第一章误差分析的基本概念
分析化学1—1误差的基本概念
2.随机误差 （Random error) 由难以控制、无法避免的随机因素
造成的误差。
特点：大小和正负都难以测定， 不可避免，不可被校正，
符合统计规律．
3.过失误差
§1—1 误差的基本概念
一、准确度与误差 1.准确度（Accuracy ） 准确度表征分析结果与真值的 符合程度。 准确度通常用误差表示， 误差越小，分析结果的准确度越高。
6.滴定分析中，滴定误差属于（
）
A.系统误差
B.随机误差
C.过失误差 D.操作误差 7. 滴定分析的相对误差一般要求达到 0.1 ％，滴 定时要求消耗标准溶液的体积应控制在 。
8. 使用万分之一的分析天平称样 , 如欲称量的相 对误差不大于0.1％,应称量的最小质量______。 .
Ea x T 60.61% 60.66% 0.05%
Ea 0.05% Er 100 % 100 % 0.09% T 60.66%
S
x i x
5 i 1
2
n 1
0.10%
s 0.10% sr x 100% 60.61% 100% 0.17%
（7）极差
R xmax xmin
有限次测量(n次)
标准偏差
无限次测量(n→)
x x (样本) S n 1
2
(总体)
自由度
f n 1 (自由度是指独立偏差的个数)
x 2 n
S 相对标准偏差（变异系数） 100 % x
平均值的标准偏差
S Sx n
x
n
3. 准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
x4
（1）精密度好是保证准确度高的先决条件，
误差理论第一章绪论
①在近似加减运算中，各运算数据以小数位数最少的数据为 准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数 最少的数据位数相同。
②在乘除运算中，各运算数据以有效位数最少的数据位数为 准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字， 而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
③平方或开方运算，可按乘除运算处理。 12
三、误差分类 按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、差：在同一条件下，多次测量同一量值时， 误差的绝对值符号保持不变，或在条件改变时，按一定规 律变化的误差。（如常用的杆秤）
①按对误差掌握的程度分：已定系统误差（误差的绝对值 和符号已确定）；未定系统误差（误差的绝对值和符号未 能确定，但范围可估计出）。
15000 15080.3 80.3 0.4%
20000
20000
二、误差来源
（一）测量装置误差：①标准量具误差（如标准电阻、标准
砝码）； ②仪器误差（如天平、压力表、温度计）；③附件
误差（如测长仪的标准环规）
5
（二）环境误差：各种环境因素与规定的标准状态不一致 而引起的误差（如温度、湿度、振动等） （三）方法误差：由测量方法不完善而引起的。（如间接 测量圆直径） （四）人员误差：由测量人员的习惯或疲劳原因等引起的 误差。
§1-1 研究误差的意义
误差存在的必然性和普遍性：由于实验方法、实验设备的不 完善、周围环境的影响、人们认识能力的限制，使得测量和 实验所得的数据和被测量的真值之间，不可避免存在差异。 尽管科技发展和人们认识水平的提高可使误差控制的很小， 但终究不能完全消除，这种必然性和普遍性已为大量实践所 证明。
（三）粗大误差：超出在规定条件下预期的误差，又称 “寄生误差”，此误差值较大，明显歪曲测量结果（如 人员因素、有缺陷的仪器等）
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
误差分析
夏天钟摆变慢的原因？
夏天使钟摆热胀而变长,摆长影响 摆速,使摆速变慢;调短摆长。
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二、随机误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，误差的 大小和符号是无规律变化的误差。
2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小 的 偶然因素引起的。
4.特点：不能消除，也不能修正，值是随机的。多次 重复测量时，总体服从统计规律，故可以了解它的分 布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计， 是误差理论的依据。
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随机误差的正态分布规律
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随机事例的几个例子
彩票摇奖
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三、粗大误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时， 明显偏离了结果的误差。 2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测 量条件的突然变化、仪器故障等。 3.特点：通常数值比较大。遵循一定的规则。 测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差 的测量值称为坏值。判断某一测量值是否为坏 值，可用统计方法或遵循一些准则。
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三种误差的关系：
三种误差可以互相转化。如尺子的分划误 差，在制造尺子时为随机误差，因为可长可短， 无规律，但用它测量时，该误差使测量结果始 终大些或小些，变成为系统误差。
还可根据误差产生的原因将其分成设备误差、人员误 差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差等。 正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消 除，因此误差分析只是随机误差的分析。
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产生粗大误差的一个例子
明显偏离真值的误差称为粗大误差，也 叫过失误差。粗大误差主要是由于测量人员 的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强大 的干扰所引起的。如测错、读错、记错、外 界过电压尖峰干扰等造成的误差。就数值大 小而言，粗大误差明显超过正常条件下的误 差。当发现粗大误差时，应予以剔除。
第1章 误差分析
教材P7 例1-3
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
x
i 1
n
i
x
d
i 1
n
i
n
n
d i —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)
当试验次数n无穷大时，总体标准差：
（b）
（ c）
精密度高并不意味着正确度也高
精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到 好的正确度
1.4.3 准确度（accuracy）
（1）含义：
反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 无系统误差的试验 精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C
1.5.2 系统误差的检验
1.5.2.1 t检验法 （1）平均值与给定值比较
①目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值 有显著差异
②检验步骤：
计算统计量：
x 0 t s
n
服从自由度 df n 1 的t分布(t-distribution)
0 ——给定值（可以是真值、期望值或标准值）
1.6.2 有效数字的运算
（1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同 （2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准
x xt x ER xt xt
或
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
x ER x
或
x ER x
1. 误差理论基础
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
误差理论与数据处理-第一章误差的基本概念ppt课件.ppt
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
根据测量条件是否发生变化分类
等权测量
指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条 件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进 行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应 按同等原则对待。
不等权测量
指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或 操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结 果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权 原则进行处理。
δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa） 引用误差专用于仪器仪表误差的描述。
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第三节 测量误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
测量方法误差
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
第一章 试验数据的误差分析
第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。
误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。
目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。
在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。
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计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
例3. n =3.1415926, ;、2 =1.41421356,，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数点后四位小数则：几=n -3.1416 =-0.0000074 , ;?22 -1.4142=0.000013 ,就是舍入误差。
另外值得一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部 分小数，如 0.1 10 =0.0001100110 011……2存储时会引起舍入误差。
这个数制转化问题表明：只要计算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。
总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。
在计算方法这门课程中，截断误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差 的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。
§ 2 绝对误差相对误差有效数字定义1:设x 为准确数，x *为x 的近似值，记e * =x-x *称e *为x 与x *的误差，也叫x 与x *的绝对 误差。
显然，x= x * + e *即近似值加误差就是准确值，因此把 e *也叫做近似值 x *的修正值，或者说近似值加上修正值就是准确值。
误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似” ，当误差为正时，近似 值偏小，叫做“弱近似”例2已知e x在x=0处展开的泰勒级数为:QO n-0nX n!-2 -误差分析的基本概念现在引入有效数字的概念。
如果近似值 *的误差限是某一位上的半个单位，该位*的第一位非零数字共有 n 位，我们就说 x *有“ n 位有效数字”，或者说 x *准确到该位。
用四舍五入法取准确值的前 n 位作为近似值x *，则x *有n 位有效数字。
就称近似值x 具有n 位有效数字.利用定义3,由有效数字位数 n 和近似值x *可以确定误差限: 注意，首先需要特别指出的是，在有效数字的记法中，有效数字 别的，前者只有三位有效数字，后者却有四位有效数字；其次，如果只知道x * =300000的绝对误差限不超过500= 2 103，则应把它写成 300 X 103或3.00 X 105,如果仍记为300000,则表示它的误差限不超过 0.5 , 这是因为前者有三位有效数字， 后者有六位有效数字； 再次，还需要指出的是，一个准确数字的有效位数， 例2若x * =3587.64是x 的具有六位有效字的近似值，那么它的误差限为\x 「x * \ J 10 4- = 110 - =0.0052 2为近似值x *的相对误差。
相对误差无量刚。
相对误差可正可负。
我们把相对误差绝对值的上界叫做相对误 差限，记作；；=* /\x *\,其中:是x *的误差限（；*也叫绝对误差限）。
推论 1.近似数 x = ±0.% a ? ..O n 汉 10 P （n 、q 及 p 为整数，1w a ! < 9; 0< a i< 9, 2< i < n ）有 n 位有效数字，则其相对误差限为：気一兰丄"0^4）\x \ 2二证明：由于X * = 0 .〉1〉2... :-n 10 p 有n 位有效数字，故x *与x 的绝对误差限应为\ x - x * \_ 1 10 p j以下观察有效数字的位数n 与误差限之间的关系\ -• _ x ； \ = 0.00159265< 1 X10 -= 0.005 3位有效数字3 .1 423 2 1\ - _ x 5 \ - 0.00000735< 1 X 10 '=0.00005 5位有效数字 3. 14 16_ 25 4 3 2 1\ - _ x ； \= 0 .00000265<丄 X10 - = 0.0000056位有效数字3 .14159265 4 3 2 1疋乂 3 :右用x 表示 X 的近似值，并将X *表示成X * :=± 0 .「1「2「3 * **t:-n 108 兰 9；0 兰 8 < 9 , 2 乞i 乞n ）若其误差限为1 <|x _x* \<^2 10 P _nP, （ :-i 及p 为整数,110p —n2 。
330.123 X 10-和 0.1230 X 10-是有区应当说有无穷多位。
例如对于1/4=0.25不能说只有两位有效数字。
定义4 :称e *—=心乩 为近似值x *的相对误差，当x xe ；比较小时，有时也把计算方法-3 -2由相对误差限的定义得：-4 - 误差分析的基本概念1 p n10 一x|* p r 1 2 nx = 10 r 10 …• 2 1°'…：叱n 10 -*p* 1 2 n p 1|X |=10 ! 10「:叱2 10 一…吒n 10，：'：：：；/.1 1° -丄10p』占* —p』-心―1』| x | 2。
1 2o(1由此可以看出，有效数字位数越多，相对误差限就越小。
推论2：若近似数x * = ±0 心 1 g…a n x 10 p( n,a i 及p 为整数，1 < a 勺< 9; 0 W g < 9, 2 < i < n) 的相对误差限满足：则x *至少有n位有效数字。
证明：* * * *1 1 n| X — X冃X |务斗X |——1——X10 一2（8+1）X* - _0 ... :-n 10 p（高位进1,舍去尾数，其值变大）=10 P [% 10 丄：:二2 10 2 -…：：•' -n 10』|x—x*| 乞：，110p」一1——101」=l10p』2（ot i +1 ） 2由定义3知道：近似数x* =「0再 1 6... : n 10 p有n位有效数字。
证毕。
例3 用x* =2.72来表示e具有三位有效数字的近似值，相对误差限是多少？解：X* =2.72 =0.272 X 10 , n=3 , p=1 ,宀=2 . 由推论1 得：名；兰-^x10 < =0.0025 2X2例4.为了使,20的近似值的相对误差小于0.1 %，问至少要取几位有效数字？解：由推论2 ;r< 110』-..20 = 0.4... 10 故：・1 =4r 2(些+1 j按题目要求Z* <0.1 % =10」令. 1 10 1 J <10 则有10』：：：10」即n至少要取为42(% +1 )取n=4查数学用表20 ：4.472，其相对误差小于0.1%§ 3.和差积商的误差1. 和差积商的误差设x*是x的近似值，y*是y的近似值，用x* _ y*来表示x _ y的近似值，则它的误差为(x ±0-(x * iy*)=(x-x *) ±y-y *) (1-3-1)于是有如下结论：结论1：和的误差是误差之和，差的误差是误差之差。
|(x 当)-(x ±y)| W|x-x | +|y-y | (1-3-2)结论2：两个数和或差的绝对误差限不超过各数绝对误差限之和。
X -X_n2 ：1 110 1 _n计算方法-5 -设 u=xy 贝U Inu=lnx+lny dinu=dlnx+dlny于是有如下结论:结论5 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和。
设 u=x/y 贝U lnu=lnx-lny dlnu=dlnx-dlny 于是有如下结论: 结论6: 商的相对误差是被除数的相对误差减去除数的相对误差。
结论7:任意多次连乘，连除所得计算结果的相对误差限不超过各乘数和除数的相对误差限之和。
证明： 设 w=(uv)/(xy) 则 lnw=lnu+lnv-lnx-lny ; dinw=dInu+dlnv-dlnx-dlny|dlnw| < |dlnu|+|dlnv|+|dlnx|+|dlny|证毕。
例1设 y=f(x)y 二f x 则y 的相对误差是d In y = - — dxf (x )例2设 y = x 则In y = n ln x ，因此d ln y = n d ln x ・x 的相对误差疋 x 的相对误差的n 倍。
2 •一般数值运算的误差估计2,■■■x n 的近似值依次是x 1，x 2, ；X ；，把近似值代入函数y=f （ x 1,x 2, ,x n ）运算得yy *的误差、相对误差如何估计？如果函数 y=f （ x 1 ,x 2, ,x n ）在（x ；,x 2,…;x ；）y *的误差可用多元函数在（X 1，X 2；「X n ）处的泰勒展开式得到。