我们常用的平差方法有最小二乘平差、加权最小二乘平差和限差平差等。
最小二乘平差是指通过最小化观测数据的加权残差平方和，来获得最优的未知量组合。
加权最小二乘平差则是在最小二乘平差的基础上，考虑观测数据的精度权重，以提高平差结果的准确性。
限差平差是将观测数据的精度限制在一定范围内，以排除异常值的影响。
三、平差方法的适用性分析在选择平差方法时，我们需要根据实际情况进行适用性分析。
首先，应考虑观测数据的误差特点，如观测数据是否服从正态分布、是否存在系统误差等。
对于服从正态分布的数据，最小二乘平差是一种较为合适的方法。
对于存在系统误差的数据，可以考虑加权最小二乘平差来降低系统误差对结果的影响。
其次，应考虑观测数据的精度要求，以及所求未知量的敏感度。
如果精度要求较高或者所求未知量对结果较为敏感，可以采用限差平差来排除异常值的影响。
四、平差方法的误差分析在平差过程中，误差分析是至关重要的。
常见的误差包括观测误差、建模误差和未知量的估计误差。
观测误差是指测量仪器、环境等因素引起的误差，可以通过观测数据的重复测量来进行估计。
建模误差则是由于条件方程的建立不完善或者模型假设不准确而导致的误差。
未知量的估计误差是未知量的真值与估计值之间的差异。
误差分析的结果可用于判断平差结果的可靠性。
如果误差分析结果较小，说明平差结果较为可靠；如果误差分析结果较大，则需要重新考虑观测数据的准确性和建模的合理性。
现代测量平差原理及其模型误差分析
权的误差△P造成了函数模型参数的过渡化。
• 当 ∆F < Fα − F < 0 时
F < Fα < F
• 用统计 F 检验，参数Y不显著，实际上 F > Fα 参数Y显著，使函数模型少选了参数Y。 • 因此，在实际平差系统中，虽然存在随机模型 误差 △P，但往往并不知道，上述的检验统计 量采用了 F 致使所选函数模型产生了模型误 差，影响了平差函数的最优无偏估计性质。
T T
E (∆T PQVV P∆) = tr ( PQVV PD∆ ) = σ 0 tr ( PQVV ) = σ 0 (n − t )
2 2
Y G PQVV PGY = V PV − σ 0 ( n − t )
T T T 2
7、模型误差的识别
ky =
Y G PQVV PGY
T
T
tσ 0
2
检验Y=0 KY 可取4-6
P ′= 1 P
P2 + ∆P
V1 A1 l1 = X − l 2 + ∆L V2 A2
P1 P=
P2
V2′ = V2 + ∆L
V1′ = V1
定权如果不正确，相当于该观测值存在模型误差是综合函 数模型和随机模型误差的。平差系统模型误差的识别和补偿应 综合考虑。
ˆ ˆ ˆ vt = xt −1ϕ1 + xt − 2ϕ 2 + ⋯ xt − pϕ p − xt
其中时间序列数据为： {x1 } = (x1 , x 2, ⋯ , x n ), t = p + 1, ⋯ , n -1 1 -1 1 T = , R = T TT N −1, N N N ⋯ − 1 1
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差的基本原理和计算方法测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。
本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。
一、测量平差的基本原理测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。
在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。
而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。
平差的基本原理包括以下几个方面：1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。
2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。
3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。
通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。
二、测量平差的计算方法测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。
通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。
它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。
通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差方法。
通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。
4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。
它通过建立状态模型和测量模型，利用观测数据进行误差修正，从而得到更加准确的结果。
三、测量平差的应用测量平差在实际应用中有着广泛的应用。
以下通过几个领域的案例来说明。
1. 地理测量：在地理测量中，测量平差常用于大地测量和地图制图。
通过平差可以消除地球曲率、大地水准面等因素的影响，得到更加准确的测量结果，提高地图的精度和真实度。
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X q ( AT qA)1 AT q
E(X q ) X
D(
X
q
)
0
2
(
AT
qA)
1
AT
qP1q(
AT
qA)1
D(X q ) D(X )
E(
0
2
)
E(
vT qv fq
)
2 0
3)随机模型误差对函数模型的影响
函数模型
L AX GY
H 0 : E(Y ) 0; H1 : E(Y ) Y
Xˆ 1 ( AT PA) 1 AT PL
10、AR（P）模型误差的补偿最小二乘法
AR（P）模型 xt 1 xt1 2 xt2 n xtn at
vt xt1ˆ1 xt2ˆ2 xt pˆ p xt
其中时间序列数据为： x1 x1, x2, , xn ,t p 1, , n
L AX
n1 nu u 1 n1
D
2 0
Q
2 0
P
1
R（A）=U R（Q）=n X为非随机参数
V T PV ( AXˆ L)T P( AXˆ L) min
经典平差公式
Xˆ (AT PA)1 AT P N 1AT P
V AXˆ ( L - AXo )
Lˆ L V
QXˆ Xˆ N 1
解为所建模型的参数个数过多或不足。当参数
个数选得过多时
L AX GY
tr
(DX
yX
y
)
tr
(DXX
)
E(X y ) X
E(
0
2
)
2 0
当参数个数选得不足时，所估参数有偏，单位
权方差有偏，而且偏大。
2）随机模型不完善参数估计性质
• 随机模型不完善可归结为定权不正确。 权的正确值应为p，现定权为q
19.62
1994 18.91 18.89 19.39 19.46 19.99 20.01 19.86 19.89 18.99 19.23 20.03
19.96
• 不同α值的计算
α
xˆ(ˆ1,ˆ2 )
1
(0.2812,-0.2116)
0.8
(0.2513,-0.2144)
0.6
(0.2134-0.2180)
• 当 F F F 0 时
F F F
• 用统计 F 检验，参数Y不显著，实际上 F F 参数Y显著，使函数模型少选了参数Y。
• 因此，在实际平差系统中，虽然存在随机模型 误差 △P，但往往并不知道，上述的检验统计
量采用了 F 致使所选函数模型产生了模型误
差，影响了平差函数的最优无偏估计性质。
• 3. 对上式作模型误差识别存在模型误差，按半 参数法对AR（2）模型误差进行补偿，按分别 进行补偿最小二乘平差求得参数和以及，由于 时的最接近已知值，故采用的结果。
• 4. 预报方程为 xt 0.2812 xt1 0.2116 xt2
谢 谢！
数模型和随机模型误差的。平差系统模型误差的识别和补偿应 综合考虑。
5、估计和识别模型误差的理论基础公式
实际模型
L AX
理论模型
X→ X
L AX GY
模型偏差 A( X Xˆ ) GY
AX AN 1 AT P( AX GY ) GY
J AN 1 AT P
R I - J (Q - AN 1 AT )P QVV P
4）函数模型误差和随机模型误差相互转化
误差方程
V1
V2
A1
A2
Xˆ
l1
l
2
P
P1
P2
V1
V2
A1
A2
Xˆ
l1 l2
P
P1
P2 P
V1
P
P1
P2
V1 V2
V1 V2
L
定权如果不正确，相当于该观测值存在模型误差是综合函
具有奇异协方差的平差模型
R（Q）=g<n R(A)=u X非随机
V T PV min
P Q-
V T Q V min
Xˆ N 1 AT P
(N ATQ-A或N ATQ A)
Q Xˆ Xˆ N 1 V AXˆ
ˆ
2 0
V T Q V g u
V T Q V R(n) u
D Xˆ
L AX
n1
u1
D
2 0
Q
R（A）=t R(D)=g n≥g>t u≥t X非随机
最小二乘统一理论
Rao在文中提出的最小二小乘准则是
V T (Q AUA T ) V min
陶本藻、刘大杰[5]（[5]1990）从奇异正态分布的密度函数
f
(l,
x)
(2
g
)2
(1, 2
g
1
)2
exp
1 2
(l
l
但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似， 例如非线性观测方程的线性化；未顾及或近似 考虑某种系统误差影响；观测值的先验协方差 阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模 型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更 为突出。
4、模型误差若干理论问题
1）函数模型不完善参数估计性质
函数模型不完善或者说存在函数模型误差，可理
ˆ
2 0
V T PV nu
DXˆ
Q2
0 XˆXˆ
秩亏自由网平差
R（A）=t<u
d=u-t R(Q)=n X非随机
V T PV min
XT X min
Xˆ
N
m
AT
P
V AXˆ
ˆ
2 0
V T PV n R( A)
V T PV nt
Q Xˆ Xˆ N
D Xˆ
2 0
Q
Xˆ Xˆ
-1 1
T
N 1,N
-1 1
, 1 1
R TTT
NN
ST RS
St1 st 2
• 实例，某台站定点沉降观测数据分析
年/月
1990
1991
1992
1 月2
3
19.29 19.42 19.42
18.99 19.04 19.03
20.12 20.13 19.75
4
19.32
19.08
19.36
)T
D (l
l
)
V T DV min
V T Q V min
Xˆ ( AT QU A) AT QU L QU Q AUAT
ˆ
2 0
V T PV f
3、平差系统的模型误差
模型误差分为函数模型误差和随机模型误差两类
最小二乘平差参数X的估值具有最优无偏性，单位 权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。这些 良好的统计性质都是基于模型误差不显著的情 况。
D(
x
)
2 0
PX1
D( x ) 0
V T PV
V
T X
PX
V
X
min
Xˆ
X
1
APL
1
QXX N
Xˆ
Xˆ
Yˆ
N
A
T P GT
A PX P A
A G
T T
P P
G G
P
P
PX
L
L L X
ˆ
2 0
V T PV VXT PX VX nu
2、广义高斯—马尔柯夫模型，最小二乘统一理论
2V T P 2K T 0
V
Xˆ
2K T A 0
K PV
AT K 0
Sˆ
2SˆT R 2K T
0
K RSˆ
AT PAXˆ AT PSˆ AT PL
PAXˆ ( p R)Sˆ PL
Sˆ (P R)1 P(L AXˆ )
Xˆ Xˆ 1 ( AT PA)1 AT PSˆ
现代测量平差原理及其模型误差分析
陶本藻教授
武汉大学测绘学院 地球空间环境与大地测量教育部重点实验室
1、测量平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的
数学函数关系的模型，是确定客观实际的本 质或特征的模型。
随机模型是描述平差问题中的随机量
（如观测量）及其相互间统计相关性质的模 型。
经典平差模型
R
F
uy
~ F(uy ,muuy , 2 )
(n u uy )
P P P
R R R F F F
当 F F F 0 时
F F F
此时的统计量 F 因 F F 判定参数y显著，但实际上 F F 参数y不显著。按统计量F 检验，函数模型中列入了参数Y
权的误差△P造成了函数模型参数的过渡化。
02tr(PQVV ) 02 (n t)
Y
T
GT
PQVV
PGY
V
T
PV
2 0
(n
t
)
7、模型误差的识别
k y Y T GT PQVV PGY t 02
检验Y=0 KY 可取4-9
8、平差系统最优模型的选取及应用
例1，测边网坐标平差。数据及平差结果见 （误差理论与测量平差基础[1]P131§7--
0.4
(0.1630,-0.2231)
0.2
(0.0906,-0.2308)
V TV
1.6138 1.3576 1.0566 0.7015 0.2982
ˆ 2
0.0288 0.0242 0.0189 0.0125 0.0053
• 1. 采用AR（P）模型（4—1—54），经定阶检 验，确定。
• 2. 平差求得方程。