最优化建模方法与技巧.pptx
合集下载
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
4.1 第四讲 优化建模 4.1 最优化模型概述
������.������. ℎ������ ������ = 0,���=��� 1,⋯,������ ������������ ������ ≤ 0, ���=��� 1, ⋯,������ ������������ ������ ≥ 0.������ = 1,⋯������ ������ ∈������ ⊆ ������������
如果没有优化处理： 5 + 6 + 8 + 1 = 2 0 分钟 优化处理（如果烧开必须马上灌水）：8 + 1 + 5 = 14分 钟 优化处理（如果烧开不需马上灌水）：5 + 6 + 1 = 12 分钟
最优化模型的分类
例2 有一天晚上，有四个人需要通过架在山谷间的危桥，任 意时刻最多只能有两个人在桥上，过桥需要一盏闪光灯，这些人 只有一盏闪光灯。如果单独过桥他们分别需要1，2，5，10分钟 ， 如果两人同时过桥则所需时间是较慢者所需的时间。18分钟后 ， 沿山谷滚滚而下的山洪将把这座桥冲毁。这四个人能及时过桥 吗？
最优化模型的一般形式
opt----optimize s.t.----subject to
������������������ ������ = ������(������)
������.������. ℎ������ ������ = 0,���=��� 1,⋯,������ ������������ ������ ≤ 0, ���=��� 1, ⋯,������ ������������ ������ ≥ 0.������ = 1,⋯������ ������ ∈������ ⊆ ������������
一般优化处理：2 + 1 + 5 + 1 + 10=19
如果没有优化处理： 5 + 6 + 8 + 1 = 2 0 分钟 优化处理（如果烧开必须马上灌水）：8 + 1 + 5 = 14分 钟 优化处理（如果烧开不需马上灌水）：5 + 6 + 1 = 12 分钟
最优化模型的分类
例2 有一天晚上，有四个人需要通过架在山谷间的危桥，任 意时刻最多只能有两个人在桥上，过桥需要一盏闪光灯，这些人 只有一盏闪光灯。如果单独过桥他们分别需要1，2，5，10分钟 ， 如果两人同时过桥则所需时间是较慢者所需的时间。18分钟后 ， 沿山谷滚滚而下的山洪将把这座桥冲毁。这四个人能及时过桥 吗？
最优化模型的一般形式
opt----optimize s.t.----subject to
������������������ ������ = ������(������)
������.������. ℎ������ ������ = 0,���=��� 1,⋯,������ ������������ ������ ≤ 0, ���=��� 1, ⋯,������ ������������ ������ ≥ 0.������ = 1,⋯������ ������ ∈������ ⊆ ������������
一般优化处理：2 + 1 + 5 + 1 + 10=19
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
第6章最优化模型PPT课件
应如何安排这4种产品月生产量，使得该公
司月利润最大？
决策变量
约束条件
目标变量
6.1 概述
➢决策变量 每一个规划问题都有一组需要求解的未
知数，称作决策变量。
➢约束条件 对于规划问题的决策变量通常情况下都
有一定的限制条件，称作约束条件。
➢目标 每一个问题都有一个明确的目标（利润
最大或成本最低等）。目标通常可以用与决 策变量有关的函数表示。
6.2 求解线性规划问题
安 装 Excel 时 选 择 “ 完 全 安 装 ” 或 “ 自 定 义安装”，不能选择“典型安装”。
进入Excel后加载： ➢ 【文件】/【选项】/【Excel加载项】
/【转到】/【加载宏】 “规划求解加载项”
6.2 求解线性规划问题
销量
常见规划问题举例
一、生产计划优化问题
目标函数 决策变量
约束条件
6.2 求解线性规划问题
存在的问题：
6.2 求解线性规划问题
解决的办法： 月产量>=0
或
6.2 求解线性规划问题
规划求解的结果：
6.2 求解线性规划问题
可用SUM函数和数组公式代替 SUMPRODUCT函数： =SUMPRODUCT(B12:E12, B5:E5)
6.1 概述
求解最优化问题的首要问题是将实际问题 数学化、模型化。
即将实际问题通过以下三方面来表示： （1）一组决策变量 （2）一组用不等式或等式表示的约束条件 （3）目标函数
这是求解规划问题的关键。
6.1 概述
在Excel中，可以这样表示： ➢用一些单元格表示决策变量 ➢用一个单元格代表目标变量
2.不平衡运输问题 运量<=产量
最优化建模方法讲义与技巧
356 m 0f0 in 0
m f 4 x 1 x 2 i 5 x 3 n 3 x 4 x 5 5 x 6 2 x 7 x 8 5 x 9
约束： 需求限制；
原料限制；
含量限制；
非负限制
需求限制 原料限制 约束 含量限制
非负限制
x 1 x 4 x 7 3000 x 2 x 5 x 8 2000 x 3 x 6 x 9 1000 x 1 x 2 x 3 5000 x 4 x 5 x 6 5000 x 7 x 8 x 9 5000 12 x 1 6 x 4 8 x 7 10 3000 12 x 2 6 x 5 8 x 8 8 2000 12 x 3 6 x 6 8 x 9 6 1000 0 . 5 x 1 2 x 4 3 x 7 3000 0 . 5 x 2 2 x 5 3 x 8 2 2000 0 . 5 x 3 2 x 6 3 x 9 1000
1 )现 有 2料 场 ， 位 于 A (5 ,1 ),B (2 ,7 ), 记 (x j,y j),j= 1 ,2 , 日 储 量 e j各 有 2 0吨 。
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
26
m in
cij [( x j a i ) 2 ( y j bi ) 2 ]1/ 2
1000
≥6
≤1.0
安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大
决策变量：
A/45
B/35
C/25
目标： 总利润最大
甲(3000) X1 X4 X7
乙(2000) X2 X5 X8
丙(1000) X3 X6 X9
mza 7 x3 006 00 205 01 0 004 060000
m f 4 x 1 x 2 i 5 x 3 n 3 x 4 x 5 5 x 6 2 x 7 x 8 5 x 9
约束： 需求限制；
原料限制；
含量限制；
非负限制
需求限制 原料限制 约束 含量限制
非负限制
x 1 x 4 x 7 3000 x 2 x 5 x 8 2000 x 3 x 6 x 9 1000 x 1 x 2 x 3 5000 x 4 x 5 x 6 5000 x 7 x 8 x 9 5000 12 x 1 6 x 4 8 x 7 10 3000 12 x 2 6 x 5 8 x 8 8 2000 12 x 3 6 x 6 8 x 9 6 1000 0 . 5 x 1 2 x 4 3 x 7 3000 0 . 5 x 2 2 x 5 3 x 8 2 2000 0 . 5 x 3 2 x 6 3 x 9 1000
1 )现 有 2料 场 ， 位 于 A (5 ,1 ),B (2 ,7 ), 记 (x j,y j),j= 1 ,2 , 日 储 量 e j各 有 2 0吨 。
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
26
m in
cij [( x j a i ) 2 ( y j bi ) 2 ]1/ 2
1000
≥6
≤1.0
安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大
决策变量：
A/45
B/35
C/25
目标： 总利润最大
甲(3000) X1 X4 X7
乙(2000) X2 X5 X8
丙(1000) X3 X6 X9
mza 7 x3 006 00 205 01 0 004 060000
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
第19页/共29页
S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
数学建模实用教程课件第4章 最优化模型-PPT课件
2019/3/25
数学建模实用教程－高教出版社
1
第4章 最优化模型
主要内容
线性规划模型；
整数规划模型；
二次规划模型；
非线性规划模型； 综合案例分析。
2019/3/25 数学建模实用教程－高教出版社 2
一、线性规划模型
1. 问题的提出
生产安排问题：设某企业现有 m 种资源 Ai (i 1,2, , m) (如机器的可用工时，劳力，原材料等)用 于生产 n 种产品 Bj ( j 1,2, , n) ， 每种资源的拥有量和每单位 资源 产品 A 产品所消耗的资源量，以及 A 单位产品的利润如下表，试 问如何安排生产计划使得该 A 企业获利最大? 利润
4. 线性规划的求解方法
（1）用MATLAB软件求解 应用MATLAB优化工具箱中的函数linprog来求 解线性规划问题，要求线性规划模型化为统一的 基本模型：
m in C T x
A1 x b1 s.t. A2 x b2 x x x 2 1
2019/3/25 数学建模实用教程－高教出版社 10
n
A X (, )b s.t. X 0
C (c1 , c2 ,, cn ) 为 系 数 向 量 ；
向量形式 max (min) z C X
X ( x1, x2 ,, xn )T 为决策向量；
b (b1 , b2 ,, bm )T 为 常数向量； A (aij ) mn 为 系 数 矩 阵 ；
可行域:可行解的全体构成的集合，记为 D ；
最优解:使目标函数达到最大(或最小)的可行解。
2019/3/25
数学建模实用教程－高教出版社
6
一、线性规划模型
数学建模实用教程－高教出版社
1
第4章 最优化模型
主要内容
线性规划模型；
整数规划模型；
二次规划模型；
非线性规划模型； 综合案例分析。
2019/3/25 数学建模实用教程－高教出版社 2
一、线性规划模型
1. 问题的提出
生产安排问题：设某企业现有 m 种资源 Ai (i 1,2, , m) (如机器的可用工时，劳力，原材料等)用 于生产 n 种产品 Bj ( j 1,2, , n) ， 每种资源的拥有量和每单位 资源 产品 A 产品所消耗的资源量，以及 A 单位产品的利润如下表，试 问如何安排生产计划使得该 A 企业获利最大? 利润
4. 线性规划的求解方法
（1）用MATLAB软件求解 应用MATLAB优化工具箱中的函数linprog来求 解线性规划问题，要求线性规划模型化为统一的 基本模型：
m in C T x
A1 x b1 s.t. A2 x b2 x x x 2 1
2019/3/25 数学建模实用教程－高教出版社 10
n
A X (, )b s.t. X 0
C (c1 , c2 ,, cn ) 为 系 数 向 量 ；
向量形式 max (min) z C X
X ( x1, x2 ,, xn )T 为决策向量；
b (b1 , b2 ,, bm )T 为 常数向量； A (aij ) mn 为 系 数 矩 阵 ；
可行域:可行解的全体构成的集合，记为 D ；
最优解:使目标函数达到最大(或最小)的可行解。
2019/3/25
数学建模实用教程－高教出版社
6
一、线性规划模型
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
决策变量和参数 我们称对应决策者可控的量称为决策变量,决策变
量的取值确定了系统的最终性能,也是决策者采用决策 的依据。在系统中还有一些量,它不能由决策者所控制, 而是由系统所处的环境所决定,我们称之为参数。在一 些问题的建模过程中，确定变量经常是第一步的同时 也可能是最困难的工作。 约束条件
约束条件决定了决策变量和参数之间的关系。约束 集界定决策变量可以取某些值而不能取其他的值。比 如对应生产问题, 任何活动中,时间和物品不能为负数。 当然,也有一些优化问题不带约束条件,我们称之为无 约束优化问题。而在实际问题中,决策变量带有约束是 普遍的。有时一些问题的约束可能非常复杂。
356000 min f
min f 45x1 x2 x3 35x4 x5 x6 25x7 x8 x9
约束： 需求限制； 含量限制；
原料限制； 非负限制
需求限制 原料限制 约束 含量限制
非负限制
x1 x4 x7 3000 x2 x5 x8 2000 x3 x6 x9 1000 x1 x2 x3 5000 x4 x5 x6 5000 x7 x8 x9 5000 12x1 6x4 8x7 10 3000 12x2 6x5 8x8 8 2000 12x3 6x6 8x9 6 1000 0.5x1 2x4 3x7 3000 0.5x2 2x5 3x8 2 2000 0.5x3 2x6 3x9 1000
最优化问题建模方法与技巧
温罗生博士 2012年4月
内容提要
• 优化问题引例和基本结构 • 运输模型的例子——线性和非线性规划 • 飞行管理问题——复杂的约束 • 钻井布局问题——整数变量的使用 • 确定性和随机性——简单和复杂的例子 • 单目标和多目标——风险投资组合问题 • 思考及练习
1、优化问题引例（原油生产计划）和基本结构
x0
为一定的目的做一些事情,我们可能要考虑有哪些重 要的因素,这些因素和要完成的目标之间有什么样的关系. 也就是说,我们在做一个决定时,会注意下面的三个要点: 目的是什么?有哪些重要的因素?这些因素有什么样的关 系?
对应于前面的三个要点,便是建立最优化问题数学模 型的三个要素:目标函数，决策变量，约束条件。 目标函数
3
5
0
7
0
1
c i2
（料场
B）
0
0
4
0
6
10
总吨公里数为136.2
选址问题：非线性规划问题
2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。
26
min
cij[(x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/2
j1 i1
2
s.t.
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2,, m
m
n
已知 ai bj ，从 Ai 运一个单位的产品到 Bj
i 1
i 1
的运价为 cij .
现在需要确定一个调运方案，即确定由 Ai
到 Bj 的运输量 xij ,i 1,2,,m; j 1,2,,n，在满
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
min
s.t .
mn
z
cij di , i 1,..., 6
j 1
6
cij ej , j 1, 2
i 1
cij 0, i 1,..., 6, j 1, 2
决策变量： ci j，(xj,yj)~16维
非线性规划模型
一般的运输问题可以表述如下：
要把某种物资从 m 个发点 Ai ,i 1,2,, m，
调运给需要这种物资的 n个收点 Bj , j 1,2,,n.
原油类别 买入价(元/桶) 买入量(桶/天) 辛烷值(%) 硫含量(%)
A
45
≤5000
12
0.5
B
35
≤5000
6
2.0
C
25
≤5000
8
3.0
加工费: 4元/桶
汽油类别 甲 乙 丙
卖出价(元/桶) 70 60 50
需求量(桶/天) 辛烷值(%) 硫含量(%)
3000
≥10
≤1.0
2000
≥8
≤2.0
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7), 记(xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
26
min
cij [( x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/2
1000
≥6
≤1.0
安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大
决策变量：
A/45
B/35
C/25
目标： 总利润最大
甲(3000) X1 X4 X79
max z 703000 60 2000 501000 4 6000
45x1 x2 x3 35x4 x5 x6 25x7 x8 x9
对应决策者而言,对其有利的程度必须定量的测度, 在商业应用中，有效性的测度经常是利润或者成本, 但 对于政府，更经常的使用投入产出率来测度。表示有效 性测度的经常称为目标函数.目标函数要表出测度的有效 性, 必须说明测度和导致测度改变的变量之间的关系。 一般地，数学模型很少有能表达变量和有效性测度之间 的精确关系的。实际上，运筹学分析者的任务就是找出 对测度有最重要影响的变量，然后找出这些变量和测度 之间的数学关系。这个数学关系也就是目标函数。
2、运输模型的例子——选址问题
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),
水泥日用量di (单位：吨）
i １ ２ ３ ４５ ６
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75
d3
5
4
7
6 11
假设：料场 和工地之间 有直线道路
决策变量：ci j (料场j到工地i的 s.t.
j 1 i1
2
cij di , i 1,..., 6
运量）~12维 线性规划模型
j 1
6
cij e j ,
i 1
j 1, 2
cij 0, i 1,..., 6, j 1, 2
用例中数 据计算， 最优解为
i
123456
c i1
（料场
A）