卡诺图化简法20分钟教案
第四讲 逻辑函数的卡诺图化简法
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）
（三）卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图 ）
（2）三变量卡诺图 ）
B m0 ABC A m4 ABC m1 ABC m5 ABC C (a) m3 ABC m7 ABC m2 ABC m6 ABC A 0 1 0 4 1 5 3 7 2 6 BC 00 01 11 10
总之， 个相邻的最小项结合， 个取值不同的变量而合并为l 总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项。
2．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） 用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）
（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。 =0,1,2,3…… 个相邻项。 ……） 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2 要特别注意对边相邻性 四角相邻性。 对边相邻性和 要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少。 圈的个数尽量少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1 小项。 小项。 （4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格， 是多余的。 是多余的。
知识点导入
通过第三讲的学习，我们已经学会了如 何使用代数法来化简逻辑函数，从而使逻 辑电路达到最简洁合理。 这一讲我们将学习逻辑函数的另一种化 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 最简逻辑函数，并设计出最简逻辑电路图。
逻辑函数的卡诺图法化简
精品课件
26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
13
4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
精品课件
1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
15
AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0
卡诺图化简法
26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
16
(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
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② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00
数制与编码码及逻辑代数公式化简(含卡诺图化简)专题教案
《电子技术基础》教案位权：８的整数幂4.十六进制数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、Ａ、B、C、D、E、F 共十六个数码相邻位的关系：逢十六进一，借一当十六。
位权：16的整数幂二、不同数制的转化1.非十进进制数转换为十进制数可将非十进制数按位权展开，得出其相加结果，就是对应的十进制数。
例：（11011）Ｂ=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=24+23+0+21+1=（27）Ｄ２.十进制数转换为二进制数可将十进制数逐次用２除取余数，一直到商为零。
然后把全数余数按相反的次序排列起来，就是等值的二进制数。
例：将十进制数39转化为二进制数。
所以 (39)Ｄ=(100111)Ｂ3.二进制数转换为八进制数可将二进制整数自右向左每3位分为一组，最后不足3位的，高位用零补足，再把每3位二进制数对应的八进制数写出即可。
例：将二进制数110100111转化为八进制数。
解：二进制数110 100 111八进制数 6 4 7所以（110100111）2=（647）84.八进制数转换为二进制数各种进制之间的转化作为考试的考点所在，在课堂上应该让同学们多做练习，以达到掌握的目的。
教师提前准备好相关练习题进行现场考例２：化简逻辑函数 C B A B A Y +=解：B A C B A C B A B A Y =+=+=)1( 例３：化简逻辑函数 AB B A B A Y ++=解：B A B B A A A B AB B A B A Y +=+++=++=)()(注：式中ＡＢ一项可被多次利用（可使用同一律），因AB AB AB =+ ２.利用公式B A B A A +=+化简例：化简逻辑函数 C B A BC A Y +=解：C A B A C B A C B A BC A Y +=+=+=)( ３.利用公式摩根定律化简例：化简逻辑函数 CD A A Y ++=解：A CD A ACD A CD A A CD A A Y =+=+=•+=++=)1( 逻辑函数的最简标准：对于任一逻辑函数，其表达式有多种形式，如与或式、或与式、与非－与非式等，其中最常用的为与或式。
5.逻辑函数的卡诺图化简
在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些 最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
数
字
电
子
技
术
（2）卡诺图的画法 首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。 （ 、 、 ） ① 3变量的卡诺图有23个小方块； ② 几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、 01、11、10的顺序（循环码 ）排列 。
数
字
电
子
技
术
3、将合并化简后的各与项进行逻辑加（相或）， 将合并化简后的各与项进行逻辑加（相或）， 便得到所求函数的最简与--或式。 便得到所求函数的最简与--或式。 --或式 从圈组写最简与或表达式的方法： 从圈组写最简与或表达式的方法： 将每个圈用一个与项表示 圈内各最小项中互补的因子消去， 相同的因子保留， 相同取值为1用原变量， 相同取值为0用反变量。
= ABC + ABC + ABC
或：Y ( A, B, C ) = m3 + m6 + m7
= ∑ m (3,6,7)
数
字
电
子
技
术
2、最小项的卡诺图 （1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则（相邻性）排列而构成的方格 图。构成卡诺图的原则是： ① N变量的卡诺图有2N个小方格（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余的都 相同。逻辑相邻的最小项可以合并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对——任一行或一列的两头； 三是相重——对折起来后位置相重。（包括滚卷相邻）
Y2 = AC D = A( B + B )C D = A BC D + ABC D = ∑ m (9,13)
逻辑函数的卡诺图化简法第三课时
复习利用卡诺图化简 逻辑函数的步骤
独立完成后交流
2、已知逻辑函数 式
的真值表如下，试写出它的最小项表达
1 名学生板演，其他 学生观看、学习、揣 摩
3、 先写出逻辑函数 式，然后画出对
1 名学生板演，其他 学生观看、学习、揣 摩
4、用卡诺图化简逻辑函数
解：逻辑函数的卡诺图为：
认真完成卡诺图
所以，
5、化简逻辑函数
其卡诺图如下： 师生共同解题， 学习、 揣摩
2
6、化简逻辑函数 解：逻辑函数的卡诺图如下：
尝试独立完成后交流
所以，
7、先写出逻辑函数 画出对应的卡诺图。 解：
的最小项表达式，然后
对应的卡诺图为： 1 名学生板演，其他 观看解题过程
【课堂总结】 掌握最小项表达式和利用卡诺图化简逻辑函数的知识。 【作业布置】课后习题 【板书设计】 第 17 课时 1、最小项 2、利用卡诺图化简逻辑函数 教学反思： 逻辑函数的卡诺图化简法 认真回顾记忆 课后认真完成
（2）利用卡诺图化简逻辑函数的步骤： 先找没有相邻项的独立 1 方格，单独画圈。 其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。 再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。 再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。 依此类推，若还有 1 方格未被圈，找合适的圈画出。 习题 1、将逻辑函数 表示为最小项表达式
3
课
题
第 17 课时
逻辑函数的卡诺图化简法 （3） 课型
习题
学时
1
教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 学习方法 教学设备
复习巩固最小项表达式和利用卡诺图化简逻辑函数的知识。 用卡诺图化简逻辑表达式 用卡诺图化简逻辑表达式 练习为主，讲练结合 练习、讲解 触摸式一体机 教 学 过 程 学生活动内容及时 间
逻辑函数的卡诺图化简课件
主要项：把2n个为1的相邻最小项进行合并，若卡诺圈不能再扩大，则圈得的合 并与项称为主要项。 必要项：若主要项圈中至少有一个为1的“特定”最小项没有被其它主要项所覆 盖，则称此主要项为必要项或实质主要项。最简逻辑函数中的与项都是必要项。
冗余项：若主要项圈中不包含有为1的“特定”最小项，或者说它所包含为1的最 小项均已被其它的主要项圈所覆盖，则称其为冗余项或多余项。
2. 卡诺图上最小项的相邻性
1）几何相邻 2）相对相邻 3）重叠相邻 演示
3. 卡诺图的填写方法
1. 函数为最小项表达式 因为构成函数的每一个最小项，其逻辑取值都是使函数值为1的 最小项，所以填写卡诺图时，在构成函数的每个最小项相应的小方 格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是说，任何一个逻辑函数 都等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。
解：① 若按单个函数分别化简，则：
F1 AB AC
F2 AB BC
两个表达式中共有4个不同的与项，变量总数为8个。
② 若将函数F1和F2 中的公共与项“ABC”公用，则两个输出函数分 别化简为：
F1 AB ABC
F2 BC ABC
两个表达式中共有3个不同的与项，变量总数为7个。虽然单个函数不 是最简，但充分利用了函数的公共“与项”，使总体效果达到了最佳。
AB CD
00 00 01
10 11
01 0
1 1 0
11 1
1 1 0
10 1
0 1 0
0
0 1 0
AB CD 00 01 10 11
00
0 0 1
01
0 1 1
111 1 1来自101 0 1
0
0
0
0
逻辑函数的卡诺图化简法
0 0 4
0 1 0 5
0 3 0 7
0 2 0 6
1 1 0 1 12 13 15 14 1 8 1 9 1 11 1 10
3.合并最小项 3.合并最小项
(1) 画包围圈………. 画包围圈………. 根据含有1的相邻方格画包围圈…… 根据含有1的相邻方格画包围圈…… (2) 消去因子（消元） 消去因子（消元） 根据所画包围圈消去相应的因子…… 根据所画包围圈消去相应的因子……
第三步 画圈消元
BC AB
ACD ACD
ABCD
01 11 10
BD
(1) L = ∑m ( 3,4,5,6,9,12,13,14,15 )
第一步 ……. 第二步 画卡诺图 第三步 画圈消元 第四步 化简结果
BC AB
ACD ACD
ABCD
BD
L = AB + BC + BD + ACD + ACD + ABCD
L = ∑m ( 0, 2, 4, 6, 9, 13 )
(2)
第一步 ……. 第二步 画卡诺图
00 01Байду номын сангаас11 10
+ ∑d ( 1, 3, 5, 7, 11, 15 )
CD 00 AB 01 11 10
0 4
1 5
3 7
2 6
12 13 15 14 8 9 11 10
L = ∑m ( 0, 2, 4, 6, 9, 13 )
↑ 11
↑ 8
↑ 9
↑ 10
↑
↑ 12
↑ 13
14
L( A, B, C, D) = ∑m (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
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逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简是《数字电子技术基础》第二章第5小节的内容。
《数电》是电类专业的一门基础课，而卡诺图化简是学习数字电路设计的一个基本工具，在数字电路的逻辑变量简化中起到重要的作用。
那么我们先了解一下，什么是卡诺图？
一、卡诺图由来
数字电路中的逻辑函数往往不是最简的表达形式，而在使用代数法对逻辑函数化简时，会遇到很多困难：
1、逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握，加大了计算难度；
2、代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性，运算效率低；
3、代数化简方法技巧强，较难掌握。
特别是对于判断代数化简后的逻辑表达式是否为最简式，具有一定困难。
所以对于自变量较少的逻辑函数，我们寻求了一种简单有效的化简方式——卡诺图化简法又称为图形化简法。
该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。
卡诺图是贝尔实验室的电信工程师，莫里斯•卡诺在1953年发明的。
卡诺图简称K图，它是真值表的变形，将真值表按一定规则画成的最小项方块图。
二、用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的定义
几何相邻：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。
几种典型的卡诺图：
1）两变量卡诺图
每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻
2）三变量卡诺图
每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻
3）四变量卡诺图
•每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻
•最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的
•最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的
2、卡诺图的特点
各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
3、已知逻辑函数画卡诺图
当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。
任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。
例1 画出L(A, B, C, D)=∑(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡诺图
三、卡诺图上最小项的合并规律
1、化简的依据
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
四、用卡诺图化简逻辑函数
1、卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（1）将逻辑函数写成最小项表达式
（2）按最小项表达式填卡诺图，式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。
（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组包围圈，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。
（通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈）
（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。
2、画包围圈时应遵循的原则：
（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。
（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。
（4）一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。
例2：对下列逻辑函数表达式利用卡诺图化简
Y=A B C D+A B C D+A BC+ABD+A C D+AC D
= A B C D+A B C D+ A BC(D+D)+AB(C+C)D+A(B+B)C D+A(B+B)C D
=m0+m2+m7+m6+m13+m15+m12+m8+m10+m14
=∑m(0,2,6,7,8,10,12,13,14,15)
最终得到结果：Y= AB +BC+BD
结束语
今天，我们学习了卡诺图的化简的一般方法。
对于变量个数小于5的逻辑函数表达式，我们能够以简便直观的方式对函数进行快速化简。
而在实际应用时，还有一些特殊逻辑函数存在，对于这样的函数，我们在采用卡诺图化简方法时，还需要在使用时注意做些特殊处理。
那么在下一讲，我会给大家介绍其他一些特殊函数卡诺图化简方法。
那么今天这堂课就上到这里，谢谢大家！。