圆锥曲线典型例题(精华版)

圆锥曲线典型例题强化训练

一、选择题

1、若点P 到直线y = -l 的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P 的轨迹方程为（ ）A

2、若mx- + y--2x-4y = 0的圆心到直线x-y + n = 0的距离为手，则a 的值为

1,3

B. —或一

2 2

3、设F1. Fz 为曲线G ： U 的焦点，P 是曲线 5 —-y-=l *jCi 的一个交点,

6 2 3

4、经过抛物线y^=2x 的焦点且平行于直线3戈?-2y + 5 = 0的直线/的方程是（ A.6x-4y — 3 = 0 B. 3兀一 2y -3 = 0

5、若抛物线r =2/zv 的焦点与椭圆—+ = 1的右焦点重合，则"的值为（

6 2

6、如图，过抛物线y- =2px （p>Q ｝的焦点F 的宜线I 交抛物线于点A 、B,交苴准线于点 若

|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为（

8、已知双曲线务-詈=13>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y- = 16x 的焦点重合,

A. X" = 12y

y" = \2x C. = 4y

A-?2或2

C ?2或0

D ??2或0

则△PF1F2的面积为（ ）C （A ） i

(B)l (C)迈 (D)2 迈

C. 2x + 3y — 2 = 0

D, 2x + 3y-l = Q

A- -2 B. 2 C ?-4 D ?4

C, B

A. C ? .3

V' =-%

2 .9 y" = —X 丿2

B ? y" =3x D. y" =9x

?

7

7、唸-宁"的顶点为焦点，长半轴长为山椭圆方程为

A. 乂+ 二= 64 52

B.匕+22

16 12

16 4 D.M 4 16 0

则该双曲线的离心率等于( D

二、解答题

2

1.

已知椭圆F+厶＞ =1(0＜方＜1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C 上顶点为B,过FbC h-

三点作0P ，英中圆心P 的坐标为

行

⑴若椭圆的离心率一斗，求。P 的方程:

(2)若0P 的圆心在直线x+y = O 1求椭圆的方程.

2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A(0,2),右焦点F 与点B(yf2.yf2)的距离

为2。

(1)求椭圆的方程:

(2)是否存在斜率ZcHO 的直线/： y = kx-2,使直线/与椭圆相交于不同的两点M , N

满足I 丽1=1丽I,若存在，求直线/的倾斜角a ；若不存在，说明理由。

4 A.- 5

B.遁 55

5 C.— 4

- 2 2 2

3、 已知椭圆￡的方程为亠+ 2亍=1（“>/?>0）,双曲线1一与=1的两条渐近线为厶和

到下依次为AB （如图）.

⑴当直线厶的倾斜角为30。，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；

⑵设人乔;冠=人丽，证明：人+几2为常数?

4、椭圆的中心是原点6它的短轴长为2^2 ,相应于焦点F （cQ ）（O0）的准线2 （准线 方程

3.其祝为长半轴，C 为半焦距皿轴交于点A, |"| = 2网，过点A 的直

5、已知 A (-2, 0). 8(2, 0),点 C 、点 0 依次满足I ^1= 2,AD =-(X B +^C).

2

（1） 求点D 的轨迹方程：

（2） 过点人作直线/交以A 、8为焦点的椭圆于M 、W 两点，线段MN 的中点到y 轴的

4

距离为1，且直线/与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程.

线与椭圆相交于点P 、Q 。

（1） (3) e

求椭圆方程： 求

椭圆的离心率:

(4) 若OP ?OQ = 0,求直线PQ 的方程。

2

2 /T

6、若椭圆亠+亠=1(">">0)过点(?3, 2).离心率为2L. 00的圆心为原点，直径 b ? 3

为椭圆的短轴.OM 的方程为(X - 8)2+(y-6)2 =4,过0M 上任一点P 作?0的切线PA 、

PB,切点为A 、B. ( I )求椭圆的方程：

(II)若宜线PA 与0 M 的另一交点为Q 当弦PQ 最大时，求宜线PA 的直线方程: (Ill)求Q4?0B 的最大值与最小值.

2

,2 py

7、已知A 、8分别是椭圆d + J = 1的左右两个焦点，0为坐标原点，点P (-1.学)在 ?- b- 2

线段PB *j y 轴的交点M 为线段PB 的中点。

求椭圆的标准方程：

8、已知曲线C ： 过C 上一点4” (心，儿)作一斜率为心=- 于另一点Ag (忑4*心厂 点列儿("=1,2,3,…)的横坐标构成数列｛ 貝中

椭圆上，

(2) sin 4 +sin B

点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC,求

sinC

的值。

的直线交曲线f

II

X| =—

I 7

（1）求心与X .的关系式：（2）求证：｛---- + —｝是等比数列:

X厂2 3

(3)求证J (-l)Xi +(-l)-X2 +(-1)^X3 < 1(? € , n > 1) o

/y 9、已知点F（_l, 0）和直线hx = -2,动点M到点F的距离与到直线/的距离之比为》

（I）求动点M的轨迹方程;

｛II）设过点F的宜线交动点M的轨迹于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=G 上，求直线AB的方程.

10.设椭圆C：3 +芬=1（">0）的左右焦点分别为斤、時 A是椭圆C上的一点，

且cr 2

A X?斥E = 0.坐标原点o到宜线AFi的距离为丄|O斤?

（I ）求椭圆C的方程:

（II）设2是椭圆C上的一点，过点e的直线/交X轴于点F（-hO）,交y轴于点M,若

11. 已知动圆过泄点A(l,0),且商直线x = -l 柑切. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程：

⑵是否存在宜线使/过点B(o 」)，并与轨迹C 交于p,e 两点,

且满足OP OQ = 0若存在，求出宜线/的方程：若不存在，说明理由.

12、设林、竹分别是椭圆才+y2= 1的左、右焦点

T T

(I )若P 是该椭圆上的一个动点，求PFi ? PF2的最大值和最小值;

(1D 设过泄点M((X2)的直线/与fffi 圆交于不同的两点A 、B,求宜线/的斜率A 的取值

范屁

祥细答案

/?

/?

1、解 J （1）当€ =——时.*-* ? = I ? /- C =——

2 2

|A /C?| = 2|C ?X

,求宜线/的斜率.

2分

1 — C b? —C

*/P (ntji)在宜线x+y = 0 ［：, /- -- + ----- = 0 =>(! + b)(b-e) = 0

2 2b Vl+h>0 /.h = c 由方2=l-c2得沪=一

2

???椭圆的方程为x- + 2y-=\

2、解:(1)依题意，设椭圆方程为二■ +匚=1(?>">0),则其右焦点坐标为

F(c,0),c =厶2_/异

:.h^=a--c-=\-- = -. b=-,点B(0丄),F(—迺,0), C(l,0)

4 4 2 2 2

设 OP 的方程为(x-m)-+(y-n)- = r 由0P 过点EEC 得

：■ m~ + (— /?)" = r~

--------------------------- (J (m +

+ tr = r" --------- ②

2

-- 5分

由aw 联立解得〃亠

.5

r"=—

4

代所求的OP 的方程为(牙一上迺)2+0_上2近)2=2

4 4 4

-8分

(2)「OP 过点FbC 三点?圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上, 1 — C

FC 的垂宜平分线方程为x =———④?…-

2

--- 9分 TBC 的中点为(一,一)，kff(- =

—h ???BC 的垂宜平分线方程为-…⑤

2 h 2

10分

由④?得2乎”于.即心导2导

11分

14分

4分

由I FBl=2?得&C-⑹+ 2-⑵ =2, 即(c-JI)2 + 2 = 4,解得c = 2迈。

又VA = 2a- =c-+h-=\2.即椭圆方程为p +讦

（2）由I AM 1 = 1 ANl 知点A 在线段MN 的垂宜平分线上,

由 ”2 + ),2 _]消去 y 得X- +3(kx-2)- =\2 即(1 + 3￡2)兀2 — 12Rx=0 由kHO,得方程「）的^ = （_12灯2 =144^2 >0,即方程严）有两个不柑等的实数根。

设M3，儿）、Ngy ）线段MN 的中点P （旺.儿）,

… \2k 兀+心 6R

则“+￡=17応 0 =

2 2

???kMO, ???直线AP 的斜率为《|=仝誓

-2-2(l + 3* )

OK

\ + 3k'

/3

/3

■- 2 + 2 + 6；:?6,解得："土丁，HPtana = ±-

又0<<7<龙，故 a =—,或a =—.

6 6

???存在宜线/满足题意，苴倾斜角a = -.或0 =竺

6 6

- /T

3、解：⑴由已知，芦〒/+心6,

解得"=12/2 =4,

6￡2-2(1 + 3L) -2 ■■-儿=3一2 = 6k -2 1 + 3/

妒’即~ + 3上「+亦 .. iO 分

2

1 + 3/

-2

由 AP 丄MN,得 一

2-2(1 + 3，)冥k = _] 6k 12分 6￡

... 13分

14分

所以椭圆E 的方程是哈+于= 5分

(2) 解法「设/13」),3(七」2)

由题意得：直线厶的方程为：y = -x,直线人的方程为：y = --x, a a 则宜线/的方程为：y = -{x-c),n 中点F 的坐标为(c,0)； b

r b

< a~ y = -x

x = —

2 ,

由J "得d c

，则点p （ J 竺）；…….9分 ?

db c c I y = -{x-c} ly = —

b

c

? 4+4=1

2_

I I H " b

消 y 得-.Ix' -2cx + （c~-ct~） = O,则鬲+兀2 =&斗电=° "

，y=#（xY ）

由 PA = A^AF 得吗 _乞=人（c-xj,则:& =—_— C " c （c-xj 同理由两=入丽得a =

c? 一* ■

■

c(c-x,)

_ CX| —a~ CX-, -a~ _ （牛一??）（€? — X2）+ （cx2 ）9-xj

/t| + /V| ------ --- 1 -- ---------------- = --- ----------

C （C-X|） C （C — X>） C （C-X|）（C-A\） _ （c" + ?"）（%, + “2）-2Q ?内 一2ca~ _ （c" + cr ）c 一c （c" 一/）一2ca~

_

解法2：过P 作X 轴的垂线加.过A3分别作加的垂线，垂足分別为A 厂坊，…6分

由题意得：宜线厶的方程为：y = -x,直线人的方程为：v = --x, a a 则宜线/的方程为：>' = -(x-c),K 中点F 的坐标为(G O)； h

C

b < a~ y = -x

x =—

由J

"得：』

° ，则直线m 为椭圆E 的右准线;??……10分

I y 专 d Lv=v

2

；】。分

12分

C(C-X,)(C-A\) 故入+人=0

为常数 .................

c （c-xj （c-x,） ...... 14分

e 的离心率; 12分

4、解：(1)由已知得h = y/2.c = 2(---c).解得：c'=4,

c

1 1 所求斶圆方程为千+

手"

因0P^OQ = 01 得曲吃=0， 又

=^"Uj -3)02 -3) = ￡3血 一 +兀2)+ 9￡2，代入上式得

解得：疋=丄我=±遁，所求直线PQ 方程为y = ± — (.V-3) 5、解：(1)设 C 、D 点的坐标分别为 caqjb), D(x,y).则 AC = (X Q +2,^^ ), 而= (4,0),则^+AC = (X O +6,>O )? 故丽=*(乔 + 疋=(今+ 3,今)

则: 故人+人=0为常数.

14分

c 2 yj6

(2)因 a = y/6,c = 2 ,得 0 =—=—==

a yf6 3

(3〉因点A (乞,0)即A (3, 0),设宜线PQ 方程为y = k(x-3)

C

则由方程组＜

2；t ：二2’消去用0 + 3心-］沁+ 27宀6 =。

27—6

设点 P (召? ”Q(x,,儿)则 X 】+ *2 = [+3, ? X 內=] + 3R 2

10分

(1 + ?2)曲欠2-3?2(石+￡)+ %2 = 0,故(1 + r)(警--6)_3「

8f- +9R 2 = 0

1 + 3R

2 1 + 3?'

14分

又= 0 + 2」）,故?

+ 3 = X + 2,

2 解得“

代入(心+ 2)2 +卅=2中，整理得x-+y-=\.即为所求点0的轨迹方程.

(2)易知直线/与X轴不垂宜，设直线/的方程为y = k(x + 2)①.

又设椭圆方程为亠+= 1@2>4) ②.

a- a- -4

因为直线一"囲圆宀Z相切.故船“’解得宀亍

将①代入②整理得，（曲+?- -4）x2 +4a-/c-x + 4a-k-一/ +4, =0 ③

将代入上式，整理得-3)x2+4/=(b

3 4

2

设M (",”)，"(勺」』，则X, +X, =--r—，

■￡/■ -3

由题意有』_ = 2x土(/>3)，求得/=&经检验，此时③的判别式△>()? tz" —3 5 故所求的椭圆方程为令+专

6、解：(I )由题意得：< 9 4 1 —+ -^ = 1 ?' /?'

C yf3

a 3

=b- +c-

(11)由题可知当直线PA过圆M的圆心■ 存

在，设直线PA的方程为：y-6=k(x-8) 所以椭圆的方程为—

b-=\015 10

(8, 6)时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一世

又因为PA与圆0相切，所以圆心(0, 0)到直线PA的距离为J応

器5可得q或“罟

所以宜线PA的方程为：X-3歹+ 10 = 0或13尤一9歹一50 =

+ § = -2(

------ 1—= ----- -- 兀订-2 3心+2—2 n+l

---- + -) = -2

???I OP l_= 10 + 2 = 12」OP □“= 10-2 = 8

.?刀?丽=1 鬲l?l5FlcosZAOB=理-10

OP ?

7、解：（1） V 点M 是线段PB 的中点：.OM 是△P4B 的中位线

又OM 丄AB A PA 丄AB

解得 a-=Zh- = \,c- = \

a- =h^+c-

则coswzc 心亠2（冷

20 OP-

???椭圆的标准方程为—+y'=i

2

（2） ???点C 在椭圆上，爪B 是椭圆的两个焦点 AC 4" BC —2o — 2\/T , AB=2c=2

10分 R 「 在△ABC 中，由正弦过理，

sin A sinB sinC

AC AB

12分

sin 4 +sin B BC + AC 2近 _忑

sinC AB

14分

8、解：（1）过 G y = —上一点人口 （兀，儿）作斜率为匕，的直线仝C 于另一点A”| X

-- 3分

X 讪一心

兀田一心

2

于是有：兀忑小=兀+2 EP ：兀T=l + — 兀

------

⑵3广乔

ry

则

因为 X]=—、而①= ------ + T = —2 丰 0 ?

7 旺-2 3

因此数列｛亍^+了是等比数列。

（3）由（2）可知：S =（-2）"，则心=2 + ---------

（-2）匕

(一1)%=(-1)”

化简得：—+r = 1.这就是动点M 的轨迹方程.

2 （II ）设直线AB 的方程为y = ^x + l ）伙工0）?

当n 为偶数时有: （一 1）7.+（-1）"心

2心+2”

于是

①在n 为偶数时有:

2”"+2" 1 I

< -- i --- V --- T "I - ，

(2”7+-X2"--) z * 厶 z

（一1）州 +（-1）2勺+…+ （-1）%<- + ^ +尹 + 尹 + …+ —<1。 ②在n 为奇数时，前ml 项为偶数项，于是有：

12分

(_1)旺 +(_])2￡ +??? + (_])心心-+(_1)”耳

<1 + (_1)"兀… =1_犬|, =1_(2 + ------- -

(-2)匕

综合①②可知原不等式得证。

14分

9.解：（I ）设动点M 的坐标为（X, y ）,由于动点M 到点F 的距离与到直线/的距离

之比为亚，故ZU =返

2

Lv + 21 2

Lv + 21

代入y+y-=l,整理得(\ + 2k-)x- +4k-x + 2k- -2 = 0.

「直线AB过椭圆的左焦点F, ???方程有两个不等实根,

4*2 记4（心〉“3（大2』2）' A8中点卩（心?儿），则%）+%2=- 2

/K 1

1, \ 2k- ,, k

无=尹+勺)=-齐矶叫+1)=旳,

「线段AB的中点P在直线x+y = O上,

2k- k. c 4, 1

F + L齐+乔寸0*°,或j.

当直线AB与X轴垂直时，线段AB的中点F不在直线X +> = 0±,

???直线AB的方程是y = 0或x-2y + l = 0? 10,解：（I ）由题设知/? （->/?'-2,0）, /S （7?--2,0）,其中?>72

由于乔;= S则有近丄F\F；,所以点A的坐标为从2-2,±?）……2分a

V I

故人林所在直线方程为y = ±（ . + -）

ayJa--2 ?

所以坐标原点。到直线鮎的距离为各吕

0可=(宀2,所以茫-2 = 1 J/_2 解得：a = 2 ............... 5分

u— 1 3

所求椭圆的方程为宁+『］

（11）由题意可知直线/的斜率存在，设直线斜率为&

直线/的方程为y = ￡3?+1）,则有M（0■灯

设2（召，”），由于2、F、M三点共线，且MQ=2 0F

10分14分

2

由?

x = k{y-\)

,r =4x

得产4幼+碌=0

??? △ = 16妒一16￡>0 => ?>1或￡<0

且 y + y2 = 4k ? y 』2=4R 由 OP OQ = 0 =>

+ >\>'2 =0

=＞鸟2（）1-1）（儿一1）+”儿=0=伙2+1））1儿一《2（）1+儿）+ ?2=0

=>4￡伙2+1)-疋?4￡ + 鸟2=0 = ￡=7或《 = 0 (舍去)

13分 又《 = “＜0,所以直线/存在，其方程为：x+4y-4 = 0

14分

12.解：(I )解法一：易知d = 2# = l,c = J?,所以百(-JIo),巧(JIo)

1分,

设 P (儿y)?则所?陌 = (一^5-x,-y),(^/?-x,-y) = F + r-3 ........... 3 分

因为xe[-Z2\.故当x = 0,即点P 为椭圆短轴端点时，戸耳?戶人?有最小值一2???5分 当X = ±2,即点P 为椭圆长轴端点时，P 斤-P 巧有最大值1 ...... 7分 解法二易知^7 = 2J7 = Lc = ^/3> 所以斤(一JIo)迅(J^e)

1分,

又Q 在椭毗上，故旦+虫“或￡ +宜1“解得"。八±4

4 2 4 2

综上，宜线/的斜率为0或±4 .. 14分 11.解：＜1）设M 为动圆圆心，由题意知:\MA\=M 到定直线x = -\的距离, 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，幷中A （l,0）为焦点，x = -l 为准线,

???动圆的圆心M 的轨迹C 的方程为：r=4大

（2）由题意可设直线/的方程为x = k （y-\）伙HO ）,

根据题意得（召」一灯=±2（召+1, ”）解得? X, = —

2

)=一斤

12分

PF\?PF2 = PF 「PF Q -COS Z 曾巧=PF\ ? PF? ?

=—(X + A /5^ + y"+(x-5/3j + y" -12 =x~ + y~-3

2 ■ ■

可设宜线 = 2）”（大2」2）， y = kx + 2 联立* ，

—+ V" =1 l4 -

由 A = (4A)--4(A-+l)x3 = 4Jt--3>0 得j &> 迴或-迴 .... 12 分

4 2 2

（11）显然宜线x = 0不满足题设条件

8分,

,消去y,整理得： X- +4f(x + 3 = Q .... 9 分