逻辑函数的卡诺图法化简
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑根底补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比拟明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比拟容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项〔1〕定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F 〔A ，B 〕 〔2个变量共有4个最小项B A B A B A AB 〕Y=F 〔A ，B ，C 〕 〔3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC 〕结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表〔2〕最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。
〔3〕最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出以下函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++=3567m m m m +++例2.写出以下函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
4．卡诺图〔1〕．卡诺图及其画法：把最小项按照一定规则排列而构成的方格图。
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
卡诺图化简法
下面两个图，你会画卡诺圈吗？
CD AB 00
01 11
10
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11
10
ABCD00 01 11 10
00 1
1
01 1
1
11 1
1
10 1
1
FA
FD
小结
• 1、卡诺图，用卡诺图表示逻辑函数 • 2、卡诺图法化简逻辑函数的步骤
数字电子技术
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目录
• 1、什么是卡诺图？ • 2、卡诺图法化简的步骤
逻辑函数卡诺图化简法
• 卡诺图是什么？
最小项 卡诺图画法规则
卡诺图表示函数
逻辑函数卡诺图化简法
•最小项： 设有 n 个变量，它们组成的“与” 项中每个变量或 以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次， 这些与项均称之为n个变量的最小项。若函数包含 n 个变量，构成的最小项应为 2n个，分别记为 mn。
③“圈1”-----用卡诺圈把相邻最小项进行合并，遵照 最大化原则；
④“读圈”----- 根据所圈的卡诺圈，消除圈内全部互 反的变量，保留相同变量作为一个“与”项。
逻辑函数卡诺图化简法
•卡诺图法化简时应遵循以下原则
① “1” 的个数为2n； ② 包围圈越大越好，个数越少越好； ③“1”可以被重复包围使用； ④必须把所有的“1”都圈完。
三变量的最小项共有23 =8个，可表示为：
ABC 000 m0 ABC 001 m1 ABC 010 m2 ABC 011 m3 ABC 100 m4 ABC 101 m5 ABC 110 m6 ABC 111 m7
逻辑函数卡诺图化简法
•卡诺图画法规则： 卡诺图是平面方格阵列图，其画法满足几何
逻辑函数的化简卡诺图法
约束项:实际中不出现的最小项,取0或1 均无意义. 充分利用约束项可构成更大的包围圈, 获得更简单的与或表达式
例5 化简 解:
FD
F ( A, B, C, D) m(0,2,4,6,8) d (10,11 ,12,13,14,15)
CD
AB
00 01 11
00
01
11
10
1 1 x 1 x x x
0
0
1
m1
00
2
01
m3
10
11
三变量(A,B,C)的卡诺图
方格数为8,按相邻 原则排列 BC 每一个方格有三 A m 个邻居 0 方格编号如图 m
1
00
0
01
m1 m3
11
m2
10
4
m5
m7
m6
四变量(A,B,C,D)的卡诺图
方格数为16按相 CD 00 邻原则排列 AB 每一个方格与4个 00 m 方格相邻 01 m 方格编号如图
F AB ABC ABC
解:
F AB ABC ABC (1)画出三变量卡诺图 (2)将F化成最小项表达式 AB(C C ) ABC ABC (3)将对应最小项中填1 ABC ABC ABC ABC
BC
A 0
00
01
11
10
1
1 1 1
1
例2
F(A,B,C,D)=Σm(0,2,5,8,9,10,12,13,14)
10
1
1 1 1
1
例2 化简下列逻辑函数
F(A,B,C,D)=Σm(0,2,5,8,9,10,12,13,14)
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精品课件
26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
13
4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
精品课件
1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
15
AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0
1
1
0
10 1
0
0
1
ＢＤ
ＢＤ
精品课件
16
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小 项，可以合并为一项，并消去3个变量。
A，B，C，D取值为1010 ～1111的情况，逻辑函数Y不会出 现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“φ”、 “×”或“d”表示。
精品课件
25
例2：有三个逻辑变量A、B、C，它们分别表 示一台电动机的正转、反转和停止的命令， A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。 因为电动机任何时候只能执行其中的一个命 令，所以不允许两个以上的变量同时为1。 ABC的取值只能是001、010、100当中的某一 种，而不能是000、011、101、110、111中的 任何一种。因此，A、B、C是一组具有约束的 变量。
AB
CD
00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
1
1
1
1
Ｄ
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0
AB
CD
00
01
11
10
00 1
0
0
1
01 1
0
0
1
Ｂ
11 1
0
0
1
10 1
0
0
1
精品课件
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2.4.4 利用卡诺图化简逻辑函数
逻辑表达式 Y ( A ,B ,C ,D ) m ( 3 ,5 ,7 , 8 , 1 , 1 , 1 1 , 1 2 ) 3 5
Y(AD)(BC) 或变 表换 达为 式与
YADBC
CD AB
00 01 11 10
含ＡＤ公因子
00 01 11 10
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
精品课件
含ＢＣ的公因子
12
（3）如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个 最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。
Y(AD)(BC)
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
精品课件
21
2.4.6 具有“约束”的逻辑函数的化简
1、具有“约束”的逻辑函 数
约束、禁止、任意、随意、无关
精品课件
22
逻辑问题分完全描述和非完全描述两种。 完全描述就是函数的每组变量不管取什么值，逻辑函数都
有意义，逻辑函数与每个最小项都有关。 非完备描述就是在实际中变量的某些取值式函数没有意义
漏格个个个 掉，圈。圈
10
0
0
0
ＢＤ
0
冗余项
任否内②中
何则，同标
将化减后的乘积
一它但一１
3
项相与即得最简 与或表达式
合并最小项 Y (A ,B ,C ,D ) B D C D A C D
3
阅读书中32页例题2.5.1
最简与或表达式
精品课件
19
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得 到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是 最简的，要经过比较、检查才能确定。
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
m1＝ABC m2＝ABC m3＝ABC m5＝ABC
Y m 1 m 2 m 3 m 5 m (1 ,2 ,3 ,5 )
A B C A B C A B C A B C
精品课件
6
为了下面用 卡诺图法化简
（2）对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用代 数法（去反、脱括号、配项（公式A＋A＝1 和 A(B+C)＝AB＋AC））展开成最小项表达式。
1、逻辑函数的最小项及其性质
（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含 了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变 量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该 函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、 A B C 、 A B C 、 A B 、 A B C C 、 A B C 、 A C 、 B AB
精品课件
2
为了下面用 卡诺图法化简
（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最
小项。下标 i 的确定：把最小项中的原变量记为1，
反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成 一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数
，就是这个最小项的下标 i。
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
×
1
一条指令，叫做10进 制调整指令（DAA）
01 0 11 0
0
×
0
，在进行BCD码加法
、减法运算时，进行
0
×
×
加6和减6修正。
10 1
1
×
×
即 1010 ～1111状态 就不会出现。
输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时，逻辑函数Y有确 定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。
Y ( A ,B , C ,D ) m ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 )
例如:
原函数
A
BY
反 函
0 0
0 1
0 0
Y=AB
数
Y=AB+AB+AB =A(B+B)+AB =A+AB =A+B
1
00
1
11
摩根定理:Y=AB=A+B
精品课件
5
为了下面用 卡诺图法化简
ABC Y
000 0 001 1 010 1 011 1 100 0 101 1 110 0 111 0
最小项
或变量之间有一定的制约关系。
完备描述逻辑问题
非完备描述逻辑问题
ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
F
ABC
0
000
0
001
0
010
1
011
0
100
0
101
1
110
0 精品课件 1 1 1
F
0
1
0
1
23
非完备描述逻辑问题
例1：判断一位十进制数是否为偶数。
ABCD
0 1
AB CD
00 01 11 10
00
01Βιβλιοθήκη 111010
0
1
0
1
1
0
ABCABC BC
ABCABC BC
00
01
11
10
0
1
0
0
0
0
0
1 ABCDABCD
0
0
0
1 ABD
0
1
0
0
ABC 精品D 课件ABD CABD
14
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去2个变量。
4 变量卡诺图
4个角也相邻
( )
可最与最 卷小最上 性项下面 或也面一
可a是 一 行
折相行的 性邻的最
的相小 应项
卡诺图的构图思想：
a
（见书中29页）
精品课件
10
3、用卡诺图表示逻辑函数
（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
Y
ABCD
Y
0000
1
1000
1
0001
0
1001
0
0010
1
1010
×
0011
0
1011
×
0100
1
1100