第4节 网络最大流问题

网络中存在流量限制时，求解一条线路使 得从起点与终点之间可通过的流量最大。
10 5 v1 8 3
v2 3 4 1 v3
5 2 2
v4 11 6 3 3 v5 17
5
1
6 3
v6
2
一、一般提法：
设有网络D=(V, A, C)，其中C={cij}， cij为弧(vi,vj) 上的容量，现在D上要通过一个流f={fij}， fij为弧
[-v1 , 1]
v2
（4,3）
v4
Vs [0 , +∞] （2,2）
Vt v1 v3
[vs , 4]
(3)考虑所有弧(vi , vj)或(vj , vi) ,其中vi∈ VA, vj∈ VB，若该弧为
流出未饱弧,则给vj标号[vi , θj],其中θj=min{θi, cij- fij}
流入非零弧,则给vj标号[-vi , θj] ,其中θj= min{θi, fij}
Vs
Vt
[0, +∞]
[vs, 4]
v1
（2,2）
v3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为 vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]
v2
（4,3）
v4
[v2 , 1] [v4 , 1]
Vs
Vt
[0, +∞]
[vs, 4]
v1
（2,2）
v3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为 vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]
v2
（4,3）
v4
[v2, 1] [v4 , 1]
Vt
Vs
[0, +∞]
10 5
v2
3 4 3
5 2
v4
11 6
v1
8 3
0 1 3 3
v6
2 17
5
6 5
v3
v5
3. 截集与截量
把V分成两部分：VA和VB(VA ∩VB= φ, VA ∪VB= V) 且vs∈ VA、 vt∈ VB，则弧集(VA,VB)称为D的截集。
截集上的容量和称为截量，记为C(VA,VB) 。
例 若VA={vs,v1}，则 截集为：{(vs,v2), (v1,v2), (v1,v3), (v1,v4)}； 截量为： C(VA,VB) =8+4+5+3=20
v2
（4,4）
v4
Vs
Vt
[0, +∞]
v1
（2,2）
v3
[vs , 3] 此时标号无法进行，当前流为最大流，最大流量为5； 最小截为{(vs,v2), (v1,v3)}，截量为：5
课堂练习
有三个发电站v1,v2,v3，发电能力分别为15、10和 40兆瓦，经输电网可把电力送到8号地区，电网能力如 图所示。求三个发电站输到该地区的最大电力。
[vs, 4]
v1
（2,2）
v3
(5) 调整。取 l (vt ) min{，令 j}
v j u
[-v2, 1]

f ij ' f ij f ij f ij
(v i , v j ) u
{ f ij' },转(1)。 (v i , v j ) u ，得新流
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
③VA={vs ,v2}，截集为{……}，截量为：7
v1
vs
v2 （2，2） v3
vt
（1）所有的截集：
① VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7 ③VA={vs ,v2}，截集为{……}，截量为：7
Vi 所有点
未标号 未检查
Vi
标号 未检查
标号 考查 （Vi, Vj) 检查 Vj 标号 未检查
所有
标号点 检查
注: 给发点Vs标上（0，＋∞），则Vs成为标号未检查
网络最大流问题—标号法
1.标号过程 给vs标上(0，+∞)，这时vs是标号而未检查点，其余为 未标号点。 若在弧(vi，vj)上，fij<cij，则给vj标(vi，l(vj))， 其中 l v j min l vi , cij fij 若在弧(vj，vi)上，fji>0，则给vj标(-vi，l(vj))， 其中l v j min l vi , f ji vi成为标号而已检查过的点，重复上述步骤，
(vi,vj)上的流量。
问题：如何安排fij，可使网络D上的总流量最大？
二、最大流问题的模型
10 5 Vs v2 3 5 2 2 v4 116
8
4 1
3 v3
5
1
6 3
3 3
v5 17
Vt 2
max v=v（f）
0 f ij cij
s.t.
容量约束
f
ij j j
v( f ) i s f ji v( f ) i t 0 i s, t
④Va={vs ,v3}，截集为{……}，截量为：12
v1
vs
v2 （2，2） v3
vt
（1）所有的截集：
①VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
③VA={vs ,v2}，截集为{……}，截量为：7
v4
[v2 , 1]
Vs [0 , +∞] （2,2）
Vt
[vs, 4]
v1
v3
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为 vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]
v2
（4,3）
v4
[v2, 1] [v4, 1]

v , v v , v
i j i j

,
l vt
去掉所有的标号，对新的可行流f*重新进行标号过程。
例. 图中网络弧旁数字为(cij ,fij)，用标号法求最大流。
v2
（4,3）
v4
Vs
Vt v1 （2,2） v3
[0,+∞] [vs, 4]
步骤： (1)给vs标号为[0,+∞]， 选与vs关联的
vt
v2
（2，2）
v3
（1）所有的截集：
① VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
v1
vs
v2 （2，2） v3
vt
（1）所有的截集：
① VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
平衡约束
注：满足两约束条件的流f称为可行流，v(f)称为该可行流的流量
试分析下图是否是可行流?
v2
3 1 4 1 8 1 5 6 3 5 2
10
5
v4
11 6
v1
3
3 3
v6
2 17
v3
v5
三、基本概念与定理
饱和弧 fij=cij
1. 弧按流量分为
非饱和弧 fij<cij 零流弧 fij=0
10
一旦vt被标号，表明得到一条从vs到vt的增广链，转入
2.调整过程 如果所有标号已检查过，而标号不能进行下去，则算法 结束，这时可行流为最大流。
网络最大流问题—标号法

1.标号过程 2.调整过程 利用反向追踪法找出增广链。调整量为 θ= l(vt)
* fij * * fij fij f* ij vi , v j
④VA={vs ,v3}，截集为{……}，截量为：12
⑤VA={vs ,v1,v2}，截集为{……}，截量为：5
v1
vs
v2 （2，2） v3
vt
（1）所有的截集： ①VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
10
0
1515
10
v2
40 10
v5
v4
10 10 10 20
v0
10 15 15 40 10
v1 15
15
v6
15 15 45
v8
25
v3 30
10
v7
实际应用
例1、图中A、B、C、D、E、F分别表示陆地和岛屿，① ②……⒁表示桥梁及其编号。河两岸分别互为敌对的双方 部队占领，问至少应切断几座桥梁（具体指出编号）才能 达到阻止对方部队过河的目的。试用图论方法进行分析。 ② ① ④ B C ⑥ A ⑿
图与网络优化
周荣喜 北京化工大学经济管理学院
§4 网络最大流问题
公路系统中的车辆流
供水系统中的水流
控制系统中的信息流
问题背景
金融系统中的现金流
网络最大流问题—问题的提出
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