九年级数学直线与圆的位置关系5
2.5 直线与圆的位置关系 苏科版九年级数学上册课件
B
练习
1.如图，点P在⊙O上，过点P西⊙O的切线
P
●
解:如图所示,连接 OP,过点 P
作直线l⊥OP,
O
则l为过点 P的⊙O 的切线.
●
练习
2.如图，AB是⊙O的直径，
B
∠ABC=45°,AB=AC，直
线AC与⊙O有怎样的位置关
O●
系?为什么?
C
A
练习
解:直线 AC 与以AB 为直径的⊙O 相切
(1)r=2 (2)r=2 3 (3)r=3
例1答案
解:过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中
∵∠A=45°
∴∠ACD=∠A,CD – AD
又∵ 2 + 2 = 2 ，AC = 4,
2
∴ =16, CD=2
即圆心C到AB所在直线的距离d=2
相离
(1)当r-2时,d>r，⊙C与AB所在直线相离
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=45°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=90°
∴AB⊥AC∴AC 与以AB 为直径的⊙O 相切
练习
*3，如图，在以点O为圆心的
两个同心圈中，大圈的弦AB
切小圆于点P。PA与PB相等
●O
吗?为什么?
A
P
B
练习
解:PA=PB.
连接 OP(图略).
●O
∵AB 切小圆于点 P，
已知△ABC。根据下列作法，用直尺和圆规作⊙ O，使
它与△ ABC的各边都相切？
作法
图形
1.分别作∠ABC、∠ACB 的平分线
A
BM、CN，BM与CN 的交点为ห้องสมุดไป่ตู้.
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆的位置关系是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到点、线、圆之间的相对位置关系。
我们可以通过以下几个方面来总结这一知识点：1.判定圆和直线的位置关系：a.直线包含于圆内：当直线上的所有点都在圆内时，称直线包含于圆内。
此时，直线与圆的交点为无穷个（无限多个）。
b.直线与圆相交：当直线和圆有一个或两个交点时，称直线与圆相交。
相交的情况还可以细分为相离相交、相切相交和截割相交。
-相离相交：直线和圆相切于两个点，相交与标准的两个正数圆相交；-相切相交：直线和圆相交于一个点，直线切圆；-截割相交：直线和圆相交于两个点，直线截割圆；c.直线与圆相离：当直线上的所有点都不在圆内时，称直线与圆相离。
此时，直线与圆的交点为零个。
d.直线与圆重合：当直线上的所有点都在圆上时，称直线与圆重合。
2.圆心与直线间的距离：a.圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆心到直线的垂直距离，垂直距离是圆心到直线的最短距离。
b.两圆心间的距离：两个圆心之间的直线距离等于两个圆相切时的直线距离。
3.判断点与直线的位置关系：a.点在直线上：当一个点恰好在直线上时，称这个点在直线上。
b.点在直线上方：当一个点位于直线的上方时，称这个点在直线上方。
c.点在直线下方：当一个点位于直线的下方时，称这个点在直线下方。
4.判断点与圆的位置关系：a.点在圆内：当一个点位于圆内时，称这个点在圆内。
b.点在圆上：当一个点正好位于圆上时，称这个点在圆上。
c.点在圆外：当一个点位于圆外时，称这个点在圆外。
5.判断直线与圆相交的条件：a.直线与圆有交点的条件：直线和圆有交点当且仅当直线的距离小于圆的半径。
b.直线与圆相切的条件：直线和圆相切当且仅当直线的距离等于圆的半径。
6.判断两圆的位置关系：a.内离：两圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，此时两个圆的内部没有共同点。
b.相离：两圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，此时两个圆相切于外公切点。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
九年级数学直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r; d=r； d<r.
直线与圆的位置关系
(地平线)
● ● ●
O
● ●
O
O
a(地平线)
O
O
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点， 叫直线和圆相离 特点： 直线和圆有惟一的公共点， 叫做直线和圆相切。 C
C
x
A
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交பைடு நூலகம்
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
.A
.A
.B
这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交。
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O · O
l
（3） l l
· O
相离
相交
相切
课堂练习：
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
直线与圆的位置关系[下学期]课件(浙教版)
![直线与圆的位置关系[下学期]课件(浙教版)](https://img.taocdn.com/s3/m/16bac13cdcccda38376baf1ffc4ffe473368fda7.png)
B
300
30°
C
200
P
100
0 100 200 300 400 500 600 700
X(km)
2.如图,OP是⊙O的半 径,∠POT=60°,
OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判 断S是不是OQ的中点,并说明 理由.
T
Q S
O
P
请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P. (1)过点P是否都能作这个圆的切线? 点在圆内不能作切线
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∵一的∠∠AA般切BOOB情线==1∠况，8C0+°下它∠-O（，过B∠C要半A=O6证径B0+°明外∠A）一端C 条（直即O线一为点圆已 A 在圆上==）1980°0是°已-（6知0°给+出30°时），只需证明 ∴直AB线⊥垂OB直于这条半径。
直线垂直于A这条O半径B。 A O Ｒ
B
E
C
EC
例5、如图：点O为∠ABC平分线上一点，
O求D证证点⊥：A明时BBC于直，是D线往⊙，O与往以的O圆过为切相圆圆线切心心。，，作O但切D为无线半切的径作圆。
证明：垂作线OE，⊥B再C证于E明d=r即可 A D
Ｏ
∵ 点O为∠ABC平分线上一点
B
OD⊥AB于D
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线? 点在圆上
(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?
点在圆外
相等
(4)能作多于2条的切线吗? 不能
补充例3、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且 OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
九年级数学第三章直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点进阶：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点进阶：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点进阶：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离类型二、切线的判定与性质例2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．例3.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．例4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．O C B A举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED=EA ． （1）求∠DOA 的度数；（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 等于( )A ．2B ．3C ．22D ．23类型三、三角形的内切圆例5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.O C BA【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB=65°，则∠APB 等于( ) A ．65° B ．50° C ．45° D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC=α，则( ) A ．∠A=α B ．∠A=90°－α C ．∠ABD=α D ．∠α2190o-=ABD第1题图 第2题图3．设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A.d=3B. d ＜3C. d≤3D.d＞34.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ）A ．40°B ． 35°C ． 30°D ． 45°5．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO ＝CD ，则∠PCA＝（ ） A.30° B.45° C.60° D.67.5°6．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°二、填空题7．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D.若AC=5，BC=3，则⊙O的半径为_______.8．如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点.若∠P=30°，⊙O的半径为1，则PB的长为______________.9．在△ABO中，OA=OB=2cm，⊙O的半径为1cm，当∠ABO=时，直线AB与⊙O相切．10.如图所示，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，则∠ADC＝________．OCB A 11．如图所示，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________．12．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .三、解答题13. 如图，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，求⊙O 的面积.14． AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于D 点，过D 作⊙O 的切线DE 交BC 于E.求证：CE=BE.15.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．。
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。
2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。
1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。
【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。
【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。
4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。
【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。
人教版九年级上直线和圆的位置关系
直线l的 距离d与圆的半径r的关系来区分）
0
dr
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆
的位置关系吗？
直线和圆相交
d<r
0r
d
直线和圆相切
d=r
∟ ∟
0r
d
直线和圆相离
d>r
数形结合： 位置关系 数量关系
例题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆 与AB边所在直线有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。
B2.4Βιβλιοθήκη m5 4DC 3A
变式一
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
1、当r满足
___0_c_m__<_r_＜__2_.4_c_m__时，⊙C
与直线AB相离。
B
d=2.4c m
2、当r满足_r_=__2_.4_c_m_____ 时，
⊙C与直线AB相切。
公共点的名称 直线名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
回顾总结
通过本课的学习，你有什么 收获？
回顾
点和圆的位置关系有几种？ 用数量关系如何来判断？
⑴点在圆内 ⑵点在圆上
·r O
·r O
d< r d=r
· ⑶点在圆外
r
O
d>
r
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新做主食和菜，待会儿要吃月饼和果子呢，中午剩的这些也凑乎够了。”耿老爹说：“是啊，喝碗粥少吃点儿就行了，一会儿 有的吃呢！”耿直调皮地说：“我真想现在就吃月饼！还有那几个苹果，又红又大，看着真馋啊！”耿正拍拍弟弟的肩膀亲切 地说：“先喝粥吧，吃那些供品还不到时候呢！”简单吃完晚饭收拾好后，天儿已经完全黑了，父子四人各搬一把椅子来到临 窗的桌子前。在这个看不见圆月的八月十五夜里，耿老爹的心情是异常复杂的。在家里时，一直都是妻子郭氏操持“供月”仪 式的，他自己只是参与仪式后半部分的许愿程序而已。然而在今儿晚上，却是只有他和三个娃儿一起过节，而他自己又不会絮 叨那些个“请月儿爷爷享用月饼瓜果”之类的话；再说了，天空中也看不到月儿爷爷！于是，耿老爹建议：“娃儿们，反正这 天上也看不到月儿爷爷，咱们不如干脆免了‘供月’仪式得了。月儿爷爷若想要享用这些东西，欢迎光临自行享用就是了！咱 们现在就坐了恭候吧；略等一等，谁想吃什么，就吃一些！”耿正兄妹三人觉得也是，到处都是黑乎乎的，“供”得哪门子 “月”啊！于是，耿正和耿老爹坐在桌子两边，耿英挨着爹坐下，耿直坐在哥哥和姐姐的中间，大家一起默默地望着黑乎乎的 夜空，好一会儿谁也没有说话。黑暗中，耿直忽然抽泣起来，并且带着哭声说：“我，我想娘，想兰兰”耿英伸出一只胳膊揽 住弟弟不断颤动着的小肩膀，柔声安慰他说：“小直子，别难过”耿老爹站起身来要去点灯，耿英赶忙拉住爹爹的胳膊，低声 说：“爹，别，别点灯”是啊，想要抛洒眼泪的人是不需要光亮的。在黑暗中，人的内心更加安静，可以想得更多、思得更远 在这个本应该明月高悬的八月十五夜，远离故土的耿家父子四人，在黑暗中守着摆在面前的月饼和瓜果，想着故乡的亲人和明 月，心潮涌动，思绪万千他们除了思念，还是思念那些南国的月饼和瓜果，谁也没有去动。此时此刻，除了默默地流泪，谁也 不再想做其他的任何事情了耿直低低的抽泣声一直持续了很久很久125第十七回 老乡送书信喜煞人|（喜鹊飞来报喜讯，老乡 送书信喜煞人；全家人述说心里话，老乡代笔写家信。）和去年一样，秋高气爽的八月十六又是一个大晴天。郭氏一早就起床 了。尽管心里老想着去年今日里此时此刻的情景，眼前老是晃动着朦胧的晨光中丈夫和三个儿女匆匆离家时的身影，耳畔好像 还能听到他们说话的声音；但今年的庄禾长得挺好，三亩水田的苞米呢，她得去掰啊！秋收的日子里家家都很忙呢，郭氏打心 眼儿里不想给大家伙儿添麻烦，希望自己带着耿兰全部收回来。娘儿俩简单地吃完早饭后，郭氏收拾了俩人的碗筷，顺便洗了 两个苹果放到耿兰的小竹篮子里，对瞪着一双好看
3.在△ABC中，∠C=Rt∠， AC=8，BC=15，以C为圆 心，CA为半径的圆交AB D 于D.求AD的长.
B E C
A
4.如图PC切⊙O于C，割线PAB 过圆心O，已知PA=2/3PC.求 tan∠PCA的值.
P
A
C
O
B
5.如图，已知PB切⊙O 于B，PA交⊙O于C、A. 2 BC PC 求证： 2 = C AB PA A O
P
B
6.如图，已知Rt△ABC中，∠B=900， D为AB上的一点，以BD为直径的半 圆O与AC相切于点E，若BD=BC=6， 求斜边AC的长. C C
E A
D O
B
7.如图,已知⊙O1与⊙O2内切于点P, ⊙O2的弦AB经过⊙O1的圆心O1,交 ⊙O1于C,D两点,若AC:CD:DB=3:4:2 则⊙O1与 ⊙O2的直径之比是多少？ E
第三讲
直线与圆的位置关系（二）
1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上一点，CD⊥AB于D。已知CD=2cm， C AD=1cm，求AB的长.
A O D
B
2.如图，割线PAB、PCD分别交⊙O 于A、B和C、D.已知PA=5，AB=4， D PC=6. C ⑴求CD的长； O ⑵若PO=8， P 求⊙O的直径. A B
A C
O O1 2 D B P
8.如图，过⊙O外一点A引直线，与 ⊙O相交于B、C.已知⊙O的半径为1， OA=2，∠A=α（α＜300）. ⑴求AB· AC和AB+AC的值； ⑵写出一个以AB、AC的长为根的一 元二次方程； ⑶当BC=1时，求cosα的值. C B D A O
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