安徽省阜阳三中2018-2019学年高二上学期第一次调研考试数学(文)试卷及解析

…外…………○…学校:…内…………○…安徽省阜阳三中2018-2019学年高二上学期第一次调研考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.在ΔABC 中，若b =2asinB ，则A 等于（ ）A. 30°或60°B. 45°或60°C. 120°或60°D. 30°或150° 2.在ABC ∆中，060,2A AB ==且2ABC S ∆=，则BC =（ ） A ．3 C D ．7 3.在数列{a n }中，a n+1=2a n 2+a n对所有的正整数n 都成立，且a 6=23，则a 5等于( )A. 1B. 23 C. 25 D. −1 4.在等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=9，则a 3等于( )A. 3B. −3C. 5D. ±35.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A. 63 B. 45 C. 36 D. 276.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A. 2sin 2cos 2αα-+B. sin 3αα+C. 3sin 1αα+D. 2sin cos 1αα-+答案第2页，总12页…………○…………○7.已知是等比数列，a 2=2,a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=（ ）A. 16（1−4−n ）B. 6（1−2−n ）C. （1−4−n ）D.（1−2−n ）8.在△ABC 中，若sinA (cosB+cosC )=sinB +sinC ，则这三角形一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形 9.若△ABC 为钝角三角形，其中角C 为钝角，若A +C=2π3，则ABBC的取值范围是（ ） A. (1 ， 2) B. (2 ， +∞) C. (3 ， +∞) D. [3 ， +∞) 10.等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0且a 11>|a 10|，S n 为其前n 项和，则（ ）A. S 10<0 ，S 11>0B. S 19<0，S 20>0C. S 5<0 ，S 6>0 D. S 20<0，S 21>0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差d ＝( ) A. －2 B. －12C. 12D. 212.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1 ， a 3 ， a 4成等比数列，则a 2=________．13.已知ABC ∆ 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.14.若数列{a n }的通项公式a n=lg nn+1，则数列{a n }的前99项的和S 99=________．15.在△ABC 中，已知∠B 的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，BK =3√22，则△ABC 的面积为__________．三、解答题（题型注释）16.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，√S n 是14与(a n +1)2的等比中项,求数列{a n }的通项公式. 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =1，c =√2，cosC =34．(1)求sinA 的值； (2)求CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值．18.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1=25，且a 1,a 11,a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋⋯＋a 3n －2. 19.已知函数f(x)=cosωx(2√3sinωx −cosωx)+sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为2π．(1)求ω的值；(2)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(B)=2，a =√3，△ABC 面积S =3√34，求b ．20.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足12594152141b a a a b a ==+==+，，()I 求数列{}{}n n a b ，通项公式；()II 令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足：①ABC ∆的外心在三角形内部（不包括边）； ②()()()222sin cos b a c B C A C --+=+. （1）求A 的大小； （2）求代数式b ca+的取值范围.答案第4页，总12页参数答案1.D【解析】1.由已知得sinB=2sinAsinB, 又∵A,B 为∵ABC 的内角, 故sinB≠0,故sinA=, ∵A=30°或150°. 2.A【解析】2.试题分析：依题意11sin 212222ABC S bc A b b ∆==⋅⋅==，故由余弦定理得a =3.A【解析】3.由数列{a n }中，a n+1=2a n 2+a n对所有的正整数n 都成立，令n=5得a 6=2a 52+a5，把a 6代入即可解得a 5．∵数列{a n }中，a n+1=2a n 2+a n对所有的正整数n 都成立，令n=5得a 6=2a52+a 5，，∵a 6=23，∴23=2a52+a 5，解得a 5=1． 故选：A ． 4.A【解析】4.设公比为q ，由等比数列的通项公式可得 a 5=a 1q 4，由此求出q 2的值，再由 a 3=a 1 q 2 求得结果． 设公比为q ，由等比数列的通项公式可得 a 5=a 1q 4，即 9=1•q 4，解得 q 2=3，∴a 3=a 1 q 2=3， 故选：A ． 5.B【解析】5.试题分析：因为{a n }是等差数列，所以S 3,S 6−S 3,S 9−S 6成等差数列，又S 3=9,S 6=36，………线………………线………所以S 9−S 6=2(S 6−S 3)−S 3=2×27−9=45.故选B ．6.A【解析】6.试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.7.C【解析】7.推导出{a n a n+1}是以8为首项，14为公比的等比数列，由此能出a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1． ：∵等比数列{a n }中，a 2=2,a 5=14，∴{a 2＝a 1q ＝2a 5＝a 1q 4＝14，解得a 1＝4，q ＝12，∴a n a n+1＝(4×12n −1)(4×12n )=8×14n −1， ∴{a n a n+1}是以8为首项，14为公比的等比数列，∴a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=8(1−14n )1−14=323（1−14）．故选：C ． 8.B【解析】8.利用内角和定理及诱导公式得到sinA=sin （B+C ），代入已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用多项式乘以多项式法则计算，整理后利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简后，得到B+C=90°，即可确定出三角形的形状． sinA （cosB+cosC ）=sinB+sinC ，变形得：sin （B+C ）（cosB+cosC ）=sinB+sinC ， 即（sinBcosC+cosBsinC ）（cosB+cosC ）=sinB+sinC ，展开得：sinBcosBcosC+sinCcos 2B+sinBcos 2C+sinCcosCcosB=sinB+sinC ，答案第6页，总12页sinBcosBcosC+sinCcosCcosB=sinB （1-cos 2C ）+sinC （1-cos 2B ），cosBcosC （sinB+sinC ）=sinBsin 2C+sinCsin 2B ，即cosBcosC （sinB+sinC ）=sinBsinC （sinB+sinC ）， ∵sinB+sinC≠0， ∴cosBcosC=sinBsinC ，整理得：cosBcosC-sinBsinC=0，即cos （B+C ）=0， ∴B+C=90°，则△ABC 为直角三角形． 故选：B ． 9.B【解析】9.根据题意，结合正弦定理分析可得AB BC=sinC sinA=sin(2π3−A)sinA=sin 2π3cosA−cos 2π3sinA sinA=√32×1tanA +12，分析A 的范围，可得tanA 的范围，进而代入上式中计算可得答案． 根据题意，△ABC 为钝角三角形，A +C=2π3，由正弦定理，ABBC =sinC sinA=sin(2π3−A)=sin 2π3cosA−cos 2π3sinA =√32×1tanA +12，又由C 为钝角，且A +C =2π3，则0＜A ＜π6，则0＜tanA ＜√33，则有ABBC=√32×1tanA +12>2，则ABBC 的取值范围是（2，+∞）； 故选：B ． 10.B【解析】10.由题意可得：由等差数列的性质可得S 20=20(a 10+a 11)2＞0，S 19=19⋅a 10＜0 ．即可得到答案. 由题意可得：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|， 所以由等差数列的性质可得：S 20=20(a 10+a 11)2＞0，S 19=19⋅a 10＜0．故选B ． 11.B【解析】11.利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求解即可． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的通项公式以及已知条件得{a 1+6d −2(a 1+3d)＝−1a 1+2d ＝0，即{a 1＝1a 1+2d ＝0，解得d=-12， 故选：B ． 12.−6【解析】12.利用等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列，求出a 1，即可求出a 2． ∵等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴（a 1+4）2=a 1（a 1+6）， ∴a 1=-8， ∴a 2=-6． 故答案为-6.． 13.【解析】13.试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120 0,，则由余弦定理，c 2= a 2+ b 2-2abcosC ，10a ∴=,s 三边长为6,10,14，,b 2= a 2+ c 2-2accosB,即14（a+c ）2=a 2+c 2-2accosB, cosB=1114，sinB=14可知S=11sin 61422ac B =⨯⨯== 14.−2【解析】14.答案第8页，总12页…………订…………※订※※线※※内※※答※※题※※…………订…………由题a n =lg nn+1= lgn - lg （n+1），（n∈N *），利用“累加求和”即可得出数列{b n }的前99项和T 99． 由题a n=lg n n+1= lgn - lg （n+1），（n∈N *），则数列{b n }的前99项和T 99=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+…+（lg99-lg100）=lg1-lg100=-2． 即答案为-2. 15.15√716【解析】15. 试题分析：在中,由余弦定理得,即,由角平分线定理得,设,则,在中运用余弦定理得,解之得,又,所以.16.a n =2n −1【解析】16.由√S n 是14与(a n+1)2的等比中项，可得S n =14（a n +1）2，S n−1=14（a n−1+1）2 ， 两式相减把已知条件转化为a n -a n-1=2，从而可求数列{a n }的通项公式． 由√S n 是14与(a n ＋1)2的等比中项，得Sn ＝14(a n ＋1)2.当n ＝1时，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1. 当n≥2时，S n －1＝14 (a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a n －a n －1＋2a n －2a n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2.∴数列{a n }是等差数列． 数列{a n }首项a 1＝1，公差d ＝2， 通项公式为a n ＝2n －1. 17.（1）√148（2）32【解析】17.（1）先求出sinC ，再利用正弦定理，求sinA 的值；（2）先求cosB ，再利用余弦定理求b ．即可得到CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值 ：（1）∵cosC =34，∴sinC =√74，∵a=1，c =√2，∴由正弦定理可得sinA =asinC c=√148；（2）∵cosB =−cos （A +C ）=−cosAcosC +sinAsinC =−58√2×34+√148×74=−√24，∵a =1，c =√2，cosC =34，∴b=√1+2−2×1×√2×cosB =2．则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =abcosc =32.18.(1)a n =−2n +27（1）Sn ＝－3n 2＋28n【解析】18.（1）设等差数列{a n }的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，a 112＝a 1a 1，再利用等差数列的通项公式可得(a 1+10d)2＝a 1(a 1+12d)，化为d （2a 1+25d ）=0，解出d 即可得到通项公式a n ；（2）由（1）可得a 3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．利用等差数列的前n 项和公式即可得出a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2．(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)． 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而Sn ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n. 19.(1)12(2)3【解析】19. （1）化简f(x)=2sin(2ωx −π6) ，根据函数的最小正周期T =2π2ω=2π即可求出ω的值答案第10页，总12页2）由（1）知，f(x)=2sin(x −π6).由f(B)=2sin(B −π6)=2，求得B =2π3，再根据△ABC 的面积SS=3√34，解得c =√3，最后由余弦定理可求出b .（1）f(x)=2√3sinωxcosωx −cos 2ωx +sin 2ωx =√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6)故函数的最小正周期T =2π2ω=2π，解得ω=12.（2）由（1）知，f(x)=2sin(x −π6).由f(B)=2sin(B −π6)=2，得B −π6=2kπ+π2（k ∈Z ）.所以B=2kπ+2π3（k ∈Z ）.又B ∈(0,π)，所以B =2π3.△ABC 的面积S=12acsinB =12×√3×c ×sin2π3=3√34，解得c=√3.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB =(√3)2+(√3)2−2×√3×√3cos 2π3=9，所以b =3.20.()1n a n =． 2nn b =． ()()12122n n T n +=-⋅+．【解析】20.试题分析： ()1 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．()2利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．试题解析：()1设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，259214a a a =+=，，11221214a d a d ∴+=+=，，解得11a d ==．()11n a n n ∴=+-=．31241521162b a b a q ∴===+==⨯，，2q ∴=． 2n n b ∴=．()22n n n n c a b n =⋅=⋅．∴数列{}n c 的前n 项和23222322n n T n =+⨯+⨯+⋯+⋅，第11页，总12页()2312222122n n n T n n +=+⨯+⋯+-⋅+⋅，()()21112212222212221n n n n n n T n n n +++-∴-=++⋯+-⋅=-⋅=-⋅--．()1122n n T n +∴=-⋅+．21.(1) 3A π=.(2)2b ca+<≤.【解析】21.试题分析：(1)由题意利用余弦定理有2222cos b a cac B --=-，代入②式整理可得2cos sin B A B -=,结合特殊角的三角函数可得3A π=.(2)由题意结合正弦定理和(1)中的结论可得2sin 6b c B a π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合锐角三角形的性质可得62B ππ<<,2b ca+<≤. 试题解析：（1）因为ABC ∆的外心在三角形内部（不包括边），所以ABC ∆为锐角三角形，由余弦定理得： 2222cos b a c ac B =+-， 移项： 2222cos b a c acB --=-，代入可得()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ，所以()()2cos sin B A B ππ--=-，即2cos sin B A B -=, 因为ABC ∆为锐角三角形，所以cos 0B ≠，则有sin A =，所以3A π=. （2）由正弦定理得：sin sin sin b c B Ca A++=, 因为A B C π++=，且3A π=，所以23C B π=-代入上式化简得： 23sin sin sin 36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A πππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭，答案第12页，总12页又ABC ∆为锐角三角形，则有0022{{26200322B B B B C πππππππ<<<<⇒⇒<<<-<<<,所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2b c a +<≤.。