4网络最大流问题
网络最大流
容量为20 容量为
• 最小截集： • 容量最小截集的称为网络G的最小截集。 • 最大流-最小截集定理： • 在任一个网络D中，从vs到vt的最大流的 流量等于分离的最小截集的容量。
（二）、 求最大流的标号法
标号过程： 1． 给发点vs 标号（0，+∞）。 2． 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻 接点vj 按下列规则处理： （1）如果边 (v j , vi ) ∈ E ，且 f j i > 0 ，那么给vj 标 号 (−vi , δ j ) ，其中： δ j = min( f j i , δ i ) （2）如果边 (vi , v j ) ∈ E ，且 f ij < cij，那么给vj 标号 ( +vi , δ δ j = min(ci j − f i j , δ i ) ，其中：j ) 3．重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进 行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广 链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进 行下去，这时的可行流就是最大流。
2．去掉所有标号，回到第一步，对可行流 重新标号。
求下图所示网络中的最大流，弧旁数为
v2 (3 , 3) vs (5 , 1) (1 , 1) v1 （-v1, 1） ） v2 (3 , 3) （0，+∞） ， ） vs (5 , 1) v1 （+ vs , 4） ） (2 , 2) (1 ,1) (1 , 1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （-v2 ，1） ） (2 , 2) (4 ,3) (1 ,1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （+v2，1） ） v4 (5 ,3) v4 (5 ,3) vt
f = f (v i , v j ) = { f i j }
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。
在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。
求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。
通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。
2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。
3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。
通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。
4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。
在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。
这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。
例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。
最大流问题解题步骤
最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。
该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。
二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。
其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。
具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。
2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。
我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。
在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。
因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。
具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。
5-4 最 大 流 问题
(2)标号过程 标号过程
给起点v 标上标号（ ， 1给起点 s标上标号（-，+∞）； ）； （表示 s是源点（起点），能够得到任意多的量。 表示v 是源点（起点），能够得到任意多的量。 ），能够得到任意多的量 表示 vs称为已标记的点。让S表示已标记点的集合 S 表示 称为已标记的点。 表示已标记点的集合， 表示已标记点的集合 未标记点的集合， 未标记点的集合 VS ∈ S ） 2考察起点的所有相邻未标号点： 考察起点的所有相邻未标号 所有相邻未标号点 若存在以S中的点为起点， 若存在以 中的点为起点，以 S 中的点为终点的非饱 中的点为起点 [vi+ , ε j ] ，否则不加标记。 和弧（ 否则不加标记。 和弧（vi,vj）则vj可标记为
从S出发到 S 终止的所有边的集合即割集。 终止的所有边的集合即割集。
v2
e1
e3 e6
v4
e8
v1
e2
e4 e7
v6
e5
v3
v5
e9
不包括从 S 出发到S终 止的边!
4、弧的分类
（1）在可行流X={xij}中，按流量的特征 在可行流X 分有： 分有： ①饱和弧——xij=bij 饱和弧 ②非饱和弧——xij<bij 非饱和弧 ③零流弧——xij=0 零流弧 ④非零流弧——xij>0 非零流弧
顶点3的标记化 顶点 的标记化: 的标记化 ∵ x s 3 = bs 3 ， 但
正向饱和 弧 ∴不能从v 不能从
得到标记； 标记 s得到标记；
x
32
得到标记 标记。 > 0，故可从v2得到标记。
反向非零流
于是
ε ε3 = min { 2 , x 32 } = min {6 , 4 } = 4
8.4 网络最大流问题
所有指向为vs→vt的弧，称为前向弧，记作μ +；
所有指向为vt →vs的弧，称为后向弧，记做μ
－，
增广链：设 f 是一个可行流，μ是从vs 到 vt 的一条链，若μ满 足下列条件，称之为(关于可行流 f 的)增广链。
1)在(vi , vj)∈μ+上，0≤fij＜cij，即μ+中的弧都是非饱和弧。
2)在(vi，vj)∈μ-上，0＜fij≤cij，即μ-中的弧都是非零流弧。
§8.4 网络最大流问题
Page 22
(3) 检查与v3点相邻的未标号的点，因f3t<c3t，故对vt 标 l(vt)=min{l(v3), c3t-f3t } =min{1, 1}= 1 找到一条增广链 vs→v1→v2 →v3 →vt ( v , 1) 2 (-v v12, 1) (4,3) v4 (3,3) (5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
v ( f ) f s1 f s 2 f 4 t f 3 t 5
§8.4 网络最大流问题
Page 25
例8.10 用标号算法求下图中vs→vt的最大流量，并找出最小 截。 v1 9(3) v3 8(7)
5(4) 5(4)
2(0)
vs
7(5)
6(1)
●
vt
10(8) v2 9(9) v4
§8.4 网络最大流问题
基本方法： (1)找出第一个可行流（例如所有弧的流量fij =0）；
Page 14
(2)用标号的方法找一条增广链：
首先给发点vs标号(0,+∞),第一个数字表示标号从哪一点得到；
第二个数字表示允许的最大调整量。
选择一个点 vi 已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收
道路交通运输网络分析技术-道路运输系统工程
§ 6.1
如图6-2 a和图6-2 b
引言
§ 6.1
在生产实际中，我们要了 解某地区的公路交通状况， 要了解公路分布状况和公 路长度，还有与节点或枝 线（弧）相关的数量指标。
引言
§ 6.1
引言
网络，网络理论，网络分析技术
我们带有某种数量指 标的图称为网络图或 称网络
网络
撇开各种图的具体 内容来讨论这种由 点、线段构成的抽 象形式的图，从中 研究其一般规律。
( vi , v j )A
f ij
( vi ,v j ) A
f
ji
0
对于发点vs，记 对于收点vt，记
( vs ,v j )A
f sj
( v j ,vs )A
f
js
V( f )
( vt , v j )A
f tj
( v j ,vt )A
f
jt
V ( f )
11
• 定义每条边与顶点的顺序无关，边都没有方向的 图称为无向图
在无向图中,有(vi , v j ) (v j , vi ). • 如果边是用顶点的有序对来定义，即令其一个 顶点是始点，另一个顶点是终点，那么称该边 为有向边，全部由有向边构成的图称为有向图。 • 有向图中的边称为弧。 • 从有向图中 D (V , A)去掉所有弧上的箭头,就成为无向 图,称为D的基础图. • 图中既有边又有弧, 称为混合图.
水取暖点相互连通，但总的线路长度最短。试求
最短的管道铺设方案。这类问题在网络分析中称 为最小生成树问题。
1、树的定义 无圈的连通图称为树。我们用了T表示树，树中 的边称为树枝
2、树的性质
网络流——求网络最大流
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
(1,8)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
(5,2) V6
2
(1,6)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
V2 (0,+∞) V1 4 4
4
V4
6 V6 2
2 2
(1,4)
V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
运筹学最大流问题
它决定了整个网络的最大通过能力。
四、最大匹配问题
|M |表示集合M中M的边数。
一个图的最大匹配中所含边数是确定的, 但匹配方案可以不同。
定义23 二部图G=(X,Y,E), M是边集E的子集, 若M中的任意
若不存在另一匹配M1, 使得|M1|>|M|, 则称M为最大匹配.
x5
y1x3y2x2y3x1
y4
x4
y5
x5
y1
x3
y2
x2
y3
x1
y4
x4
y5
vs
vt
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
如图，要求设计一个方案，使量多的人能就业。
(1,3)
(2,4)
(4,3)
(1,2)
(3,2)
(3,t)
(2,4)
(3,t)
(4,3)
(4,t)
(1,3)
(3,t)
15
(4,t)
21
17
18
19
24
14
25
15
割
容量
4-3、最大流-最小割定理
定理
定理2 (最大流-最小割定理) 任一网络G中, 从vs 到 vt 的
定义
设 f 为网络G=(V, E, C)的任一可行流, 流量为W ,
未标号点集合为 S = {v1, v2, v4, v5, v6, v7}
割集(S, S )= {(vs, v1), (vs, v2), (v3, v6)}
割集容量
可得到一个最小割. 见图中虚线.
16.网络最大流问题
l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
5. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方 向是从vs到vt 。 v2 v4 5.2
10.5 3.2 4.1 5.1 3.3 11.6
v1
8.3
已检查 标号点 网络中的点 未检查 未标号点
标号：（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量） 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(vi ，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。 （2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(- vi, l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0
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一、基本概念
(一)、网络与流
一个有向图D=(V,A,C)称为一个网络．其中， V 是D的顶点集；A是弧集；C是各弧上容量集 {cij:cij=c(vi,vj)} .在V中指定了两个顶点vs,vt,分别 称为发点和收点，其余的顶点称为中间点．
定义弧集A上的一个函数
f：(vi,vj)→f(vi,vj) 简为记网为络f的ij. (一10个,5)流v,并2 称((3f5,(,2v2)i,)vj)为弧v 5((1v1i,,6v)j)上v 6的流量，
2 、若μ是网络中联结发点vs和收点vt 的一条链,定 义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分为两类:一 类是弧的方向与链的方向一致,称为前向弧,前向弧 的全体记为μ+ ,另一类弧与链的方向相反,称为后 向弧,后向弧的全体记为 μ－。
3 、设f是一个可行流,μ是从vs到vt的一条链,称μ 为一条增广链,如果满足
对于发点vs,
fsj fjsv(f);
(vs,vj)A (vj,vs)A
对于收点vt,
ftj fj tv(f).
(vt,vj) A (vj,vt) A
式中 v(f) 称为一个可行流的流量,即发
点的净输出量(或收点的净输入量)
2、最大流问题
maxv( f ) f
0fijcij,(vi,vj)A
c(V1,V2)
cij
(vi,vj)(V1,V2)
定理 1 可行流 f 是最大流的充要条件是不存 在关于f的增广链. 定理2 任一个网络D=(V,A,C)中,从vs到vt的 最大流的流量等于分离vs与vt的最小截集的容 量.
Back
二、求最大流的标号法(Ford,Fulkerson) 1 、标号过程
(在 v5,v4) 是 链 (v 1 ,v 饱 2,v 3 ,v 和 4,fv 55 4, v 弧 6 c)中 54 v 1 (10,5)
(3,2) (4,1)
v5 (11,6) v 6
(3,3)
前向弧集合
(8,3)
(5,1)
{v(1,v2)(,v2,v3)(,v3,v4)(,v5,v6)}
(6,3) v3
(1)(vi,vj ) 0 fij cij,
即正向弧集中每一 是条 非弧 饱和; 弧
(2)(vi,vj ) 0 fij cij,
是一条增广链
即反向弧集中每一是条非弧零流后 弧 向弧 集 {合 v(5,v4
c 1 21,c 0 2 43 ,c 1 38 ,c 3 45 容量
f12 5 ,f24 2 ,f1 33 ,f34 1 流v 2量 (5,2)
2 、调整过程
(1)寻找以vt为终点的增广链----(反向追踪法):
若vt的第一个标vk号 (或为 vk),则弧(vk,vt )
(相应地 (vt ,vk ))是链 上的弧 。接下来检 vk的 查 第一个标 ，若 号为 vi (或vi )，则找(出 vi ,vk )(相应 地(vk ,vi ))。再检v查 i的第一个标 ，依 号此下，去 直到 vs为止 。此时被找的弧就增 构广 成链 了 。
Contents
图的基本概念 最小支撑树问题 最短路问题 最小费用最大流问题 中国邮递员问题 旅行售货员问题 匹配问题
To be continued
网络最大流问题
引例 基本概念 最大流算法 算例
Back
continued
引 例 假设某公路网的每条公路只允许单向行驶，
这样的公路网称为单行公路网．为了保证道路畅
(2)调整量：θ=l(vt),即vt的第二个标号；
(3)流的调整。令
fij fij
, ,
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )
,
fij,若(vi ,vj ).
去掉所有的标号，对新的可行流f’={fij’} 重新进入 标号过程。
v1
(4,1)(3,ຫໍສະໝຸດ )(8,3)(5,1)
(17,2)
(二)、可行流与最大流
1、可行流
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件.
a ij (v i,v j) A 0 fij c i;j
(2) 平衡条件.
对中间点:流出量=流入量,即
i(is,t) fij fji0; (vi,vj) A (vj,vi) A
(17,2) v4
(四)、截集 1 、设S,T是V的真子集,S∩T＝ Ф,把始点在S,终 点在T中的所有弧构成的集合,记为(S,T).
2 、给定网络D=(V,A,C) ,若点集V被剖分为两个 非空集合V1,V2，使vs∈V1,vt∈V2,则弧集(V1,V2)称 为分离vs和vt的截集.
3 、截集(V1,V2)中所有弧的容量之和称为此截 集的容量,记为c(V1,V2),即
开始:先给vs标上(0,+∞)，此时vs是标号而未检查 的顶点,其余都是未标号顶点。一般地,取一个标 号而未检查的点vi,对一切未标号点vj： (1)若在弧(vi,vj)上fij<cij，则给vj标号(vi,l(vj)) ,这里 l(vj)=min(l(vi),cij-fij)。此时，点vj成为标号而未检 查的点。
(2)若在弧(vj,vi)上fji>0，则给vj标号(-vi,l(vj))。这 里l(vj)=min(l(vi),fji)。此时，点vj成为标号而未检 查的点。
于是，vi成为标号且已检查过的点。重复上述 步骤，一旦vt被标上号,表明得到一条从vs到vt 的增广链μ，转入调整过程。
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行 不下去时，则算法结束。此时的可行流就是最 大流。
通,交管部门对每条公路在单位时间内通过的车辆
数目要作一个限制.如图为一单行公路网.
问：单位时间内最多能有多少辆车从甲地(v1)出发 经过该公路网到达乙地(v6)？
v 2 (5,2)
(10,5)
(3,2)
v5 (11,6) v 6
v1
(4,1)
(3,3)
(8,3) v3
(5,1) (6,3)
(17,2) v4
s.t.
v(f ),(i s)
fij fji 0,(is,t)
(vi,vj)A (vj,vi)A v(f),(i t)
(三)、增广链
1 、给定一个可行流f={fij},
fij cij的弧称为非饱和;弧fij cij的弧称为饱和弧 ; fij 0的弧称为非零流;弧fij 0的弧称为零流弧 .