201x版九年级数学上册 第23章 图形的相似复习导学案华东师大版
【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册23-2相似图形导学案
——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册23-2相似图形导学案______年______月______日____________________部门教学目的:1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．3.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．重点、难点1．重点：相似多边形的主要特征与识别．2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．一.观察图片，体会相似图形1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．什么是相似图形?3 、思考：人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、成比例线段概念1．问题：如果把老师手中的粉笔与铅笔，分别看成是两条线段AB ＝ 和CD ＝ ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段（ ）的比． 2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．d c b a =【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足，则有ad=bc ．d c b a =d c b a = 三、例题讲解例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2（补充）一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？（1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，a但求比时两条线段的长度单位必须____．b四．巩固练习1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.4、填空题形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。
九年级数学上册 第23章 图形的相似 用坐标确定位置导学案 (新版)华东师大版
用坐标确定位置【学习目标】1．会用平面直角坐标系来确定地理位置，体会直角坐标系的作用；2．经历探索用坐标确定位置的过程，掌握建立适当的直角坐标系描述地理位置的方法；3．让学生感受直角坐标系的应用，认识直角坐标系的应用价值．【学习重点】掌握直角坐标系确定地理位置．【学习难点】怎样应用直角坐标系来确定地理位置，也就是如何建立适当的坐标系．情景导入生成问题某电影院大厅设有42排，每排32个座位．(1)你将如何找到电影票上所指的位置？(2)在电影票上，“5排2号”和“2排5号”中的“5”的含义有什么不同？(3)如果将“5排2号”记作(5，2)，那么“2排5号”如何表示？(8，3)表示什么意思？自学互研生成能力知识模块一用坐标确定位置的引入阅读教材P84～P87的内容．回顾：夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图所示，地图上画了一个平面直角坐标系，作为定向标记，并给出了四座农舍的坐标是：(1，2)、(－3，5)、(4，5)、(0，3)．目的地位于连结第一座与第三座农舍的直线和连结第二座与第四座农舍的直线的交点处．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．结论：利用坐标确定位置：建立平面直角坐标系，然后用一对有序实数来表示一个点，即为某物体的位置．探究：如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置．结论：有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：1．如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置.2.电影院的座位用几排几座来表示.3.国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等．知识模块二用坐标确定位置的运用小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2.4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方．根据这些信息，试在图中画出表示各地位置的示意图．仿例：如图是一个边长为5的正方形，试建立适当的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一用坐标确定位置的引入知识模块二用坐标确定位置的运用仿例：法一：以左下方的顶点为原点建立平面直角坐标系，则四个点的坐标分别为(0，0)，(5，0)，(5，5)，(0，5)(方法二)以正方形的中心为顶点建立平面直角坐标系，则四个顶点的坐标分别为(－2.5，－2.5)，(2.5，－2.5)，(2.5，2.5)，(－2.5，2.5)(答案不唯一)检测反馈达成目标1．能够准确表示我国首都北京这个地点位置的是( D)A．北纬39.92度B．东经116.46度C．河北衡水的正北方向D．东经116.46度，北纬39.92度2．如图，如果用(0，0)表示E点的位置，用(4，0)表示F点的位置，那么△ABC三个顶点的位置分别表示为：A__(2，3)__，B__(1，1)__，C__(4，1)__．3．在坐标系中描出下列四个点：A(－1，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(6，0)，并用线段依次连接起来．(1)你得到的是什么图形？(1)计算所得到图形的面积．解：(1)梯形；(2)15课后反思查漏补缺1．收获：__________________________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________________________________。
九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.5 位似图形导学案(无答案)(新版)华东师大版
23.5 位似图形【学习目标】1、了解位似图形及其有关概念，并能依据概念准确地进行判断说明。
2、理解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，并能够运用这一性质将图形放大或缩小。
3、在学习过程中发展自己的动手操作能力和数学应用知识。
【学习重难点】理解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，并能够运用这一性质将图形放大或缩小，并培养学生数学学习能力。
【学习过程】一、课前准备相似图形：。
相似多边形：。
二、学习新知自主学习：一、自学课本，掌握下面的问题并能牢记：⒈如果两个多边形不仅_____________，而且__________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形；这个点叫做_____________。
⒉两个位似图形的位似比也就是指他们的______________比。
二、试一试（拓展提高）——相信你的能力！（一）[做一做]：1判断：⑴两个相似图形一定是位似图形（）⑵两个位似图形一定是相似图形（）⑶已知△ABC和△A1B1C1,如果顶点所在直线AA1,BB1,CC1相交于同一点O,那么△ABC与△A1B1C1是位似图形（）2如图，D、E分别是AB、AC上的点，⑴如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？⑵如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗?为什么？（二）[看一看]：观察下列各图并回答下列问题，并与你的同伴进行交流;⒈在各图中，位似中心与两个图形有什么位置关系？⒉在各图中，任意一对对应点与位似中心这三点的位置关系是____________________。
⒊在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离，它们的比与位似比有什么关系？⒋综合（2）、(3)你可以得到什么结论？（三）[想一想]⒈在上面的图（1）中，位似图形的对应线段AB 与A`B`平行吗？为什么？在其他的几幅图中呢？ ⒉你认为位似图形的其它对应线段也存在这种位置关系吗? 由此我们可以总结出：位似图形的对应边 。
九年级数学上册23图形的相似章末复习 精品导学案 华东师大版
第23章知识升华一、知识网络二、典例分析1、分类讨论题例1、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为___________.解析：（1）当高AD在△ABC内时，如图1. ，又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD＝∠ACD.∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.（2）当高AD在△ABC外时，如图2.同理可证△ADB∽△CDA，∴∠ABD＝∠CAD＝25°，∴∠ACD＝65°，∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.2、新定义图形题例2 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：（1）如图3，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）……依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为.①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）.解析：（1）如图5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线.理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB.（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，.当时，，当n＝6时，，当n＝7时，.∴当n＝6时，.②.说明：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.3、网格证明题例3 如图6，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.解析：（1）∠ABC＝135°，；（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，，∴△ABC∽△DEF.说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.4、情景应用题例4、如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD ＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？解析：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路.如图8所示.（2）（米），（米）. ∵△ABE ∽△CFE ，得，（米），∵△BHE ∽△CFE ，得， （米）.∵△ABE ∽△DGA ，， （米）所以，B 、C 、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）.说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.5、运动变化题例5 如图9，在一个长40m 、宽30m 的长方形小操场上，王刚从A 点出发，沿着A →B →C的路线以3m/s 的速度跑向C 地.当他出发4s 后，张华有东西需要交给他，就从A 地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B 地的D 处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC 上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE 的长）？（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s ）？解析：（1）由阳光与影子的性质可知DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠BAC ，∠BED ＝∠BCA ∴△BDE ∽△BAC ， AB AC BD DE =∴，，，∵)(322)(50403022m BD m AC ==+= )(40m AB =，)(310m DE =∴. （2），王刚到E 点的时间为，张华追赶王刚的速度是.说明：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置.6、作图说理题例6、小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明.（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.解析：（1）小胖的话不对.小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC 是地面.∵OP ⊥BC ，AC ⊥BC ，∠OBP ＝∠ABC ，∴△OBP ∽△ABC ，. 又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO ＝OA ，，而AC ＝1米，得OP ＝0.5米.若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米（a ＞0），如图10-2所示，BD ＝a 米，AE ＝a 米，，即DO ＝OE.，同理可得△DOP ∽△DEF ，，由OP ＝0.5米，得EF ＝1米.综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍，所以不可能翘得更高.（2）方案一：保持BO 长度不变，将OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半.使，则.由△BOP ∽△BEF ，得，∴EF ＝1.25米.方案二：如图10-3所示，只将支架升高0.125米.，又米，，米 说明：本题为探究结论型开放题.第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化.第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比.它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视.7、计算求值题例7、 若0234x y z ==≠，则23x y z+= ．解析：根据已知条件，可用设k 法，把x ，y ，z 都用k 表示，就可算出比值．设x ＝2k ，y＝3k ，z ＝4k ，则2322334413x y k k z k +⋅+⋅==． 【说明】设k 法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用k 来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法．8、 开放性问题例8、如图11，在RT △ABC 中，C ∠为直角，AB CD ⊥于点D ，BC ＝3，AB ＝5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比 _____．图11解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有△ABC ∽△ACD ∽△CBD )，如选△ABC ∽△CBD ，则AB ，BC 为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为25：9．【说明】本题考查相似三角形的判定和性质．图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系．9、学科间综合题例9、如图12，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1．2米，BP ＝1．8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是( )A ．6米B ． 8米C ．18米D ．24米图12解析：要求古城墙CD 的高度，就要列出有关CD 的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出△ABP ∽△CDP ，从而得AB CD BP DP=，解得CD ＝8米． 【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合．10、探究说理题例10、在等边△ABC 中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E ，P ，F ，且∠BPF ＝60°．(1)如图13-1，写出图中所有与△BPF 相似的三角形，并选择其中一对给予证明；(2)若直线l 向右平移到图13-2、图13-3的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；(3)探究：如图13-1，当BD 满足什么条件时(其它条件不变)，12PF PE =？请写出探究结果，并说明理由．(说明：结论中不得含有未标识的字母)解析：(1) (2)根据已知∠BPF ＝60︒以及等边三角形中60︒的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与△BPF 相似的三角形；(3)探索12PF PE =成立的条件，可考虑30°角所对的直角边与斜边的关系，故猜测BD 为ABC ∠的平分线．(1)BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．以BPF EBF △∽△为例，证明如下：∵∠BPF ＝∠EBF ＝60︒，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△．(2)均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．(3)当BD 平分ABC ∠时，12PF PE =． 证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBF ＝30︒．∵∠BPF ＝60︒，∴∠BFP ＝90︒．∴12PF PB =．又∵∠B EF ＝60︒－30︒＝30︒＝∠ABP ，∴BP ＝EP ．∴12PF PE =． 【说明】这是一个开放性问题, 既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，复习时要注意多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思．11、方案设计题例11、有一块直角三角形木板如图14-1所示，已知∠C ＝90︒，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，AC ＝4cm ．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．解析：要在Rt △ABC 内裁出面积最大的正方形DEFG ，有两种可能的裁法，如图14-2和14-3，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在△ABC 的边上)．方案一：如图14-2，作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ．设正方形边长为x cm ．由1122ABC AC BC AB CM S ==△得,125AC BC CM AB ⋅==． 图14-1 图14-2 图14-3∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，即：CN DE CM AB=．∴1251255x x -=．∴6037x =． 方案二：如图14-3，设正方形边长为y cm ．∵ EF ∥AC ，∴ △BFE ∽△BCA ． ∴ BFEFBC AC =． 即334y y -=．∴ 1260735y ==．∵x ＜y ， ∴方案二裁出的正方形的面积最大．这时正方形的边长是127cm ． 【说明】解决实际应用问题，探究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的．第23章章末测试题一、选择题：1、已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1︰2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ） A.1︰2 B.1︰4 C.2︰1 D.4︰12、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ）A ．1 2.36cm B.13.6cm C.32.36cmD.7.64cm4、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为 （ ）A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米5、如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2 cm 2B. 4 cm 2C. 8 cm 2D. 16 cm 26、在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ）A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.57、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）8、语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有角相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（ ）A.4句B.3句C.2句D.1句备用：1.如图，AB 、CD 都是BD 的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P 是BD 上一点，连结AP 、CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是（ ）A.2B.5.6C.12D.上述各值都有可能答案：D2.D 、E 分别是△ABC 中边AB 、AC 上的点，若DE ∥BC ，且DBCE ADE S S 梯形=∆，则AD ︰DB=（ ）A. 1︰1B.1︰2C. 212- D. 121- 答案：D二、填空题：9、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ．10、如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE、BD，交于点O，如果已知△ADE 的面积是6，试写出能求出的图形面积（要求写出四个以上图形的面积）.11、有一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，现要求桌面离地面的高度为40cm，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为 .12、阳光通过窗口AB照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区ED，如图，已知亮区一边到窗下墙角的距离CE=8米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC= .13、下面这些三角形中，选出相似的三角形．14、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是15、如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高米．16、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．17、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出．．．．．△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比________．18、升旗仪式上，小明通过建立直角坐标系发现旗杆底端的位置在点A（3，1），顶端在点B （3，10），升旗前旗的三个顶点的位置分别在点P（3，2）、Q（3，3）、R（5，2），写出当旗的顶端Q升到旗杆的顶部B处时，点P和点R对应点的坐标分别为 .三、解答题：19、如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．20、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．21、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P 在高AB 上滑动，当AP 长为多少时，△DAP 与△PBC 相似，并说明你的理由．22、如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形． (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数．23、已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ，是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.24、如图，有两个动点E F ，分别从正方形ABCD 的两个顶点B C ，同时出发，以相同速度分别沿边BC 和CD 移动，问：（1）在E F ，移动过程中，AE 与BF 的位置和大小有何关系？并给予证明．（2）若AE 和BF 相交点O ，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来．25、如图：已知A （0，－2），B （－2，1），C （3，2）.（1）求线段AB 、BC 、AC 的长.（2）把A 、B 、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A ′、B ′、C ′的坐标,求A ′B ′、B ′C ′、A ′C ′的长.（3）△ABC 与△A ′B ′C ′的形状相同吗？（4）△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形吗?若是,请指出位似中心和位似比．26、已知：△ABC 中，AB=10．（1）如图①，若点D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，求DE 的长；（2）如图②，若点A 1，A 2把AC 边三等分，过A 1，A 2作AB 边的平行线，分别交BC•边于点B 1，B 2，求A 1B 1+A 2B 2的值；（3）如图③，若点A 1，A 2，…，A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，•分别交BC 边于点B 1，B 2，…，B 10．根据你所发现的规律，直接写出A 1B 1+A 2B 2+…+A 10B 10的结果．B A①E D CB 2B 1A 1A 2B A ②C B 10B 3A 3A 10B 2B 1A 1A 2BA③C27、如图，在水平桌面上的两个“Ｅ”，当点1P ，2P ，O 在一条直线上时，在点O 处用①号“Ｅ”测得的视力与用②号“Ｅ”测得的视力相同． （1）图中1b ，2b ，1l ，2l 满足怎样的关系式？（2）若1 3.2b =cm ，22b =cm ，①号“E ”的测试距离18l =m ，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离2l 应为多少？28、某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB ，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P 到地面的距离.实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。
华师大版初中数学九年级上册第23章图形的相似导学案
bd f
n
b d f n
TB:小初高题库
吗？能否证明你的猜想？
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等比性质：如果 a c m （ b d n 0 ），那么 a c m ＝ a ．
bd
n
b d n b
等比性质中，为什么要 b d n 0 这个条件？
（4）．练习：从 ad=bc，可以得到哪些比例？（小组讨论）
例
，线段 叫做 a、b、c 第四比例项。
TB:小初高题库
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如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 a b （或 a:b=b:c），那么线 bc
段 b 叫做线段 a 和 c 的
。
（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
结论：
（3）注意：概念的有序性
总结：如何判断成比例线段，说出你的方法并交流。
完成课本练习 1. 补充练习： 1、 已 知 m、 n、 p、 q 是 成 比 例 线 段 ， 其 中 m=2cm， n=6cm， q=27cm， 则
TB:小初高题库
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p=_______cm.
2、（★★）已知三个数 1，2、 3 ，请你再添一个数，使它们构成的四个数
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4、有条件的同学可以观察十字绣的制作过程，看看样品中的图怎样被放大（或 缩小）绣出来的。
【反思小结】 总结本节最大的收获与存在的问题，写下来并与同学交流。
§24.2 相似的图形性质（1）成比例线段
【学习目标】
1、通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。 2、掌握并会推导比例的性质。 3、会用比例的性质进行解题。
成比例关系。
华东师大版九年级数学上册 第23章23.3 相似三角形 导学案
华东师大版九年级数学上册 第23章23.3 相似三角形 导学案 学习目标：1、通过一些具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和认识。
2、进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系。
重点：认识相似三角形，掌握相似三角形的本质属性。
难点：相似三角形性质的应用。
教学过程：一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 探究点二：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .(1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB.又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．相似三角形的引理．教学反思：本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
华东师大版九年级数学上册 第23章 23.2 相似图形 导学案
华东师大版九年级数学上册第23章 23.2 相似图形导学案教学目的:1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．3.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．重点、难点1．重点：相似多边形的主要特征与识别．2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．教学过程：一、情景导入观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？二、合作探究探究点一：相似多边形的判定下列图形都相似吗？为什么？（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可.解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等，所以对应边成比例；（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等；（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1：1：2，所以对应边成比例；（8）相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边成比例.方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.探究点二：相似多边形的性质已知四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH 和四边形ABCD 的相似比.解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，且∠A ＝∠E ＝80°，∠B ＝∠F ＝75°，∴AB 与EF 是对应边.∵EF AB ＝68＝34， ∴四边形EFGH 与四边形ABCD 的相似比为34. 方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法.探究点三：相似多边形的应用如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，EF 将四边形ABCD 分成两个相似四边形AEFD 和EBCF .若AD ＝3，BC ＝4，求AE ：EB 的值.解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到AD EF ＝EF BC，可以求出EF 的长，从而可求AE ：EB 的值.解：因为四边形AEFD ∽四边形EBCF ，所以AD EF ＝EF BC， 所以EF 2＝AD ·BC ＝3×4＝12，所以EF ＝12＝2 3.因为四边形AEFD ∽四边形EBCF ，所以AE ：EB ＝AD ：EF ＝3：23＝3：2.方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式求解.在AB ＝20m ，AD ＝30m 的矩形花坛ABCD 的四周建筑小路.（1）如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由；（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x 与y 的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x 与y 的比值.解：（1）矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似.理由如下：假设两个矩形相似，不妨设小路宽为x m ，则30＋2x 30＝20＋2x 20，解得x ＝0. ∵由题意可知，小路宽不可能为0，∴矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似；（2）当x 与y 的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似.理由如下：若矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似，则30＋2x 30＝20＋2y 20，所以x y ＝32. ∴当x 与y 的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似.方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似.三、板书设计相似多边形⎩⎪⎨⎪⎧相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形相似比：相似多边形对应边的比性质：相似多边形的对应角相等，对 应边成比例判定：各角分别相等，各边成比例， 二者缺一不可教学反思：在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质.。
【新华东师大版】九年级数学上册：23.2《相似图形》教案+导学案
相似图形教学目标：1.理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。
由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。
2.理解并掌握相似图形的性质：对应边成比例，对应角相等。
3.知道判别两个多边形相似的方法。
教学重点：相似图形的性质：对应边成比例，对应角相等。
教学难点：1、如何判别两个多边形相似2、借助相似图形的性质进行有关的计算导学过程：一、导入新课挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的花朵图片，供同学观察，并看课本第57页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢?这些图片大小虽然不一样，但形状是相同的。
两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？【点题】二、讲解新课由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同的。
同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢?大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。
对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。
在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。
同学们你还能说出哪些相似的图形吗?(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。
画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。
如图所示的是一些相似的图形。
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗?你看过哈哈镜吗?哈哈镜中的形像与你本人相似吗?还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。
为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢?这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这节要探索的内容。
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2019版九年级数学上册 第23章 图形的相似复习导学案
（新版）华东师大版
年级 九
学科
数学
课型
复习
授课人
学习内容
图形的相似
学习目标
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，体会到数与形之间的关系。
学习重点 能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
学习难点
通过复习，形成知识体系，整体把握本章内容。
导 学 过 程
复备栏 【复习过程】
1、结合目录，阅读课本，理清本章知识，自己画出知识结构图。
（可参考课本单元小结）然后同学之间交流修正。
2、快速浏览本章中所有例题、证明、绘图，分类整理各类题型与方法，然后与同学之间进行交流修正。
图形的相似单元自我检测 一、选择题
1、两个相似三角形的面积比为 4：9，周长和是20 cm ，则这两个三角形的 周长分别是（ ）
A 、8cm 和12cm
B 、 7cm 和13cm
C 、9cm 和11cm
D 、4cm 和16cm 2、如图 1，已知 DE//BC ，且
DB AD 3
2
=，那么∆ADE 与∆ABC 的面积比ABC ADE S S ∆∆：等于（ ）
A 、2：5
B 、2：3
C 、4：9
D 、4：25 3、如图2，∆ABC ∽∆ADB ，下列关系成立的是（ ）
A 、∠ADB=∠AC
B B 、∠ADB=∠AB
C C 、∠CDB=∠CAB
D 、∠ABC=∠BDC 4、下列说法中，正确的是（ ）
A 、所有的等腰三角形都相似
B 、所有的菱形都相似
C 、所有的矩形都相似
D 、所有的等腰直角三角形都相似 5、小明在华联超市的北偏西300
方向上，则华联超市在小明的（ ） A: 北偏西300
B:南偏东600
C: 南偏东300
D: 北偏西600
6、如图3，已知∆ABC 中，DE//FG//BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3，则
FBCG DFGE ADE S S S 四边形四边形：：∆等于（ ）
A 、1：9：36
B 、1：4：9
C 、1：8：27
D 、1：8：36
3
2
1
E G
C
B
F
D
A
B
C
D
A
E
C
B
D
A
7、若两个相似三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的平分线之比为。
（ ）
A 、
32 B 、23 C 、36 D 、2
6
8、用一个3倍放大镜照一个∆A BC ，下面说法中正确的是（ ）
A 、∆ABC 放大后，∠A 是原来的3倍
B 、∆AB
C 放大后，周长是原来的3倍 C 、∆ABC 放大后，面积是原来的3倍
D 、 以上都不对
9、四边形ABCD 与四边形A /B /C /D /位似，O 为位似中心，若OA : O A /
= 1：3，则S ABCD 四边形:S ////D C B A 四边形=( )
A: 1:9 B: 1:3 C: 1:4 D: 1:5
10、如图4，0
90=∠C ，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E ，则与Rt ∆CDE 相似的直角三角形共有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、 2个
D 、1个
11、如图5，∆ABC 中，BD 、CE 是高，且BD 、CE 交于F 点，则图中与∆AEC
相似（不包括其本身）的三角形个数是 ( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
12、如图6，在∆ABC 中，M 是BC 边的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD
于D ，AB=12,AC=18,则MD 的长为( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
4
65
D C
M
B
A
E
D
C
B
A
C
E
B
D
A
二、填空题，
13、已知
5
9
22=-+b a b a ，则._____=b a ：
14、同一时刻，一竿高为2 m ，影长为 1.2 m ，某塔的影长为 18 m ，则塔高为_____.
15、在比例尺为1：4 00O 的平面图上，量得某学校的校园的周长是cm 60，则此学校校园的实际周长是_____米．
16、一个多边形的边长依次为l 、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的
最大边长为8，那么另一个多边形的周长是_____． 17、梯形的面积为12cm 2
，高为3cm ，则梯形的中位线为__________. 18、∆ABC 中，G 是的重心，且AG=12，GC=6，BG=10.则三中线的和为_______ 19、若三角形的三边7:3:8::=c b a ，且32=--b a c ，则此三角形的周长
为_____． 20、点P （-2，2）沿x 轴的正方向平移4个单位得到点P /
的坐标为__________. 三、解答题
21、如图：△ABC 中，∠B=90，点D 、E 在BC 上，且AB=BD =DE =EC ，求证：△ADE ∽ △CDA
C
E
D B
A
22、如图，一油桶高1m ，桶内有油，一根木棒长1.2m ，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒量得棒上未浸油部分长0.48m.求桶内油面的高度。
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C
D
E
B
F
A。