解析几何中的定点和定值问题
解析几何中定值与定点问题
7“解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究. 【实例探究】 题型1:定值问题：例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 ： 的2后焦点，离心率等于 ：(I)求椭圆 c 的标准方程；(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为 偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .\ + \ [ +召2J去分母整理得1'' - J将A 点坐标代入到椭圆方程中，得5:则由题意知b = 1.同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲两个根, ，”召 +血-10.方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+20疋20^ —5v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=/一X] 2_召又♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①x2/4+y2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③将③的结果代入①式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④x2/4+y2/3=1 ②5不存在，请说明理由.••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),5 3k 2,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 13k 2 1 k2x1 1 x2 13k 5 11k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2m2k 2 3：!②④联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF 斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
定点定值
x=a 2E K DBAF g l Oy x解析几何中的定点、定值问题阳信一中 郑振华有关解析几何的问题中,常常涉及到证明直线过定点、两直线相交于定点、动圆过定点及两变量的和、差、积或两向量的数量积为定值的问题,对于每类问题如何解决,笔者给出了以下例题,以期能起到“以点带面”之功效. 一、共点直线系例1.已知(1)(1)20m x m y m +---=为直线l 的方程,求证：不论m 取任何实数,直线l 必过定点,并求出这个定点的坐标.证明:方法一:由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,即(2)0m x y x y --++=. 当20x y --=且0x y +=时, 不论m 取任何实数方程恒成立,故直线l 必过定点解方程组200x y x y --=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩,即定点坐标为(1,1)-.方法二: 由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,(1)(1),m x m m y m ∴+-=-+(1)1(1)1,(1)(1)(1)(1)m x m m y m m x m m y m +--=-+-+-+=-+-,即11(1)(1),1m y x m m ++=-≠-因此当1m ≠时,直线l 必过定点(1,1).-当1m =时,原直线l 的方程为1,x =同样过点(1,1).- 综上所述,不论m 取取任何实数,直线l 必过定点(1,1).-【点评】(1)若直线方程中含有参数m ,可将方程整理成(,)(,)0f x y m x y ϕ+=的形式, 令(,)0(,)0f x y x y ϕ=⎧⎨=⎩,解得0x x y y =⎧⎨=⎩.则直线恒过点00(,)x y .(2)共点直线系:00()[y y k x x -=-定点00(,),x y k 为变数],表示一束过定点00(,)x y 的直线系(不包括直线0)x x =二、两动直线相交于定点(两变量的差为定值) 例2.已知直线l :1x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的右焦点F ,且交椭圆C 于,A B 两点,点,,A F B 在直线2:g x a =上的射影依次为点,,D K E .连结,AE BD ,证明:当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点. 证明:因为(1,0)F ,所以2(,0).K a先探索:当0m =时,直线l ⊥x 轴,此时四边形A B E D 为矩形, 由对称性知,,AE BD 相交于F K 的中点21(,0).2a N +猜想: 当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点21(,0).2a N +证明:设22112212(,),(,),(,),(,).A x y B x y D a y E a y 首先证明当m 变化时,直线AE 过定点N .由22221,1,x m y x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得2222222()2(1)0.a b m y m b y b a +++-= 222224(1)0(1),a b a m b a ∆=+->>22212122222222(1),.mbb a y y y y a b ma b m-+=-=++12221,.1122AN EN y y k k a a m y --==---122211122AN EN y y k k a a m y --∴-=----22222121222222222221112(1)1()()221111()()2222a m bb a a m y y m y y a b m a b ma a a a m y m y -----+-++==------ 22222222212(1)2(1)0.1(1)()()2m a b m a b a a my a b m ---==---+,AN EN k k ∴=故,,A E N 三点共线;同理可证,,B D N 三点共线.所以,当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点.【点评】(1)若曲线在一般情况下具有某一性质,则在特殊情形下一定具有该性质,故上述例题首先取一特殊情况(直线斜率不存在)求出定点,然后给出一般情况下的证明. (2)证三条直线共点时,可首先证明两直线相交于一点,再证第三条直线过交点;同理,证明两直线相交于一点,可先证明一直线过定点,再证另一直线也过该点. 三、动圆恒过定点 例3已知椭圆22142xy+=,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y轴与点,A 直线l '过点P 且垂直与l ,交y 轴与点.B 试判断以AB 为直径的圆能否经过定yxPQOBAy xBAPO 点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.解:设点0000(,)(0,0)P x y x y ≠≠,直线l 的方程为00(),y y k x x -=-代入22142xy+=,整理得2220000(34)8()4()120k x k y kx y kx ++-+--=.0x x =是方程的两个相等实根,00028()2,34k y kx x k-∴=-+解得003.4x k y =-[或根据234(0)2y x y =->求导解得]∴∴直线l 的方程为00003().4x y y x x y -=--令0x =,得点A 的坐标为220043(0,).4y x y +又222200001,4312,43x y y x +=∴+=∴点A 的坐标为03(0,).y又直线l '的方程为00004(),3y y y x x x -=-令0x =,得点B 的坐标为0(0,),3y -∴以AB 为直径的圆方程为003()()0,3y x x y y y ⋅+-⋅+=整理得2203()10.3y x y y y ++--=由2210,0x y y ⎧+-=⎨=⎩得1.0x y =±⎧⎨=⎩ ∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)-和(1,0).【点评】过圆C ：220x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为： 22()0x y D x Ey F Ax By C λ+++++++=.交点坐标由2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩解得 四、动点在某定直线上 例4.设椭圆C :221,42xy+=当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||.A P Q B A Q P B ⋅=⋅证明:点Q 总在某定直线上.证明:设点,,Q A B 的坐标分别为1122(,),(,),(,).x y x y x y由题设知||,||,||,||AP PB AQ Q B 均不为零,记||||,||||AP AQ PB QB λ==则0λ>且 1.λ≠又,,,A P B Q 四点共线, 从而,.AP PB AQ Q B λλ=-=于是12124,1.11x x y y λλλλ--==--1212,1.11x x y y x λλλλ++==++从而2221224,1x x x λλ-=- ①2221221y y y λλ-=-. ②又点,A B 在椭圆C 上,即221124,x y += ③ 22222 4.x y += ④①+2⨯②并结合③,④得42 4.x y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上. 【点评】(1)解答本题有两个关键，一是将向量模之间的关系转化成向量之间的线性关系，从而得到动点、定点之间的坐标关系；二是如何合理整合各关系式.（2）圆锥曲线上的动点满足三个基本条件:①动点满足曲线定义的几何条件;②动点满足曲线的几何性质;③动点坐标满足标准方程的代数条件.应充分利用这些特征,根据函数与方程思想和几何性质处理有关“定”的问题. 五、两变量的和为定值例5.已知抛物线:C 24,x y =其焦点为F ,过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点,交抛物线的准线l 于点,N 已知12,,NA AF NB BF λλ==求证:12λλ+为定值.证明:方法一:如图所示,设直线AB 的方程为11221,(,),(,),y kx A x y B x y =+则2(,1).N k--联立方程组24,1x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22440,(4)160,x kx k --=∆=-+>故12124, 4.x x k x x +==-由12,NA AF NB BF λλ==得11122222,,x x x x kkλλ+=-+=-整理得1212221,1.kx kx λλ=--=--故12122112()kx x λλ+=--+1212224220.4x x k k x x k +=--⋅=--⋅=- 方法二:由已知12,,NA AF NB BF λλ==得120.λλ⋅<于是12||||,||||NA AF NB BF λλ=-①如图,过,A B 两点分别作准线l 的垂线,垂足 分别为11,A B ,则有11||||||,||||||AA NA AF NB BB BF ==② 由①、②得120.λλ+=【点评】如何利用题设条件中向量之间的线性关系,本例给出了启示,即根据向量平行将 12,λλ用坐标表示出来,进而化简整理证得;另利用初中所学的平面几何知识解决有关直线与抛物线的位置关系问题,有时可将解答过程大大简化. 六、两变量的积为定值 例6.已知曲线1C :22221(0,0)x y b a y ab+=>>≥与抛物线2C :22(0)x py p =>的交点分别为,A B (点A 在点B 左边),曲线1C 和抛物线2C 在点A 处的切线分别为12,,l l 且12,l l 的斜率分别为12,.k k 当b a为定值时,求证;12k k ⋅为定值(与p 无关),并求出这个定值.证明:设点A 的坐标为00(,),x y 曲线1C 的方程可写成:222200,,b b y a x y a x aa=-∴=-所以002001222220|()|.x x x x bx b x bx k y a y a a xa a x=='==-=-=---200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=又002021|()|,2x x x x x k y x pp==''===所以200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=222222x b b apy a-⋅=-为定值.【点评】由题意,两直线斜率都可通过求导求的,相乘约分即可求出定值,但复合函数的求导问题值得关注. 七、数量积为定值 例7.已知椭圆C :221,2xy +=点M 的坐标为5(,0)4,过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,对于任意的,k R ∈M A M B ⋅是否为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:由已知得(1,0),F 直线l 的方程为(1).y k x =-由22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(21)42(1)0,k x k x k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x yF 2F 1yxBA P则2212122242(1),.2121kk x x x x k k -+==++112255(,)(,)44M A M B x y x y ∴⋅=-- 121255()()44x x y y --+2121255()()(1)(1)44x x k x x =--+--2221212525(1)()()416k x x k x x k=+-++++222222254()22254(1)212116k k k k k k k +-=+-++++2242257.211616k k --=+=-+由此可知,716M A M B ⋅=- 为定值. 【点评】证明数量积为定值,首先将向量用坐标表示,而进行怎样的转化,如何利用题设条件是证明的关键.八、直线斜率为定值 例8.已知椭圆22124xy+=的上、下焦点为12,,F F 点P 在第一象限且是椭圆上的点，并满足121PF PF ⋅=,过P 作倾斜角互补的两条直线,PA PB 分别交椭圆于,A B 两点. 求证:直线AB 的斜率为定值.证明;由题意可得12(0,2),(0,2),F F -设0000(,)(0,0),P x y x y >>则100200(,2),(,2),P F x y P F x y =--=---221200(2)1,PF PF x y ∴⋅=--= 又点00(,)P x y 在椭圆上,所以22001,24x y += 所以224,2y x -=从而2204(2)1,2y y ---=得0 2.y =则点P 的坐标为(1,2).因为直线P A 、P B 的斜率比存在,故不妨设直线P B 的斜率为(0)k k >,则直线P B 的方程为:2(1).y k x -=-由222(1),124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(2)2(2)(2)40,k x k k x k ++-+--=设(,),(,),B B A A B x y A x y则22222(2)2(2)2221,1,222B B k k k k k k x x kkk----+==-=+++同理可得22222,2A k k x k+-=+则242,2A B k x x k -=+28(1)(1).2A B A B k y y k x k x k-=----=+所以直线AB 的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值.【点评】(1)若已知条件中的曲线满足某些特殊位置关系(本例中的倾斜角互补),则与这些曲线相关的点也可能较“特殊”.(2)当两直线的斜率满足120k k +=或121k k =-等关系时，若通过整理运算得到一关于1k 的关系式，关于2k 的关系式即用2k -或21k -代替上式中的1k 便可求的.。
解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考察重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考察直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考察数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
例2．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值X 围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T 〔m t ,〕的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
〔1〕设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；〔2〕设31,221==x x ，求点T 的坐标； AByOx〔3〕设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点〔其坐标与m 无关〕。
解析几何中的定点、定值问题教案(定稿)
解析几何中一类定点和定值的问题【教学目标】(l)通过圆的直径的一个简单性质类比到椭圆，学生能通过自主探究得到椭圆的直径的一个性质；(2)会从不同视角证明这个性质；(3)能证明性质成立的充要条件，并能利用性质解决相关问题；(4)通过问题解决领悟其中蕴涵的数学思想方法，在探究与发现中体验数学之美．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学方法】探究式、讨论式【教学过程】一、回归问题背景，追溯题根本质。
选修2-1课本（人教版）第41页上例3的一个问题：设点A ，B 的坐标分别为（-5，0）(5，0)，直线,AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。
（斜率之积为94，则为教材55页探究问题） 请同学们思考：问题1 设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为41-（或41），求点M 的轨迹方程。
答案1422=+y x （y ≠0）（第41页例2）（或1-422=y x （y ≠0）） 你本题采用直接法求轨迹方程，最终发现动点M 的轨迹是双曲线，而且注意到斜率这样一个条件，因此要剔除x 轴上的点，非常好！请同学们继续思考，如果将直线,AM 、BM 的斜率乘积改为-1，则定点M 的轨迹如何？ （为了了解学生对此方法的掌握情况，教师指定一名学生回答）变式：设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为-1，求点M 的轨迹方程。
答案422=+y x （y ≠0）（可用几何法）通过以上问题，你有什么发现？学生讨论交流后提出了发现：设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线,AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为k ，求点M 的轨迹方程。
的轨迹可以是直线、圆、椭圆、双曲线等等（剔除某些点）设计意图 作为本节课的引入，问题直接源自课本，入口浅，能有效激发学生兴趣，为后续学习奠定情感基础；另一方面也统领本节课，为接下来的学习埋下伏笔，留下悬念，有利于学生主动去探索研究，可谓寓意深刻值得一提的是，问题提问注意了差异性教学，有些问题鼓励学生自己回答(素质教好学生)；有些问题则指定学生回答（如一名中等生，学困生）二、 提出目标 明确任务什么是定值问题：在变化过程中存在不变量的问题，今天研究解析几何中的定值问题．思考一问题1.设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，M （与A,B 不重合）为圆422=+y x 的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？问题2.点A,B 为椭圆1422=+y x 长轴上的两个顶点．M （与A,B 不重合）为椭圆的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？问题3.点A,B 为双曲线1-422=y x 实轴上的两个顶点．M （与A,B 不重合）为双曲线的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？通过几何画板探究结论，要求学生观察完后进行证明。
高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解
解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。
3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。
（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。
解析几何中的定点定值问题
my 2 4x
a
y2
4my
4a
0
16m2 16a 0
y1 y1
y2
y2
4m 4a
k1k2
1
y1 2 x1 1
y2 x2
2 1
1
4 y1 2
4 y2 2
1
y1y2 2( y1 y2 ) 12 0
4a 8m 12 0 a 2m 3
EF : x my 2m 3过定点(3,2)
B
AB:
y
2 px y1 y2
4 p2 y02 y1 y2
y0
y
y0
2 px 4 p2 2 px0 y1 y2
2 p(x 2 p x0 ) y1 y2
AB过定点(x0 2 p, y0 )
思路2：设直线AB(2字母)
代入抛物线得关键方程
A
P
k1k2=-1统一字母
O
代直线AB方程(1字母）
(二)椭圆类
例3、椭圆 x2 y2 1
4
（1）以左顶点 A 为直角顶点的 RtAMN 的顶点都在
椭圆上，则斜边 MN 过定点
M
A N
思路1：特殊化取AM:y=x+2
代入椭圆得M,N坐标(1字母)
得直线AB方程(1字母) M 猜测得定点坐标再证明 A
N
解析：A(2,0), 取AM : y x 2
解析：小题猜测：极端性，当 PA水平时 A
此时 A 在无穷远处，B(x0 , y0 ) ，直线 AB : y y0 所以定点纵坐标为 y0
P
当 AB 竖直时，设为 x t ，
O
代入抛物线方程，A(t, 2pt ),B(t, 2pt )
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
解析几何中的定点、定值问题(含答案)
解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ，？故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=．注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=⎧⎨=⎩得定点(1,0).2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．【答案】-2【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又由A 、P 均在椭圆上，故有：2200222121x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得2222002()()0x x y y -+-= ，220122202y y k k x x-⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， ￥AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24e【解析】设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,与椭圆方程联立消去y 整理可得()22223424361080k x k x k +-+-=,则221212222436108,3434k k x x x x k k -+==++, 所以1221834ky y k-+=+, 则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,则22334k x k =+,即223,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, }所以222239(1)33434k k NF k k+=-=++.()2236134k AB k+==+,所以14NF AB =.F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是【答案】e =215- 【解析】 因为PAPF=常数，所以当点P 分别在（±b ，0）时比值相等，2b ac =， 又因为222b ac =-，:所以220a c ac --=同除以a 2可得e 2+e -1=0，解得离心率e =215-． 二、典例讨论 例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22142x y +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点． 试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）请证明你的结论．分析一：设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．《联立方程组22,24y kx x y =⎧⎨+=⎩消去y 得22412x k =+．所以0x，则0y =．所以直线AP的方程为)2y x =+．从而M ⎛⎫ ⎝同理可得点N ⎛⎫ ⎝． 所以以MN为直径的圆的方程为2(0x y y ++=整理得：2220x y y +--=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F 分析二：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得220024x y +=．由直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，可得以MN 为直径的圆为2000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，整理得：2220020002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭~由于220042x y -=-，代入整理即可得2200204204x y x y y x ⎛⎫+--= ⎪-⎝⎭此圆过定点(0)F ． 分析三： 易证：2212AP AQb k k a =-=-，故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为12k-. 直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -代k 得10,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故知以MN 为直径的圆的方程为21(2)()0x y k y k+-+= 整理得：2212(2)0x y k y k+-+-=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F . 分析四、、设(0,),(0,)M m N n ，则以MN 为直径的圆的方程为2()()0x y m y n +--=即22()0x y m n y mn +-++= 再由221=2AP AQAM AN b k k k k a =-=-得2mn =-，下略例2、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过点(1,0)E ，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值证明你的结论.解析：(1)由题意：222222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩~所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2) 设AB 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323(1)(1)AM BN y kx y kx k x kx k x kx k k x x x x x x x x +--+--+=+=+-+-+则整理得：[]132323131323(1)()(1)()()()AM BN k x x x x x x x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：2222(41)8440k x k x k +-+-=， 所以22121222844,4141k k x x x x k k -+==++ ②又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： $22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.例2(变式)、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (3) 求椭圆C 的方程；(4) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过定点(,0),(22)E m m -<<，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值证明你的结论.解析：(3)由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (4) :(5)设AB 方程为()y k x m =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323()()AM BN y kx y kx k k x x x x k x m kx k x m kx x x x x +-+=+-+-+--=+-+则整理得：[]132323131323()()()()()()AM BN k x x m x x x x m x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x m x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22()44y k x m x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22222(41)8440k x k mx k m +-+-=， 所以222121222844,4141k m k m x x x x k k -+==++ ②又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： 22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③]将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.三、课外作业1、已知椭圆22+142x y =，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．【答案】（0,0） 【解析】试题分析：设(2,),M t 则:(2)4tAM y x =+，与椭圆方程联立消y 得2222(8)44320t x t x t +++-=，所以221628P tx t -=+，288Pt y t =+，因此22282816228BP tt k t tt +==---+，即1BP OM k k =-，点Q 的坐标为O （0,0）2、已知PA 、右顶点B 的任意一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅则的值为 ． 【答案】13-|【解析】设(,)P x y ，因为P 在椭圆上，所以3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为,αβ，则cos()cos()αβαβ+-= .【答案】7 【解析】试题分析：因为A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，22PA PBb k k a ∴⋅=-2222211132244c a b b e a a a -=∴=∴=∴=，2234PA PBb k k a ∴⋅=-=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 473cos()cos cos sin sin 1tan tan 14αβαβαβαβαβαβαβαβ++--====-++- #4、如图所示，已知椭圆C C 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，当A ，B 变化时，如果直线AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线'A B 经过x 轴上的定点为________．【答案】(4，0)【解析】设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my－3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－224m m +，y 1y 2＝－234m +， 当m ≠0时，经过点A′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为121y y y y ++＝121x x x x --.令y ＝0，得x ＝2121x x y y -+y 1＋x 1＝2121my my y y -+y 1＋my 1＋1＝2212112121my y my my y my y y －＋＋＋＋1＝12212my y y y ＋＋1＝2232424m m m m ⋅+-+－＋1＝4，所以y ＝0时，x ＝4.当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A′，B 重合，经过A′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A ′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A ′B 经过x 轴上的定点(4，0)．5、 的右焦点2F 的直线交椭圆于于,M N 两点，令*【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN 垂直x 轴的情况，此时MN ：x=1,联立221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M （1，32）,N （1，-32），∴m=n=32，∴34mn m n =+6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上，—由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．所以a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．]因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫ ⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛- ⎝⎭．【则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++= ⎝⎭2，即224x y y k++=．令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝． ；同理可得点N ⎛⎫⎝．所以020168yMN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =． 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即22+x y y y +=4． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．】因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．所以直线AE 的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θθ++=． %令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．7、已知椭圆C: 2222x y a b+=1（a >0，b >0，点A (1在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满 足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之 积为定值若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+，又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， 解得2a =，1b =，c ，~所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，2y x b =-+， 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r -=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 8、已知椭圆C 1：22221(0)y x a b a b+=>>，且过定点M (1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：1()3y kx k =-∈R 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由． (1)解：由已知222222252511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2224155y x +=(2)解：由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229(24)12430k x kx +--= ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根 ∴12122212439(24)9(24)k x x x x k k +==-++，设P (0，p )，则1122()()PA x y p PB x y p =-=-，，， 22121212121212112()()()()333pPA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立∴22184503624390p p p ⎧-=⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件。
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解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
AByOx【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率25e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
（I ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
二、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。
如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。
例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。
（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。
例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
将第二问的结论进行如下推广：结论 1.过椭圆22221(0,0)x y a ba b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2020b x a y （常数）。
结论 2.过双曲线22221(0,0)x y a ba b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值202b x a y （常数）。
结论3.过抛物线22(0)ypx p上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值py （常数）。
例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点． (Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x1，离心率为e =E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒三、 定直线问题例9、设椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>过点M ，且焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上例10、已知椭圆C 的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。
试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
四、 其它定值问题例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右准线方程为3x =求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.例12、己知椭圆12222=+by a x （a >b >0）,过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。
探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则22B A1=+bya x ，原点O 到直线22B A 的距离为22ba abr +=，则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为222222b a b a y x +=+。
例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。
探索定值：取P ),(020x a x ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率221x a k PP = ∴2202a xk PP -= PP 2的方程为)(02200x x a x y y --=-把x a y 2=代入解得),(2303042axx a P 22021a x k P P =∴（定值） 证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为 －k1， ∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=- PP 2的方程为)(100x x ky y --=-，与抛物2a xy = 联立解得),(0201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ，从而2220221ax y a k P P ==（定值）EX ：过抛物线y 2=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。
推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。
五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，三角形ABM 的三个顶点都在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。
（1）求椭圆的方程。
（2）求证：直线AB 的斜率是定值。
分析：（1）x 2+2y 2=3 （2）122、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （73-，0） 493、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。
（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。
分析：设点AB 的坐标（2）l ：x=3.4、 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。