2.3.1《等差数列的前n项和》课件(新人教A版必修5)
复习回顾
1.等差数列的概念
an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)
2.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d
3.等差数列的常用性质 若数列{an}是公差为d的等差数列 1、d>0， {an}是递增数列；
d<0， {an}是递减数列； d=0， {an}是常数列
n
2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
比较两个公式的异同:
公式应用 之 知三求二 a1，d , n, an , Sn
例 在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求 a1及 a20 .
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1=
再根据 公式1
Sn
n(a1 an ) 2
代入①得：
所以有 Sn
a1a1n4（n n21）d
3n2
n
n 例3. 已知数列 an 的前 项和
为 式.这sn个数n列2是等12差n数, 列求吗这?个如数果列是的,它通的项首公项
与公差分别是什么?
例4．己知等差数列
24
5, 4 , 3 , …
77
的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的项数n的值.
解:由题意知,等差数列5, 4 2 , 3 4 , …的公差
2，3····，n，···的前n项和问题
探究发现
问题 ：如何求等差数列an的前n项和?
等差数列an的前n项和,用Sn表示，
记作：
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn an an1 an2 a2 a1
如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？
探究发现 倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和
是310,前20项的和是1220.由这些条件能确
定这个等差数列的前n项和的公式吗?
解：由题意知
S10
a1 an 2
10 310
得 a1 a10 62；
①
S20
a1
a20 2
20
1220
所以 a1 a20 122；
②
②-①，得 10d 60 则 d 6
7、数列{kan+b}(k、b是常数)是公差为kd 的等差数列
8、下标成等差数列且公差为m的项 ak,ak+m,ak+2m, …组成公差为md的等差数列
9、{bn}也成等差数列，则{an+bn}， {kan+bn} (k为非零常数)也是等差数列
10、{an}是等差数列，则a1,a3,a5…仍成等 差数列（首项不一定选a1）
77
为
75,所以sn=
n 2
[2×5+(n-1)(
5 7
)]
=
75 n 5n 2 14
=
154( n-125)2+115265
课堂小结
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
公式的推证用的是倒序相加法
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知 道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
传说陵寝中有一个三角形图 案，以相同大小的圆宝石镶 饰 而 成 ， 共 有 100 层 （ 见 左 图），奢靡之程度，可见一 斑。你知道这个图案一共花 了多少宝石吗？
200多年前，德国古代著名数学家高斯10岁 的时候很快就解决了这个问题。
高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老 师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了 两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．”
2.3《等差数列的前n项和》
教学目标
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题．
4、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项 和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它 们解决一些相关问题；
二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、 推导及应用；熟练应用等差数列的求和公式。
Sn a1 (a1 d ) [a1 （n 1)d ]
Sn an (an d ) [an (n 1)d]
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
公式1
Sn
n(a1 2
an )
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
等差数列前n项和公式
公式1
公式2
S n(a1 an )
(2)令 sn 242,求 n .
例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此 提出了实施 “校校通”小学工程校园网.据测 算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从 2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元.为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年 增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该 市在“校校通”工程中的总投入是多少?
2、d=(an-a1)/(n-1)=(am-an)/(m-n)
3、an=am+(n-m)d
4、若m+n=p+q则am+an=ap+aq
5、m+n=2k，则am+an=2ak
6、{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距 离的两 项之和都相等，且等于首末两项之 和 即a1+an=a2+an-1=…=ai+ai-1=…
a20=
练 习一
根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:
①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=－2, n=50;
答案：①500； ②2550；
练习二
n s (2004.全国文)等差数列an的前 项
和记为 n .已知 a10 30 , a20 50 .
(1)求通项 an ;
11、{an}是等差数列，则 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数列
探究发现
泰姬陵坐落于印度古都阿格， 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝 沙杰罕为纪念其爱妃所建， 她宏伟壮观，纯白大理石砌 建而成的主体建筑叫人心醉 神迷，成为世界七大奇迹之 一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
你知道高斯是怎样计算的吗？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是：
首项与末项的和：
1+100=101
第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101
第3项与倒数第3项的和: 3+98 =10பைடு நூலகம் …… 第50项与倒数第50项的和: 50+51=101
于是所求的和是：101× =5050
高斯的算法实际上法解决了等差数列：1，
作业布置
P46. 习题2.3 A组4、5、6，B组1、3
人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案
等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
等差数列的前n项和ppt课件
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一、知识层面
二、能力层面
1、学生已经学习了 1、已经具备一定的观 等差数列的通项公式 察猜想，归纳类比能 及性质，具备了研究 力； 本节内容的知识基础； 2、已经具备了一定的 2、第一次正式接触 逻辑推理能力； 数列求和，缺乏学习 经验；
三、情感层面
1、学习兴趣较高， 但主动探索的难度 较大，需要教师合 适的启发和引导；
1.3 教学目标
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知识目标 能力目标 情感目标
掌握等差数列的前n项和公式； 会根据简单的等差数列条件求其前n项和； 能用公式解决简单的实际问题；
感受从特殊到一般再到特殊以及数形结合的研究及学习方法； 培养学生观察猜想归纳类比的数学思维能力； 提升学生在逻辑推理、数学建模等方面的核心素养；
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050.
4.3 新课探索
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那你能用他的方法求一下1+2+3+……+n等于多少吗？ 分类讨论
n为偶数，1 2 n (1 n) n ; 2
n为奇数，1 2 n (1 n 1) n 1 n n(n 1) ;
an )
na1
n(n 1) 2
d
例2
↓
堂 练 习 题
教学程序
知三求二（方
程思想）
例3
板书设计
教学效果
教学效果
6.1 教学反思及教学效果
高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)
故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
等差数列的前n项和公式(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
n(a1 an )
.
2
（1）
把 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ＝1 +
（ − 1）代入公式（1），
可得 ＝1 +
(−1)
.
2
（2）
思考:
不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公
式（2）吗？
＝1 + 2 + ⋯ +
＝1 + 1 + + ⋯ + 1 + ( − 1)
A
B
C
D
1
1
3
3
2
2
8
5
3
0
15
7
4
24
9
5
35
11
结论：已知数列{ }的前项和为＝2 + + （，，为常数且 ≠ 0），则当＝0
时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 0时，数列{ }从第二项起为等差数列.
证明：当 ≥ 2时，＝ − −1
＝ 2 + + − − 1
＝1 + （ − 1）＝.
证明： 奇数项共n项，偶数项共(n 1)项，
S奇
n
.
S奇
S偶 n 1
n(a1 a2 n 1 )
(n 1)(a2 a2 n 2 )
n
S奇
nan , S偶
(n 1)an ,
.
2
2
S偶 n 1
若项数为偶数2，则2＝（1 + 2）＝（ + +1 ）（，+1 为中间两项）；
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
推荐-高二数学人教A版必修5课件2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用
=nd;若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶
=an,S偶∶S奇=(n-1)∶n.
(3)设{an},{bn}均为等差数列,An 为数列{an}的前 n 项和,Bn 为数列{bn}
的前 n 项和,则������������������������ = ������������22������������--11.
S6=
.
解析:(1)设公差为d,由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15.
答案:(1)C (2)15
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3
即当 n≤34 时,an>0;
当 n≥35 时,an<0.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)当 n≤34 时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+2025n. (2)当 n≥35 时,
分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化 为Sn的二次函数求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点,再 求解.
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高考数学总复习 第5章 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
第五页，共53页。
3. 利用Sn的图象(túxiànɡ)确定其最值时，最高点不一定是最 大值，最低点不一定是最小值.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
第十二页，共53页。
(3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递 减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
常数． [解]
证明：由题设知 an＋1＝ aan＋2n＋bbnn2＝
1＋bann ＝ 1＋bann2
bn＋1 ，所以bn＋1＝
1＋abnn2
an＋1
1＋bann2，从而abnn＋＋112－bann2＝1(n
高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和 第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》
【练习 2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质． 由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知， 可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0， 得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.3 第1课时 等差数列的前n项和
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通
项公式要分段表示为 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥
2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则 k=( )
前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本
方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5 等于( )
A.15
B.20
C.25
D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究在本例中,若条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和 为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式. 解:当n=1时,8a1=(a1+2)2, 解得a1=2. 当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2, 即 8Sn-1=���������2���-1+4an-1+4,而 8Sn=���������2��� +4an+4, 两式相减,得 8an=���������2��� − ���������2���-1+4an-4an-1, 即���������2��� − ���������2���-1-4an-4an-1=0,