数值分析1误差及有效数字
数据收集与处理：误差分析与有效数字
数据收集与处理：误差分析与有效数字引言在科学研究和工程领域，数据的收集和处理是至关重要的。
然而，由于各种因素的干扰，数据中往往存在误差，这就需要我们进行误差分析和有效数字的处理，以确保数据的准确性和可靠性。
本文将探讨数据收集和处理中常见的误差类型以及如何进行有效数字处理的方法。
误差分析误差分析是指在数据收集和处理过程中，对误差的产生原因进行分析和识别的过程。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差系统误差是在数据收集过程中由于仪器、环境等因素造成的固有误差，这种误差会导致数据整体偏离真实值。
例如，使用不准确的仪器测量数据就会引入系统误差。
随机误差随机误差是由于实验操作、环境波动等因素导致的随机性误差，这种误差会使每次测量值波动在一定范围内。
通过多次测量取平均值可以减小随机误差的影响。
有效数字有效数字是指数据中具有意义并且可靠的数字位数。
在数据处理过程中，需要我们识别哪些数字是有效的并且将多余的数字舍去，以确保结果的准确性。
有效数字的规则1.非零数字：所有非零数字都是有效数字。
2.零：前导零不是有效数字，而中间和末尾的零都是有效数字。
3.小数点：小数点后的零是有效数字。
4.科学计数法：科学计数法下的所有数字都是有效数字。
5.测量结果：最不确定的数字位决定有效数字的位数。
数据收集与处理的示例为了更好地理解误差分析和有效数字的处理，下面通过一个实际的例子进行说明：假设我们要测量一根铁路轨道的长度，使用误差较小的测量仪器进行测量，多次测量得到结果如下：3.14米、3.15米、3.16米。
这里，系统误差较小，随机误差相对较大。
根据有效数字的规则，我们可以将这些测量结果处理为3.15米，因为末尾数字5是最不确定的位数，决定了有效数字的位数。
结论数据收集与处理中的误差分析和有效数字处理是确保数据准确性的关键步骤。
通过了解误差类型、分析原因，并且正确处理有效数字，我们可以使数据更加可靠，从而为科学研究和工程实践提供可靠的依据。
实验中的误差和有效数字
【补偿训练】
（多选）用最小刻度为1mm的刻度尺测量的长度如下，
其中记录正确的是（ ）
A.3.10cm
B.3.1cm
C.3.100cm
D.0.31cm
【解析】选A、D。最小刻度为1mm的刻度尺测量的数据
若用cm作单位，小数点后面有两位，则A、D正确，B、
C错误。
【拓展例题】 不同物理量的有效数字 【典例】写出下列各测量量的有效数字位数。 （1）长度：3.142×103mm，有效数字位数______ （2）质量：0.0030kg，有效数字位数______ （3）时间：11.3s，有效数字位数______ （4）温度：104℃，有效数字位数______ （5）电压：14V，有效数字位数______
【典例示范】
用毫米刻度尺测量一物体的直径，下列数据中正确的是
（）
A.21.4cm
B.21.420cm
C.21cm
D.21.42cm
【解析】选D。毫米刻度尺最小刻度是1mm，若用cm作
单位小数点后面应有两位，四位有效数字，则D正确，
A、B、C错误。
【素养训练】 1.甲、乙两位同学用两只刻度尺测同一物体长度，甲测量后记录数 据是16mm，乙测量后记录数据是16.0mm，下面说法正确的是（ ） A.甲用的刻度尺最小刻度为厘米 B.甲用的刻度尺最小刻度为毫米 C.乙用的刻度尺最小刻度为分米 D.乙用的刻度尺最小刻度为厘米
【补偿训练】 关于误差和错误下列说法中正确的是（ ） A.选择更精密的仪器，可以消除误差 B.改进实验方法，认真操作，可以消除误差 C.多次测量，反复求平均值，总能够消除误差 D.误差不能消除，只能努力减小，而错误可以消除或改正
【解析】选D。误差只能减小，不能消除，则A、B、C错误；错 误可以避免和消除，则D正确。
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
一误差和有效数字误差
图12－1－4 3．利用纸带求加速度的方法
(1)利用a＝
Δx T2
求解：在已经判断出物体做匀变速直线运动
的情况下可利用Δx＝xn＋1－xn＝aT2求加速度a。 (2)逐差法：
图12－1－5
如图12－1－5所示，由xn－xm＝(n－m)aT2 可得：a1＝x43－T2x1，a2＝x53－T2x2， a3＝x63－T2x3， 所以a＝a1＋a32＋a3＝x4＋x5＋x69－T2x1－x2－x3 (3)两段法：把上面x1、x2、x3、x4、x5、x6分成时间相等(均 为3T)的两大段，则由x2－x1＝aT2得：(x4＋x5＋x6)－(x1＋x2＋x3) ＝a(3T)2，解出的a与上面逐差法结果相等，但却要简单的多。
(3)如图12－1－3所示，为木块在水平木板上带动纸带运动 打出的一条纸带的一部分，0、1、2、3、4、5、6为计数点，相 邻两计数点间还有4个打点未画出。从纸带上测出x1＝3.20 cm， x2＝4.52 cm，x5＝8.42 cm，x6＝9.70 cm。则木块加速度大小a＝ ________ m/s2(保留两位有效数字)。
表中有一个数值记录不规范，代表符号为________。由 表可知所用刻度尺的最小分度为________。
图12－1－6
(3)图12－1－6是该同学根据表中数据作的图，纵轴是砝 码的质量，横轴是弹簧长度与________的差值(填“L0”或“Lx”)。
(4)由图可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和 表可知砝码盘的质量为________g(结果保留两位有效数字， 重力加速度取9.8 m/s2)。
Δmg Δx
＝4.9 N/m，m0＝kLx－ g L0＝1.0×10－2 kg＝10 g。
[答案] (1)竖直 (2)静止 L3 1 mm (3)Lx (4)4.9 10
误差和有效数字
一、误差和有效数字1.误差测量值与真实值的差异叫做误差。
误差可分为系统误差和偶然误差两种。
⑴系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小。
⑵偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。
减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。
这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。
2.有效数字带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。
⑴有效数字是指近似数字而言。
⑵只能带有一位不可靠数字，不是位数越多越好。
凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值（可靠数字）后，再向下估读一位（不可靠数字），这里不受有效数字位数的限制。
间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2~3位有效数字表示。
二、基本测量仪器及读数高考要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、打点计时器、弹簧秤、温度表、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等等。
1.刻度尺、秒表、弹簧秤、温度表、电流表、电压表的读数使用以上仪器时，凡是最小刻度是10分度的，要求读到最小刻度后再往下估读一位（估读的这位是不可靠数字，但是是有效数字的不可缺少的组成部分）。
凡是最小刻度不是10分度的，只要求读到最小刻度所在的这一位，不再往下估读。
例如⑴读出下图中被测物体的长度。
(6.50cm)⑵下图用3V量程时电压表读数为多少？用15V量程时电压表度数又为多少？1.14V; 5.7V1 23V5 10150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1⑶右图中秒表的示数是多少分多少秒？3分48.75秒凡仪器的最小刻度是10分度的，在读到最小刻度后还要再往下估读一位。
⑴6.50cm 。
⑵1.14V 。
15V 量程时最小刻度为0.5V ，只读到0.1V 这一位，应为5.7V 。
⑶秒表的读数分两部分：小圈内表示分，每小格表示0.5分钟；大圈内表示秒，最小刻度为0.1秒。
误差和有效数字(精)
误差和有效数字
1.误差：测量值与真实值的差异叫做误差。
误差可分为系统误差和偶然误差两种。
*系统误差：是由于仪器本身不精密、试验方法粗略或试验原理不完善而产生的。
如仪器调零不准。
系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小，不会出现几次偏大另外几次偏小的情况。
系统误差不能通过多次测量取平均值的方法来减小。
只能通过校准测量器材、改进试验方法、完善试验原理等方法来达到减小系统误差的目的。
*偶然误差：是由各种偶然因素对试验者及仪器、被测物理量的影响而产生的，偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同它遵从一定的统计规律。
减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。
这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。
2.有效数字：带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。
有效数字和实验误差分析(精)
有效数字和实验误差分析1 有效数字的定义有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如：用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。
显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g滴定时滴定管读数为20.05mL这两个数值中的“0”都是有效数字在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字有效位数及数据中的“0 ”：1.0005，五位有效数字0.5000，31.05% 四位有效数字0.0540， 1.86 三位有效数字0.0054，0.40% 两位有效数字0.5，0.002% 一位有效数字2 有效数字的计算规则2.1 有效数字的修约规则在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。
2.1.1 四舍六入五六双。
即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃；若大于等于6，则进一；若等于5（5后无数或5后为0），5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。
例如，将下列测量值修约为四位数：3.142 45 3.1423.215 60 3.2165.623 50 5.6245.624 50 5.6243.384 51 3.3853.384 5 3.3842.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。
例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32；只能一次修约为3.31。
数据的误差与有效数字
数据的误差与有效数字在科学研究、实验、工程设计和生产过程中，数据的准确性是至关重要的。
然而，由于各种因素的干扰，我们很难获得完全准确的测量结果。
因此，了解数据的误差以及有效数字的概念对于正确分析和解释数据至关重要。
一、误差的概念和分类误差是指测量结果和实际值之间的差距。
它可以由多种因素引起，包括仪器精度、操作技巧、环境条件等。
根据误差的来源和性质，可以将误差分为系统误差和随机误差。
1. 系统误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作方法的不准确性而引起的。
它具有固定的方向和大小，使得测量结果偏离了实际值。
系统误差可以通过校正仪器或改进操作方法来减小。
2. 随机误差随机误差是由于各种无法预测的因素引起的。
它的出现是由于实验过程中的不确定性，使得多次测量结果有一定的差异。
随机误差可以通过多次重复测量并取平均值的方法来减小。
二、有效数字的概念和表示方法有效数字是指测量结果中具有实际意义和可靠性的数字。
它可以帮助我们更好地了解数据的精度和准确性。
根据有效数字的规则，我们可以将测量结果进行截断或四舍五入来表示。
1. 规则一：非零数字是有效数字在测量结果中，所有非零数字都是有效数字。
例如，测量结果为12.345，其中的1、2、3、4、5都是有效数字。
2. 规则二：零位于非零数字之间时是有效数字当零位于非零数字之间时，它也是有效数字。
例如，测量结果为1.2034，其中的0也是有效数字。
3. 规则三：首位零不是有效数字当测量结果的首位出现零时，它不是有效数字。
例如，测量结果为0.0456，其中的首位零不是有效数字。
4. 规则四：末尾零位于小数点之后时是有效数字当测量结果的末尾有零，并且小数点在末尾零的右侧时，末尾的零是有效数字。
例如，测量结果为450.0，其中的末尾零是有效数字。
三、误差的表示和有效数字的应用在数据分析和科学计算中，正确地表示误差和应用有效数字是非常重要的。
以下是一些常见的方法和技巧：1. 误差范围表示对于实验测量结果，可以用一个误差范围来表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
次： ， sin x x x3 x5 x7
cos x 1 x2 x4
3! 5! 7!
2! 4!
(4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位，
如Pi，无理数→有理数，）
整个误差来源可做图表示:
总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差， 提高精度（如选择好的计算方法）
1.2.2绝对误差和绝对误差限
❖ 真实值与观察、测量或计算的值之间存在差 异，其差称为误差。
❖ 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题→数学问题），
如抽象化、忽略次要因素等. (2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察
测量时产生）
(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计
算），如无穷级数求和（无限次→有限
ex1 x2 ex1 ex2
ex1 x2 x2 ex1 x1 ex2 （避免绝对值很大的数为乘数）
e
x1 x2
1 x2
ex1
x1 x2 2
ex2 （避免
x2
为很小的数为除数）
er x1
x2
x1
x1 x2
er x1
x2 x1 x2
er x2
er x1
x2
第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍：
数值分析：(Numerical Analysis) 研究各类数学问题求解的数值计算及相
关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越
来越多地研究如何借助于计算机求解相关问 题。 计算方法：(Computational Method)
随着计算机产生和发展而建立的一个重 要数学分支，是研究建立计算机解决各种数 学问题的数值计算及相关理论分析。
1.2.3相对误差和相对误差限
为什么引入？
因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的 物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度 分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测 量精确度，引入相对误差。
定义：x* 为准确值，x 为近似值，则
er
x* x x*
e x*
分析：
(1). er 可正可负
(2).
er
1
x x*
1
(3). er 无法知道，因为 x* 不知道，
也可表示为 er
er
x* x
x
e x
er
和
er
之间关系为：er
er
er 2 1 er
er 2 1 er
（可作为习题）
因为 er 无法求出，所以通常考虑相对误差限
若 | er | r 或 | er | r , 则称 r 为相对误差限。
主要内容：
（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线 性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟 合），数值微分（积分），常微分方程，矩 阵特征值求解，偏微分方程数值解,……
（2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛 性、稳定性（数学角度上），算法的计算时 间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）
特点 :
❖ 具有数学的抽象性和逻辑严密性 ❖ 又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计
x2
x2* x2
f
x1,
x1
x2
e x1
f
x1, , x2 x2
e x2
再考虑相对误差：
er y
ey
y
f x1, x2
x1
x1 y
e1 x1
f x1, x2
x2x2Βιβλιοθήκη ye2 x2fx1,
x1
x2
x1 y
er
x1
f
x1, x2
x2
x2 y
er
x2
根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除 的误差传播：
算机结合密切的一门课程） ❖ 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对
象。
如何学习这门课？
❖ 这门课的学习意义，数值计算的重要性; ❖ 如何上这门课（教材）, 学习方法; ❖ 上课形式（授课、上机、大型实验）; ❖ 成绩评定（平时、实验、期中、期末）.
1.2误差基本概念 1.2.1误差定义及来源 (Error)
限为末位的
1 2
个单位，则有效数字为n。
例：数0.00234711，取五位有效数字， 为0.0023471，误差限为 1 107
2
例： =1.732050808
若 x =1.7321， 则有5位有效数字，因为误差限＜ 1 104
2
但若 x =1.7320，
则只有4位有效数字，因为误差限＞
1 104 2
令 x1* x1 h, x2* x2 k 利用二元函数一阶泰勒展开公式
f x1*, x2* f x1 h, x2 k f x1, x2 h fx1 x1, x2 k fx2 x1, x2
所以：
e y f x1, x2 x1
x1* x1
f x1, x2
定义：设x*为准确值，x 是近似值 , e x*x 为绝对误差 分析：
①e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值) ②e值实际上无法知道, x* 不知道，
但能知道误差的某个范围（即误差限）
例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过
0.5mm.
定义：若
，则 e x *x
称为绝对误差限，
为正数，有: x*x , x
x1
x1 x2
er x1
x2 x1 x2
er x2
（避免两相近数相减运算)
er x1 x2 er x1 er x2
er
x1 x2
er
x1
er
x2
1.3 机器数系.
(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差)
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p 其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分； β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.2.5误差传播影响
计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函 数值误差.
采用二元函数 y f x1, x2 泰勒级数展开分析误差传播.
设 x1* , x2* 为准确值，y 准确值为 y* f x1*, x2*
x1, x2 为近似值，y 近似值为 y f x1, x2
先考虑绝对误差： ey y* y f x1*, x2* f x1, x2
1.2.4 有效数字
当 x* 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。
有效数字的位数确定.
定义：如果近似值 x 的误差限是其末位上的半个单位， 且该位直到 的第x 一个非零数字共有n位，则 有nx 位 有效数字。
具体计算：对 x a1a2L at ，从左往右数，从第一个非
零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差