5第5讲空间杆件结构的有限元法
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空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对 称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位 移为零，计算时应在相应方向予以约束。 与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为 一个节点，并在三个方向予以约束。 交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面 时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予 以约束。 在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对 称位移应取为零。
整体坐标
图3.25 杆件在整体坐标中
设杆件ij （即 轴）与整体坐标x，y，z轴夹 角的余弦分别为l，m，n。由图25所示的几何关 系可以得出
式中lij——ij杆的长度
奥运会场所
令 分别表示杆件ij在整体 坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。 在整体坐标系中ij杆节点力和节点位移间的关 系力为：
{Fi} ，{Fj}——分别为杆件ij在整体坐标系下 i，j点的杆端力列阵； {δi}，{δj}——分别为杆件ij在整体坐标系 下i，j点的位移列阵； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在i端，j端发 生单位位移时，在i端，j端产生的内力； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在j端，i端发 生单位位移时，在i端，j端产生的内力。
(2)边界条件 有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及 变形产生较大影响。 网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关， 也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、 单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结 构(柱、梁等)可以是刚性或弹性的。 当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条 件完全取决于支座构造。
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
杆件结构的有限元法
F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k
k u1 k u2
弹簧的节点力向量和节点位移向量
F
F1 F 2
u
u1 u 2
1
2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2
单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）
2012/5/24
杆件结构的有限元法
杆件结构的有限元法
单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度
基本概念
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k
已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1
4
2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件结构的单元划分、节点定义
节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件的力与变形关系
等效刚度
F
A E u L
有限元法(杆系结构单元)
uj
ui l
x
a1
a2
（5-4）
② 形函数
将式（5-4）改写为下列形式
u [N ]{ }e
（5-5）
式中形函数[N]为
[N] [Ni
N
j
]
1 l
[(
x
j
x)
(xi x)]
（5-6）
（2）应变矩阵
一维铰接杆单元仅有轴向应变 du dx
将式（5-5）、（5-6）代入上式，得
上式也可写为
① 位移模式
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
（5-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj
确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得
u
(ui
uj
ui l
xi )
➢ 离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。
➢ 单元刚度矩阵：
23
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
[k ](2)
2AE l
1 1
1 2
1
3
12
[k ](1)
3AE l
1 1
1 1
1
2
34
[k ](3)
AE 1 l 1
1 3
1
4
➢ 等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[F ](1)
3lA
6l
12
4l 2 6l
6l 2l 2
12 6l
6l
2l
2
1
12 6l 2
6l 4l 2
空间杆件结构的有限单元法
M x、M y、M z 为作用在杆端的力偶矩。这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭头
表示；力和线位移的指向用单箭头表示。图 2-1 中所示的杆端力和杆端位移为正方向。
与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移 e 中的一个分量为 1，而其余分量
均为零时的杆端力。图 2-2 所示为当单元○e 的 i 端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间 的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。
将杆端力 X i、Yi、Zi 在 x 轴上头英，可求得杆端力
同理可得
X i X ilxx Yilxy Z ilxz
综合上三式
Yi X il yx Yil yy Z il yz Z i X ilzx Yilzy Z ilzz
X
i
l
xx
l xy
l
xz
X
i
Yi
l
yx
l yy
xj
l
xi
l xy
yj
yi
l
l xz
zj
zi l
(2-10)
其中 l 为杆长，可按下式求得
l (x j xi )2 ( y j yi )2 (z j zi )2
（2-11）
设 i、j、k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量， O x 轴矢量 x 可表示为
x lxxi lxy j lxz k
4EI z 1.05 104 kN m l
6EI y l2
2.625 103 kN ,
6EI z l2
6.5626 103 kN
12EI y l3
2.1875 103 kN / m,
依同样方法可以确定当单元 j 端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。 当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，以矩阵表示为
杆件结构的有限元法PPT课件
2 2
K e
EA
2
L 2 2
2
EA k e k e
L k e
k
e
其中：k e
2
2
2
2
第28页/共33页
求解整体坐标系下结构受力与位移方程组：
F K
可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的 受力，简单推导可得：
pij
EA L
,
ij
单元1：FF12
ka ka
单元2：FF32
kb kb
ka ka
uu12
kb kb
uu32
第12页/共33页
(2)由于整个系统有3个节点，扩充上述方程为3阶：
F1 F2
ka ka
ka ka
00uu21
F3 0 0 0u3
F1 F2
kb kb
** **
行
2j-1 2j
** **
** **
第30页/共33页
刚度矩阵的性质： （1）对称性——关于主对角线对称； （2）稀疏性——大量0元素； （3）带状分布——非0元素在主对角线两侧 呈带状分布。 所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方法 是：找出所有各行中非0元素所占最宽一行， 以离对角线最远的元素为基准画一条平行于主 对角线的带子，称为其带宽，方法称为等带宽 存储。由于对称性，带宽的一半称为半带宽。
• （1）形成每个单元刚度矩阵； • （2）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加
整个系统的刚度矩阵；
• （3）引入约束条件； • （4）以节点位移为未知量求解线性方程
组
• （5）用每个单元的力-位移关系求的单元
第18页/共33页
第三节 杆件系统的有限元法 简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆 上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与 杆的轴线重合，如图所示。
杆系结构的有限元法.最新PPT资料
第章杆系结构的有限元法
结构几何构造的根本知识
结构几何构造的根本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之那么称为几何可变结构或几何不 稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何 构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
两刚片连接规那么
瞬变结构 常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规那 么三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构 是几何不变结构。
根本三角形结构
三刚片规那么示意图
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析例如 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
结构示意图
自由度为零，应是几何不变结构。
空间点与根底连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 那么桁架的自由度W 为
平面桁架
空间桁架
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算
其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。
计算结果有三种可能：
a. W＞0 Байду номын сангаас明结构缺少必要的约束， 可运动， b. 故结构必定是几何可变体系。
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。
结构几何构造的根本知识
结构几何构造的根本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之那么称为几何可变结构或几何不 稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何 构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
两刚片连接规那么
瞬变结构 常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规那 么三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构 是几何不变结构。
根本三角形结构
三刚片规那么示意图
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析例如 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
结构示意图
自由度为零，应是几何不变结构。
空间点与根底连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 那么桁架的自由度W 为
平面桁架
空间桁架
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算
其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。
计算结果有三种可能：
a. W＞0 Байду номын сангаас明结构缺少必要的约束， 可运动， b. 故结构必定是几何可变体系。
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
第05讲-有限元分析方法及工程常用单元类型、单元选择
历史典故
早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布 的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机 上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内 可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。
5-9
• Part H. Plane系列 Plane42:二维实体单元
5-3
内容及目标
Part I. SHELL系列 SHELL63:三维板壳单元 SHELL93:三维曲壳单元 变厚度板壳单元的建立
Part J. SOLID系列 SOLID45:三维块体单元 SOLID65:三维混凝土块体单元 SOLID95:三维块体单元
• 点——质量块（Mass21）
• 杆状结构——斜拉索、桁架结构（LINK1、Link8、Link10）等
• 梁柱结构——支柱和横梁、纵梁等模拟梁单元，如Beam3、Beam4、Beam188/189（具 有任意真实截面形状，无须计算几何特性）、beam44、BEAM54（变截面梁单元）等。
• 壳体结构——桥面板、腹板、横隔板等薄结构模拟板壳元，如shell63、shell93、 shell91/99（250层复合壳）等。
5-25
LINK 单元系列
• 杆系结构是指结构由许多细长杆件构成的结构系统，且杆件的弯曲刚度较小， 或者弯曲产生的应力和轴力相比较小，每个杆件的主要变形为轴向变形。
• 对于这一类问题，有限元模型可以利用杆单元模型（Link）来处理。 • 在Ansys 中，二维杆单元是Link1，三维杆单元是Link8和Link10。 • 对于许多杆系空间结构需要利用Link8 单元求解。在Ansys 中杆件的内力需要
早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布 的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机 上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内 可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。
5-9
• Part H. Plane系列 Plane42:二维实体单元
5-3
内容及目标
Part I. SHELL系列 SHELL63:三维板壳单元 SHELL93:三维曲壳单元 变厚度板壳单元的建立
Part J. SOLID系列 SOLID45:三维块体单元 SOLID65:三维混凝土块体单元 SOLID95:三维块体单元
• 点——质量块（Mass21）
• 杆状结构——斜拉索、桁架结构（LINK1、Link8、Link10）等
• 梁柱结构——支柱和横梁、纵梁等模拟梁单元，如Beam3、Beam4、Beam188/189（具 有任意真实截面形状，无须计算几何特性）、beam44、BEAM54（变截面梁单元）等。
• 壳体结构——桥面板、腹板、横隔板等薄结构模拟板壳元，如shell63、shell93、 shell91/99（250层复合壳）等。
5-25
LINK 单元系列
• 杆系结构是指结构由许多细长杆件构成的结构系统，且杆件的弯曲刚度较小， 或者弯曲产生的应力和轴力相比较小，每个杆件的主要变形为轴向变形。
• 对于这一类问题，有限元模型可以利用杆单元模型（Link）来处理。 • 在Ansys 中，二维杆单元是Link1，三维杆单元是Link8和Link10。 • 对于许多杆系空间结构需要利用Link8 单元求解。在Ansys 中杆件的内力需要
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GJ
0
l
0 yj
M zj
0
0
0
6EI y
l2
6EI z
0
0 0
2EI y
0
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0
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0
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l2
0 6EI z
0
0 0
4EI y l 0
0
zj
4EI z
l2
l
l2
l
式（2-1）
2020/8/12
式 （ 2 -1 ） 可 以 简 写 为 其 中 单 元 刚 度 矩 阵 为
l2
l
l2
l
（
（ 2 -3 ）
式 （ 2 -3 ） 为 局 部 坐 标 系 中 的 空 间 单 元 刚 度 矩 阵 。 它 是 1 2阶 方 阵 ， 其 性 质 也 与 平 面 结 构
的 相 同 。
2020/8/12
第二节 空间单元坐标变换
将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩
F e ke e
（ 2 -2 ）
EA
l
0
0 12 EI z
0 0l3ຫໍສະໝຸດ 000 EA
0
0
l
0
0
6 EI z
0 12 EI z
0
l2
l3
0
0
0
0
0
6 EI
z
l2
0
0
12 EI y
0 6 EI y
0
0
0
12 EI y
0 6 EI y
0
l3
l2
l3
l2
GJ
0
0
0
0
0
0
6 EI y
阵，是通过坐标转换矩阵完成的。首先考虑单元○e 在端点 i 的三个杆端
力分量，在局部坐标系 xyz 中，它们是 X i、Yi、Zi ；在整体坐标系 xyz
中，是 X i、Yi、Zi 与 X i、Yi、Zi 之间的关系。设 x 轴与 x、y、z 轴的夹角分 别为 xx、xy、xz （图 2-3），则 x 轴在 xyz 坐标系中的方向余弦为
综合上三式
X
i
l
x
x
l xy
l
xz
X
i
Y
i
l
y
x
l yy
l yz
Yi
Z i l z x l z y l z z Z i
(2 -4 )
这就是在端点
i
由整体坐标系中的杆端力
X
、
i
Y i、
Zi
推
算
局
部
坐
标
0
0
l2
0 12 EI z
l3
0
0
0 12 EI y
l3
0
0
0
0
0
6 EI l2
z
0
6 EI y
0
l2
0
0
0
GJ
0
l
0
0
0
0
GJ
0
l
0
0
0
0
6 EI y
l2
6 EI z
0
0 0
2 EI y
0
l
0
2 EI z
0
0
6 EI y
l2
0 6 EI z
0
0 0
4 EI y l 0
0
4 EI z
位移之间的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。
2020/8/12
依同样方法可以确定当单元j端发生单位位移时， 杆端力与杆 端位移之间的关系。 当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方 程，以矩阵表示为
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EA
l
0
X
i
Yi
0
0 12 EI z
Mx、M y、Mz 为作用在杆端的力偶矩。这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭
头表示；力和线位移的指向用单箭头表示。图 2-1 中所示的杆端力和杆端位移为正
方向。
与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移 e 中的一个分量为 1，而其余分
量均为零时的杆端力。图 2-2 所示为当单元○e 的 i 端发生单位位移时，杆端力与杆端
2020/8/12
第一节 局部坐标系下的单元分析
图 2-1 所示为空间刚架中的任一
杆件单元。选取局部坐标系时，去
形心轴为 x 轴，横截面的主轴分
别为坐标系的 y 轴和 z 轴。 x、y、z
轴的方向按右手定则确定。这样，
单元在 x y 平面内的位移与 xz
平面内的位移是彼此独立的。设杆截面面积为 A，在 xz 平面内的抗弯刚
别为
e ui
vi
wi
xi yi zi
uj
vj
wj
xj zj
T zj
F e X i Yi Zi M xi M yi M zi X j Yj Z j M xj M yj M zj T
其中 u 为轴向位移，v、w 为横向位移， x 为杆件的扭转角， y、z 分别为绕 y 轴和 z
轴弯曲时的转角； X 为杆件单元的轴力， Y、Z 分别为沿 y 轴和 z 轴作用的剪力，
度为 EI y ，线刚度 iy
EI y ；在 x
l
y
平面内的抗弯刚度为
EI x ，线刚度 ix
EIx l
；
杆件的抗扭刚度为 GJ 。
l
2020/8/12
空间刚架单元的两端分别与结点 i 和 j 相联结。每一个结点有六个结点位移分量
和六个结点力分量。在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵 e 和杆端力列阵 F e 分
0 EA l 0
M xj
0
0
0 6EI z l2
0 12 EI z
l3 0
0 6EI y
l2 0
0
0 12 EI y
l3
GJ l 0 0 0 0
0
0
0
4EI y
0
l
0
4EI z
l
0 0 0
0
0 6EI z
l2
0 GJ 0
l
6EI y
0 2EI y
l2
l
0
0
0
0
wi
0
2EI z l
xi
yi
zi
0
0 EA
l
0 6EI z 0 l2
6EI y
0
0
l2
0 12 EI z
l3
0
0
0 12 EI y
l3
0 0 0
0
0
u
j
0
6EI y l2
6 EI l2
z
v
j
w
j
0
xj
M yj 0
0
0 GJ 0 l
0
0
0
0
lxx cos(x, x) lxy cos(x, y) lxz cos(x, z)
将杆端力 X i、Yi、Zi 在 x 轴上投影，
可求得杆端力
X i X ilxx Yilxy Zilxz
2020/8/12 同理可得
Yi X il yx Yil yy Zil yz Zi X ilzx Yilzy Zilzz
l3
0
0
0 12 EI y
l3
00
0 EA 0
0
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