数学建模进行投资最优化

资产最优组合摘要本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。

问题一：基于模糊评价模型。

本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。

首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城内需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST中华A（ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为[]0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。

问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。

其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。

根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。

同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。

但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。

本文运用EXCEL统计了大量数据，利用SPSS软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。

关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价，线性规划一、问题重述我国现有多种多样投资产品，例如银行理财产品，国债，基金，房产，实物黄金，股票，外汇，期货等等。

对于投资者，其投资的主要目的在于获得较高的收益，但投资的收益受许多不确定因素的影响，均会影响投资的收益情况。

这种收益的不确定性使得投资具有风险性，风险与收益是相伴而生的。

投资者通过资产组合，可以一定程度上，减少单一风险资产中与市场总体变化无关的那些风险。

因此，进行合理的资产组合以达到“低风险，高收益”目的对投资者是有其积极意义的。

在这样的背景下，我们提出问题：问题一：对不同商业银行推出的基金，对稳健型、波动性、ST等不同类型股票以及公司债券、国库券的近期的表现进行分析评价。

问题二：按照10万元的投资额构建资产组合。

，构造有效资产组合，力求形成投资组合的多元化效应，需建立怎样数学模型对资产组合进行风险—收益的定量分析，由此得到怎样的组合方式？问题三：为更好地研究真实金融市场，还需要哪些信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、问题的分析对于问题一：对于问题二：我们通过构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。

其次求解收益对应的 系数，绘出收益和风险的折线图。

根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：三、基本假设1. 建模收集数据真实可靠；。

2. 建模中涉及主观分析的结论基本与事实相符。

3.假设产品表现主要受累计收益率、本月平均涨幅、β系数的影响。

4.假设路段交通需求稳定，没有什么特殊情况。

若还有其他特殊的假设,会在后面的建模中声明.四、主要变量符号说明为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。

表1 主要变量符号说明一览表β系统风险系数 i w权重矩阵ij p模糊关系矩阵 E(x)期望值（均值）i x 投资量m n d ⨯ 指标矩阵i w权重矩阵【注】其余没有列出的符号，我们将在文章第一次出现时给出具体说明五、问题模型的建立和求解5.1图表评估本文选取了景顺长城内需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币 、工银货币这四个基金，华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）这三种股票，国债⑺、万业债这两种债券，根据上海证券公司，搜集到基金、股票、国债的收益及其涨幅数据。

（基金收益数据见表1，其余数据见附录一）4/11 -5.640% -0.410% 21.010% -1.910% 5.141% 5.491% 4/14 -5.020% 0.620% 20.500% -0.510% 5.094% 5.394% 4/15 -5.710% -0.690% 20.550% 0.050% 5.069% 5.358% 4/16 -6.460% -0.750% 19.820% -0.730% 5.050% 5.331% 4/17 -6.290% 0.170% 20.840% 1.020% 5.040% 5.336% 4/18 -5.920% 0.370% 22.020% 1.180% 5.032% 5.423% 4/21 -6.990% -1.070% 23.770% 1.750% 5.006% 5.334% 4/22 -9.100% -2.110% 22.470% -1.300% 4.996% 5.284% 4/23 -10.170% -1.070% 22.980% 0.510% 4.969% 5.227% 4/24 -10.430% -0.260% 24.620% 1.640% 4.951% 5.103% 4/25 -11.390% -0.960% 21.570% -3.050% 4.932% 4.947% 根据以上数据，作出基金收益率折线图（表2），大致观察收益情况以及波动情况。

（股票和债券收益折线图见附录一）图1 基金收益率折线图通过计算得到各类产品的平均收益率和波动系数（表2）。

波动系数用方差来衡量。

类型名称平均收益率波动系数基金景顺长城内需增长-.173331 5.984中邮战略新兴产业-.575554 3.315华夏现金增利货币 4.229104 3.702工银货币 4.196908 5.206 股票华能国际 1.849605 40.405万向钱潮 1.402751 12.862*ST中华A -.918188 30.334 债券21国债⑺0.07920696 .15509万业债0.04166962 .015于债券。

债券的收益率和年利率较为接近，波动较小。

股票虽然平均收益不高，波动系数较大。

投资者常常利用它的不稳定性，赚取其中的入股与投出时的差价。

5.2指标评估表现优劣5.1.2层次分析法求权重在定量评估各类投资产品优劣的过程中我们考虑到投资产品涉及的直接影响因素，例如产品类型、本月累计收益率、本月平均涨幅、β系数、预期收益率等。

此处我们考虑到分析实际问题的基本准则是对于最重要因素进行分析，我们可以根据体现产品收益风险的变化性，进一步将其简化归类为四个主要因子产品类型、本月累计收益率、本月平均涨幅、系统风险系数β。

系统风险β系数：单项资产系统风险用β系数来计量，通过以整个市场作为参照物，用单项资产的风险收益率与整个市场的平均风险收益率作比较。

β系数可以衡量股票收益相对于业绩评价基准收益的总体波动性。

β越高，意味着股票相对于业绩评价基准的波动性越大。

β=某资产本月总收益率—无风险收益率市场本月总收益率—无风险收益率其中无风险收益率为中国银行一年定期利率。

若β=1，表示该单项资产的风险收益率与市场组合平均风险收益率呈同比例变化，其风险情况与市场投资组合的风险情况一致;若β>1，说明该单项资产的风险收益率高于市场组合平均风险收益率，则该单项资产的风险大于整个市场投资组合的风险;若β<1，说明该单项资产的风险收益率小于市场组合平均风险收益率，则该单项资产的风险程度小于整个市场投资组合的风险。

此处我们利用层次分析法对上述4个因子进行权重分析，基本的层次结构如图2所示：图 2 层次分析法示意图层次分析法是一种定性分析和定量计算相结合的方法，根据相关文献资料，构造因素间的成对比较矩阵本月累计收益率、本月平均涨幅、系统风险系数β比较矩阵113231411134⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先将矩阵ij m 做归一化处理，然后做按行求和最后将求和结果进行归一化处理得权重向量[]10.31960.55840.1220w =又由 3.0141,0.52,0.00711nRI CI n λλ-====-可得一致性指标：0.0140.1CICR RI==< 该结果满足一致性要求。

5.1.3熵值取权法对权重的校正由于层次分析法成对比较矩阵的给出存在一定的主观因素，于是我们想到了利用熵值取权法进行校正。

熵值取权法的优势在于，它是通过判断各个因素的变化剧烈程度来决定该因素在最终目标中所占的权重。

比如累计收益率对于产品的表现影响很大，但是如果在一个时间段里产品累计收益率保持基本不变，但是风险系数却因市场导致不断的变化，这样从熵值取权法的角度来看这对产品表现的影响就比累计收益率大，这与人们的想法也是一样，同时它和层次分析法得出的结论是互补的且是客观的。

据此，我们利用熵值取权法客观地给出一个3个因素的1×3的权重矩阵2w ，对层次分析法给出的1×3的权重矩阵1w ，以0.3:0.7的比例进行校正，从而给出最终4个因素对合理化指标的组合权重值矩阵120.70.3W w w =+，然后对矩阵W 进行归一化处理得到最终的组合权重值矩阵1[]i n W w ⨯=此处我们选取华夏现金增利货币、华能国际、国债⑺的基本分析数据建立的指标矩阵：1111n m n m mn d d d d d ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦现在对每一个指标的列向量做归一化处理,,1ijij m niji j a d a==∑，其中01ij d <<，于是归一化后的指标矩阵：1111n m nm mn d d d d d ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算出d 中每一个元素的熵值，利用公式1(ln())m n ij ij m k d d γ==-+∑，算得一个未加工的权重矩阵n λ，现在利用公式111ii nii w λλ=-=-∑求出权重矩阵21[]i n w w ⨯=：我们利用基本分析数据求解得到：[]20.1722 0.4301 0.3978w =则最终4个因素对合理化指标的组合权重值矩阵：[] 0.2754 0.5199 0.2047W =5.1.4建立模糊评价模型在模糊评价模型中我们选取9个产品进行分析对比，具体的分析数据如表3所示：表 3类型 产品名称 本月累计收益率本月平均涨幅 β系数 基金景顺长城内需增长 0.0352 -0.0010 1.3948 中邮战略新兴产业 -0.0006 -0.0041 0.1133 华夏现金增利货币0.0033 -0.0001 0.0258 工银货币 0.0035 -0.0002 0.0343 股票 华能国际 0.1500 0.3333 9.5384 万象钱潮 0.1144 -0.3650 9.6481 *ST 中华A 0.0637 -0.1239 9.8039 债券21国债⑺ 0.079207 0.0094 0.4486 09万业债0.0416700.01671.0583由上面权重分析我们已经得到了3个的直接影响因素的权重，此处我们利用模糊数学公式31()()ij ij k f x p f x ==∑将3个评价指标的数字()ij f x 进行模糊处理，建立模糊关系矩阵：0.0718 -0.0012 0.0067 0.00710.3059 0.2333 0.1299 0.16150.08500.0074 0.0304 0.0007 0.0015-2.4707 2.7057 0.9185 -0.0697 -0.1238 0.0435 0.0035 0.0008 0.001ij p =1 0.2975 0.3009 0.3057 0.0140 0.0330⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由权重分析可知4个影响指标的权重为：[] 0.2754 0.5199 0.2047W = 把W 与模糊关系矩阵ij p 相乘得模糊综合评价结果:ij k W p =⨯[]0.0325 0.0162 0.0024 0.0030 -1.1394 1.5325 0.5759 0.0111 -0.0342k =对矩阵k 进行归一化处理得到最终的模糊综合评价结果矩阵1[]i j S k ⨯=，即[]0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022S = 5.1.4结果分析及说明将上述结果整理成表见表4表4 模糊综合评价结果产品景顺长城内需增长中邮战略新兴产业华夏现金增利货币工银货币华能国际权重0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040产品万象钱潮*ST中华A21国债⑺09万业债权重0.45785 0.17205 0.00332 0.01022此处将上表模糊结果用饼状图表示：从上示饼形图我们可以清楚地看出股票在产品各个方面的影响优于其他类型，从累计收益率上看股票都有着明显的优势。