电动力学 第七章

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(i i) 相对论近似的李纳公式 现在利用拉莫尔公式，通过洛伦兹变换得到高速 运动电荷的辐射总功率，由能量守恒定律，粒子 的辐射功率
d P , dt
这里ξ是带电粒子的能量.因为ξ 和 t 都正比于四 度矢量的第四个分量，它们的变换性质相同， 因此P是洛伦兹变换的不变量.
24
24
今取S′ 系为粒子瞬时静止的参考系.在S ′ 系中粒 子速度u ′ =0，加速度为a ′ ，辐射功率P ′ 可由拉 莫尔公式（7.3.8）给出.因为辐射功率是不变量 ，所以S 系中的辐射功率
10
由 t t R(t) c t r re (t) c
1 1 t , 1 n β K t n . t cK
(7.2.3)
将（7.2.3）代人（7.2.2）式，得到算符运算公式
1 , t K t n . t cK t
(7.3.10
显然，当β<<1时，γ=1,（7.3.10）式返回拉莫尔公式. 由此可见，本节所得运动电荷的电磁场的公式（ 7.3.1），（7.3.5）和（7.3.10）适用于任意速度的 情况.
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4 轫致辐射
• 高速运动的电子轰击金属靶，因其减速而产生 具有连续谱的X射线，后者在直线加速器中被加 速的带电粒子的辐射，它们都属于加速度与速 度平行的情况. • 因为 β β ，ββ 0， 从（7.3.5） e n (n β ) • （7.4.1） dP(t )
e n [n β] β Ε (r , t ) 3 4 0 c K R ret 1 Β(r, t ) [n Ε ]ret . c
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沿R方向的能流分量
[ S n]ret 1
0
[(Ε Β ) n]ret
6
(7.1.4)
这里 R r re (t ), n
(7.1.5)
把（7.1.4）代入（7.1.3）式得
e β A( r , t ) 4 c KR ret 0 ( r , t ) e 1 KR 4 ret 0
e n [(n β ) β ]
2

2
(7.3.5)
注意，（7.3.5）式是代表运动电荷在t′时刻的辐 射功率的空间角分布，并非在场点观察者所测量 的分布.因此（7.3.5）式中的量都是t′时刻的，从 而取消了“ret”条件的限制.
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（7.3.1）和（7.3.5）式可以应用于低速运动电荷 的辐射的情况，假定运动电荷在小范围内，而 且v<<c或β<<1的情况.这时n- β ≈n，K=1-n• β ≈1 ，t′=t-R(t′)/c ≈t-r/c,则（7.3.1）化为
1
0c
Ε
2 ret
2 2 e n [(n β) β ] . 2 6 2 16 0 cK R ret
(7.3.2)
应当注意，由于电荷的运动，t时刻在场点接受的 功率，一般并不等于t′时刻辐射的功率.例如，从 t1′=T1至t2′=T2加速电荷所辐射的能量，到达场点 的相应时刻为 t1=T1+R(T1)/c 和 t2=T2+R(T2)/c，
所以
a
a
2
( 1)(a v )v , 3 2 v
将a分解为
3 , a⊥ a⊥ 2. a‖ a‖
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于是
2 2 ) 2 (a⊥ ) 2 ( 6 a‖ ] a2 (a‖ 4 a⊥ ) 6 [a 2 (1 2 ) 2 a‖
P P e2 6 0c 3 (a) 2 .
(7.3.9)
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在S系中粒子的运动速度为v，加速度 a v c β . 现在只要根据加速度的变换公式可以将（7.3.9 ）式a ′变换为a.（6.3.24）式，因为
u a,u a, u 0,



s 1 u v c2 1,
2
dP (t ) dΩ
) e 2 n (n v 16 0c
2 3
2 e v 2 sin . 2 3 16 0c
2
(7.3.7)
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计算辐射总功率，可以把（7.3.5）式对dΩ积分 ，但演算非常繁琐.现在我们采用下面的步骤.
(i) 非相对论近似的拉莫尔公式 把（7.3.7）式对dΩ积分，得低速运动电荷的辐 射总功率 2 e 2v P(t ) , (7.3.8) 3 6 0 c 称拉莫尔（Larmor）公式
第七章 运动电荷的电磁场与电 磁辐射
1
1、李纳-维谢尔势 2、运动电荷的电磁场 3、加速运动电荷的辐射 4、轫致辐射与直线加速器中的辐射 5、同步辐射与同步辐射光源 6、自由电子激光
2
1 李纳-维谢尔势
R(t) r r (t) c(t t)
(7.1.1)
3
~ 在 S 系中静止电荷的矢势、标势为 ~ A0

~
~ 4 0 R
e
(7.1.2)
~ ~ ~ 式中R 为在 S系中观察到的电荷位置（即 S 系的
原点）与长点P之间的距离，即
~ ~ ~ R c( t t )
4
利用四维势为四维矢量的洛伦兹变换，把 系 ~ 中 式(7.1.2)的矢势与标势变换到 S系中，则 S 其中，
β eβ v ( t ) ~ A β , c 4 0 cR c (7.1.3) 1 e ~ ~ 2 4 R 1 0
c [( β ) (1 β ) ( β β ) ] c [( β ) ( β β ) 2 ].
6 2 2 2 2 6 2 2
将它代人（7.3.9）式中得李纳公式
e2 6 2 2 P( t ) [( β ) ( β β ) ]. 6 0c
(7.1.6)
t 时刻的电 就是运动点电荷 所产生的在 r 点、 磁场的矢势与标势，称李纳-维谢尔势。
8
2 运动电荷的电磁场
A Ε , t Β A.
(7.2.1)
t t R(t) c t r re (t) c
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t′是 r , t 的函数，即 t (r , t ) .这样A的每个分量 与φ 都是如 f (r , t (r , t )) 形式的复合函数，因而给求 导增加了复杂性.在（7.2.1）式中对时间、空间 求导数时，应有
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同理得
β 1 β 1 Β A ) n ( ) [n Ε ]ret . t ( 4 0c RK cK t RK c e
(7.2.8)
（7.2.7）与（7.2.8）式就是任意运动点电荷激发的 电磁场.只要给定点电荷的运动方程re(t′)，则可由 这两个场的公式及推迟条件（7.1.7），得到她的 电磁场E(r,t)和B(r,t).
t , t t t t , t t
(7.2.2)
t 项表示t′保持不变时 （7.2.2）式第二式中， f (r , t (r , t )) 空间r求导数， ，对 项表示对t′ t t 中的r求导数.
e Ε 4 c 2 r [n (n v (t ))]t t r c , 0 1 e Β (n Ε ) [v n] tt r c . 3 c 4 0 c r
(7.3.6)
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这里n可以认为不随时间变化，是从电荷运动的小 范围内一点指向远处场点的单位矢量.（7.3.6）式 就是电偶极近似的辐射场，与（5.4.10）式相同， 因为 e v p . 同时（7.3.5）式化为
(7.1.6)
t t R(t) c t r re (t) c
(7.1.7)
7
e β A( r , t ) 4 c KR ret 0 ( r , t ) e 1 KR 4 ret 0
5
~
~也变换到 S系中，利用时间的 如果把上式中的 R 洛伦兹变换
则
~ 2 t (t r v c ) ~ 2 t (t re v c ) ~ ~ ~ R c( t t) ( R R v c ) KR
R R , K 1 n β
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3 加速运动电荷的辐射
上节提到只有做加速运动的电荷才辐射能量，本 节将具体讨论加速运动电荷的辐射问题. 1.辐射场及辐射功率的角分布
2.辐射总功率
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1.辐射场及辐射功率的角分布 在（7.2.7）和（7.2.8）式中，只要取与加速度 有关的项，则辐射场为
2 e (n β )(1 ) n (n β ) ) E . 3 2 3 4 0 K R cK R ret
(7.2.6)
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另外，还可以直接计算得到
1 n β ( ) , t 2 2 KR K R ( n β ) n β ( 1 ) c . 2 2 2 2 K R K R t KR
(7.2.5)
利用（7.2.5）式的结果，将（7.2.6）整理
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虽然电磁场的表示式相当复杂，但其物理含义是 明确的.(7.2.7)和 (7.2.8)式表明，运动电荷激发 的电磁场可以分解为两部分：
第一项只与速度有关的称“速度场”，是随1/R2 变化，不辐射能量，是似稳场；
第二项与加速度有关的称“加速度场”，是随 1/R变化，有能量辐射是典型的辐射场. 因此，匀速直线运动的点电荷是不辐射能量的 ，只有加速运动的电荷才辐射能量.
(7.2.4)
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e β A ( r , t ) 4 0 c KR ret ( r , t ) e 1 4 0 KR ret
(7.1.6)
利用（7.2.4）和（7.1.6）式，代人（7.2.1）式得
A e 1 n 1 1 β Ε - [t ( ) ( ) ( )] ， t 4 0 KR cK t KR cK t KR
所以，运动电荷在t′时刻辐射到立体角dΩ内的 功率应为
t 2 dP ( t ) ( S n) R dΩ （S n）KR 2 dΩ. (7.3.4) t
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把（7.3.2）式代人（7.3.4）式，得瞬时辐射功率 角分布
dP(t ) . 2 5 dΩ 16 0c(1 n β )
A e 1 n 1 1 β Ε - [t ( ) ( ) ( )] ， t 4 0 KR cK t KR cK t KR
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2 e (n β )(1 ) n (n β ) ) E . 3 2 3 4 0 K R cK R (7.2.7) ret
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对（7.3.2）式积分
t
t2
1
[S n] dt
ret
T
T2
1
t [S n] dt . t
(7.3.3)
由此可见，[ S n]ret 是t时刻在场点垂直n方向 单位面积上接受的功率， [ S n] t 则是运动电
t
荷在t′时刻沿n方向单位面积发射的功率.