第1章数学建模与误差分析
第1讲 数学建模简介
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后， 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药. 物的疗效，从而有效地指导临床用药. 2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 与数学世界的理想桥梁。
交通事故调查
一辆汽车在拐弯时急刹车， 结果冲到路边的沟里（见图 1.1）。交警立即赶到事故现 场。司机申辩说，当他进入 弯道时刹车已失灵，他还一 口咬定，进入弯道时其车速Y NhomakorabeaO
X
为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当 于17.9米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事故 发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？
数 学 建 模
一. 数学科学的重要性 科学技术是第一生产力； * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； 高技术” * “高技术”本质上是一种数学技术； 高技术 本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 数学科学是一种关键的、普遍的、 的技术； 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； 在经济竞争中数学科学是必不可少的; * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
数学模型(定义 ： 数学模型 定义)： 定义 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 是用数学符号、数学公式、程序、 是用数学符号、数学公式、程序、图、表等 刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化 表述. 表述
在机械加工过程中的误差分析及数学建模研究
在机械加工过程中的误差分析及数学建模研究机械加工是制造过程中不可或缺的一环。
然而，在机械加工过程中，由于种种因素的影响，难免会出现误差。
误差的存在直接影响到零部件的质量和精度，因此对机械加工过程中的误差进行分析和数学建模研究具有重要的意义。
一、误差来源分析在机械加工过程中，误差可以来源于多个方面，包括：1.制造设备的误差：制造设备本身的精度会对加工零件的准确性产生影响。
例如，机床的刚性、热变形、传动系统的间隙等都会造成误差的产生。
2.切削力的变化：由于刀具的磨损或者加工条件的变化，切削力会发生变化，从而导致零件加工中出现误差。
3.工件的变形：加工过程中，工件可能会因为切削力等原因而发生变形，使得加工结果与设计要求不符。
4.加工过程中的振动：振动是机械加工中不可避免的现象，但过大的振动会引起工件位置的偏移，从而影响加工精度。
二、误差分析方法为了更好地理解机械加工过程中的误差，并对其进行建模研究，我们通常采用以下几种误差分析方法：1.测量方法：通过测量零件的几何属性，使用测量仪器和测量技术分析零件的误差情况。
常用的测量方法包括三坐标测量、投影仪测量等。
2.试验方法：通过设计一系列的试验，控制其他因素不变，仅改变某个因素，如切削速度、刀具刃磨状况等，来测量零件加工结果的误差。
通过对试验结果的分析，可以得到误差与各个因素之间的关系。
3.仿真模拟方法：利用计算机建立机械加工过程的仿真模型，通过对模型进行参数调整和试验，得到加工结果的误差。
仿真模拟方法可以节省时间和成本，并能够更好地在加工过程中控制误差。
三、数学建模研究数学建模是解决误差分析问题的重要方法之一。
在机械加工领域，数学建模可以针对不同的误差来源进行研究，建立与之相关的数学模型，从而帮助我们更加深入地理解误差的本质，并提供改善加工精度和质量的方法。
在误差分析中，常用的数学模型包括：1.误差传递模型：利用数学方法研究误差在加工过程中的传递规律，分析传递路径和影响因素，以便为误差的减小提供方向。
数学建模概述
• 在国民经济中的数学模型：
产品的设计与制造 系统的控制与优化 质量控制 预报与决策
• 数学模型和数学技术 ：
资源环境 其它：气象预报等
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。 高技术本质上是一种数学技术。
课程简介
1 现状： •数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十 年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 •80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学 建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学 建模课程、数学建模竞赛(1992,每年9月)和数 学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来 越受到重视。
从智力游戏到数学建模 ——人、狗、鸡、米过河问题
问题： 某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需 要人划外，最多只能载一物过河，而当人不 在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如 何过河才能将狗、鸡和米都带过河。
第1章 数学建模概述
1.1 数学建模介绍 1.2 数学建模的一般步骤 1.3 数学建模示例
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling)：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 现实对象的 信息
证验 解释 表述
数学模型
求 解
（ 演 绎 ）
（归纳）
现实对象的 解答
数学模型的 解答
现实对象与数学模型的关系
§1.3 数学建模示例
我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建 模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分 方程是十分常用的数学工具之一。
我们来建立如下的一些问题的模型：
数学建模常用各种检验方法
数学建模常用各种检验方法数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
在进行数学建模时，需要对模型的合理性进行检验，以确保模型的可靠性和准确性。
本文将介绍数学建模中常用的各种检验方法。
1.残差分析方法残差（residual）是指观测值与模型预测值之间的差异。
残差分析可以通过比较残差的大小、分布和形态，来检验模型的合理性。
常用的残差分析方法包括：正态性检验、稳定性检验、独立性检验和同方差性检验。
2.敏感性分析方法敏感性分析（sensitivity analysis）用于分析参数对模型结果的影响程度。
通过改变参数的值，并观察输出结果的变化，可以评估参数对模型的敏感性。
常用的敏感性分析方法包括：单参数敏感性分析、多参数敏感性分析和全局敏感性分析。
3.假设检验方法假设检验（hypothesis testing）用于判断模型的假设是否成立。
通过对模型的假设进行检验，可以评估模型的合理性和拟合优度。
常用的假设检验方法包括：t检验、F检验和卡方检验。
4.误差分析方法误差分析（error analysis）用于评估模型的误差水平。
通过比较实际观测值与模型预测值之间的误差，可以评估模型的准确性和精度。
常用的误差分析方法包括：平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和平均百分比误差（MAPE）。
5.稳定性分析方法稳定性分析（stability analysis）用于评估模型的稳定性和鲁棒性。
通过对模型进行参数扰动或输入扰动，并观察输出结果的变化，可以评估模型的稳定性和可靠性。
常用的稳定性分析方法包括：参数扰动分析、输入扰动分析和鲁棒性分析。
6.验证方法验证（validation）用于评估模型的预测能力和适用范围。
通过对模型进行验证，可以判断模型在不同情况下的预测效果和适用性。
常用的验证方法包括：留一验证（leave-one-out validation）、交叉验证（cross-validation）和外部验证（external validation）。
数学模型第01章第五版ppt课件
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
数学建模中的误差分析与处理方法
数学建模中的误差分析与处理方法引言：数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在科学研究、工程设计、经济管理等领域中扮演着重要的角色。
然而，在数学建模的过程中，由于各种因素的影响，误差是不可避免的。
本文将探讨数学建模中的误差分析与处理方法，帮助读者更好地理解和应用数学建模。
一、误差来源及分类1. 人为误差：人为误差是指由于实验者的主观因素引起的误差，例如实验操作不规范、读数不准确等。
2. 仪器误差：仪器误差是指由于仪器本身的精度和灵敏度限制引起的误差，例如仪器的零位漂移、量程限制等。
3. 环境误差：环境误差是指由于环境条件的变化导致的误差，例如温度、湿度等因素的变化。
4. 模型误差：模型误差是指由于建模过程中对实际问题的简化和假设引起的误差，例如忽略某些影响因素、使用近似公式等。
二、误差分析方法1. 绝对误差：绝对误差是指测量值与真值之间的差别，可以表示为|测量值-真值|。
绝对误差越小，表示测量结果越接近真值。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真值之间的比值，可以表示为|测量值-真值|/真值。
相对误差可以用来评估测量结果的准确度，一般以百分比形式表示。
3. 标准偏差：标准偏差是指一组数据的离散程度，用来衡量测量结果的稳定性。
标准偏差越小，表示测量结果越稳定。
4. 置信区间：置信区间是指在一定置信水平下，真值可能存在的范围。
通过构建置信区间，可以评估测量结果的可靠性。
常用的置信水平有95%和99%。
三、误差处理方法1. 数据平滑：数据平滑是指通过滤波等方法去除数据中的噪声，使得数据更加平稳。
常用的数据平滑方法有移动平均法、指数平滑法等。
2. 数据插值：数据插值是指通过已知数据点之间的关系，推测未知数据点的值。
常用的数据插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
3. 数据修正：数据修正是指通过对已知数据进行修正，使其更接近真值。
修正方法可以根据误差来源的不同而不同，例如对人为误差可以通过重新进行实验来修正，对仪器误差可以通过校正仪器来修正。
第1章数学建模与误差分析
应用与推广应用的方式与问题性质、建模目的以及最终的结果有关。应当指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时几个步骤之间的界限也不是那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，要采用灵活的表述形式。
各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的
计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学
计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水
利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。设输入数据的规模是l(在网络问题
第一章书稿样稿
《初等数学应用与建模》温州大学数学与信息科学学院黄忠裕第一章数学应用与建模概述第一节数学应用认知一数学应用促进数学发展二数学是一切科学的得力助手三数学应用是推动社会发展的加速器四应公正地看待“数学应用”第二节数学模型和数学建模一数学模型认知1．数学模型界定2．数学模型特征3．数学模型分类二数学模型构建的一般过程1．建立数学模型的一般步骤2．构建数学模型的具体要求第三节数学应用题、数学建模和数学模型方法一数学建模与数学应用题二数学模型方法三对本课程的学习建议思考与练习题一第一章数学应用与建模概述【本章提要】数学具有广泛的应用，数学建模是数学应用的必由之路。
要体会数学的广泛应用，应对数学应用的作用有所认知，深入了解数学模型和数学建模的内涵，理清数学应用与数学建模的关系，认识数学模型方法。
通过本章学习，应该达到如下学习目标：了解数学应用的内涵，认识数学多方面的应用价值；理解数学模型和数学建模的内涵，初步掌握数学模型构建的一般过程；了解数学应用题与数学建模的区别与联系，理解数学模型方法及其应用。
第一节数学应用认知“横看成岭侧成峰,远近高低各不同，不识庐山真面目,只缘身在此山中”, “数学应用”的含义非常广泛,站在数学圈内谈数学应用,也许是挂一漏万。
“数学应用”可表示为美学的、哲学的、历史的、心理的、教育的、商业的、科学的、技术的和数学本身等诸多方面。
美国数学哲学家J.戴维斯与R.赫什在其名著《数学经验》中关于“数学之用”有一段很精彩的表白,现将其摘录如下:老学究说:数学的有用在于教给我们如何精确地思考和推理。
建筑师或雕塑家说:数学的有用在于导致对视觉美的理解和创造。
哲学家说:数学的有用在于使人们能够回避日常的现实生活。
数学教师说:数学的有用在于为他提供面包和黄油。
出版商说:数学的有用在于使他能卖出很多教科书。
天文学家和物理学家说:数学的有用在于它是科学的语言。
土木工程师说:数学使他能高效率地建造桥梁。
数学家说:数学的有用在数学内部，一部分数学的有用在于它能应用于另一部分数学。
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第1章数学建模与误差分析1.1 数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。
数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。
它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。
近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。
科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。
科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。
它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。
在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。
因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。
了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。
因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。
1.2 数学建模及其重要意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。
用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。
本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。
1.2.1 数学建模的过程数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。
数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。
表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。
数学模型的求解方法则属于演绎。
归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。
演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下才能保证其正确性。
因此，归纳和演绎是辨证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。
图1.2.1 数学建模过程示意图图1.2.2 数学模型求解方法示意图解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或控制的结果。
最后作为这个过程重要的一个环节，这些结果需要用实际的信息加以验证。
图1.2.1也揭示了现实问题和数学建模的关系。
一方面，数学模型是将现实生活中的现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。
另一方面，只有当数学模型的结果经受住现实问题的检验时，才可以用来指导实际，完成实践→理论→实践这一循环。
1.2.2 数学建模的一般步骤一般说来，建立模型需要经过哪几个步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质和建模的目的等因素有关。
下面介绍建立数学模型的一般过程，如图1.2.3所示：图1.2.3 数学建模的一般步骤分析问题了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息，如数据和现象等，弄清楚所要研究对象的主要特征，形成一个比较清晰的“数学问题”。
提出假设根据现象的特征和建模的目的，抓住问题的本质、忽略次要因素，做出必要的、合理的、简化的假设，并且要在合理和简化之间做出恰当的折中。
通常，假设的依据一是处于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的结合。
建立模型根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图论模型等。
在建模过程中要遵循尽量采用简单的数学工具这一原则，以便更多的人了解和使用。
模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是当前迅猛发展的数学软件和计算机技术。
解的分析对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。
检验和验证把求解和分析的结果翻译回到实际问题中，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。
如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，此时应该修改、补充假设，重新建立模型和求解。
应用与推广应用的方式与问题性质、建模目的以及最终的结果有关。
应当指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时几个步骤之间的界限也不是那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，要采用灵活的表述形式。
1.2.3 数学建模的重要意义作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。
进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要意义。
（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。
虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业区创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。
数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。
在这个意义上，数学不仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。
有人认为“高技术本质上是一种数学技术”。
（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。
当用数学方法研究许多领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤，同时也是这些学科发展与应用的基础。
在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。
马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。
”展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，因而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。
1.3 数值方法与算法稳定性数值计算已成为科学研究的第三种基本手段。
所谓数值方法，是指将欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。
这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。
一般可以通过框图（流程图）来直观地描述算法的全貌。
选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。
例如，当计算多项式0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=--Λ的值时，若直接计算(0,1,,)i i a x i n =L 再逐项相加，共需做2)1()1(21+=+-+++n n n n Λ次乘法和n 次加法。
10n =时需做55次乘法和10次加法。
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式()P x 改成12210()(((())))n n n P x a x a x a x a x a x a --=++++++L L来计算时，只要做n 次乘法和n 次加法即可。
对于小型问题，计算速度的快慢和占用计算机内存的多寡似乎意义不大。
但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。
算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，甚至直接影响到计算的成败。
不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。
数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类：一类是由于算题者在工作中的粗心大意而产生的，例如笔误以及误用公式等，这类误差称为“过失误差”或“疏忽误差”。
它完全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的；而另一类为“非过失误差”，在数值计算中这往往是无法避免的，例如近似带来的误差、模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。
对于“非过失误差”，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差和算法的选择对计算结果所产生的巨大影响。
例1.3.1计算 3x = 可用下面四种算式算出：61)x =，99x =-6x =，x =。
不取近似，且计算过程没有误差，则上列四个算式的计算结果是相等的；75 1.4≈=1712 1.4166≈=L 按上列四种算式计算x 值，其结果如表1.3.1所示。
表1.3.1 四个算式的计算结果由表1.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。
可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。
因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念、误差在数值运算中的传播规律、误差分析的基本方法和算法的数值稳定性。