知识笔记-2.1测量误差的基础知识1-基本概念
第二章 误差理论
§ 2.1测量误差的基础知识
§ 2.1.1基本概念
一、误差
1、真值：指该物理量在测量进行的时间和空间条件下的真实量值。
2、实际值：在每一级比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫做相对真值。
3、标称值：测量器具上标定的数值为标称值。
由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值不一定等于它的真值或实际值。
4、示值：测量器具指示的被测量的量值，包括数值和单位。
5、测量误差：测量仪表的测得值与被测量的真值之间的差异。
6、等精度测量和非等精度测量：在测量条件不发生变化的前提下对同一被测量进行多次重复测量，叫等精度测量。
二、误差的表示方法
1、绝对误差
（1）定义：由测量所得到的被测量值x 与其真值A 0的差。
即△x=x- A 0 A 0可用实际值A 代替：△x=x- A 绝对误差是有单位有符号的量
（2）修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C 表示。
* 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现，但仅用绝对误差，通常不能说明测量的质量。
2、相对误差
（1）定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。
A 0可用实际值A 代替 实际相对误差：100%x A γA ∆=⨯ 示值相对误差：100%x x x γ∆=⨯ （2）满度相对误差 (引用误差)：100%m m m x x γ∆=⨯ * 我国电工仪表的准确度等级S 就是按满度误差分级的,可划分为0.1、0.2、0.5、1.0、
1.5、
2.5、5.0七级。
注意：1）在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
2）仪表的准确度并不是测量结果的准确度，通常测得值的准确度将低于仪表的准确度等级。
3）在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。
（3）分贝误差：分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。
电压增益等参数用dB 表示的相对误差为
案例
【案例2.1.1】 一个被测电压，其真值U 0为100V ，用一只电压表测量，其指示值U 为101V ，则绝对误差是多少？
解： △U=U-U 0=101-100=1V
【案例2.1.2】 一台晶体管毫伏表的10mV 挡，当用其进行测量时，示值为8mV ，在检定时8mV 刻度处的修正值是-0.03mV ，则被测电压的实际值为多少？
解：实际值为：U=8+(-0.03)=7.97(mV)
【案例2.1.3】 测量两个电压，其实际值为U 1=100V, U 2=5V ，而测得值分别为101V 和6V 。
则绝对误差和相对误差分别为多少？
解：绝对误差为 △U 1=101-100=1V △U 2=6-5=1V
相对误差为：γ1=△U 1/U 1=1% γ2=△U 2/U 2=20%
【案例2.1.4】某电压表S=1.5，试计算出它在0V~100V 量程中的最大绝对值误差。
解：则因∆=⨯=±⨯=±==±γγx S m m m 100 1.5%100 1.5V 1.5
1.5%
【案例2.1.5】 某1.0 级电流表,满度值Xm=100μA ,求测量值分别为X1=100μA ，X2=80μA ， X3=20μA 时的绝对误差和示值相对误差。
解：绝对误差相等：∆=±⨯=±μx 1.0%1001A
=20lg(1+)γΔdB A A U )dB γ=20lg(1+A 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
相对误差：1231A 100%1%100A 1A 100% 1.25%80A 1A 100%5%20A
x
x
x μγμμγμμγμ±=⨯=±±=⨯=±±=⨯=± 【案例2.1.6】要测量100℃的温度，现有0.5 级，测量范围为0~300 ℃；1.0 级测量范围为0~100 ℃的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。
解：0.5级的表：
0.5%300 1.5C
=100% 1.5%100m x x γ∆=±⨯=±︒∆⨯=±
1.0级的表：
1.0%1001C
=100% 1.0%100m x x γ∆=±⨯=±︒∆⨯=±。
电路与电子知识_测量误差的基本知识
一. 实训目的
掌握测量误差的基本知识
二. 实训内容
1) 实验结果的误差处理 2) 实验数据处理
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2.1
测量误差的基本概念
在实际测量中，由于测量仪器、工具的不 准确，测量方法的不完善以及各种因素的影响， 实验中测得的值和它的真实值之间存在着误差。
误差公理：一切实验结果都具有误差，误差自始
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3) 大数值与小数值都要用幂的乘积的形式来表示。例如， 测得某电阻的阻值为10000Ω ，有效数字为三位时，则应记为 10.0×103Ω 或100×102Ω 。 4) 在计算中，常数(如π 、e等)以及因子的有效数字的位数没有 限制，需要几位就取几位。 5) 当有效数字位数确定以后，多余的位数应一律按四舍五入的规 则舍去，称之为有效数字的修约。 3. 有效数字的运算规则 (1)加减运算：参加运算的各数所保留的位数，一般应与各数小数点 后位数最少的相同。 (2)乘除运算：乘除运算时，各因子及计算结果所保留的位数以百 分误差最大或有效数字位数最少的项为准，不考虑小数点的位置。 (3)乘方及开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。 (4)对数运算：取对数前后的有效数字位数应相等。
X = X - X0
g = X0 – X = -△X
在高准确度的仪器仪表中，常常给出校正值或校正曲线，因 此，当知道了给出值X及相应的校正值g以后，便可求出被 测量的真值，即：
X0 = X + g
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2.相对误差 绝对误差的表示方法有其不足之处，因为它不能确切地 反映出测量的准确程度，由此又引出了相对误差(又称误差率) 的概念，定义为：测量的绝对误差与被测量的真值的比值，即：
f
1 2 L0 (C S C X )
工程测量 测量误差的基本知识汇总
12
2、衡量精度的指标
衡量精度的指标——用一系列的数值来对一 组观测结果进行评价
中误差
极限误差（容许误差） 相对误差
13
(1) 中误差
中误差——在一定的观测条件下，各个
真误差平方的平均数的平方根
2 2 2 [] 1 2 n m n n
例如：
距离观测值： 3.867 3.864 距离观测值： 3.860 3.862 距离的真值= 3.866，
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
和
用直方图表示:
(K/n)/d△ 面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n
概率密度函数曲线
-0.8
-0.6
-0.4
0
0.4
0.6
0.8
闭合差
所有面积之和 =k1/n+k2/n+…..=1
偶然误差的特性：
6
二、偶然误差的规律性
在相同的观测条件下，
独立的观测 358个三角形的全部内角，每个三角形 内角之和应等于180度，但由于误差的 影响往往不等于180度，计算各内角和 的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒 进行统计。
真误差 =观测值—真值
i Li 1800
7
误差分布表
误差 区间
4
3、误差的分类
•系统误差
误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观 测过程中按照一定的规律变化，或者为一常数。 •偶然误差
从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律， 大量误差的总体服从统计规律性。 •粗差 错误
5
4、误差的消除
系统误差的解决？
测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。
§5-1测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
二、测量与观测值通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。
）3.独立观测和非独立观测独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
测量误差基本知识
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
测量误差的基本知识
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第一节 测量误差概述
根据以上分析，可以概括偶然误差的特征如下: (1)在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值 不会超过一定的限值 (2)绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值较大的误差 出现的频率较小。 (3)绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 (4)随着观测次数无限增加时，偶然误差的平均值趋近于零。
n 1 该式就是利用观测值的改正数计算等精度观测值中误差的公 式，也称为贝塞尔公式，m代表每一次观测值的精度，故称 为观测值中误差。 m VV
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第四节 等精度独立观测量的最可靠 值与精度评定
3.算术平均值的中误差 设对某量进行了n次观测，每一次观测的中误差为m，则算术 平均值中误差M为:
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第一节 测量误差概述
二、测量误差的来源
测量误差的产生是不可避免的。测量误差主要来自以下三个 方面: (1)仪器条件。 (2)观测者的自身条件。 (3)外界条件。
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第一节 测量误差概述
三、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶 然误差。 (一)系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的 大小及符号表现出一致性倾向，即按一定的规律变化或保持 为常数，这种误差称为系统误差。
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第四节 等精度独立观测量的最可靠 值与精度评定
二、精度评定
1.观测值的改正数 未知量的最或然值与观测值之差称为观测值的改正数，用V 表示。一列观测值的改正数之和为零，常以此作为计算的检 核。
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第四节 等精度独立观测量的最可靠 值与精度评定
2.观测值中误差 在实际测量工作中，观测量的真值X是不知道的。在等精度观 测中，往往只知道算术平均值x和观测值改正数V。用观测值 的改正数V代替真误差△，来推求观测值的中误差公式。
误差基本知识
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
（三） 粗差
三、偶然误差的特性
偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：
1
真 误 差
2
真 值
3
观 测 值
具有一定的范围。
绝对值小的误差出现概率大。
－ 2″
4
∑
620
一测回观测值中误差 ″
用最或然误差计算观测值中误差
01
在通常情况下，观测值的真值是不知道的，因此，也就无法根据真误差计算中误差。但是，我们可以根据算术平均值x与观测值l之差，即最或然误差 按下式来计算观测值的中误差，即：
m1<m2，表示第一组观测值的精度高于第二组。
例2、用J6经纬仪对三角形内角观测了5个 测回，计算一测回的观测值中误差。
测回数
观测值
△
△△
1
180°00′16″
＋16″
256
2
179°59′46″
－14″
196
3
180°00′10″
＋ 10″
100
4
179°59′52″
－ 8″
64
5
179°59′58″
1、求改正数 外业观测结果经校核符合要求后，可通过求改正数的方法以消除不符值（闭合差）。 如：多边形内角和与理论值 [（n-2）×180°]存在不符值。 其改正数为 v =﹣w/n 式中：v为改正数，n为多边形边数， w为多边形闭合差。 导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误差导致水准路线产生的高差闭合差，同样可通过求改正数的方法消除。
测量误差的基本知识
2m 3m
p
0.955
p
0.997
容 2 m
容 3 m
三、误差的传播定律
设函数
Z F ( x1 , x2 ,, xn )
xi 为独立变量
xi li i Z f (l1 1 , l2 2 ,ln n )
按泰罗级数展开：
F F F Z f (l1 , l2 ln ) ( x1 x2 xn ) x1 x2 xn
，所
四、等精度直接观测平差
当观测值的真值未知时： 设对某量观测n次,为： 则该量的算术平均值为： 则该量的改正数：
l1 , l2 , , ln
l1 l2 ln [l ] x n n
i i X
vi li x
v l nx 0
2 2 2
mz
2 2 k1 m1
2 2 k2 m2
2 2 kn mn
函数名称
函数式
中误差传播公式
mz Am mz m1 m2
2 2 2 2 2 2 2
倍数函数 Z AX 和差函数 Z X 1 X 2
Z X1 X 2 X n
mz m1 m2 mn
第五章
测量误差的基本知识
内容介绍
•
测量误差的概念 衡量精度的标准
•
•
误差传播定律及应用
一、测量误差的概念
观测误差：观测值与真值之差
i Li X
误差(error)产生的原因： 1、仪器的原因 2、观测者的原因 3、外界环境的原因
等精度观测:
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 粗差、系统误差和偶然误差。 (一)系统误差(system error) 1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列 观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规 律变化，这种误差称为系统误差 2．特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般 的改正或用一定的观测方法加以消除。 例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水准仪 视准轴误差。
知识笔记-2.1测量误差的基础知识1-基本概念
第二章 误差理论§ 2.1测量误差的基础知识§ 2.1.1基本概念一、误差1、真值：指该物理量在测量进行的时间和空间条件下的真实量值。
2、实际值：在每一级比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫做相对真值。
3、标称值：测量器具上标定的数值为标称值。
由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值不一定等于它的真值或实际值。
4、示值：测量器具指示的被测量的量值，包括数值和单位。
5、测量误差：测量仪表的测得值与被测量的真值之间的差异。
6、等精度测量和非等精度测量：在测量条件不发生变化的前提下对同一被测量进行多次重复测量，叫等精度测量。
二、误差的表示方法1、绝对误差（1）定义：由测量所得到的被测量值x 与其真值A 0的差。
即△x=x- A 0 A 0可用实际值A 代替：△x=x- A 绝对误差是有单位有符号的量（2）修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C 表示。
* 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现，但仅用绝对误差，通常不能说明测量的质量。
2、相对误差（1）定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。
A 0可用实际值A 代替 实际相对误差：100%x A γA ∆=⨯ 示值相对误差：100%x x x γ∆=⨯ （2）满度相对误差 (引用误差)：100%m m m x x γ∆=⨯ * 我国电工仪表的准确度等级S 就是按满度误差分级的,可划分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级。
注意：1）在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
2）仪表的准确度并不是测量结果的准确度，通常测得值的准确度将低于仪表的准确度等级。
3）在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。
（3）分贝误差：分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。
2-1测量误差的基本概念
第二章
测量误差与数据处理
2.1
测量误差的基本概念
索引
一、测量误差存在的必然性和普遍性 二、有关测量的几个基本概念
三、测量误差的定义
四、误差的表示方法
五、测量误差的来源
六、测量误差的类型
七、测量的准确度、精密度和精确度
一、测量误差存在的 必然性和普遍性
3．引用误差
测量装置测量范围内的最大引用误差，称 为引用误差限Rm，它等于测量装置测量范 围内最大的绝对误差δmax与量程B之比的绝 对值，即
Rm
max
B
1000 0
3．引用误差
测量装置应保证在规定的使用条件下其引 用误差限不超过某个规定值，这个规定值 称为仪表的允许误差。 允许误差能够很好地表征测量装置的测量 准确程度，它是测量装置最主要的质量指 标之一。
测量人员误差：
操作人员素质条件差异，疏忽大意等。
数据处理误差：
数据处理方法不合理，处理过程出错。
六、测量误差的类型
通常根据研究的不同目的，将测量误差按 不同的角度进行分类。 根据测量误差的性质和表现形式，可将 误差分为系统误差、随机误差和粗大误 差。 根据测量装置使用的条件，可将误差分 为基本误差和附加误差。 根据被测量随时间变化的速度，可将误 差分为静态误差和动态误差。
五、测量误差的来源
测量误差的来源，归纳起来有如下几个方 面： 测量方法误差：
依据的测量原理不严密，所采用的测量方法
不完善等。
测量装置误差：
测量装置性能指标达不到要求，安装不符合
要求，使用不当，内部噪声，元器件老化等。
五、测量误差的来源