随机事件及其概率(数学)
随机事件及其概率
随机事件及其概率随机事件随机事件的概念随机试验E试验可以在相同的条件下重复进⾏（重复性）；试验的可能结果不⽌⼀个，并且⼀切可能的结果都已知（多样性）；在每次试验前，不能确定哪⼀个结果会出现（随机性）。
样本空间S随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间随机事件随机试验E的样本空间S的⼦集称为E的随机事件随机事件的关系包含关系：B⊂A（B发⽣必导致A发⽣）相等关系：B⊂A且A⊂B，则A=B事件的和：A∪B（事件A发⽣或B发⽣，即A和B中⾄少有⼀发⽣）事件的积：A∩B=AB（事件A发⽣且事件B发⽣）事件的差：A-B（事件A发⽣且事件B不发⽣）互不相容（互斥关系）：A∩B=Ø（事件A和事件B不可能同时发⽣）互逆关系（对⽴关系）：若A∪B=S且A∩B=Ø，记为A=或B=运算规律交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A；结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)对偶律：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)（如果A、B互斥，则P(AB)=0）P(A-B)=P(A)-P(AB)（若B⊂A，则P(AB)=P(B)）P(A)=1-P()；P(A)=P(A)+P(AB)古典概率模型1. 试验的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；2. 在每⼀次试验中，每个基本事件发⽣的可能性都相同。
3. 古典概率P(A) = A中的基本事件 / S中包含的基本事件排列A n m：从n个⼈中，有顺序地抽出m个⼈的抽法数；A n m=n(n-1)...(n-m+1)组合C n m：从n个⼈中，不计顺序地抽出m个⼈的抽法数；C n m=n!/m!(n-m)!条件概率、全概率公式与贝叶斯公式条件概率在事件A发⽣的条件下，事件B发⽣的条件概率：P(B|A)=P(AB)/P(A)；P(B|A)=1-P(|A)乘法公式：若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)假如事件A与B相互独⽴，则P(AB)=P(A)P(B)全概率公式全概率就是表⽰达到某个⽬的，有多种⽅式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到⽬的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）？P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(B n)P(A|B n)贝叶斯公式当已知结果，问导致这个结果的第i原因的可能性是多少？执果索因！事件独⽴性和贝努利试验事件独⽴性事件B的发⽣与否，并没有影响到事件A发⽣的概率P(A|B)=P(A)，即P(AB)=P(A)P(B)贝努利试验在同样的条件下重复地、相互独⽴地进⾏的⼀种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发⽣或者不发⽣。
1.2 概率论——随机事件及其概率
反演律
AB A B
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
运算顺序： 逆交并差，括号优先
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
Note1:
“+”的理解,“-”的理解
举例说明: A B C A BC
A {1,2,3,4}, B {1,3,5} A B C {2,4}
而BC {1,2,3,4,5} A 反之,请同学课后练习.
§1.2 随机事件及其概率
自然界中的有两类现象
•1. 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
•2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
(4) A1 A2 An A1 A2 An (5) A1 A2 An A1 A2 An
交换律 结合律
分配律
A B B A AB BA
(A B)C A(BC) ( AB)C A(BC )
(A B)C (AC)(BC) A (BC ) ( A B)(A C)
AB
和与积的运算同样定义）
4.事件的差
事件 A 发生而事件B 不发生，是一个事件，称为
事件 A 与 B 差，记作 A B
AB
5.互不相容事件
如果事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件
A与B互不相容，(或称互斥） 显然, 基本事件是互不相容的 类似地，如果
BA
A1, A2 , , An 两两互不相容，
(6)三个事件至少有两个发生： AB AC BC
数学随机概率教学计划(优秀4篇)
数学随机概率教学计划（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第二章 随机事件与概率
古典概率
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个； （2）每个结果出现的可能性相同。 如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6， 因此这个试验就是古典概型.
2、概率的古典定义 若互斥完备群由有限的n个基本事件构成， 而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
（一）条件概率
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
【例13 】 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋 中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已 知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率
设A：第一次取到红球, B：第二次取到红球
P ( B | A) 1
2、对立事件加法 证： A A Φ, A A Ω
P ( A) 1 P ( A).
【例12】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率。 解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有1片穿心莲} 3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20 3、一般加法 A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
【例11】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5 片, 随机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的 概率。 解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 0 3 C15 C5 C15 C5 0.1404 3 3 C 20 C 20
经典概率论与数理统计第1章随机事件与概率
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第二节
1、频率
概率的定义及其确定方法
定义1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在
这n次试验中发生了k次，则比值
实验中发生的频率，记为 频率具有下列性质： (1)对于任一事件A，有
称为事件A在n次
n n P Ai P Ai i 1 i 1
推论：
PA 1 P A
例1.2.7 一袋中装有N－1个黑球及1只白球，每次从 袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问 第k次摸球摸到黑球的概率是多大？
解：令A={第k次摸球摸到黑球}。 则 A ={第k次摸到白球}。
确定性现象
不确定性现象
相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称之为 随机现象或偶然现象，这种规律性称为统计规律性。 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验 称为试验，在概率论中，把满足以下条件的试验称为 随机试验. （1）试验在相同条件下是可重复的； （2）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可 以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个 结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
解：（1）记Ai={第i封信配对},i=1,2,…
S1 P ( Ai ) 1 n i 1 S 2 P ( Ai A j ) n(n 1) 1 2! 1 i j n 于是，由加法定理，得 n n P ( A) P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai A j )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ).
下赌注问题：17世纪未，法国的 Chevalies Demere在赌博中 感觉到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“ 至少出现一次 双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但他本人找不 出原因，请计算该两事件的概率。 上抛一对骰子25次，
第一章--随机事件及其概率PPT课件
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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题 用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件 事件 必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃 李以泉 丁碧文 杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的 概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打 开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打 开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号 门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你 是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生
m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
考研数学——概率公式(最全)
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=ni i ni i A A 11===ni i ni i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i nj i j ini ini i A A A P A A A P A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A BP A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = pn k p p C k X P kn kkn ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出，有问题可以给我来信，希望能与大家多交流。
工程数学第四章 随机事件及其概率
都可看成样本空间的一个子集.特别地，必然事件就是样本空间，不可能事件就是
空集 .
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结束
定义 2 事件发生是指该事件中的一个或多个基本事件发生，即如果某事件中 的一个或多个基本事件发生，则认为该事件发生．
到一个白球和一个红球”， D 表示“取到白球”，则 A, B,C, D 都为随机事件.
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结束
若令 表示“取到的两球不同色”， 表示“取到的两球同色”，这两个事件具 有确定性， 一定发生， 一定不发生．
实际上， 和 不是随机事件，但为了研究方便，我们仍将它们称之为特
殊的随机事件，即必然事件与不可能事件.所谓必然事件是指在试验中必然发生的
随机试验的每一个可能结果称为随机事件,简称事件.一般用 A, B,C,L 表示.
例 1 掷一枚硬币， A {正面朝上}， B {反面朝上}，显然，对“掷一枚硬 币”的观察为随机试验， A ,B 为随机事件.
例 2 从一个装有红、白、黄球各一个的盒中任取两个球，若令 A 表示结果 “取到一个黄球和一个白球”，B 表示“取到一个黄球和一个红球”，C 表示“取
(4)若 B {A1, A2 ,L , An} ，则 A1, A2 ,L An 至少有一个发生的充要条件是 B 发
生.
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结束
三、事件的关系与运算
我们已经知道任一事件都是样本空间的一个子集，因此事件之间的关系与运 算与集合间的关系与运算相似.
1.包含与相等
定义 3 设 A 与 B 是试验 E 的两个事件，若 A 发生必然有 B 发生，则称 A 包 含于 B ，记为 A B ．此时 A 的每一个样本点都包含在 B 中.若还有 B A ，则
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随机事件及其概率(数学)
练习： 1. 判断正误
（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ） （2）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （3）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）
（4）
()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ）
（5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （
6
）
考
察
有
两
个
孩
子
的
家
庭
孩
子
的
性
别
，
{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，
}一个女孩)，则P {}1
=3
两个女孩。
（B ） （7）若
P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ）
（8）n 个事件若满足,,()()()
i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）
（9）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ）
2. 选择题
（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则C
A. A 与B 互斥
B. AB 是不可能事件
C. AB 未必是不可能事件
D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C )
A. P(A)-P(B)
B. P(A)-P(B)+P(AB)
C. P(A)-P(AB)
D. P(A)+P(B)-P(AB)
（3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”
B. “甲乙两种产品均畅销”
C. “甲种产品滞销”
D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)
C. P(B|A)=P(B)
D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设
(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B )
A.
()a c c + B . 1a c +-
C. a b c +-
D. (1)b c -
（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)
A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D )
A. 事件A, B 互不相容
B. 事件A 和B 互相对立
C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立
8.,,.,,.D ,,.,,.,,141
9.(),(),(),(),()375
14131433.,.,.,.,37351535105
A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）
若则一定独立；若则一定独立；
若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)
三解答题
1.(),(),(),(),(),(),().
P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：
解：由德摩根律有____
()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-
()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-
()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-
________
()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-
2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
解：设事件A A B 甲乙表示甲命中，表示乙命中，表示目标被命中。
()()0.6
()=0.75()()0.6+0.5-0.60.5
()=()()()()P A B P A P A B P B P A A A B A B A P B P A A P A A P A P A =
==⋃⨯⊂=⋃=甲甲甲甲乙甲甲甲甲乙甲乙甲乙（因为，所以），
目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以甲乙独立射击，所以。
3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6，求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。
解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以 设B 表示潜艇被击沉，,1,2,3,4i A i =为第i 枚深水炸弹击沉潜艇。
_______________________
123412344
12341234()()1()1()1()()()()10.4
P B P A A A A P A A A A P A A A A P A P A P A P A =⋃⋃⋃=-⋃⋃⋃=-=-=-
4.某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占20%。
设患肺癌的人占人群的0.1%。
求在吸烟的人中患肺癌的概率。
解：设A 表示吸烟，B 表示患肺癌。
已知条件为()90%,()20%,()0.1%.
()()()
()()()()()()
0.0010.9
0.0010.90.9990.2
P A B P A B P B P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B =====
+⨯=
⨯+⨯ 5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求
（1）顾客购买此箱玻璃杯的概率。
（2）在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
解：参考书上24页例4 第二章随机变量及其分布 练习题： 1判断正误：
（1） 概率函数与密度函数是同一个概念。
（B ） （2） 超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。
（A ） （3）()P λ中的λ是一个常数，它的概率含义是均值。
（A ） （4）()()P a X b P a X b <<=≤≤。
（B ）
（5）若X 的密度函数为()f x =cos x ，则0
(0)cos .P X tdt π
π<<=⎰
（B ）
2选择题
（1） 若X 的概率函数为
(),0,1,2,a ....k
D P X k a k k A B C e e λλ
λλλ-===-则的值为（D ）
！
(2)设在区间[],a b 上，X 的密度函数()sin f x x =，而在[],a b 之外，()0f x =，则区间
[],a b 等于：(A)
[]
3.0,.0,.,0.0,222A B C D ππππ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦。