卡诺图化简法
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卡诺图化简
Z(A,B,C,D)=ABC+ABD+AC’D+C’D’+AB’C+A’CD’+++Z+BA=,(,,)C+BACADCDCABDABCACDD先填ABC项，即利用ABC=ABC（D+D’）=ABCD+ABCD’，如下图填入：图一’D,但ABCD项的表格已填入1，则不在填，只填ABC’D按照上述方法填好整个函数表达式，如下图：卡诺图圈“1”法化简步骤：1、先圈包含1个数最多的最大“1”圈，其中1格数只能为1、2、4、8、16；2、再圈包含1个数第二多的“1”圈，其中1格数也只能为1、2、4、8、16；以此类推，直到把卡诺图中所有的1格圈完。
3、检查每个“1”圈中是否至少有一个1格未被其它“1”圈圈过，若都被其他圈圈过，则该“1”圈舍去。
4、保留每个“1”圈中的不变的变量，其中“0”用原变量表示，“1”用反变量表示，变量之间用“.”连接，则构成该“1”圈的乘积项。
5、一个“1”圈对应一个乘积项，有多少“1”圈，就有多少乘积项，它们之间用“+”连接。
例题2：Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m15解：1、在卡诺图中填充好函数表达式，如下图：4、圈完所有的1格，通过检查，发现原来圈4个1格的最大“1圈”中所有的1格都被其6、按照写化简后的函数逻辑表达式的规则，得化简后的函数表达式：Y（A,B,C,D）=A’C’D+ABC’+ ACD+A’BCABC’ACD A’BC。
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
卡诺图化简法一全文
m0
0
m1如何根据输入1变量组 m2合写出相应最2小项？
m3
3
m4
4
m5
5
m6
6
m7
7
例如 ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2. 最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而
其余各种变量取值均使其值为0。 (2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
[例] 将逻辑式 Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
Y ABC AB C D ABC AB (C D) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
CD
AB
C D CD CD C D
同一行最 左与最右 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
方格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D 卡诺图特点： 循环相邻性 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
同一列最 上与最下 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。
BC A 00 01 11 10
0 10 1 3 12
1 14 5 7 16
已 [例] 已知 Y AD AB(C BD)，试画出Y的卡诺图。 知 解：(1) 将逻辑式转化为与或式
卡诺图化简法
ABC ABC A BC
m3 m2 m1
m(1、 2、 3)
例2
L( ABC ) ( AB AB C ) AB
AB AB C AB
AB AB C AB ( AB AB) C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC
⒈用摩根定律去掉非号(多个变量上)直至只在一个变量上有非号为止
⒉用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式
⒊配项得到最小项表达式
习 例1
题
A B A BC
的最小项
求函数F(A、B、C) 表达式 解：F(A、B、C)
A B A BC
A B A BC
AB(C C) A BC
如:
m0 m2 m4 m6 m8 m10 m12 m14 D
2.用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤
设已得到逻辑函数的卡诺图
1) 将相邻的值为“1”的小方块画成若干个包围圈
ⅰ)每个包围圈中必须含有2n个小方块 (n=0,1,2, …)
画 圈 原 则
ⅱ)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他 包围圈没有的新小方块 ⅲ)不能漏掉任何值为1的小方块 ⅳ) 包围圈所含的小方块数目要尽可能多 ⅳ) 包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大→小
10 1
01 11 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
1 1 1
D
3.具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简
无关项的定义
在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者 这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无 关项或任意项。
卡诺图化简
卡诺图化简法卡诺图化简法又称为图形化简法。
该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。
一卡诺图的构成卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
1．结构特点卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。
图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。
各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。
具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。
以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。
而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。
这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。
同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。
通常把这种相邻称为相对相邻。
除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。
对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。
归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
卡诺图化简法
26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
16
(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
17
② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00
卡诺图化简法
1 1
1
1 1
1
mi
例：将逻辑式
P = B C + ABD 填入卡诺图
D
CD 00 AB 00 01 11 01
C
11
1
10
1
填 BC 填 ABD
B AB
BC
1
1
1
1
10
ABD
mi
例：将逻辑式 P = CD + D 填入卡诺图
CD 00 AB 00 01 11 10 01 11 1 1 1 1 10 CD 00 AB 00 01 11 10 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10
ABC D + ABC D = ABC ( D + D ) = ABC
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合， 所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就 有可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。 有可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
7
11 11 10
1
13
1
15
所以ABD处于第三行和第二、第 处于第三行和第二、 所以 处于第三行和第二 三列的交点上（一行二列）。 三列的交点上（一行二列）。
mi
例：将逻辑式P= BC + B D 填入卡诺图
CD 0 0 00 1 00 AB 00 1 01 11 10
11
10 0
1
这是B， 先填 BC ， 这是 ， 这是 C ； 这一与项处于第二、 BC 这一与项处于第二、 第三行和第一、 第三行和第一、第二列的交 点处（二行二列）。 点处（二行二列）。 再填 B D ， 这是 B ， 这是 D 。 这一与项处于第一、 B D 这一与项处于第一、 第四行和第一、 第四行和第一、第四列的交点 二行二列）。 处（二行二列）。
18. 卡诺图化简法
二变量卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
五变量的卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数
1. 将函数表示为最小项之和的形式 mi 。
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ，其余地方添0。
用卡诺图表示逻辑函数
Y (A, B,C, D) ABCD ABD AB
ABCD (C C)ABD AB[(CD) CD CD CD]
2.8 多输出逻辑函数的化简
例: Y1(A, B,C, D) (1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14,15)
Y2 (A, B,C, D) (1,3, 4,5, 6, 7,12,14) Y3( A, B,C, D) (3, 7,10,11)
卡诺图化简
Y1( A, B,C, D) B AC ACD Y2 ( A, B,C, D) AD BD
m(1, 4据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形 中直观地反映出来。
合并最小项的原则：
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写
入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称 为无关项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少， 每项因子最少······
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
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(b)
1 10
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
0 4 1 5 3 7 2 6
0 1 0 1 00 0 1 01 0 111 0 1 10 1 1 1 1 00 1 1 01 1 111 1 1 10
12 8 13 9 15 11 14 10
CD 00 AB 00 0
0 01
先填 A CD , 这是 A ,
1 01 11 1 1
这是CD;
10
1 D 处于第一第二行和第 三列的交点上（二行一列）。 再填 ABD , 这是AB ， 这是D 。
7
11 1 1 10
1
1
15
所以ABD处于第三行和第二、第 三列的交点上（一行二列）。
我们的任务是化简逻辑函数，将与或型逻辑函 数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项 的面貌出现在卡诺图中。然后，经过重新组合，将 具有“1”的小格按照 2i 的规律尽可能大地圈成矩形 带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。 下面我们来讨论如何用卡诺图进行化简。也就 是如何重新组合带有“1”的小格，如何尽可能大地 圈成矩形带，以得到最简与或逻辑式。
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
0 4 1 5 3 7 2 6
ABD
0 1 0 1 00 0 1 01 0 111 0 1 10
卡诺图的是按邻接规律 构建的，在几何位置上相邻 的小格是邻接的。同时，第 一行和第四行也是邻接的； 第一列和第四列也是邻接的； 四个角也是邻接的。
P A BC AC
1 1 1
BC
该逻辑式是否最简？显然不是最简 形式，因为
P A BC AC C ( A B A)
AC
( A B)C AC BC
显然 AC 对应下面四个小格； BC 对应上面四个小格，中间二个小格被 覆盖，属于公共享有。 所以，为使与项最简，圈矩形带时，小格可以公用，互相覆盖。
mi
17.6.3.2 关于覆盖
但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要 有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。
CD 00 AB 00
01
11 1
10
例如下图中，四个矩 形带对应的与项分别是
A CD
ABC
A BC A CD ABC AC D
中间的四个小格圈成的 矩形带对应的与项BD虽然最 简，但 BD 对应的四个小格 一一被其他四个矩形带所覆盖， 所以就应从最简与或式中取消， 最简与或式为
B B A B 0
0 2
1 01 11
1 3
A A B AB A AB AB
0 00 1 10
(a )
(b)
mi
这是三变量卡诺图
BC BC BC BC A BC 00
0 4
01
1 5
11
3 7
10
2 6
A A BC A BC A BC A BC A A BC A BC A BC A BC
(a )
0 0 00 00 1 0 11 0 10 1 1 00 1 01 1 11
ABC
1 1 1 1 00 1 1 01 1 111 1 1 10
12 8 13 9 15 11
14 10
1 0 1 0 00 1 0 01 1 011 1 0 10
BCD
mi
17.6.2 与项的读取和填写 17.6.2.1 与项如何填入卡诺图 1. 与项是最小项的形式 例如，将逻辑式 P( A, B, C) A B C ABC
A BC
01 11 10
1
1
1
BD
1 1 1 1
AC D
P A BC A CD ABC AC D
mi
总之，一个矩形带中的所有小格最少要有一个未被覆盖， 这个矩形带所代表的与项才是化简后的与或型逻辑式中不可 缺少的项。反之，一个矩形带中的所有小格都被其它矩形带 所覆盖，那么这个矩形带所代表的与项就不是独立的，如果 写入与或型逻辑式中就是多余的。
卡诺图化简法的步骤如下： 1 ．逻辑式填入卡诺图，如果逻辑式不是与或型， 先将逻辑式转换为与或型。 2．照最小的原则，尽可能将矩形带圈大一些。 3 ．选出至少有一个小格是独立的矩形带，写出它 们所对应的最简与项的逻辑和。 4 ．如有遗漏，添上遗漏小格所对应的一个最简与 项，它们的逻辑和就是最简化的与或型逻辑式。 动画17-1 动画17-2
mi
17.6 卡诺图化简法
17.6.1 卡诺图 17.6.1.1 卡诺图的构成
卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占 有一个小方格。因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n ，则最小项的数目为2n 。二个变量的卡诺图见下图所示。图中 第一行表示 A，第二行表示A；第一列表示 B ，第二列表示B。 这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号 相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。
mi
卡诺图中的与项对应的小格，只能一个一组；二个一组； 四个一组；八个一组，…，即按2i 的规律组成矩形带。i为缺 少的变量数。以四变量为例，与项只有一个变量，即缺3个变 量，应占23个小格，且组成一个矩形带；与项只有二个变量， 即缺2个变量，应占22个小格，且组成一个矩形带；与项只有 三个变量，即缺1个变量，应占21个小格，且组成一个矩形带。
mi
17.6.3
卡诺图化简
17.6.3.1 如何使与项最简
由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多， 对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数， 填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。
CD 00 AB 00 01 11 10 1 1 1
01
11
10
例如左图若把上面两个小方格圈在 一起有 A BC ，下面四个小方格圈在一 起有AC ，于是逻辑式为：
1 0 1 0 00 1 0 01 1 011 1 0 10
掌握卡诺图的构成特点，就可以从印 在表格旁边的 AB 、 CD 的“ 0” 、“ 1” 值直 接写 出最小项的文字符号内容。例如在四变量 卡诺图中，第四行第二列相交的小方格。 表格第四行的“AB”标为“10”，应记为 AB ，第二列的“CD”标为“01”，记为 CD AB C D ， 所以该小格为 。
mi
例：将逻辑式 P AB C 填入卡诺图
CD 00 AB 00 01 11 10 01 11 1 1 1 1 10 CD 00 AB 00 01 11 10 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10
AB
D
由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图 中占的小格越多； 最小项在卡诺图中占1个小格；与最小项相比，少一个变 量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个 小格，…。
填入卡诺图。它为一个三变量的逻辑式，结果见下图。
C AB 00 01 0 0 0
1 1
0 0 0
与项是最小项时，按最 小项编号的位置直接填入。
ABC
1 11 1
10
1
0
ABC
mi
2. 与项不是最小项的形式
与项不是最小项的形式，按邻接关系直接填入卡诺图。例如
P( A, B, C, D) A CD ABD
mi
17.6.1.2 邻接与化简的关系
卡诺图为什么可以用来化简？这与最小项的排列满足邻接关 系有关。因为在最小项相加时，相邻两项就可以提出项，从而消 去一个变量。以四变量为例，m12与m13相邻接，则m12+m13为：
ABC D ABC D ABC ( D D) ABC
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就 也可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
mi
例：将逻辑式P= BC + B D 填入卡诺图
先填 BC ， 这是B， 这是 C
CD 0 0 00 1 00 AB 00 1 01 1 11 1 10 11 10 0
；
1
BC 这一与项处于第二、 第三行和第一、第二列的交 点处（二行二列）。
1 1
1
1 1
1
再填 B D ， 这是 B ， 这是 D 。 B D 这一与项处于第一、 第四行和第一、第四列的交点 处（二行二列）。
mi
例:化简 P AB ABC A C D A B D
CD 00 AB 00 01 11
1 10 1 1
01
1 1
11
1
10
CD 00 AB 00 01
01 1 1
11 1
10 1
1
1 1 1 1
11 10 1 1
1 1
1 1
1 10
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
0 4 1 5 3 7 2 6
0 1 0 1 00 0 1 01 0 111 0 1 10 1 1 1 1 00 1 1 01 1 111 1 1 10
12 8 13 9 15 11 14 10
CD 00 AB 00 0
0 01
先填 A CD , 这是 A ,
1 01 11 1 1
这是CD;
10
1 D 处于第一第二行和第 三列的交点上（二行一列）。 再填 ABD , 这是AB ， 这是D 。
7
11 1 1 10
1
1
15
所以ABD处于第三行和第二、第 三列的交点上（一行二列）。
我们的任务是化简逻辑函数，将与或型逻辑函 数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项 的面貌出现在卡诺图中。然后，经过重新组合，将 具有“1”的小格按照 2i 的规律尽可能大地圈成矩形 带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。 下面我们来讨论如何用卡诺图进行化简。也就 是如何重新组合带有“1”的小格，如何尽可能大地 圈成矩形带，以得到最简与或逻辑式。
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
0 4 1 5 3 7 2 6
ABD
0 1 0 1 00 0 1 01 0 111 0 1 10
卡诺图的是按邻接规律 构建的，在几何位置上相邻 的小格是邻接的。同时，第 一行和第四行也是邻接的； 第一列和第四列也是邻接的； 四个角也是邻接的。
P A BC AC
1 1 1
BC
该逻辑式是否最简？显然不是最简 形式，因为
P A BC AC C ( A B A)
AC
( A B)C AC BC
显然 AC 对应下面四个小格； BC 对应上面四个小格，中间二个小格被 覆盖，属于公共享有。 所以，为使与项最简，圈矩形带时，小格可以公用，互相覆盖。
mi
17.6.3.2 关于覆盖
但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要 有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。
CD 00 AB 00
01
11 1
10
例如下图中，四个矩 形带对应的与项分别是
A CD
ABC
A BC A CD ABC AC D
中间的四个小格圈成的 矩形带对应的与项BD虽然最 简，但 BD 对应的四个小格 一一被其他四个矩形带所覆盖， 所以就应从最简与或式中取消， 最简与或式为
B B A B 0
0 2
1 01 11
1 3
A A B AB A AB AB
0 00 1 10
(a )
(b)
mi
这是三变量卡诺图
BC BC BC BC A BC 00
0 4
01
1 5
11
3 7
10
2 6
A A BC A BC A BC A BC A A BC A BC A BC A BC
(a )
0 0 00 00 1 0 11 0 10 1 1 00 1 01 1 11
ABC
1 1 1 1 00 1 1 01 1 111 1 1 10
12 8 13 9 15 11
14 10
1 0 1 0 00 1 0 01 1 011 1 0 10
BCD
mi
17.6.2 与项的读取和填写 17.6.2.1 与项如何填入卡诺图 1. 与项是最小项的形式 例如，将逻辑式 P( A, B, C) A B C ABC
A BC
01 11 10
1
1
1
BD
1 1 1 1
AC D
P A BC A CD ABC AC D
mi
总之，一个矩形带中的所有小格最少要有一个未被覆盖， 这个矩形带所代表的与项才是化简后的与或型逻辑式中不可 缺少的项。反之，一个矩形带中的所有小格都被其它矩形带 所覆盖，那么这个矩形带所代表的与项就不是独立的，如果 写入与或型逻辑式中就是多余的。
卡诺图化简法的步骤如下： 1 ．逻辑式填入卡诺图，如果逻辑式不是与或型， 先将逻辑式转换为与或型。 2．照最小的原则，尽可能将矩形带圈大一些。 3 ．选出至少有一个小格是独立的矩形带，写出它 们所对应的最简与项的逻辑和。 4 ．如有遗漏，添上遗漏小格所对应的一个最简与 项，它们的逻辑和就是最简化的与或型逻辑式。 动画17-1 动画17-2
mi
17.6 卡诺图化简法
17.6.1 卡诺图 17.6.1.1 卡诺图的构成
卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占 有一个小方格。因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n ，则最小项的数目为2n 。二个变量的卡诺图见下图所示。图中 第一行表示 A，第二行表示A；第一列表示 B ，第二列表示B。 这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号 相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。
mi
卡诺图中的与项对应的小格，只能一个一组；二个一组； 四个一组；八个一组，…，即按2i 的规律组成矩形带。i为缺 少的变量数。以四变量为例，与项只有一个变量，即缺3个变 量，应占23个小格，且组成一个矩形带；与项只有二个变量， 即缺2个变量，应占22个小格，且组成一个矩形带；与项只有 三个变量，即缺1个变量，应占21个小格，且组成一个矩形带。
mi
17.6.3
卡诺图化简
17.6.3.1 如何使与项最简
由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多， 对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数， 填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。
CD 00 AB 00 01 11 10 1 1 1
01
11
10
例如左图若把上面两个小方格圈在 一起有 A BC ，下面四个小方格圈在一 起有AC ，于是逻辑式为：
1 0 1 0 00 1 0 01 1 011 1 0 10
掌握卡诺图的构成特点，就可以从印 在表格旁边的 AB 、 CD 的“ 0” 、“ 1” 值直 接写 出最小项的文字符号内容。例如在四变量 卡诺图中，第四行第二列相交的小方格。 表格第四行的“AB”标为“10”，应记为 AB ，第二列的“CD”标为“01”，记为 CD AB C D ， 所以该小格为 。
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例：将逻辑式 P AB C 填入卡诺图
CD 00 AB 00 01 11 10 01 11 1 1 1 1 10 CD 00 AB 00 01 11 10 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10
AB
D
由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图 中占的小格越多； 最小项在卡诺图中占1个小格；与最小项相比，少一个变 量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个 小格，…。
填入卡诺图。它为一个三变量的逻辑式，结果见下图。
C AB 00 01 0 0 0
1 1
0 0 0
与项是最小项时，按最 小项编号的位置直接填入。
ABC
1 11 1
10
1
0
ABC
mi
2. 与项不是最小项的形式
与项不是最小项的形式，按邻接关系直接填入卡诺图。例如
P( A, B, C, D) A CD ABD
mi
17.6.1.2 邻接与化简的关系
卡诺图为什么可以用来化简？这与最小项的排列满足邻接关 系有关。因为在最小项相加时，相邻两项就可以提出项，从而消 去一个变量。以四变量为例，m12与m13相邻接，则m12+m13为：
ABC D ABC D ABC ( D D) ABC
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就 也可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
mi
例：将逻辑式P= BC + B D 填入卡诺图
先填 BC ， 这是B， 这是 C
CD 0 0 00 1 00 AB 00 1 01 1 11 1 10 11 10 0
；
1
BC 这一与项处于第二、 第三行和第一、第二列的交 点处（二行二列）。
1 1
1
1 1
1
再填 B D ， 这是 B ， 这是 D 。 B D 这一与项处于第一、 第四行和第一、第四列的交点 处（二行二列）。
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例:化简 P AB ABC A C D A B D
CD 00 AB 00 01 11
1 10 1 1
01
1 1
11
1
10
CD 00 AB 00 01
01 1 1
11 1
10 1
1
1 1 1 1
11 10 1 1
1 1
1 1